选修2-2第二章2.1.2演绎推理-教案
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2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理
【提出问题】
已知:实数a,b,c,
求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
证明:
因为a2+b2≥2ab
b2+c2≥2bc
a2+c2≥2ca
上面三个式子相加,得a2+b2+ b2+c2+a2+c2≥2ab+2bc+2ca
再除以2,a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
上述推理过程,若记
p1:因为a2+b2≥2ab
p2:b2+c2≥2bc
p3:a2+c2≥2ca
p4:上面三个式子相加,得a2+b2+ b2+c2+a2+c2≥2ab+2bc+2ca
q:再除以2,a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
则可以看出,我们是根据p1,p2,p3三个条件为真,依据不等式的性质推出p4为真,进而得到q为真。
【获得新知】
由概念的定义或一些真命题,依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程,通常叫做演绎推理。
与合情推理不同的是,演绎推理的特征是当前提为真时,结论必然为真。
常见的演绎推理规则有假言推理、三段论推理、传递关系推理、完全归纳推理.
假言推理:如果一个推理规则能用符号“若p⇒q,p真,则q真”,那么这种推理规则叫做假言推理.
假言推理的本质是:通过验证结论的充分条件为真,从而判断结论为真.其一般的推理
步骤为:
①确定命题中p能推出命题q;
②判断命题p的真题,若p为真,则q为真.
演绎推理中经常使用的是由大前提,小前提得到结论的三段论推理。例如
所有平行四边形对角线互相平分
菱形是平行四边形
__________________________
所以,菱形的对角线互相平分
就是一个典型的三段论推理,其中大前提是“所有平行四边形对角线互相平分”,小前提是“菱形是平行四边形”,结论是“菱形的对角线互相平分”。
一般地,三段论可表示为
M是P
S是M
_______
所以,S是P
其中大前提“M是P”提供一般性原理,小前提“S是M”,指出一个特殊的对象,大前提和小前提结合,得出一般性原理和特殊对象之间的内在联系,从而得出结论“S是P”。
在实际使用三段论推理时,为了简洁起见,大家经常略去大前提或者小前提,有时甚至这两者都略去。
【概念领悟】
从集合的观点来看,若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,则S中的所有元素也都具有性质P.三段论推理的结论是否正确,取决于两个前提(大前提与小前提)是否正确,推理形式是否正确.
“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:
(1)大前提——已知的一般原理;
(2)小前提——所研究的特殊情况;
(3)结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.
【经典例题】
例1将“正四棱柱的侧棱垂直底面”写成三段论的形式.
解:
大前提:直棱柱的侧棱垂直底面.
小前提:正四棱柱是直棱柱.
结论:正四棱柱的侧棱垂直底面.
【规律技巧】三段论是由大前提、小前提、结论组成,在寻找大前提时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
例2用三段论的形式证明:
已知:122
+=x x f )(,且b a ,同号,1=+b a ,
求证:对任意的实数q p ,恒有)()()(bq ap f q bf p af +≥+成立。
证明:若a -b≥0,则a≥b(大前提). 121212222-+-+++=++)()()(()()(bq ap q b p a bq ap f q bf p af )-
=124222222222+---+b q abpq p a bq ap
=14121222+--+-abpq b bq a ap )()(
=122+-)(q p ab
由于b a ,同号,所以122+-)(q p ab 0≥(小前提),
∴对任意的实数q p ,恒有)()()(bq ap f q bf p af +≥+成立。
【规律技巧】通过演绎推理三段论式推理的练习,掌握严格的逻辑推理过程,正确认识演绎推理的特点及思维方式.
例3 设实数a ,b ,c 满足{b +c =6−4a +3a 2(1)c −b =4−4a +a 2(2)
,试确定实数a ,b ,c 的大小关系。 解:因为c-b=4-4a+a 2=(a-2)2≥0
所以c ≥b
(1)-(2)得b=1+a 2
所以b-a=1-a+a 2=(a −12)2+34>0 所以b>a
所以c ≥b>a
【规律技巧】如果一个推理规则能用符号表示为“若aRb ,bRc ,则aRc ”,那么这种推理规则称为传递性关系推理,其中“R”表示具有传递性的关系,如几何中的平行关系,不等式中的“>”,“≥”,“<”,“≤”或“=”等关系.
例4 已知||||,0b a ab >> 比较
a 1与
b 1的大小. 解:a 1-b 1ab
a b -= 当0,0>>b a 时
∵||||b a >即b a > 0<-a b 0>ab ∴
0<-ab
a b ∴a 1
∵||||b a >即b a < 0>-a b 0>ab ∴
0>-ab
a b ∴a 1>b 1 【规律技巧】把所有的情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理.
完全归纳推理有两个规则 :
一个前提中被判断的对象必须是该类事物全部对象;
二是前提中的所有判断必须都是真实的.
【总结提炼】四种规则尽管在模式上有细微的区别,但在实际应用时并不需要严格区分,只要证明的过程是简洁、流畅、严密的就是达到了目标,尤其是在一些综合问题的证明中往往综合应用多种推理规则,并且推理中的“假言”、“大前提”、“小前提”常被省略掉以使证明过程简洁、清晰.
学习数学和研究数学最令人感到困惑,也是最引人入胜的环节之一,就是如何发现新的规律和事实与怎样证明规律和事实,发现新的规律和事实,我们更多的使用合情推理,而证明规律和事实一般运用演绎推理。