中考数学知识点过关培优易错试卷训练∶相似含详细答案

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线于点M．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？

（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：由抛物线过点A（-1，0）、B（4，0）可设解析式为y=a（x+1）（x-4），

将点C（0，2）代入，得：-4a=2，

解得：a=- ，

则抛物线解析式为y=- （x+1）（x-4）=- x2+ x+2

（2）解：由题意知点D坐标为（0，-2），

设直线BD解析式为y=kx+b，

将B（4，0）、D（0，-2）代入，得：

，解得：，

∴直线BD解析式为y= x-2，

∵QM⊥x轴，P（m，0），

∴Q（m，- m2+ m+2）、M（m， m-2），

则QM=- m2+ m+2-（ m-2）=- m2+m+4，

∵F（0，）、D（0，-2），

∴DF= ，

∵QM∥DF，

∴当- m2+m+4= 时，四边形DMQF是平行四边形，解得：m=-1或m=3，

即m=-1或3时，四边形DMQF是平行四边形。（3）解：如图所示：

∵QM∥DF，

∴∠ODB=∠QMB，

分以下两种情况：

①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ，

则，

∵∠MBQ=90°，

∴∠MBP+∠PBQ=90°，

∵∠MPB=∠BPQ=90°，

∴∠MBP+∠BMP=90°，

∴∠BMP=∠PBQ，

∴△MBQ∽△BPQ，

∴，即，

解得：m1=3、m2=4，

当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，

∴m=3，点Q的坐标为（3，2）；

②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，

此时m=-1，点Q的坐标为（-1，0）；

综上，点Q的坐标为（3，2）或（-1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．

【解析】【分析】（1）A（-1，0）、B（4，0）是抛物线与x轴的交点，则可由抛物线的两点式，设解析为y=a（x+1）（x-4），代入C（0,2）即可求得a的值；

（2）由QM∥DF且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF，由D，F的坐标可求得DF的长

度；由P（m,0）可得Q（m，-m2+m+2），而M在直线BD上，由B，D的坐标用待定系数法求出直线BD的解析式，并当=m时，表示出点M的坐标，可用m表示出QM的长度。由QM=DF，列出关于m的方程，解之可得；

（3）在△DOB和△MBQ中，由QM∥DF，可知∠ODB=∠QMB，因为∠MBQ=90°要使△DOB和△MBQ相似，则需要∠DOB=∠MBQ=90°或∠DOB=∠BQM=90°。

2．已知线段a，b，c满足，且a＋2b＋c＝26.

（1）判断a，2b，c，b2是否成比例；

（2）若实数x为a，b的比例中项，求x的值．

【答案】（1）解：设，

则a=3k，b=2k，c=6k，

又∵a+2b+c=26，

∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，

∴a=6，b=4，c=12；

∴2b=8，b2=16

∵a=6，2b=8，c=12，b2=16

∴2bc=96，ab2=6×16=96

∴2bc=ab2

a，2b，c，b2是成比例的线段。

（2）解：∵x是a、b的比例中项，

∴x2=6ab，

∴x2=6×4×6，

∴x=12．

【解析】【分析】（1）设已知比例式的值为k，可得出a=3k，b=2k，c=6k，再代入a+2b+c=26，建立关于k的方程，求出kl的值，再求出2b、b2,然后利用成比例线段的定义，可判断a，2b，c，b2是否成比例。

（2）根据实数x为a，b的比例中项，可得出x2=ab，建立关于x的方程，求出x的值。

3．在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，M是AD边的中点，P是AB边上的一个动点（不与A、B重合），PM的延长线交射线CD于Q点，MN⊥PQ交射线BC于N点。

（1）若点N在BC之间时，如图：

①求证：∠NPQ＝∠PQN；

②请问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请举反例说明；

（2）当△PBN与△NCQ的面积相等时，求AP的值.

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝∠ADQ＝90°，

AB//CD，∴∠APM＝∠DQM，∵M是AD边的中点，∴AM＝DM，

在△APM和△DQM中，，∴△APM≌△DQM（AAS），∴PM＝QM，∵MN⊥PQ，∴MN是线段PQ的垂直平分线，∴PN＝QN，∴∠NPQ＝∠PQN

② 是定值

理由：如图，过点M作ME⊥BC于点E，

∴∠MEN＝∠MEB＝∠AME＝90°，

∴四边形ABEM是矩形，∠MEN＝∠MAP，∴AB＝EM，

∵MN⊥PQ，∴∠PMN＝90°，∴∠PMN＝∠AME，

∴∠PMN－∠PME＝∠AME－∠PME，∴∠EMN＝∠AMP，∴△AMP∽△EMN，