中国石油大学(华东)第五届《概率论与数理统计》竞赛试卷

中国石油大学（华东）第五届

《概率论与数理统计》竞赛试卷

（2015-2016学年）

专业班级

姓名

学号

主办单位教务处

承办单位理学院

考试日期 2015年11月 22日

注意事项：

1．封面及试卷背面为草稿纸，附加页为答题纸，背面答题一律无效；

2．答案必须写在该题下方空白处，不得写在草稿纸上，否则该题答案无效；

3．本试卷正文共5页，共五道大题，满分100分；

4. 必须保持试卷本完整，拆页的作废。

一.填空题（每题3分，共12分）

1. 设,A B 是任意两个事件，则 {()()()()}P A B A B A B A B = _______0________.

2. 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则

==)3(X P __1

16e

-____. 3. 设随机变量X 服从（-2，2）上的均匀分布，则随机变量2X Y =的概率密度函

数为=)(y f Y ??

?<<=他

其0

40)

4/(1)(y y y f Y .

4. 小王忘了朋友家电话号码的最后一位数, 故只能随意拨最后一个号,则他拨三次可拨通朋友家的概率为 0.3

二.选择题(每题3分，共12分)

1. 设A B ?，则下面正确的等式是 b 。

（ａ）)(1)(A P AB P -=； （ｂ）)()()(A P B P A B P -=-； （ｃ）)()|(B P A B P =； （ｄ）)()|(A P B A P =

2.设连续性随机变量X 1与X 2相互独立，且方差均存在，X 1与X 2的概率密度分别

为1f x （）与()2f x ，随机变量Y 1的概率密度为()1Y f y = 121

[()()]2

f y f y +，随机变量

Y 2= 121

()2

X X +.则（ d ）

(a)EY 1>EY 2，DY 1>DY 2 (b)EY 1=EY 2，DY 1=DY 2 (c)EY 1=EY 2，DY 1DY 2 3.离散随机变量X 的分布函数为)(x F ，且11+-<

（ａ）)(1k k x X x P ≤≤-； （ｂ）)()(11-+-k k x F x F ； （ｃ）11()k k P x X x -+<≤； （ｄ）)()(1--k k x F x F .

4. 设随机变量~(3),~(3,1)X Y N π且,X Y 相互独立，根据切比 雪夫不等式有(33)P X Y X -<<+( d )

（a ）0.25≤. （b ）59≤. （c ）0.75≥. （d ）5

9

≥.

三.计算题（50分，每题10分）

1. 已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率； （2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率。

解：设A =‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’

则（1） ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+

0.90.950.10.020.857.=?+?= （2） ()0.90.95

(|)0.9977()0.857

P AB P B A P A ?=

==.

2. 设随机变量X 的绝对值不大于1，且(1)1/8,(1)1/4;P X P X =-=== 在（-1,1）内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比 求X 的分布函数F （x ）

解：由题115

{11}1488

5

{1x}=(1)8

P X P X k x -<<=--=

-<≤+于是则

01()[5(1)1]/8,

1111

x F x k x x x <-?

?

=++-≤

P{X=1}=F(1)-F(1_)=1-[101]/8k +=1/4 k=1/2

故得01()[5+7]/16,

11

11

x F x x x x <-?

?

=-≤

3. 设在区间[0,1]上随机取n 个点，求相距最远的两点间距离的数学期望。

解：n 个点分区间为n+1段，设各段长度分为i X 则1

1

1n i i X +==∑，且i X 分布相同，期望相同。

11i EX n =+，所求 2

1

1n

i i n E X n =-=+∑

4. X 和Y 独立，联合分布律如下，试求a,b,c,d,e

12310.030.0220.143

0.1

X

Y d a e b

c

解：由诸行诸列成比例知

123

10.030.0220.210.1473

0.150.10.1

X

Y d d k

k

于是d=0.02/k,由归一性可得下表两种解 8d+0.25K=0.5 d=0.05,k=0.4或d=0.0125,k=1.6

123

10.030.020.0520.210.140.353

0.060.04

0.1

X

Y 123

10.03

0.020.012520.210.140.08753

0.24

0.16

0.1

X

Y

经检验，成立

5. X,Y 独立同分布于几何分布e （p ），求Z=Max{X,Y}的分布律 解：记q=1-p

11

1

1

1

1

1

11()(,)(,)(2)1,2,k k

k j k i j i k k k P Z k P X k Y K P X k Y k pq

pq

pq

pq

pq q q k -----==--===<+≤==+=--=∑∑

四.应用题（10分）设考生的高数成绩（百分制）X

服从正态分布，平均成绩（即参

数μ之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生 的成绩，以Y 表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）Y 的分布列. （2）

EY 和DY .

((2)

0.977,(1)0.8

Φ=Φ= 解：（1）~(100,)Y B p ，其中8472

(6084)()p P X σ

-=<≤=Φ

6072

12

(

)2()1σ

σ

--Φ=Φ-

由 967224

0.023(96)1()1(

)

P X σσ

-=

>=-Φ=-Φ 得 24

(

)0.977σ

Φ=，即

24

2σ

=，故

12

1σ

=

所以 2(1)10.6826p =Φ-=.

故Y 的分布列为100100()(0.6826)(0.3174)k

k k P Y k C -==

（2）1000.682668.26EY =?=，68.260.317421.6657DY =?=.

五.证明题（16分）

1.（8分）设随机变量Z Y X ,,相互独立且服从同一贝努利分布),1(p B . 试证明随机变量Y X +与Z 相互独立

证明：由题设知

X 0 1 Y X + 0 1 2

P p q

P 2q pq 2 2p

)0()0()0,0(3==+====+Z P Y X P q Z Y X P ； )1()0()1,0(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ；

)0()1(2)0,1(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ；

)1()1(2)1,1(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ； )0()2()0,2(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ；

)1()2()1,2(3

==+====+Z P Y X P p Z Y X P . 所以 Y X +与Z 相互独立.

或 ：由题设可得Y X +与Z 的联合分布

Y X +

Z

1 2

0 3q 22pq q p 2

1

2pq q p 2

2 3p

验证联合等于俩边缘之积

2.（8分）随机变量X 与Y 相互独立，且都服从参数为3的泊松(Poisson)分布，证明X Y +仍服从泊松分布，参数为6

证明：由题设 3!3)(-==e m m X P m ，3

!

3)(-==e n n Y P n ， ,2,1,0,=m n

∑∑==-===-====+i

k i

k k i Y P k X P k i Y k X P i Y X P 0

)()(),()(

∑∑=--=---?-=-?=i

k k

i k i

k k i k k i k i i e e k i e k 0603333!)(!!!1!)(3!3 66

!

6)33(!1--=+=e i i e

i i

， ,2,1,0=i 所以 Y X +仍服从泊松分布，参数为6.