欧 拉 方 程

欧拉方程
欧拉方程的特点是：方程中各项未知函数导数的阶数与其乘 积因子自变量的幂次相同.
当自变量x>0时，作变量替换x=et，则t=lnx，有
欧拉方程
欧拉方程
【例27】
求欧拉方程x2y″+xy′－y=x2的通解.பைடு நூலகம்解作变换x=et(设x>0),原方程化为
D(D－1)y+Dy－y=e2t, 即
D2y－y=e2t 或
(12-23) (12-24)
欧拉方程
其特征方程为r2－1=0, 特征根为r1,2=±1, 所以齐次方程(12-24)的通解为
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欧拉方程
欧拉方程
因为变系数的二阶及二阶以上的线性微分方程还没有一般 的解法，所以本节介绍一类特殊的变系数的线性微分方程—— 欧拉方程，通过变量替换可以化为常系数的线性微分方程，因 而容易求解.
形如 xny(n)+p1xn-1y(n-1)+…+pn-1xy′+pny=f(x) (12-21) 的方程称为欧拉方程，其中p1，p2，…，pn为常数.