【数学月考】南京师大附中2012-2013学年高二(上)数学月考试卷

2012-2013学年江苏省南京师大附中高二（上）数学检测试卷

一．填空题：

1．（5分）“∃x ∈R ，x 2﹣x +1≤0”的否定是 ．

2．（5分）“若x 2+x ﹣6≥0，则x ＞2”的否命题是 ．

3．（5分）圆心是（﹣2，3），且经过原点的圆的标准方程为 ．

4．（5分）经过点A （﹣1，0），B （3，2），圆心在直线x +2y=0的圆的方程为 ．

5．（5分）若命题“∀x ∈R ，x 2﹣ax +a ≥0”为真命题，则实数a 的取值范围是 ．

6．（5分）在△ABC 中，“A ＞60°”是“sinA ＞√32”的 条件．

7．（5分）已知α：x ≥a ，β：|x ﹣1|＜1．若α是β的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是 ．

8．（5分）若两圆（x ﹣a ）2+（y ﹣2）2=1与圆x 2+y 2+2x ﹣48=0相交，则正数a 的取值范围是 ．

9．（5分）若点N （a ，b ）满足方程关系式a 2+b 2﹣4a ﹣14b +45=0，则u =b−3a+2

的最大值为 ．

10．（5分）在空间直角坐标系中，已知M （2，0，0），N （0，2，10），若在z 轴上有一点D ，满足|MD |=|ND |，则点D 的坐标为 ．

11．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ﹣y +3=0与圆O ：x 2+y 2=r 2（r ＞0）相交于A ，B 两点．若OA →+2OB →=√3OC →，且点C 也在圆O 上，则圆O 的半径r= ．

12．（5分）若由不等式组{x ≤my +n

x −√3y ≥0y ≥0

，（n ＞0）确定的平面区域的边界为三角

形，且它的外接圆的圆心在x 轴上，则实数m= ．

13．（5分）关于x 的方程√1−x 2+a =x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取

值范围是 ．

14．（5分）在平面直角坐标系中，设点P （X ，Y ）定义[OP ]=|x |+|y |，其中O 为坐标原点，对于以下结论：

①符合[OP ]=1的点P 的轨迹围成的图形的面积为2；

②设P 为直线√5x +2y ﹣2=0上任意一点，则[OP ]的最小值为1；

③设P 为直线y=kx +b （k ，b ∈R ）上的任意一点，则“使[OP ]最小的点P 有无数个”的必要不充分条件是“k=±1”；其中正确的结论有 （填上你认为正确的所有结论的序号）

二．解答题：

15．（14分）已知命题p ：x 2﹣4mx +3m 2﹣2m ﹣1＜0（m ＞0），命题q ：（x ﹣1）（2﹣x ）＞0，若¬p 是¬q 充分不必要条件，求实数m 的取值范围．

16．（14分）已知p ：二次函数f （x ）=x 2﹣7x +6在区间[m ，+∞）是增函数； q ：

二次不等式x 2−(m −4)x +1−14m ＞0的解集为R ．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，

求实数m 的取值范围．

17．（15分）已知点P （2，0），及⊙C ：x 2+y 2﹣6x +4y +4=0．

（1）当直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1时，求直线l 的方程；

（2）设过点P 的直线与⊙C 交于A 、B 两点，当|AB |=4，求以线段AB 为直径的圆的方程．

18．（15分）已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=4，直线l 1过定点A （1，0）．

（1）若l 1与圆C 相切，求l 1的方程；

（2）若l 1的倾斜角为π4

，l 1与圆C 相交于P ，Q 两点，求线段PQ 的中点M 的坐标；

（3）若l 1与圆C 相交于P ，Q 两点，求三角形CPQ 的面积的最大值，并求此时l 1的直线方程．

19．（16分）已知圆O ：x 2+y 2=4，圆O 与x 轴交于A ，B 两点，过点B 的圆的切线为l ，P 是圆上异于A ，B 的一点，PH 垂直于x 轴，垂足为H ，E 是PH 的中点，

延长AP ，AE 分别交l 于F ，C ．

（1）若点P （1，√3），求以FB 为直径的圆的方程，并判断P 是否在圆上；

（2）当P 在圆上运动时，证明：直线PC 恒与圆O 相切．

20．（16分）如图，在平面直角坐标系中，方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F=0的圆M 的内接四边形ABCD 的对角线AC 和BD 互相垂直，且AC 和BD 分别在x 轴和y 轴上．

（1）求证：F ＜0；

（2）若四边形ABCD 的面积为8，对角线AC 的长为2，且AB →⋅AD →

=0，求D 2+E 2﹣4F 的值；

（3）设四边形ABCD 的一条边CD 的中点为G ，OH ⊥AB 且垂足为H ．试用平面解析几何的研究方法判断点O 、G 、H 是否共线，并说明理由．

2012-2013学年江苏省南京师大附中高二（上）数学检测

试卷

参考答案与试题解析

一．填空题：

1．（5分）“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定是∀x∈R，x2﹣x+1＞0．

【分析】根据特称命题的否定规则：将量词改为任意，结论否定，即可得到其否定．

【解答】解：将量词改为任意，结论否定，可得命题“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定

是：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”

故答案为：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”

【点评】本题考查特称命题的否定，解题的关键是掌握特称命题的否定规则，属基础题．

2．（5分）“若x2+x﹣6≥0，则x＞2”的否命题是若x2+x﹣6＜0，则x≤2．【分析】命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”．据此可得出答案．

【解答】解：根据命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”．

所以命题“若x2+x﹣6≥0，则x＞2”的否命题是“若x2+x﹣6＜0，则x≤2”．

故答案为“若x2+x﹣6＜0，则x≤2”．

【点评】掌握四种命题间的关系是解决问题的关键．

3．（5分）圆心是（﹣2，3），且经过原点的圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣3）2=13．

【分析】因为要求的圆的圆心知道，且圆经过原点，所以圆心到原点的距离就是圆的半径，然后直接代入圆的标准方程即可．

【解答】解：设圆心是C，因为圆经过原点，所以半径r=√(−2)2+32=√13，