不定积分解题方法及技巧总结

不定积分解题方法及技巧

总结

Prepared on 24 November 2020

⎰

不定积分解题方法总结

摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法

不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分）

设f(μ)具有原函数F(μ)。则 其中)(x ϕ可微。

用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：⎰

+-+dx x x x

x )

1(ln )1ln(

【解】)

1(1111)'ln )1(ln(+-=-+=

-+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+⎰⎰2)ln )1(ln(2

1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：⎰

+dx x x x 2

)

ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= 3.第二类换元法：

设)(t x ϕ=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ϕϕϕ又设≠具有原函数，则有换元公式

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：

（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。 但当根号内出现高次幂时可能保留根号，

（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。 但当根号内出现高次幂时可能保留根号， 4.分部积分法.

公式：⎰⎰-=νμμννμd d

分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取νμ、时，通常基于以下两点考虑：

（1）降低多项式部分的系数 （2）简化被积函数的类型 举两个例子吧~！ 例3：dx x

x x ⎰

-⋅2

31arccos

【解】观察被积函数，选取变换x t arccos =,则 例4：⎰xdx 2arcsin 【解】

⎰

⎰--=dx

x x x x x xdx 2

2

211arcsin 2sin arcsin

上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。

有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。 在⎰⎰-=νμμννμd d 中，νμ、的选取有下面简单的规律： 将以上规律化成一个图就是：

ν

但是，当x x arcsin ln ==νμ，时，是无法求解的。 对于（3）情况，有两个通用公式：

（分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx 的不定积分》中，常可以看到分部积分）

5 不定积分中三角函数的处理

1.分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。 被积函数⎰

+dx x

x 2

2cos sin 1

上下同乘x sin 变形为 令x u cos =，则为

2.只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系，注意1cos sin 22=+x x 的使用。

三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难，适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。 3. 函数的降次

①形如的cos sin ⎰xdx x n m 积分（m ，n 为非负整数） 当m 为奇数时，可令x u cos =，于是 (

)

⎰⎰⎰----=-=du u u

x xd x dx x x n m n

m n m 2

1

2

1

1cos cos sin cos sin ，

转化为多项式的积分

当n 为奇数时，可令x u sin =，于是 ()

⎰⎰⎰---=

=

du u u x xd x xdx x u m

n m

n

m

2

1

2

1

1sin cos

sin

cos sin ，

同样转化为多项式的积分。

当m ，n 均为偶数时，可反复利用下列三角公式：

不断降低被积函数的幂次，直至化为前两种情形之一为止。

② 形如⎰xdx n tan 和⎰xdx n cot 的积分（n 为正整数） 令xdx u tan =，则u x arctan =，2

1u

du

dx +=，从而 已转化成有理函数的积分。

类似地，⎰xdx n cot 可通过代换x u cot =转为成有理函数的积分。 ③形如⎰xdx n sec 和⎰xdx m csc 的积分（n 为正整数） 当n 为偶数时，若令x u tan =，则2

1,arctan u

du

dx u x +==，于是 已转化成多项式的积分。

类似地，⎰xdx n csc 可通过代换x u cot =转化成有理函数的积分。 当n 为奇数时，利用分部积分法来求即可。

4.当有x 与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法。

5.几种特殊类型函数的积分。

（1）有理函数的积分 有理函数

)()(x Q x P 先化为多项式和真分式)()(*x Q x P 之和，再把)

()

(*x Q x P 分解为若干个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现

⎰+=n

n x a dx

I )(22时，记得用递推公式：

12

1222)

1(23

2))(1(2----++-=

n n n I n a n a x n a x I ） 1.有理真分式化为部分分式之和求解 ①简单的有理真分式的拆分 ②注意分子和分母在形式上的联系 此类题目一般还有另外一种题型：