第二章 流体力学的基本方程
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工程流体力学-第二章 流体运动基本方程和基本规律
t
•
Vv
0
t
Vi
xi
0（2-11）
➢ 这就是连续方程的微分形式。 ➢ 该方程建立了流场中某点的流动变量之间的
关系。
26 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.3 连续方程的微分形式 ➢ 而积分形式的连续方程反应的是流场中一个有
限空间的流动变量之间的关系。
➢ 值得注意的是：连续方程的微分形式与积分形 式都是质量守恒定律的等效的表示。它们只是 数学表述方式不同而已，反映的的实质都是 “物质即不能创造也不能消灭”。
•
（2-14）
31 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.4 连续方程的物质导数形式
➢ 考虑微分形式给出的连续方程，
t
•
Vv
0
➢ 应用上述的矢量记号，上式变为，
t
v V•
v •V
0
➢ 此方程中前两项的和就是密度的物质导数。
因此有，
D
Dt
v •V
✓从积分形式的连续方程可以推导出微分形式的
连续方程。
24 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.3 连续方程的微分形式
➢ 由于推导时所用的控制体的空间位置固定，所
以积分的极限形式也是固定的。于是对时间求
偏导数可以放到体积分符号里面，
vv
V • dS
t
d
汽车工程流体力学(02流体力学基本方程)
Q udA vA
A
v
/concepts
第二章 流体力学基本方程
1. 流体运动的描述方法
2. 流体运动的基本概念
3. 连续性方程
4. 流体微团的运动分析
5. 欧拉运动微分方程
6. 流体静力学
7. 伯努利（Bernoulli）方程
u x dx x 2
3. 连续性方程（Continuity equation）
x方向dt时间内净流出质量
1 ( ux ) 1 ( ux ) M x M右 -M 左 = u x dx dydzdt u x dx dydzdt 2 x 2 x ( ux ) = dxdydzdt x
同理y方向dt时间内净流出质量
My ( uy ) y dxdydzdt
同理z方向dt时间内净流出质量
Mz ( uz ) dxdydzdt z
3. 连续性方程（Continuity equation）
根据质量守恒原理，dt时间控制体的总净流出质量，必等于 控制体内由于密度变化而减少的质量
Q udA
A
u——微元断面的速度
有时，流量用单位时间内通过某一过流断面的流体质量来表示， 称为质量流量Qm，单位（kg/s）。
Qm Q
2. 流体运动的基本概念
八、流量和断面平均流速-2
2．断面平均流速（Mean velocity） 总流过流断面上各点的流速u一般是不相等的。为了便于 计算，设想过流断面上流速v 均匀分布，通过的流量与实 际流量相同。
dx dy dz dt u x uy uz
/blogger/post_show.asp?idWriter=0&Key=0&BlogID =1252939&PostID=21323050
《高等流体力学》第2章 流体动力学积分形式的基本方程
τ0
（φ 为广延量）
取τ= τ0(t)为控制体， A= A0(t)为控制面：
A2 ( A02 )
τ 03
′ A02
v∆t
A1 ( A01 )
′ A01
n
τ 02
v∆t
τ 01
dA0
τ = τ 0 (t )
A = A0 ( t )
n
′ ( t + ∆t ) = A′ A0
∆ = I I ( t + ∆t ) − I ( = t)
I在∆t内的增量为：
∫∫∫τ
01 +τ 02
φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 − ∫∫∫
τ 01 +τ 03
φ ( r , t ) dτ 0
∫∫∫τ
φ ( r , t + ∆t ) − φ ( r , t ) dτ 0 + ∫∫∫ φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 τ 02 01
D ∂φ Dφ φ dτ 0 = + ∇ φ= v + φ∇ ⋅ v ⇒ ∫∫∫ τ 0 Dt ∂t Dt Dt ∂t
( )
Dφ + φ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫τ Dt
Dρ + ρ∇ ⋅ v = 0 （微分形式连续方程） 如果 φ = ρ ，则： Dt (2) D D ( ρφ ) ρφ dτ 0 ∫∫∫ = + ρφ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ 0 Dt Dt ρ Dφ ρ Dφ Dρ dτ = ∫∫∫ +φ + ρ∇ = ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ Dt Dt Dt
∂x′ ′ = ∇xα iβ α i′α = ∂xβ ∂φ ∂x′ ∂φ ∂φ ∴∇′φ = i′α = iβ α = iβ = ∇φ ′ ′ ∂xα ∂xβ ∂xα ∂xβ
（φ 为广延量）
取τ= τ0(t)为控制体， A= A0(t)为控制面：
A2 ( A02 )
τ 03
′ A02
v∆t
A1 ( A01 )
′ A01
n
τ 02
v∆t
τ 01
dA0
τ = τ 0 (t )
A = A0 ( t )
n
′ ( t + ∆t ) = A′ A0
∆ = I I ( t + ∆t ) − I ( = t)
I在∆t内的增量为：
∫∫∫τ
01 +τ 02
φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 − ∫∫∫
τ 01 +τ 03
φ ( r , t ) dτ 0
∫∫∫τ
φ ( r , t + ∆t ) − φ ( r , t ) dτ 0 + ∫∫∫ φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 τ 02 01
D ∂φ Dφ φ dτ 0 = + ∇ φ= v + φ∇ ⋅ v ⇒ ∫∫∫ τ 0 Dt ∂t Dt Dt ∂t
( )
Dφ + φ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫τ Dt
Dρ + ρ∇ ⋅ v = 0 （微分形式连续方程） 如果 φ = ρ ，则： Dt (2) D D ( ρφ ) ρφ dτ 0 ∫∫∫ = + ρφ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ 0 Dt Dt ρ Dφ ρ Dφ Dρ dτ = ∫∫∫ +φ + ρ∇ = ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ Dt Dt Dt
∂x′ ′ = ∇xα iβ α i′α = ∂xβ ∂φ ∂x′ ∂φ ∂φ ∴∇′φ = i′α = iβ α = iβ = ∇φ ′ ′ ∂xα ∂xβ ∂xα ∂xβ
流体力学中的三大基本方程
a 流体质点加速度 在三个坐标轴上的分量表示成：
ax
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
ay
d y
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
az
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程： 得x方向上的运动微分方程：
dx
dt
dxdydz
p x
dxdydz
fxdxdydz
单位体积流体的运动微分方程：
2 ：单位重量流体所具有的动能；
2g
理解：质量为m微团以v 运动，具有mv2/2动能，若用 重量mg除之得v2/2g
三者之和为单位重量流体具有的机械能。
物理意义： 理想、不可压缩流体在重力场中作稳定 流动时，沿流线or无旋流场中流束运动 时，单位重量流体的位能，压力能和动 能之和是常数，即机械能是守恒的，且 它们之间可以相互转换 。
②物理意义：揭示了沿某一根流线运动着 的流体质点速度，位移和压强、密度四者 之间的微分关系。
3.1 伯努利方程积分形式
1.沿流线的积分方程：
gdz 1 dp d 0
2
2
gz
dP
C
设： const
2 gz p C
2
Or
z p 2 C
r 2g
——理想流体微元流束的伯努利方程。
①适用条件：理想流体、不可压缩性流体、稳定 流动、质量力只有重力，且沿某一根流线； ②任选一根流线上的两点：
工程流体力学第二章
pxdydz pnds • sin dz 0
p y dxdz
pnds
•
cos
dz
1 2
dxdydz
g
0
所以：
px pn 0
故
py
pn
1 2
dyg
0
y b
pxdy
o
px pn py pn
pnds
G x a
p y dx
得证
微元体分析法的步骤： 1 取合适的微元体 2 受力分析 3 建立方程
F pcg A ghc A
y D
y C
J cx yA
c
常见几何形状的惯性矩（表2－2）
矩形 圆型
c
l
J cx
1 12
bl 3
b
cR
J cx
1 R4
4
¼圆
xc c yc
xc
yc
4R
3
J cx
(1 4
16
9 2
R4
) 4
例2-5 设矩形闸门的宽为6米，长10米，铰链到低水面的 距离为4米。按图示方式打开该闸门，求所需要的力 R。
z
p0
o
B
z
p0
o
B
R
(a)
pg
2
2r2
R
(b)
pg
2
2(r2
R2)
例2-4 设内装水银的U型管绕过D点的铅垂线等角速度旋 转，求旋转角速度和D点的压强。设水银密度为
13600kg/m3 且不计液面变化带来的影响。
ω
关键：
10cm 5cm
1 写出所有的体积力
20c m
z
12cm 2 根据压力差公式写出压强
流体力学-第二章 基本方程
h
0
xy
z
经流体柱后侧流入的流体质量应为：
流入质量=
h
0
uy
z
同时，经流体柱前侧流出的质量为：
z
流出质量=
h
0
uy
z
x
h
0
uy
z
x
O
x u u x
x
y
u
h y
x
Chen Haishan NIM NUIST
流出质量减去流入质量 ＝柱体内质量的减少。
柱体内的净流出量
（流入质量减去流出质量 ＝柱体内质量的增加）
pnx nx pxx ny pyx nz pzx
pny nx pxy ny pyy nz pzy
pnz
nx pxz
ny pyz
nz pzz
Chen Haishan
NIM NUIST
z
pzz
z
pzx
pz pzy
pxz
px
pxx
pxy
pyy
pyx
py
P Pnz n
Pny
y Pnx o
Chen Haishan NIM NUIST
通过体积分，作用于体积为 的流体块上的质量力：
Fd =作用于流体的质量力
Chen Haishan NIM NUIST
② 表面力
表面力：是指流体内部之间或者流体与其他物体之 间的接触面上所受到的相互作用力。
如流体内部的粘性应力和压力、流体与固体接触面 上的摩擦力等。
x y
n n
cosn, cosn,
x y
nxn n y n
z n cosn, z nzn
Chen Haishan NIM NUIST
工程流体力学：第二章 流体力学基本方程
y x
ln x t ln y t ln c
(x t)(y t) c
将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1, 流线是双曲线。
2020年12月7日 20
三、流管与流束 1.流管——在流场中任取一个有流体
从中通过的封闭曲线，在曲线上的每一个 质点都可以引出一条流线，这些流线簇围 成的管状曲面称为流管。
第二章 流体力学基本方程
1. 流体运动的基本概念-流体运动的特征 2. 4个重要方程：
连续性方程 － 根据质量守恒定律导出 运动方程－ 根据牛顿第二运动定律导出 伯努利方程－ 根据能量守恒定律导出 动量积分方程和动量矩积分方程－ 根据动量定理 和动量矩定理导出. 这些方程是分析研究和解决流体力学问题的基础.
合；
对于定常流动，流线与迹线重合。
❖ 流线不能相交（驻点和速度无限大的奇点除外）。
❖ 流线的走向反映了流速方向，疏密程度反映了流速的大小分 布。
❖ 迹线和流线的区别： ❖ 迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与Lagrange
观点对应； ❖ 流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与
Euler观点对应。
的速度向量
相切v。x, y, z, t
❖ 流线微分方程：
v2 v1
v3
v4
dr v 0
dx dy dz u(x, y, z,t) v(x, y, z,t) w(x, y, z,t)
2020年12月7日 16
迹线与流线的区别
❖ 流线的性质：
❖ 对于非定常流动，不同时刻通过同一空间点的流线一般不重
u u u u
ax
t
u
x
v
y
高等流体力学Chapt2-控制方程.
上述方程针对层流推导出来的。实际中的流动多为湍流过程，需要对上述 方程加以修正推广，使其适用于湍流过程。
作业： 在直角坐标系中推导出动量方程，并解释其中每项的意思。（NavierStokes 和Euler方程）
一般形式的能量方程：
t
CV
(u
2
2
)dV
CS
n (u
2
2
)dA
CV
f
dV
CS
pn
t
（1）
v vv f
t
（2）
v2 2
t
e
v2 2
ev
T
v
v
f
（3）
（1）、（2）、（3）构成流体力学基本控制方程组，其形式相同，包
含代表时间变化率的非定常项，由流动引起的对流项，由分子运动引起
的扩散项，以及其它源项。如果用代表通用变量，控制方程可用统一形
式表示
dt t
A Ax i Ay j Az k x y z
A Ax Ay Az x y z
A
Az y
Ay z
i
Ax z
Az x
j
Ay x
Ax y
k
i jk A
x y z Ax Ay Az
2.2 流动的类型
从时间、空间角度分类
1. 定常流动、非定常流动（steady and unsteady flow)
t
V
t
d衡关系
t
S
v
ndS
t
V
t
dV
（1）
利用高斯定理 S ndS VdV
将面积分写为体积分 t v ndS t (v)dV
S
V
公式（1）变为
作业： 在直角坐标系中推导出动量方程，并解释其中每项的意思。（NavierStokes 和Euler方程）
一般形式的能量方程：
t
CV
(u
2
2
)dV
CS
n (u
2
2
)dA
CV
f
dV
CS
pn
t
（1）
v vv f
t
（2）
v2 2
t
e
v2 2
ev
T
v
v
f
（3）
（1）、（2）、（3）构成流体力学基本控制方程组，其形式相同，包
含代表时间变化率的非定常项，由流动引起的对流项，由分子运动引起
的扩散项，以及其它源项。如果用代表通用变量，控制方程可用统一形
式表示
dt t
A Ax i Ay j Az k x y z
A Ax Ay Az x y z
A
Az y
Ay z
i
Ax z
Az x
j
Ay x
Ax y
k
i jk A
x y z Ax Ay Az
2.2 流动的类型
从时间、空间角度分类
1. 定常流动、非定常流动（steady and unsteady flow)
t
V
t
d衡关系
t
S
v
ndS
t
V
t
dV
（1）
利用高斯定理 S ndS VdV
将面积分写为体积分 t v ndS t (v)dV
S
V
公式（1）变为
流体力学的基本方程
流体速度v、压力p、密度ρ和温度T等的对应表达式为：
流动空间中的流动诸参
因此流动参数构成了场（矢量与标量），就可使用场论这
一有力的数学工具。
欧拉法质点加速度表达式为：
在直角坐标系中：
*
加速度矢量式：
*
用欧拉法描述流体的运动时，加速度由两部分组成：
拉格朗日法和欧拉法的比较
*
欧拉法中a=dv/dt为一阶导数，相应的运动方程是一阶偏微分方程；拉格朗日法中a=∂2r/ ∂ t2为二阶导数，相应的运动方程是二阶偏微分方程。 [例2-1]见书P12-13
欧拉法得到流场，拉格朗日法得不到流场；
*
第二节 流体运动的基本概念
PART ONE
一.定常流动和非定常流动
*
流体运动过程中，若各空间点上对应的物理量不随时间而变化，则称此流动为定常流动，反之为非定常流动。
在定常流动中，流场内物理量不随时间而变化，仅是空间点的函数。
二.均匀流动和非均匀流动
*
流体在运动过程中，若所有物理量皆不依赖于空间坐标，只是时间t的函数，则称此流动为均匀流动，反之为非均匀流动。
三.一维、二维、三维流动
积分以上微分方程，消去时间t，即得迹线方程。
M2
M1
M3
M4
V1
V2
V3
V4
（二）流线 流线是某固定时刻流场中的瞬时曲线，是流场的几何表示，是在同一瞬时形成的曲线，曲线上每一点的切线都与速度矢量相重合。与欧拉法相对应。
给出流场V(x,y,z,t)后，对x,y,z积分上式，即可得到流线方程。
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线：
举 例
t = 0 时过 M(-1,-1)： C1 = C2 = 0
流体力学基本方程
ρQv
ρ v2A
∫ 1ρ dQ u 2 = α 1 ρ Q v 2
A2
2
α
=
∫
1 2
ρ
dQ u 2
=
∫
1 2
ρ
u
3 dAΒιβλιοθήκη 1 ρ Qv21 ρ v3A
2
2
16
江苏大学
Jiangsu University
第三节 连续性方程
∑ 质量守恒方程 Q厂 = Q用户
一、三维连续性方程
vx
−
∂vx ∂x
dx 2
vx
速度。
加速度=当地加速度+迁移加速度
5
江苏大学
Jiangsu University
用欧拉法求其它物理量N对时间的变化率时
dN = ∂N + (vv ⋅ ∇)N dt ∂t
∇ = iv
∂
+ vj
∂
+
v k
∂
∂x ∂y ∂z
全导数=当地导数+迁移导数 ∇ ：微分算子
四、系统与控制体
6
江苏大学
Jiangsu University
其中a、b、c、t为拉格朗日变量。
vv = ∂ rv ∂t
av = ∂ 2rv ∂t2
2
江苏大学
Jiangsu University
二、欧拉法 欧拉法研究的是各空间上流体运动参数随时间的变化，把全部空间点上的 流动情况综合起来，就得到整个流场的运动情况。
场：如果在空间中的每一点，都对应着某个物理量的一个确定值，这个空 间就称为这个物理量的场。如：数量场（温度场、密度场、电位场）、矢 量场（力场、速度场）。
21
流体力学第02章流体静力学
于质量力只有重力的同一种连续介质。对不连续液体或
一个水平面穿过了两种不同介质，位于同一水平面上的
各点压强并不相等。
二 气体压强的分布（不讲） （不讲就不考）
三 压强的度量--绝对压强与相对压强
1、 绝对压强
设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压 强，称为绝对压强。总是正的。
2、 相对压强
解：相对静水压强：
p pabs pa p0 gh pa
代入已知值后可算得
h ( p p0 pa ) (9.8 85 98) / 9.8 2.33m
g
例： 如图，一封闭水箱，其自由面上气体压强为
25kN/m2，试问水箱中 A、B两点的静水压强何处为大？
已知h1为5m，h2为2m。 解：A、B两点的绝对静水
因水箱和测压管内是互相连通的同种液体故和水箱自由表面同高程的测压管内n点应与自由表面位于同一等压面上其压强应等于自由表面上的大气压强即ghgh11测压管测压管若欲测容器中若欲测容器中aa点的液体压强点的液体压强可在容器上设置一开口细管可在容器上设置一开口细管
第二章 流体静力学
流体静力学的任务：是研究液体平衡的规律及其
p
g
p0
g
得出静止液体中任意点的静水压强计算公式：
p p0 gh
式中
h z0 z ：表示该点在自由面以下的淹没
深度。
p0 ：自由面上的气体压强。
静止液体内任意点的静水压强有两部分组
成：一部分是自由面上的气体压强P0，另一部分 相当于单位面积上高度为h的水柱重量。
(a)
(b)
(c)
淹没深度相同的各点静水压强相等，只适用
pA gLsin
当被测点压强很大时：所需测压管很长，这时可以改 用U形水银测压计。
流体力学第二章 基本方程
如果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必 然等于流入的流体质量。
一、拉格朗日观点下的连续方程
d ( m) 0
dt
d ( )
dt
1 d 1 d ( ) 0 dt dt d V 0
dt
(2.1.1) (2.1.2) (2.1.3) (2.1.4)
V 称为速度散度，表示体膨涨速度。 V 0表示流体微团在运动过程中发生体积
沿变深度矩形截面河道水面上有波动运动，求 此波动应满足的连续方程
解：设x轴取在河道方向静止水面上
自静止水面起的深度为H(x)，自由表面离静 止 水面为(x,t) ,河截面水流速度为 u(x,t) ， 河宽b不变，水密度为常数 。
取一长为δx的控制体，体积为 (H )b x
单位时间流入质量：(H )bu
在 δt 时间内沿x方向净流出控制体（流出质量 减去流入质量）的质量为
(2.1.7)
按质量守恒定律，在 时间内沿三个方向净流 出控制体的总质量应等于控制体内减少的质量：
(2.1.8)
取极限后可得
即：
(V ) 0
t
(2.1.9) (2.1.10)
( 2.1.10)式为欧拉形式的连续性方程。
单位时间流出质量：
(H
)bu
x
( H
)bux
净流出质量为：
(H )bux
x
单位时间控制体质量减少为： (H )b x
由质量守恒：
t
b (H ) x b (H )u x
t
x
(H )u 0
t x
(2.1.16)
§2. 作用于流体的力、应力张量
一、质量力和表面力： 1. 质量力 质量力为穿越空间作用在所有流体元上的非 接触力，如重力、万有引力、电磁力等。
一、拉格朗日观点下的连续方程
d ( m) 0
dt
d ( )
dt
1 d 1 d ( ) 0 dt dt d V 0
dt
(2.1.1) (2.1.2) (2.1.3) (2.1.4)
V 称为速度散度，表示体膨涨速度。 V 0表示流体微团在运动过程中发生体积
沿变深度矩形截面河道水面上有波动运动，求 此波动应满足的连续方程
解：设x轴取在河道方向静止水面上
自静止水面起的深度为H(x)，自由表面离静 止 水面为(x,t) ,河截面水流速度为 u(x,t) ， 河宽b不变，水密度为常数 。
取一长为δx的控制体，体积为 (H )b x
单位时间流入质量：(H )bu
在 δt 时间内沿x方向净流出控制体（流出质量 减去流入质量）的质量为
(2.1.7)
按质量守恒定律，在 时间内沿三个方向净流 出控制体的总质量应等于控制体内减少的质量：
(2.1.8)
取极限后可得
即：
(V ) 0
t
(2.1.9) (2.1.10)
( 2.1.10)式为欧拉形式的连续性方程。
单位时间流出质量：
(H
)bu
x
( H
)bux
净流出质量为：
(H )bux
x
单位时间控制体质量减少为： (H )b x
由质量守恒：
t
b (H ) x b (H )u x
t
x
(H )u 0
t x
(2.1.16)
§2. 作用于流体的力、应力张量
一、质量力和表面力： 1. 质量力 质量力为穿越空间作用在所有流体元上的非 接触力，如重力、万有引力、电磁力等。
第二章流体静力学流体力学
Pn Pn
cos(n, cos(n,
x) y)
Fx Fy
0 0
（2—2）
Pz
Pn
cos(n,
z)
Fz
0
x方向受力分析:表面力：
Px
px
1 dydz 2
Pn
cos(n, x)
pn
1 dydz 2
（2—3）
n为斜面ABC的法线方向质量力： Fx X dxdydz / 6 （2-4）
对压强的负值时，如（图2—10）。
真空值 p pa pabs ( pabs pa )
h 真空高度 v
pv
pa pabs
( pabs pa ) （2—20）
（2—18）
pabs hv pa
图2—10真空高度
hv
pa
pabs
g
pv
g
（2—19）
（二）压强的单位及其换算
1.国际单位制：国际单位制中压强的单位主要有pa（或 atm）、Pa（或N/m2）、Kpa（或kN/m2）、Mpa等。
（
, , p p p
x y z
）等于该方向上单位体积内的质量力的分
量 （ X 、Y 、Z ）。
二、平衡微分方程的全微分式
为对式(2—9)进行积分，将各分式分别乘以 dx、dy 、dz
然后相加，得（2-10）
p dx p dy p dz (Xdx Ydy Zdz)
x y z
压强p p(x, y, z)是坐标的连续函数，由全微分定理，
体的交界面等。
第三节 重力场中流体静压强的分布规律
一、液体静力学的基本方程 1.基本方程的两种表达式 在同一种均质的静止液体中，
任意点的静压强，与其淹没深度 成正比，与液体的重度成正比， 且任一点的静压强的变化，将等 值地传递到液体的其它各点
第二章流体力学地基本方程12
8
欧拉法中用流体质点的空间坐标(x,y,z)和时间t来
表达流场中的流体运动规律。 (x,y,z,t）称为欧拉变数，欧拉变数不是各自独立
的，因为流体质点在流场中的空间位置(x,y,z)都与时 间t有关，不同时间，每个流体质点应该有不同的空间 坐标，故对任何一个流体质点来说，其位置变量(x,y,z) 应是时间t的函数：
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线： xy=1
29
举例
已知直角坐标系中的速度场 vx=x+t； vy= -y+t； vz=0,试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。
解： 由迹线的微分方程：
d x d y d z dt
vx
vy
vz
dx xt dt
d y y t dt
求解
在直角坐标系中三个分量为： x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t)
a, b, c, t —— 拉格朗日变数 r —— 流体质点的矢径
4
流体质点的速度根据定义为：
v r(a,b,c,t) t
vx x(a,b,c,t) t
vy y(a,b,c,t) t
vz z(a,b,c,t) t
vx=x+t；vy=-y+t；vz=0
t = 0 时过 M(-1,-1)：
C1 = C2 = 0
x C1 et t 1 y C2 et t 1
x= -t-1
消去t，得迹线方程：
y= t-1
x+y = -2
30
y
迹线
o
M(-1,-1)
x
流线
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线和迹线示意图
欧拉法中用流体质点的空间坐标(x,y,z)和时间t来
表达流场中的流体运动规律。 (x,y,z,t）称为欧拉变数，欧拉变数不是各自独立
的，因为流体质点在流场中的空间位置(x,y,z)都与时 间t有关，不同时间，每个流体质点应该有不同的空间 坐标，故对任何一个流体质点来说，其位置变量(x,y,z) 应是时间t的函数：
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线： xy=1
29
举例
已知直角坐标系中的速度场 vx=x+t； vy= -y+t； vz=0,试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。
解： 由迹线的微分方程：
d x d y d z dt
vx
vy
vz
dx xt dt
d y y t dt
求解
在直角坐标系中三个分量为： x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t)
a, b, c, t —— 拉格朗日变数 r —— 流体质点的矢径
4
流体质点的速度根据定义为：
v r(a,b,c,t) t
vx x(a,b,c,t) t
vy y(a,b,c,t) t
vz z(a,b,c,t) t
vx=x+t；vy=-y+t；vz=0
t = 0 时过 M(-1,-1)：
C1 = C2 = 0
x C1 et t 1 y C2 et t 1
x= -t-1
消去t，得迹线方程：
y= t-1
x+y = -2
30
y
迹线
o
M(-1,-1)
x
流线
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线和迹线示意图
流体力学的三个基本方程
流体力学的三个基本方程
1. 质量守恒方程：
质量守恒方程是基于质量守恒定律的表达式，描述了流体中质量的变化。
它可以表示为：
∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0。
其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∂/∂t表示对时间的偏导数，∇·表示散度运算符。
2. 动量守恒方程：
动量守恒方程是基于牛顿第二定律的表达式，描述了流体中动量的变化。
它可以表示为：
ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇p + ∇·τ + ρg.
其中，p是流体的压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
∂v/∂t表示对时间的速度偏导数，v·∇v表示速度矢量的梯度运
算，∇·τ表示应力张量的散度。
3. 能量守恒方程：
能量守恒方程描述了流体中能量的变化。
它可以表示为：
∂(ρe)/∂t + ∇·(ρev) = -p∇·v + ∇·(k∇T) +
ρv·g + Q.
其中，e是单位质量的内能，T是流体的温度，k是热传导系数，Q是单位质量的热源或耗散。
∂(ρe)/∂t表示对时间的内能偏导数，∇·(ρev)表示内能流的散度，p∇·v表示压力功的散度，
∇·(k∇T)表示热传导的散度，ρv·g表示重力功的散度。
这三个基本方程是流体力学的核心方程，通过它们可以描述流
体在各种条件下的运动、变形和能量转换。
它们是流体力学研究和
工程应用的基础。
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sij u 1 ui j 2 x j xi
矢量形式：
Du p u 2S f Dt
第二章 流体力学的基本方程
§2.2 动量方程
三、N-S方程
通常，粘性系数λ和μ是温度的函数， 若流场中温度变化很小，则可认为二者在流场中是均匀的。 故：
D uk 0 Dt t xk
但
例： 密度分层流动
均质不可压缩流体： const 在绝大多数情况下，不可压缩流体也是均质的。
第二章 流体力学的基本方程
2 1
§2.1 连续方程
四、其他形式的连续方程
3.有源、汇的连续方程 uk Q t xk 4. 积分形式的连续方程
p x j x j
代入动量方 程 后 得 N-S 方程：
p Dt x j x j Du j
uk x k
x i
u u j i f j x j xi
系统的牛顿第二定理：
在流动过程中，流体系统的合外力等于系统质量乘于其加速度。 系统的动量定理： 系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的合外力。
第二章 流体力学的基本方程
§2.2 动量方程
一、动量方程的推导
系统的动量定理： 系统的动量: 作用在系统上的质量力 : 作用在系统上的表面力 :
Dk F Dt
2u j x 2 f j i
uk x k
2 uj x 2 i
λ和μ在流场中 均匀时： 不可压缩流体：
p Dt x j x j Du j
2u j p 2 f j Dt x j xi
1 D Dt
u k u xk
——流体系统的相对密度变化率
——流体系统的相对体积变化率
——单位体积的流体控制体的质量变化率 ——单位体积的流体控制体的质量净流出量
第二章 流体力学的基本方程
t
uk u xk
§2.1 连续方程
四、其他形式的连续方程
1.定常流动
t 0
u D k 0 Dt x k
u k 0 x k
u k 0 xk
0 xk
u k 0 t x k
2.不可压缩流体 D
Dt 0
注意：不可压流体各点的密度不变，但各点间的密度可能不同，即不要求密度场为均匀场。
k
(t)
u d
(t)
f d
分形式的动量方程:
(t )
u d
A( t )
pn dA
(t )
fd
第二章 流体力学的基本方程
§2.2 动量方程
一、动量方程的推导
将应力张量代入得： 由雷诺输运公式的 简化形式得，
u u u f t
ij xi fj
张量形式: 守恒形式:
D uj Dt
或
uj t
ui
uj xi
ij xi
fj
u j ui u j ij u fj uu f 或 t xi xi t 第二章 流体力学的基本方程
第二章 流体力学的基本方程
§2.2 动量方程
三、N-S方程
本构方程： ij p ij ij skk 2sij
故：
ij xi
xi
ui u j p s ij ij kk x j xi u k x k x i u u j i x j xi
上述积分的积分区域 τ相对于整个流动区域来说是任选的，要使积 分恒等于零，只有被积函 数等于零，
u 0 t
或 或
D u 0 Dt
u D k 0 Dt x k
张量形式：
u k 0 t x k
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
一、连续方程推导方法之一
从拉格朗日系下出发， 流体系统的质量保持不变。
取一个流体系统，其体积为τ(t) , 流体系统的质量为： M
(t )
d
故：
DM D Dt Dt
(t )
d 0
D u d u d 0 t Dt
第二章 流体力学的基本方程
§2.2 动量方程
一、动量方程的推导
D u f d 0 Dt
上述积分的积分区域 τ相对于整个流动区域来说是任选的，要使积 分恒等于零，只有被积函 数等于零， Du f Dt
cv t dV cv un dA 0
u D k 0 Dt x k
u k 0 t x k
定常流动： 不可压缩流体：
cv
un dA 0
u n dA 0
cv
第二章 流体力学的基本方程
§2.2 动量方程
方程建立的理论依据：牛顿第二定理或动量定理
由雷诺输运定理，
注意：在使用输运公式时，已经用初始时刻与系统相重合的固定 体积（控制体）替换了随时间变化的系统的体积τ(t)
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
一、连续方程推导方法之一
D u d u d 0 Dt t
vy
(
v dx dx )(vx x )dydz x 2 x 2
vz
vx ( x, y , z )
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
二、连续方程推导方法之二
1.笛卡尔坐标系下的连续方程
x轴方向流体 的净流出量： y轴方向流体的 净流出量： z轴方向流体的 净流出量：
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
二、连续方程推导方法之二
2.正交曲线坐标系下的连续方程
( u y ) ( u z ) 笛卡尔坐标系： ( u x ) 0 t x y z
圆柱坐标系： 球坐标系：
1 ( rVr ) ( V ) ( Vz ) 0 t r r r z
ds2 h2 dq2
ds3 h3dq3
v3h1h2 dq1dq2 dq3 q3
v2 h2 h3 dq1dq2 dq3 q2
h1h2 h3dq1dq2 dq3 t
1 ( v1h2 h3 ) ( v2 h3 h1 ) ( v3 h1h2 ) 0 t h1h2 h3 q1 q2 q3
§2.2 动量方程
二、动量方程的物理意义
D uj Dt ij xi fj
uj t
ui
uj xi
ij xi
fj
方程左边表示单位体积流体的动量变化率： 第一项是密度与当地加速度项的乘积；由速度的不定常性引起； 第二项是对流加速度项，由速度分布的不均匀性引起； 即使是定常流动这一项也可能不等于零。对流加速度项是非线性的。 方程右边表示单位体积流体所受的力： 第一项是应力张量的散度，表示作用在单位体积流体上的表面力； 第二项表示作用在单位体积流体上的质量力。
《高等流体力学》电子课件
上海电力学院 能源与环境工程学院 工程热物理学科
§2.1 连续方程
方程建立的理论依据：质量守恒定理
系统的质量守恒：
在流动过程中，流体系统的体积 V的大小和形状可能会发生变化， 但质量保持不变。 控制体的质量守恒： 控制体的质量净流量等于控制体内流体质量的变化量
第二章 流体力学的基本方程
D Du u d d ( t ) Dt Dt
pn n
D u d n dA fd ( t ) A( t ) (t ) Dt Du Dt d An dA fd
( v dx v dx dx dx )(vx x )dydz ( )(v x x )dydz x 2 x 2 x 2 x 2 v ( x dx vx dx)dydz ( v x )dxdydz x x x
( v y )dxdydz y
vy
vz
u k 0 t x k
第二章 流体力学的基本方程
vx ( x, y , z )
§2.1 连续方程
二、连续方程推导方法之二
2.正交曲线坐标系下的连续方程
控制体的选取: 边长为ds1，ds2，ds3的微元平行六面体。
ds1 h1dq1
v1h2 h3 dq1dq2 dq3 q1
§2.1 连续方程
二、连续方程推导方法之二
从欧拉系下出发， 控制体的质量净流入量 = 控制体内流体质量的变化量
1.笛卡尔坐标系下的连续方程
控制体的选取: 边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。
x轴方向流体质量的流进和流出 左面微元面积流 入的流体质量： 右面微元面积流出 的流体质量：
( v dx dx )(vx x )dydz x 2 x 2
( vz )dxdydz z
vy
vz
vx ( x, y , z )
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
二、连续方程推导方法之二
1.笛卡尔坐标系下的连续方程
矢量形式：
Du p u 2S f Dt
第二章 流体力学的基本方程
§2.2 动量方程
三、N-S方程
通常，粘性系数λ和μ是温度的函数， 若流场中温度变化很小，则可认为二者在流场中是均匀的。 故：
D uk 0 Dt t xk
但
例： 密度分层流动
均质不可压缩流体： const 在绝大多数情况下，不可压缩流体也是均质的。
第二章 流体力学的基本方程
2 1
§2.1 连续方程
四、其他形式的连续方程
3.有源、汇的连续方程 uk Q t xk 4. 积分形式的连续方程
p x j x j
代入动量方 程 后 得 N-S 方程：
p Dt x j x j Du j
uk x k
x i
u u j i f j x j xi
系统的牛顿第二定理：
在流动过程中，流体系统的合外力等于系统质量乘于其加速度。 系统的动量定理： 系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的合外力。
第二章 流体力学的基本方程
§2.2 动量方程
一、动量方程的推导
系统的动量定理： 系统的动量: 作用在系统上的质量力 : 作用在系统上的表面力 :
Dk F Dt
2u j x 2 f j i
uk x k
2 uj x 2 i
λ和μ在流场中 均匀时： 不可压缩流体：
p Dt x j x j Du j
2u j p 2 f j Dt x j xi
1 D Dt
u k u xk
——流体系统的相对密度变化率
——流体系统的相对体积变化率
——单位体积的流体控制体的质量变化率 ——单位体积的流体控制体的质量净流出量
第二章 流体力学的基本方程
t
uk u xk
§2.1 连续方程
四、其他形式的连续方程
1.定常流动
t 0
u D k 0 Dt x k
u k 0 x k
u k 0 xk
0 xk
u k 0 t x k
2.不可压缩流体 D
Dt 0
注意：不可压流体各点的密度不变，但各点间的密度可能不同，即不要求密度场为均匀场。
k
(t)
u d
(t)
f d
分形式的动量方程:
(t )
u d
A( t )
pn dA
(t )
fd
第二章 流体力学的基本方程
§2.2 动量方程
一、动量方程的推导
将应力张量代入得： 由雷诺输运公式的 简化形式得，
u u u f t
ij xi fj
张量形式: 守恒形式:
D uj Dt
或
uj t
ui
uj xi
ij xi
fj
u j ui u j ij u fj uu f 或 t xi xi t 第二章 流体力学的基本方程
第二章 流体力学的基本方程
§2.2 动量方程
三、N-S方程
本构方程： ij p ij ij skk 2sij
故：
ij xi
xi
ui u j p s ij ij kk x j xi u k x k x i u u j i x j xi
上述积分的积分区域 τ相对于整个流动区域来说是任选的，要使积 分恒等于零，只有被积函 数等于零，
u 0 t
或 或
D u 0 Dt
u D k 0 Dt x k
张量形式：
u k 0 t x k
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
一、连续方程推导方法之一
从拉格朗日系下出发， 流体系统的质量保持不变。
取一个流体系统，其体积为τ(t) , 流体系统的质量为： M
(t )
d
故：
DM D Dt Dt
(t )
d 0
D u d u d 0 t Dt
第二章 流体力学的基本方程
§2.2 动量方程
一、动量方程的推导
D u f d 0 Dt
上述积分的积分区域 τ相对于整个流动区域来说是任选的，要使积 分恒等于零，只有被积函 数等于零， Du f Dt
cv t dV cv un dA 0
u D k 0 Dt x k
u k 0 t x k
定常流动： 不可压缩流体：
cv
un dA 0
u n dA 0
cv
第二章 流体力学的基本方程
§2.2 动量方程
方程建立的理论依据：牛顿第二定理或动量定理
由雷诺输运定理，
注意：在使用输运公式时，已经用初始时刻与系统相重合的固定 体积（控制体）替换了随时间变化的系统的体积τ(t)
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
一、连续方程推导方法之一
D u d u d 0 Dt t
vy
(
v dx dx )(vx x )dydz x 2 x 2
vz
vx ( x, y , z )
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
二、连续方程推导方法之二
1.笛卡尔坐标系下的连续方程
x轴方向流体 的净流出量： y轴方向流体的 净流出量： z轴方向流体的 净流出量：
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
二、连续方程推导方法之二
2.正交曲线坐标系下的连续方程
( u y ) ( u z ) 笛卡尔坐标系： ( u x ) 0 t x y z
圆柱坐标系： 球坐标系：
1 ( rVr ) ( V ) ( Vz ) 0 t r r r z
ds2 h2 dq2
ds3 h3dq3
v3h1h2 dq1dq2 dq3 q3
v2 h2 h3 dq1dq2 dq3 q2
h1h2 h3dq1dq2 dq3 t
1 ( v1h2 h3 ) ( v2 h3 h1 ) ( v3 h1h2 ) 0 t h1h2 h3 q1 q2 q3
§2.2 动量方程
二、动量方程的物理意义
D uj Dt ij xi fj
uj t
ui
uj xi
ij xi
fj
方程左边表示单位体积流体的动量变化率： 第一项是密度与当地加速度项的乘积；由速度的不定常性引起； 第二项是对流加速度项，由速度分布的不均匀性引起； 即使是定常流动这一项也可能不等于零。对流加速度项是非线性的。 方程右边表示单位体积流体所受的力： 第一项是应力张量的散度，表示作用在单位体积流体上的表面力； 第二项表示作用在单位体积流体上的质量力。
《高等流体力学》电子课件
上海电力学院 能源与环境工程学院 工程热物理学科
§2.1 连续方程
方程建立的理论依据：质量守恒定理
系统的质量守恒：
在流动过程中，流体系统的体积 V的大小和形状可能会发生变化， 但质量保持不变。 控制体的质量守恒： 控制体的质量净流量等于控制体内流体质量的变化量
第二章 流体力学的基本方程
D Du u d d ( t ) Dt Dt
pn n
D u d n dA fd ( t ) A( t ) (t ) Dt Du Dt d An dA fd
( v dx v dx dx dx )(vx x )dydz ( )(v x x )dydz x 2 x 2 x 2 x 2 v ( x dx vx dx)dydz ( v x )dxdydz x x x
( v y )dxdydz y
vy
vz
u k 0 t x k
第二章 流体力学的基本方程
vx ( x, y , z )
§2.1 连续方程
二、连续方程推导方法之二
2.正交曲线坐标系下的连续方程
控制体的选取: 边长为ds1，ds2，ds3的微元平行六面体。
ds1 h1dq1
v1h2 h3 dq1dq2 dq3 q1
§2.1 连续方程
二、连续方程推导方法之二
从欧拉系下出发， 控制体的质量净流入量 = 控制体内流体质量的变化量
1.笛卡尔坐标系下的连续方程
控制体的选取: 边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。
x轴方向流体质量的流进和流出 左面微元面积流 入的流体质量： 右面微元面积流出 的流体质量：
( v dx dx )(vx x )dydz x 2 x 2
( vz )dxdydz z
vy
vz
vx ( x, y , z )
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
二、连续方程推导方法之二
1.笛卡尔坐标系下的连续方程