高中数学必修五：--等差数列(必考题)最全整理含解析

第二章

等差数列（必考题）最全整理含解析

第1课时

基础巩固

一、选择题

1．已知数列3,9,15，…，3(2n －1)，…那么81是它的第几项( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15

[答案] C

[解析] a n ＝3(2n －1)＝6n －3，由6n －3＝81，得n ＝14. 2．若数列{a n }的通项公式为a n ＝－n ＋5，则此数列是( ) A ．公差为－1的等差数列 B ．公差为5的等差数列 C ．首项为5的等差数列 D ．公差为n 的等差数列

[答案] A

[解析] ∵a n ＝－n ＋5，

∴a n ＋1－a n ＝[－(n ＋1)＋5]－(－n ＋5)＝－1， ∴{a n }是公差d ＝－1的等差数列．

3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数是( ) A ．92 B ．47 C ．46 D ．45

[答案] C

[解析] a 1＝1，d ＝－1－1＝－2，∴a n ＝1＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋3，由－89＝－2n ＋3得：n ＝46.

4．(2013·广东东莞五中高二期中)等差数列{a n }中，a 5＝33，a 45＝153，则201是该数列的第( )项( )

A ．60

B ．61

C ．62

D ．63

[答案] B

[解析] 设公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨

⎪

⎧

a 1＋4d ＝33a 1＋44d ＝153

，

解得⎩⎪⎨

⎪⎧

a 1＝21d ＝3

.

∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝21＋3(n －1)＝3n ＋18. 令201＝3n ＋18，∴n ＝61.

5．等差数列的首项为1

25，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( )

A ．d >875

B ．d <3

25

C ．875

D ．875

[答案] D

[解析] 由题意⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 10>1

a 9≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧

1

25＋9d >11

25＋8d ≤1

，

∴

875

25

. 6．设等差数列{a n }中，已知a 1＝1

3，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 是( )

A ．48

B ．49

C ．50

D ．51

[答案] C

[解析] a 1＝13，a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝2

3

＋5d ＝4，

∴d ＝23，又a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋2

3(n －1)＝33，∴n ＝50.

二、填空题

7．一个直角三角形三边长a 、b 、c 成等差数列，面积为12，则它的周长为__________． [答案] 122

[解析] 由条件知b 一定不是斜边，设c 为斜边， 则⎩⎪⎨⎪⎧

2b ＝a ＋c 1

2ab ＝12

a 2

＋b 2

＝c

2

，解得b ＝42，a ＝32，c ＝52，

∴a ＋b ＋c ＝12 2.

8．等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是________． [答案] 3

[解析] 设首项为a 1，公差为d ，

由a 3＝7，a 11＝－1得，a 1＋2d ＝7，a 1＋10d ＝－1，所以a 1＝9，d ＝－1，则a 7＝3. 三、解答题

9．已知数列{a n }是等差数列，前三项分别为a,2a －1,3－a ，求它的通项公式． [解析] ∵a,2a －1,3－a 是数列的前三项， ∴(2a －1)－a ＝(3－a )－(2a －1)， 解得a ＝5

4

，

∴d ＝(2a －1)－a ＝a －1＝1

4，

∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1

4n ＋1，

∴通项公式a n ＝1

4

n ＋1.

10．已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项

[解析] 设首项为a 1，公差为d ，

由已知得⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 1＋

15－1d ＝33

a 1＋61－1

d ＝217

，解得⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 1＝－23

d ＝4 ，

∴a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，

令a n ＝153，即4n －27＝153，得n ＝45∈N *

， ∴153是所给数列的第45项.

能力提升

一、选择题 1．已知a ＝13＋2

，b ＝

1

3－2

，则a ，b 的等差中项为( )

A ． 3

B ．2

C ．

13

D ．

12

[答案] A

[解析] 设等差中项为x ，由等差中项的定义知，2x ＝a ＋b ＝1

3＋2＋13－2＝(3－2)＋(3＋2)＝23，∴x ＝3，故选A ．

2．已知数列{a n }为等差数列，且a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( ) A ．40 B ．42 C ．43

D ．45