22一元二次方程教案
《一元二次方程(第2课时)》公开课教案 (省一等奖)2022年人教版
一元二次方程教学内容1．一元二次方程根的概念；2．•根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目． 教学目标了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．重难点关键1．重点：判定一个数是否是方程的根； 2．•难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根． 教学过程一、复习引入学生活动：请同学独立完成以下问题．问题1．前面有关“执竿进屋〞的问题中,我们列得方程x 2-8x+20=0 列表：x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …x 2-8x+20…问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44 列表：老师点评〔略〕 二、探索新知 提问：〔1〕问题1中一元二次方程的解是多少？问题2•中一元二次方程的解是多少？ 〔2〕如果抛开实际问题，问题2中还有其它解吗？老师点评：〔1〕问题1中x=2与x=10是x 2-8x+20=0的解，问题2中，x=4是x 2+7x-44=0的解.〔2〕如果抛开实际问题，问题2中还有x=-11的解． 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．回过头来看：x 2-8x+20=0有两个根，一个是2，另一个是10，都满足题意；但是，问题2中的x=-11的根不满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．例1．下面哪些数是方程2x 2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可． 解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x 2+10x+12=0的两根．例2.假设x=1是关于x 的一元二次方程a x 2+bx+c=0(a ≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值练习:关于x 的一元二次方程(a-1) x 2+x+a 2-1=0的一个根为0,那么求a 的值x 1 2 3 4 5 6 …x 2+7x…点拨:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经常用到,同学们要深刻理解.例3．你能用以前所学的知识求出以下方程的根吗？〔1〕x2-64=0 〔2〕3x2-6=0 〔3〕x2-3x=0分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．解：略三、稳固练习教材P33思考题练习1、2．四、应用拓展例3．要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，•这块铁片应该怎样剪？设长为xcm，那么宽为〔x-5〕cm列方程x〔x-5〕=150，即x2-5x-150=0请根据列方程答复以下问题：〔1〕x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．〔2〕完成下表：x 10 11 12 13 14 15 16 17 …x2-5x-150〔3〕你知道铁片的长x是多少吗？分析：x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，•但是我们可以用一种新的方法──“夹逼〞方法求出该方程的根．解：〔1〕x不可能小于5．理由：如果x<5，那么宽〔x-5〕<0，不合题意．x不可能等于10．理由：如果x=10，那么面积x2-5x-150=-100，也不可能．〔2〕x 10 11 12 13 14 15 16 17 ……x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 ……〔3〕铁片长x=15cm五、归纳小结〔学生归纳，老师点评〕本节课应掌握：〔1〕一元二次方程根的概念；〔2〕要会判断一个数是否是一元二次方程的根；〔3〕要会用一些方法求一元二次方程的根．(“夹逼〞方法; 平方根的意义)六、布置作业1．教材P34复习稳固3、4 综合运用5、6、7 拓广探索8、9．2．选用课时作业设计．作业设计一、选择题1．方程x〔x-1〕=2的两根为〔〕．A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=22．方程ax〔x-b〕+〔b-x〕=0的根是〔〕．A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2=1aC．x1=a，x2=1aD．x1=a2，x2=b23．x=-1是方程ax2+bx+c=0的根〔b≠0〕，那么a cb b+=〔〕．A．1 B．-1 C．0 D．2二、填空题1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．2．方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，那么m的值为________．3．方程〔x+1〕2+2x〔x+1〕=0，那么方程的根x1=______；x2=________．三、综合提高题1．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求〔a-b〕2+4ab的值．2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在〔21 xx-〕2-2x21xx-+1=0，•令21xx-=y，那么有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想〔换元法〕，解决小明给出的问题：在〔x2-1〕2+〔x2-1〕=0中，求出〔x2-1〕2+〔x2-1〕=0的根．课后反思[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
九年级数学上册《2.2 配方法公式法解一元二次方程》教案 北师大版
《22配方法公式法解一元二次方程》教案姓名年级性别教材第课教学课题教学目标1、利用配方法解数字系数的一般一元二次方程。
2、进一步理解配方法的解题思路。
课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________过程一.教学内容：用配方法和公式法解一元二次方程1.知道配方法的意义及用配方法解一元二次方程的主要步骤，能够熟练地用配方法解系数较简单的一元二次方程．2.理解用配方法推导出一元二次方程的求根公式，了解求根公式中的条件b2－4ac≥0的意义，知道b2－4ac的值的符号与方程根的情况之间的关系．3.能熟练地运用求根的公式解简单的数字系数的一元二次方程．二. 知识要点：1.形如x2＝p或（mx＋n）2＝p（p≥0）的方程用开平方法将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程．通过配方，方程的左边变形为含x的完全平方形式（mx＋n）2＝p（p≥0），可直接开平方，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程．这样解一元二次方程的方法叫做配方法．3.用配方法解一元二次方程的步骤：用配方法解一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一般步骤：（1）移项：将常数项移到方程右边；（2）把二次项系数化为1：方程左右两边同时除以二次项系数（3）配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()x m n+=的形式即将2x mx±的式子加上2()2m，可得到完全平方式⇒222()()22m mx mx x±+=±（4）当0n≥时，用直接开方法解变形后方程三. 重点难点：本讲重点是用配方法和公式法解一元二次方程，难点是配方的过程和对求根公式推导过程的理解．【例题剖析】【衔接训练】1、一元二次方程230x -=的解是 （ ）A 、3x =B 、3x =-C 、123,3x x ==-D 、123,3x x ==- 2、一元二次方程21090x x ++=可变形为 （ ）A 、2(5)16x +=B 、2(5)34x +=C 、2(5)16x -=D 、2(5)25x +=5、用配方法解下列方程时，配方有错误的是 （ ）A 、22430(2)7x x x --=-=化为 B 、227252730()416x x x -+=-=化为 C 、22525490()33636x x x --=-=化为 D 、22517215()416y y y +=+=化为 6、将二次三项式241x x -+配方后得 （ ）A 、2(2)3x -+B 、2(2)3x --C 、2(2)3x ++D 、2(2)3x +-7、（1）226___(__)x x x ++=+； （2）224___(__)3x x x -+=-； （3）228___(__)x x x ++=+ （4）2214___(__)x x x -+=-（5）227___(__)x x x ++=+ （6）223___(__)5x x x -+=- （7）22___(__)x px x ++=+； （8）22___(__)b x x x a++=+；（9）222()___(__)x m n x x -++=- （10）22___(__)x ax x -+=- 8、用配方法解一元二次方程225033x x +-=时，此方程可变形为_____________，解得：12____,____x x == 9、解下列方程：（1）x 2＝2 （2）4x 2－1＝0 （３）（x ＋1）2= 2（4）22350x x --= （5） 22410x x --=（6）23(1)50x x +-= （7）(1)(2)12t t --=10、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程2430x x -+=的解，求这个三角形的周长。
华东师大版九年级上册 数学 教案 22.1 一元二次方程
22.1 一元二次方程
教学目标：
知识与技能：1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式（≠0），能分清一元二次方程的二次项及系数、一次项及系数、常数项。
2、会用试验的方法估计一元二次方程的解。
数学思考及问题解决：
通过观察，归纳一元二次方程的概念。
情感态度：
在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
重点
一元二次方程的概念及一般形式
难点：
1．会正确识别一般式中的“项”及“系数”和列一元二次方程。
2．理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。
教学过程：
教学环节教学内容教师活动
学生活
动
设计意
图
情1．问题一
绿苑小区住宅设计，准备在每
两幢楼房之间，开辟面积为900平
方米的一块长方形绿地，并且长比
宽多10米，那么绿地的长和宽各
为多少？
2．问题二
学校图书馆去年年底有图书5
分析：对于问题一，设长
方形绿地的宽为x米，不难列出
方程x(x＋10)＝900
整理可得x2＋10x－900=0.（1）
对于问题二，设这两年的年
平均增长率为x，我们知道，去
年年底的图书数是5万册，则今
年年底的图书数是5（1＋x）万
册；同样，明年年底的图书数又
让学生
通过列
方程，感
受到有a
.。
《一元二次方程》数学教案(优秀5篇)
《一元二次方程》数学教案(优秀5篇)元二次方程教案篇一一、素质教育目标（一）知识教学点：1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．（二）能力训练点：1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．（三）德育渗透点：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．二、教学重点、难点1．教学重点：一元二次方程的意义及一般形式．2．教学难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”．三、教学步骤（一）明确目标1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力．2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题．板书：“第十二章一元二次方程”．教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣．（二）整体感知通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？（2）什么叫做一元一次方程？九年级数学《一元二次方程》教案篇二教学目标：知识与技能目标：经历探索一元二次方程概念的过程，理解一元二次方程中的二次项、一次项、常数项；了解一元二次方程的一般形式，并会将一元二次方程转化成一般形式。
《一元二次方程》数学教案(优秀5篇)
《一元二次方程》数学教案（优秀5篇）元二次方程教案篇一教学设计思想解一元二次方程有四种方法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，这四种方法各有千秋。
直接开平方法很简单，在这里不做过多的介绍。
为保证学生掌握基本的运算技能，教学中进行了一定量的训练，但要避免学生简单的模仿。
我们在探究一元二次方程解法的过程中，要加强思想方法的渗透，发展学生的思维能力。
在解一元二次方程的几种方法中，均需要用到转化的思想方法。
如配方法需要将方程转化为能直接开平方的形式，公式法能根据一元二次方程转化为两个一元一次方程，所有这些均体现了转化的思想。
在教学时老师引导学生在主动进行观察、思考核探究的基础上，体会数学思想方法在其中的作用，充分发展学生的思维能力。
教学目标知识与技能：1.会用配方法、公式法、因式分解法解简单数字系数的一元二次方程。
2.能够根据一元二次方程的特点，灵活选用解方程的方法，体会解决问题策略的多样性。
过程与方法：1.参与对一元二次方程解法的探索，体验数学发现的过程，对结果比较、验证、归纳、理清几种解法之间的关系，并能根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。
2.在探究一元二次方程的过程中体会转化、降次的数学思想。
情感态度价值观：在解一元二次方程的实践中，交流、总结经验和规律，体验数学活动乐趣。
教学重难点重点：掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步骤，并熟练运用上述方法解题。
难点：根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。
教学方法探索发现，讲练结合元二次方程教案篇二一、教学目标1．使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。
2．通过列方程解应用问题，进一步体会提高分析问题、解决问题的能力。
3．通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性。
二、重点·难点·疑点及解决办法1．教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。
2022年初中数学精品教案《一元二次方程3 (2)》公开课专用
21．1 一元二次方程教学目标 1.理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式。
2.会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题。
3.在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受 方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次的感性认识。
重难点关键 1．•重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念 解决问题． 2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概 念迁移到一元二次方程的概念． 教学过程 一、复习引入 学生活动：列方程．问题〔1〕如图，一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离 为 8m，那么梯子的底端距墙多少米？设梯子底端距墙为 xm，那么， 根据题意，可得方程为___________．问题〔2〕如图，如果 AC CB ，那么点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点． AB AC如果假设 AB=1，AC=x，那么 BC=________，根据题意，得：________． 整理得：_________． 问题〔3〕有一面积为 54m2 的长方形，将它的一边剪短 5m，另一边剪短 2m，恰好变 成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？ 如果假设剪后的正方形边长为 x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题 意，得：_______． 整理，得：________． 老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理． 二、探索新知 学生活动 1：请口答下面问题． 〔1〕上面三个方程整理后含有几个未知数？ 〔2〕按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ 〔3〕有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？ 老师点评：〔1〕都只含一个未知数 x；〔2〕它们的最高次数都是 2 次的；〔3〕•都有等 号，是方程． 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数〔一元〕，并且未知数的最高次 数是 2〔二次〕的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式 ax2+bx+c=0 〔a≠0〕．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成 ax2+bx+c=0〔a≠0〕后，其中 ax2 是二次项，a 是二次 项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 学生活动 2 提问： 〔1〕问题 1 中一元二次方程的解是多少？〔2〕如果抛开实际问题，问题 1 中还有其它解吗？老师点评：〔1〕问题 1 中 x=6 是 x2-36=0 的解，问题 2 中，x=10 是 x2+2x-120=0 的解．〔3〕如果抛开实际问题，问题〔1〕中还有 x=-6 的解为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．回过头来看：x2-36=0 有两个根，一个是 6，另一个是－6，但-6 不满足题意；同理，问题 2 中的 x=-12 的根也满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．例 1．将方程〔8-2x〕〔5-2x〕=18 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0〔a≠0〕．因此，方程〔8-2x〕•〔•5-2x〕=18 必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：去括号，得：40-16x-10x+4x2=18移项，得：4x2-26x+22=0其中二次项系数为 4，一次项系数为-26，常数项为 22．例 21 是关于 x 的一元二次方程〔m－1〕x2＋x＋1＝0 的一个根，那么 m 的值是〔〕A．1B．―1C．0D．无法确定分析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到时一元二次方程，所以还要其二次项系数要不能等于 0．由此得，(m-1)+1+1=0，解得 m=-1，此时 m-1=-2≠0，∴m=-1．应选 B． 方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目的时候，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题。
22.2 降次——解一元二次方程(习题课)教学案-
22.2.降次——解一元二次方程（习题课）【学习目标】1、 会灵活选用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程。
并能说出各种解法的要点及注意的问题。
2、 能利用b 2-4ac 来判断一元二次方程根的情况；同时能根据根的情况来判断某些字母系数的取值范围。
3、 会列一元二次方程解简单实际问题，并对结果作合理的解释。
【学习过程】一、自主学习：自学课本Ｐ35---P 44内容，思考下列问题：1、 一元二次方程的解法有哪几种？其基本思想是什么？它们之间有什么区别和联系？2、 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？配方的关键是什么？3、 用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？求根公式是怎样推导出来的？4、 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？5、 如何利用b 2-4ac 来判断一元二次方程根的情况？都是有哪几种情况？6、 求取的方程的解都符合题意吗？有什么判断依据？交流与点拨：师生共同思考以上几个问题，在解一元二次方程时，往往首先把方程转化成一般形式，然后再去观察到底使用那种方法。
注意配方法的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方（二次项系数为1时）。
求根公式不要死记，要掌握推导过程。
b 2-4ac 来判断一元二次方程根的情况是考点，要灵活掌握。
二、例题学习：例1 选择适当的方法解下列方程：（1）5)12(2=-x （2）09102=++x x 解： 解：（3）02432=+-x x （4）05822=+-x x解： 解：（5）3632-=-x x（教师可以选择其中一题示范三种方法，最终选择最好的方法，当然，学生可以自主选择方法，学生板演，教师点评。
）例2：关于x 的一元二次方程032)1(2=+++x x m（1）当m 取何值时，此方程有两个不相等的实数根。
（2）当m 取何值时，此方程有两个相等的实数根。
（3）当m 取何值时，此方程没有实数根。
解：（解题时，注意01≠+m ， 1-≠m ；再结合b 2-4ac 来判断。
2023最新-一元二次方程教案(优秀7篇)
一元二次方程教案（优秀7篇）作为一名默默奉献的教育工作者，时常会需要准备好教案，教案是备课向课堂教学转化的关节点。
优秀的教案都具备一些什么特点呢？牛牛范文为您带来了7篇一元二次方程教案，如果对您有一些参考与帮助，请分享给最好的朋友。
九年级数学《一元二次方程》教案篇一一、教材分析：1、本章的主要内容：（1）一元二次方程的有关概念；（2）一元二次方程的解法，根的判别式及根与系数的关系；（3）实际问题与一元二次方程。
2、本章知识结构图：3、教学目标：（1）以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景，认识一元二次方程及其有关概念；（2）根据化归的思想，抓住“降次”这一基本策略，掌握配方法、直接开平法、公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法；（3）经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力。
4、本章的重点与难点本章学习的重点：一元二次方程的解法及应用一元二次方程解决实际问题。
难点：（1）分析方程的特点并根据方程的特点选择合适的解法；（2）实际背景问题的等量分析，设元列一元二次方程解应用题。
即建立一元二次方程模型解决实际问题，尽管已经有了运用一次方程（组）解应用问题的经验，但由于实际问题涉及的内容广泛，有的背景学生不熟悉，有的问题数量关系复杂，不易找出等量关系。
同时，还要根据实际问题的意义检验求得的结果是否合理。
二、教学中应注意的问题：1、重视一元二次方程与实际的联系，再次体现数学建模思想。
方程是刻画现实世界的有效数学模型，因而方程教学关注方程的建模过程。
教科书的第1节就是想通过多种实际问题的分析，经历模型化的过程，并在此基础上抽象出数学概念。
当然，在教学中除教科书第1节、第5节提供了大量的实际问题外，教师还应根据学生生活实际和认知水平，创设更为丰富、贴近学生的现实情景，并引导学生分析其中的数量关系，建立方程模型。
在经历多次这样的数学活动，使学生感受到方程与实际问题的联系，领会数学建模思想，增强学生学习数学的兴趣和应用意识，培养学生分析问题、解决问题的能力。
22.2 二次函数与一元二次方程
22.2二次函数与一元二次方程一、教学目标1．经历探索二次函数与一元二次方程联系的过程，使学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系．2．使学生掌握用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式Δ＝b2－4ac判断二次函数y ＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点的个数．3．进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想．二、教学重难点重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题．难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想．教学过程（教学案）一、情境引入1.提出问题：同学们一起回忆一下，我们在学习一次函数时，从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系，那么二次函数与一元二次方程之间是否也有联系呢？2.回忆旧知：同学们还记得一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是什么吗？你是如何确定一元二次方程解的个数的？3.教师过渡：实际上，二次函数与一元二次方程是亲密联系的，今天我们要来探索它们之间的联系，揭开二次函数与一元二次方程之间的秘密．二、互动新授1.教学P43“问题”（1）出示“问题”（2）提出问题，学生思考讨论①小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间的关系式是什么？(h＝20t －5t2.)②小球的飞行高度达到15m，这“15m”对应解析式中的哪个字母？（3）教师分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值．（4）师生合作探究，共同解答.2.学生合作交流：二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的关系是什么？教师总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的关系密切．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2＋bx ＋c＝m.反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为m，求自变量x的值．3.教学P44“思考”（1）学生观察图象，自主探究：①抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数值是0.由此得出方程x2＋x－2＝0的根是－2，1.②抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数值是0.由此得出方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根是3.③抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点．由此可知方程x2－x＋1＝0没有实数根．（2）教师补充：反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与x轴的位置关系．4.教师归纳总结一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可得如下结论．(1)如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．5.教师说明(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac和抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数之间的关系：①当Δ＝b2－4ac＞0时⇔抛物线与x轴有两个交点；②当Δ＝b2－4ac＝0时⇔抛物线与x轴只有一个交点；③当Δ＝b2－4ac＜0时⇔抛物线与x轴没有公共点．(2)从“形”的方面看，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解．这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系．6.思考：能否利用二次函数的图象求一元二次方程的根？教师指出：由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根一般是近似的．7.教学P46“例”（1）师生合作探究，共同得出结论.（2）教师讲解通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根的方法.（3）教师说明：这种求根的近似值的方法叫做二分法，也适用于更高次的一元方程．三、课堂小结四、板书设计五、教学反思二次函数y＝ax2＋bx＋c和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在图象上的关系，对初学者来说是个难点．因此需要指导学生理解抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴的交点之间的内在联系，培养学生发展数形结合的思想．二分法也是本课的一个难点，如何逼近一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似解，已经用到求极限的方法，只是没有明确提出．对初中学生要求不必太高，只要会算就可以了．导学案一、学法点津二次函数与一元二次方程是息息相关的．若已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值h，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2＋bx＋c＝h；反过来，解一元二次方程ax2＋bx ＋c＝h，也可以看成是已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值h，求自变量x的值．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的抛物线与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．因此，我们还可以用二分法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似解．二、学点归纳总结1.知识要点总结)①二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0之间的关系．②用二分法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似解．2.规律方法总结)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac和抛物线y＝ax2＋bx＋c与x 轴的交点个数之间的关系．①当Δ＝b2－4ac＞0时⇔抛物线与x轴有两个交点；②当Δ＝b2－4ac＝0时⇔抛物线与x轴只有一个交点；③当Δ＝b2－4ac＜0时⇔抛物线与x轴没有公共点．课时作业设计一、选择题1．已知函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)的图象如右图所示，则关于x 的方程ax2＋bx＋c－4＝0的根的情况是( )．A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根C．有两个相等实数根D．无实数根2．根据下列表格中二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝x 6.17 6.18 6.19 6.20y＝ax2＋bx＋c －0.03 －0.01 0.02 0.04A．6<x x<6.20二、填空题3．已知抛物线y＝x2－2kx＋9的顶点在x轴上，则k＝________．4．已知抛物线y＝kx2＋2x－1与坐标轴有三个交点，则k的取值范围为________．三、解答题5．画出函数y＝x2－2x－3的图象，根据图象回答下列问题：(1)图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？(2)当x取何值时，y＝0？这里x的取值与方程x2－2x－3＝0有什么关系？(3)x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0?6．二次函数y＝x2的图象如右图所示，请将此图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度．(1)画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式．(2)求经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0?【参考答案】1.A2.C3.±34.k＞－1且k≠05.（图略）（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是（3，0），（－1，0），（0，－3）.（2）当x取3，－1时，y＝0；这里x的取值是方程x2－2x－3＝0的两个根.（3）当x＞3或x＜－1时，函数值y大于0；当－1＜x＜3时，函数值y小于0.6.（1）（图略）y＝x2－2x－1（2）（1＋2，0），（1－2，0）当x＞1＋2或x＜1－2时，函数值大于0.。
一元二次方程的教案(必备3篇)
一元二次方程的教案（必备3篇）1.一元二次方程的教案第1篇一、教学目标知识与技能（1）理解一元二次方程的意义。
（2）能熟练地把一元二次方程整理成一般形式并能指出它的二次项系数，一次项系数及常数项。
过程与方法在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化成数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
情感、态度与价值观通过探索建立一元二次方程模型的过程，使学生积极参与数学学习活动，增进对方程的认识，发展分析问题、解决问题的能力。
二、教材分析：教学重点难点重点：经历建立一元二次方程模型的过程，掌握一元二次方程的一般形式。
难点：准确理解一元二次方程的意义。
三、教学方法创设情境——主体探究——合作交流——应用提高四、学案（1）预学检测3x-5=0是什么方程？一元一次方程的定义是怎样的？其一般形式是怎样的？五、教学过程（一）创设情境、导入新（1）自学本P2—P3并完成书本（2）请学生分别回答书本内容再（二）主体探究、合作交流（1）观察下列方程：（35-2x）2=9004x2-9=03y2-5y=7它们有什么共同点？它们分别含有几个未知数？它们的左边分别是未知数的几次几项式？（2）一元二次方程的概念与一般形式？如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数a≠0），其中，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项，如x2-x=56(三)应用迁移、巩固提高例1：根据一元二次方程定义，判断下列方程是否为一元二次方程？为什么？x2-x=13x(x-1)=5(x+2)x2=(x-1)2例2：将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。
解：去括号得3x2-3x=5x+10移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.学生练习：书本P4练习（四）总结反思拓展升华总结1.一元二次方程的定义是怎样的？2.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。
第22章 一元二次方程教案全章
教学时间： 教学课题：22.1 一元二次方程 教学课型：新授课 教学目标1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的.2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根4.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.5通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式. 教学重点：一元二次方程的一般形式和一元二次方程的根的概念 教学难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型 教学过程 一、复习引入小学学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。
从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念. 二、探究新知 （一）探究课本问题2 分析：1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？2.全部比赛场数是多少？若设应邀请x 个队参赛，如何用含x 的代数式表示全部比赛场数？ 整理所列方程后观察：1.方程中未知数的个数和次数各是多少？2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？4x+3=0；0422=-+x x ；042=-+y x ；0350752=+-x x ；0621=-+x x（二）概念归纳： 1.一元二次方程定义：首先它是整式方程，然后未知数的个数是1，最高次数是2. 2.一元二次方程的一般形式： ①为什么规定a ≠0？②方程左边各项之间的运算关系是什么？关于x 的一元二次方程()002≠=--a c bx ax 的各项分别是什么？各项系数是什么？3.特殊形式：()002≠=+a bx ax ；()002≠=+a c ax ；()002≠=a ax （三）课本例题类比一元一次方程的去括号，移项，合并同类项，进行同解变形，化为一般形式后再写出各项系数，注意方程一般形式中的“-”是性质符号负号，不是运算符号减号. （四）一元二次方程的根的概念1.类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念2.下面哪些数是方程x 2+5x+6=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x 2-64=0（2）x 2+1=0 （3）x 2-3x=0 （4）0122=++x x 4.思考：一元一次方程一定有一个根，一元二次方程呢？5.排球邀请赛问题中，所列方程562=-x x 的根是8和-7，但是答案只能有一个，应该是哪个？ 归纳：①一元二次方程的根的情况 ②一元二次方程的解要满足实际问题 三、课堂训练 1.课本练习 2补充：1).在下列方程中①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-5x=0，一元二次方程的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2）.关于x 的方程（a-1）x 2+3x=0是一元二次方程，则a 范围________． 3).已知方程5x 2+mx-6=0的一个根是x=3，则m 的值为________ 4).关于x 的方程（2m 2+m ）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？ 四、小结归纳1.一元二次方程的概念及其一般形式，能将一个一元二次方程化为一般形式，并正确指出其各项系数.2.一元二次方程的根的概念，能判断一个数是否是一个一元二次方程的根. 五、作业设计 必做：P28：1-7 选做：.P29：8、9教学时间：教学课题：22.2.1配方法(1) 教学课型：新授课教学目标1.理解一元二次方程“降次”的转化思想．2.根据平方根的意义解形如x2=p（p≥0）的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n）2=p（p≥0）型的一元二次方程．3.把一般形式的一元二次方程（二次项系数是1，一次项系数是偶数）与左边是含有未知数的完全平方式右边是非负常数的一元二次方程对比，引入配方法，并掌握.4.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.5.通过观察，思考，对比获得一元二次方程的解法-----直接开平方法，配方法教学重点：1.运用开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2用配方法解二次项是1，一次项系数是偶数的一元二次方程教学难点：降次思想，配方法教学过程一、复习引入已经学习了一元二次方程的概念，本节课开始学习其解法,首先学习直接开平方法，配方法.二、探究新知（一）探究课本问题11.用列方程方法解题的等量关系是什么？2.解方程的依据是什么？3.方程的解是什么？问题的答案是什么？4.该方程的结构是怎样的？归纳：可根据数的开方的知识解形如x2=p（p≥0）的一元二次方程，方程有两个根，但是不一定都是实际问题的解.（二）解决课本思考1如何理解降次？2本题中的一元二次方程是通过什么方法降次的？3能化为（x+m）2=n（n≥0）的形式的方程需要具备什么特点？归纳：1运用平方根知识将形如x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可；2左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的一元二次方程可化为（x+m）2=n（n≥0）.（三）探究课本问题21.根据题意列方程并整理成一般形式.2.将方程x2+6x-16=0和x2+6x+9=2对比，怎样将方程x2+6x-16=0化为像x2+6x+9=2一样，左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的方程？①完成填空：x2+6x+ =（x+ ）2②方程移项之后，两边应加什么数，可将左边配成完全平方式？归纳：用配方法解二次项系数是1且一次项系数是偶数的一元二次方程的一般步骤及注意事项:先将常数项移到方程右边，然后给方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成完全平方式的三项式形式，再将左边写成平方形式，右边完成有理数加法运算，到此，方程变形为（x+m）2=n（n≥0）的形式.三、课堂训练课本练习: P31页练习，P34页练习1，2（1）四、小结归纳1.根据平方根的意义，用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程.2.用配方法解二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程，特别地，移项后方程两边同加一次项系数的一半的平方.3.在用方程解决实际问题时，方程的根一定全实际是问题的解，但是实际问题的解一定是方程的根.五、作业设计必做：P42：1、2、3（1）（2）选做：下面补充作业补充作业：1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-24．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根5.已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1 C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-116．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m．（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？（2）鸡场的面积能达到210m2吗？教学时间： 教学课题：22.2.1配方法(2) 教学课型：新授课 教学目标：1.进一步理解配方法和配方的目的.2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程.4.通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，解二次项系数不是1的一元二次方程，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识 教学重点：用配方法解一元二次方程 教学难点：用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方程两边都除以二次项系数，将方程化为二次项系数是1的类型 教学过程 一、复习引入我们在上节课，已经学习了用直接开平方法解形如x 2=p （p≥0）或（mx+n ）2=p （p≥0）的一元二次方程，以及用配方法解二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程，这节课继续学习配方法解一元二次方程. 二、探究新知 1.填空： ①()22________8+=++x x x②()22________-=+-x x x③()22____4___+=++x x ④()22____49___-=+-x x 2.填空： ①a x x++82是完全平方式，a=②92++mx x是完全平方式，m ＝3.解下列方程：①x 2-8x+7=0 ②2x 2+8x-2=0 ③2x 2+1=3x ④3x 2-6x+4=0 分析：（1）解方程①，复习用配方法解二次项系数为1的一元二次方程步骤；（2）对比○1的解法得到方程○2的解法，总结出用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤： ①.把常数项移到方程右边；②.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1； ③.方程两边都加上一次项系数一半的平方； ④.原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；⑤.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．(3)运用总结的配方法步骤解方程○3，先观察将其变形，即将一次项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；解方程○4配方后右边是负数，确定原方程无解. (4) 不写出完整的解方程过程，到哪一步就可以确定方程的解得情况？ 三、课堂训练1.方程()的形式，正确的是化为b a x x x =+=+-2202344( )A.()4532=-x B.()4532-=-x C.41232=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x D.3232=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x 2．配方法解方程2x 2-43x-2=0应把它先变形为（ ）． A ．（x-13）2=89 B ．（x-23）2=0 C ．（x-13）2=89 D ．（x-13）2=1093．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．A ．x 2+1=0B ．（2x+1）2=0C ．（2x+1）2+3=0D ．（12x-a ）2=a4.解决课本练习2（2）到（6）5.已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z 的值是（ ）． A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-26. a ，b ，c 是ABC ∆的三条边①当bc c ab a 2222+=+时，试判断ABC ∆的形状. ②证明02222<-+-ac c b a四、小结归纳：用配方法解一元二次方程的步骤 1.把原方程化为()002≠=++a c bx ax 的形式， 2.把常数项移到方程右边；3.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；4.方程两边都加上一次项系数一半的平方；5.原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；6.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．不写出完整的解方程过程，原方程变形为（x+m ）2=n 的形式后，若n 为0，原方程有两个相等的实数根；若n 为正数，原方程有两个不相等的实数根；若n 为负数，则原方程无实数根. 五、作业设计必做：P42：3（3）（4） 选做：P43：8、9教学时间： 教学课题：22.2.2公式法 教学课型：新授课 教学目标1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况.3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.4.经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解公式的基础.；5.通过对公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程，操作简单. 教学重点：求根公式的推导，公式的正确使用 教学难点：求根公式的推导 教学过程 一、复习引入我们学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，能否用配方法解一般形式的一元二次方程()002≠=++a c bx ax二、探究新知活动1.学生观察下面两个方程思考它们有何异同？①6x 2-7x+1=0 ②()002≠=++a c bx ax 活动2.按配方法一般步骤同时对两个方程求解： 1.移项得到6x 2-7x=-1，c bx ax -=+22.二次项系数化为1得到ac x a b x x x -=+-=-22,6167 3.配方得到 x 2-76x+（712）2=-16+（712）2 x 2+b a x+（2b a ）2=-c a+（2ba ）24.写成（x+m ）2=n 形式得到（x-712）2=25144，（x+2b a）2=2244b ac a - 5.直接开平方得到x-712=±512，注意：（x+2ba）2=2244b ac a -是否可以直接开平方？ 活动3.对（x+2b a）2=2244b ac a -观察，分析，在0≠a 时对2244b ac a -的值与0的关系进行讨论活动4.归纳出一元二次方程的根的判别式和求根公式，公式法. 活动5.初步使用公式解方程6x 2-7x+1=0.活动6.总结使用公式法的一般步骤：①把方程整理成一般形式，确定a,b,c 的值，注意符号②求出ac b 42-的值，方程()002≠=++a c bx ax ，当Δ＞0时，有两个不等实根；Δ=0时有两个相等实根；Δ<0时无实根.③在ac b 42-≥0的前提下把a ，b ，c 的值带入公式.三、课堂训练1.利用一元二次方程的根的判别式判断下列方程的根的情况 （1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=02.课本例2 四、小结归纳1.用根的判别式判断一个一元二次方程是否有实数根2.用求根公式求一元二次方程的根3. 一元二次方程求根公式适用于任意一个一元二次方程. 五、作业设计 必做：P42：4、5 选做：P43：11、12某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时，•那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外超过部分还要按每千瓦时100A 元收费．（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？（•用A 表示） （2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况根据上表数据，求电厂规定的A 值为多少？教学时间： 教学课题：22.2.3因式分解法 教学课型：新授课 教学目标1.了解因式分解法的概念.2.会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，根据两个因式的积等于0，必有因式为0，从而降次解方程.3.经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，发展学生合情合理的推理能力.4.体验解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法.教学重点：会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，从而降次解方程 教学难点：将整理成一般形式的方程左边因式分解 教学过程 一、复习引入我们学习了用配方法和公式法解一元二次方程，这节课我们来学习一种新的方法. 二、探究新知 1.因式分解x 2-5x ；； 2x(x-3)-5(x-3); 25y 2-16； x 2+12x+36；4x 2+4x+1 2.若ab=0,则可以得到什么结论？ 3.试求下列方程的根 ：x(x-5)=0; (x-1)(x+1)=0；(2x-1)(2x+1)=0；(x+1)2 =0; (2x-3)2=0.分析：解左边是两个一次式的积，右边是0的一元二次方程，初步体会因式分解法解方程实现降次的方法特点，只要令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解. 4. 试求下列方程的根①、4x 2-11x =0 x(x-2)+ (x-2)=0 (x-2)2 -(2x-4)=0 ②、25y 2-16=0 (3x+1)2 -(2x-1)2 =0 (2x-1)2 =(2-x)2 ③、x 2+10x+25=0 9x 2-24x+16=0; ④、5x 2-2x-41= x 2-2x+432x 2+12x+18=0; 分析：观察①②③三组方程的结构特点，在方程右边为0的前提下，对左边灵活选用合适的方法因式分解，并体会整体思想.总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：首先使方程右边为0，其次将方程的左边分解成两个一次因式的积，再令两个一次因式分别为0，从而实现降次，得到两个一元一次方程，最后解这两个一元一次方程，它们的解就都能是原方程的解.这种解法叫做因式分解法. ④中的方程结构较复杂，需要先整理.5.选用合适方法解方程x2+x+41=0 x2+x-2=0 (x-2)2 =2-x 2x2-3=0.分析：四个方程最适合的解法依次是：利用完全平方公式，求根公式法，提公因式法，直接开平方法或利用平方差公式.归纳：配方法要先配方，再降次；公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程. 解一元二次方程的基本思路：化二元为一元，即降次.三、课堂训练1.完成课本练习2.补充练习：①已知（x+y）2 –x-y=0，求x+y的值．②下面一元二次方程解法中，正确的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=25，x2=35C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x 两边同除以x，得x=1③今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）四、小结归纳本节课应掌握：1.用因式分解法解一元二次方程2.归纳一元二次方程三种解法，比较它们的异同，能根据方程特点选择合适的方法解方程五、作业设计必做：P43：6、10选做：P43：13、14教学时间：教学课题：22.2.4一元二次方程的根与系数关系教学课型：新授课教学目标：1.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.2.灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.3.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.4.学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明教学重点：一元二次方程的根与系数关系教学难点：对根与系数关系的理解和推导教学过程一、复习引入一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？二、探究新知1.课本思考分析：将（x- x1）（x-x2）=0化为一般形式x2-( x1 +x2)x+ x1 x2=0与x2+px+ q=0对比,易知p=-( x1 +x2)，q= x1 x2. 即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积.2.跟踪练习求下列方程的两根x1、x2. 的和与积.x2+3x+2=0；x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=03. 方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1、x2和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系.5.跟踪练习求下列方程的两根x1、x2. 的和与积.①3x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0；②5x-1=4x2；5x2-1=4x2+x6.拓展练习①已知一元二次方程2x 2+bx+c=0的两个根是-1，3，则b= ,c= .②已知关于x 的方程x 2+kx-2=0的一个根是1，则另一个根是 ,k 的值是 .③若关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两个根互为相反数，则p= ; 若两个根互为倒数，则q= . 分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是1时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项.④两个根均为负数的一元二次方程是( )A.4x 2+21x+5=0B.6x 2-13x-5=0C.7x 2-12x+5=0D.2x 2+15x-8=0⑤.两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ ）A.4x 2-3=0B.-3x 2+5x-4=0C.0.5x 2-4x-3=0D.2x 2+53x-6=0⑥.若关于x 的一元二次方程2x 2-3x+m=0,当m 时方程有两个正根；当m 时方程有两个负根；当m 时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大.三、课堂训练1.完成课本练习2.补充练习：x 1 ，x 2是方程3x 2-2x-4=0的两根，利用根与系数的关系求下列各式的值：①2111x x +； ②221212x x x x + ③2221x x +； ④()221x x -；⑤2112x x x x + 四、小结归纳本节课应掌握：1. 韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为0，△≥0；3.韦达定理的应用常见题型：①不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根；②已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值；③由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值；④判断两个根的符号；○5不解方程求含有方程的两根的式子的值. 五、作业设 计必做：P43：7选做：补充作业：已知一元二次方程x 2+3x+1=0的两个根是βα、，求αββα+的值.教学时间：教学课题：22.3实际问题与一元二次方程（1）教学课型：新授课教学目标：1.使学生会列出一元二次方程解应用题，初步掌握利用一元二次方程解决生活中的实际问题.2.培养学生的阅读能力.3.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.4.通过观察，思考，交流，进一步提高逻辑思维和分析问题解决问题能力.5.经历观察，归纳列一元二次方程的一般步骤教学重点：建立数学模型，找等量关系，列方程教学难点：找等量关系，列方程教学过程一、复习引入同一元一次方程，二元一次方程（组）等一样，一元二次方程和实际问题，也有紧密的联系，本节课就来讨论如何利用一元二次方程来解决实际问题.二、探究新知●探究课本30页问题1分析：设正方体的棱长是xdm，则一个正方体的表面积是多少？10个呢？等量关系是什么？●探究课本38页问题分析：设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度是多少？●某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．（利息税为利息的20%）分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x·80%，其它依此类推●课本46页探究2分析：设甲种药品的成本年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本是多少？两年后甲种药品成本是多少？相关的等量关系是什么？类似的乙甲种药品成本的年平均下降率是多少？相关的等量关系是什么？方程的解都是该问题的解吗？如果不是，如何选择？为什么？如何回答课本46页思考？归纳：通过解决以上问题，列一元二次方程解实际问题的基本步骤是什么？与以前学过的列方程解实际问题的步骤有何异同？●某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？分析：设平均增长率是x ，则二月份生产电视机的台数是多少？三月份生产电视机的台数是多少？第一季度生产电视机的总台数还可以怎样表示？等量关系是什么？归纳：以上这几道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．三、课堂训练补充练习：①．一台电视机成本价为a 元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）．A ．（1+25%）（1+70%）a 元B ．70%（1+25%）a 元C ．（1+25%）（1-70%）a 元D ．（1+25%+70%）a 元②．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，•售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为（ ）．A ．100p p +B ．pC ．1001000p p -D ．100100p p+ ③． 2009年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、•三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x ，依题意列出的方程是（ ）．A ．100（1+x ）2=250B ．100（1+x ）+100（1+x ）2=250C ．100（1-x ）2=250D ．100（1+x ）2四、小结归纳1.列一元二次方程解应用题的一般步骤2.利用一元二次方程解决实际生活中的百分率问题五、作业设计必做：P48：1、2、3选做：P49：9补充作业：上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?教学时间：教学课题：22.3实际问题与一元二次方程（2）教学课型：新授课教学目标：1.能根据○1以流感为问题背景，按一定传播速度逐步传播的问题；○2以封面设计为问题背景，边衬的宽度问题中的数量关系列出一元二次方程，体会方程刻画现实世界的模型作用.2.培养学生的阅读能力与分析能力.3.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.4.通过自主探究，独立思考与合作交流，使学生弄清实际问题的背景，挖掘隐藏的数量关系，把有关数量关系分析透彻，找出可以作为列方程依据的主要相等关系，正确的建立一元二次方程教学重点：建立数学模型，找等量关系，列方程教学难点；找等量关系，列方程教学过程：一、复习引入通过上节课的学习，谈谈列一元二次方程解决实际问题的一般步骤及应注意的问题.二、探究新知●课本45页探究1分析：①设每轮传染中平均一个人传染x了个人.这里的一轮指一个传染周期.②第一轮的传染源有几个人？第一轮后有几个人被传染了流感？包括传染源在内，共有几个人患着流感？③第二轮的传染源有几个人？第二轮后有几个人被传染了流感？包括第二轮的传染源在内，共有几个人患着流感？④本题用来列方程的相等关系是什么？列出方程.拓展：课本思考.四轮呢？归纳：本题一流感为问题背景，讨论按一定传播速度逐步传播的问题，，特别需要注意的是，在第二轮传染中，在实际生活中，类似原型很多，比如细胞分裂，信息传播，传染病扩散，害虫繁殖等，一般就考虑两轮传播，这些问题有通性，在解题时有规律可循.●课本47页探究3分析：①正中央的长方形与整个封面的长宽比例相同，是什么含义？②上下边衬与左右边衬的宽度相等吗？如果不相等，应该有什么关系？③若设正中央的长方形的长和宽分别为9a㎝，7a㎝，尝试表示边衬的长度，并探究上下边衬与左右边衬的宽度的数量关系？④“应如何设计四周边衬的宽度？”是要求四周边衬的宽度，除了根据上下边衬与左右边衬的宽度比为，设上下边衬宽为与左右边衬宽为.还可以根据正中央的长方形长与宽的比为9：7，设正中央的长方形的长为。
华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.3 实践与探索 面积问题》公开课教案_2
新授课课时教案模版（初中）课题22.3.2实践与探索图形面积问题教师学科数学课时2课时课型新授课学生9.1 时间课节第3节内容选择第22章一元二次方程实践与探索第二课时图形面积问题课标要求能根据具体问题中的数量关系列出方程，感受和经历在实际问题中抽象出数学模型学情分析学生们已经学习了用一元一次方程，二元一次方程（组）、分式方程解决实际问题，对列方程解决实际问题是有学习基础的，但实践与探索是本章的难点，教学中要引导学生审题、分析题意，抓住等量关系，列出方程、求得方程的根、检验解的合理性及准确作答。
教学目标知识与技能：掌握应用面积法建立一元二次方程的模型并能运用它解决实际问题.过程与方法：经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程进行描述．情感态度价值观：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣．重点运用图形的平移建立一元二次方程数学模型并解决实际问题难点根据面积之间的等量关系建立一元二次方程数学模型教学过程复习导入由学生设计的培元学校空地修路导入如图1，培元学校要在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为 540米2，道路的宽应为多少？分析:解法1 此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2．如图2，设道路的宽为x米，则横向的路面面积为______．纵向的路面面积为_____．解法2 利用“图形平行移动”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些，（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）如图3，设路宽为x米，耕地矩形的长(横向)为______．耕地矩形的宽(纵向)为______．学生活动：学生分小组动手操作、讨论、探索、交流和汇报解决实际问题的思路与方法，经历知识的形成过程.培养学生观察、分析、合情推理的能力.激发学生自主探究的兴趣.教学过程新知呈现如图1，培元学校要在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修建同样宽的一横两纵（如图2）所示的道路，余下部分作为绿化区，要使绿化面积为 504米2，道路的宽应为多少？分析：这类问题的特点是修建小路所占的面积只与小路的条数、宽度有关，而与位置无关．为了研究问题方便，可分别把纵横修建的小路移到一起（最好靠一边）．解：设道路的宽为x米，则草坪长（32－2x）米，宽（20－x）米（32－2x）（20－x）=504解这个方程，得x1=2，x2=34∵30－2 x >0 20－x >0∴x =34不合题意，舍去x =2答：道路的宽为2米．变式训练：上题中改变方式修小路，设小路的宽为x，请用含x的代数式表示草坪面积，并指出x的取值范围．变式一变式二变式一：长为（40－2x)米宽为(26－2x)米变式二：长为（40－x)米宽为(26－x)米面积：（40－2 x) (26－2 x)平方米面积：（40－x) (26－x)平方米x的取值范围0＜x＜13 x的取值范围0＜x＜26 归纳：解答这类问题，并没有用到什么复杂的数学知识，只是运用化归思想，把几条小路归在一起，草坪归在一起，这种做法给综合分析问题、解决问题带来很大方便．学生探究学生通过类比、平移操作、小组互助去构建知识体系，体验获取知识的过程，突破重难点.感受获得知识的喜悦.教学新知小明家有一块长8m、宽6m的矩形空地，准备在该空地上建造一个花园（阴影部分），使花园面积为原矩形空地面积的一半，小明设计了如下的四种方案，帮小明求出图中的各个x值．图1 图2巩固分析：等量关系（1）花园面积=矩形面积的一半（2）空白地方=矩形面积的一半解：（1）x1=2，x2=12（舍）（2）x1=1，x2=6（舍）（3）x1=2，x2=12（舍）（4）x1=2，x2=12（舍）小结：1．解面积问题的应用题时，要注意将不规则图形分割成或组合成规则图形，再根据几何图形的面积以及它们之间的数量关系来列方程，因此画出符合题意的图形，有助于解题．2．要仔细审题，理解题意中的已知条件，并结合实际，正确决定一元二次方程两个根的取舍问题．．课堂小结(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？(2)说一说本节课你还有哪些疑惑.当堂检测如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面四周修建同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽应为A.0.5米B．1米C．1.5米D．2米学生作业基础作业选择题1．今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60 m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600 m2.设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是() A．x(x－60)＝1600 B．x(x＋60)＝1600C．60(x＋60)＝1600 D．60(x－60)＝16002．从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是() A．100 m2B．64 m2C．121 m2D．144填空题3．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为4.一块长28 cm、宽20 cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个相等的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180 cm2，求截去的小正方形的边长.解答题5.矩形ABCD是由三个矩形拼接而成的．如果AB＝8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为过程教学准备教师准备多媒体、三角板学生准备教材练习本笔板书设计22.3.2一元二次方程的应用——面积问题学生板书教后反思本节课的教学设计立足于学生：提出问题，请同学们设计出培元学校矩形空地的绿化与小路方案。
《一元二次方程》优秀教案(精选5篇)
《一元二次方程》优秀教案（精选5篇）《一元二次方程》优秀教案1教学目标：1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会是刻画现实世界的有效数学模型2、理解什么是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。
3、能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
教学重点1、一元二次方程及其它有关的概念。
2、利用实际问题建立一元二次方程的数学模型。
教学难点1、建立一元二次方程实际问题的数学模型．2、把一元二次方程化为一般形式教学方法：指导自学，自主探究课时：第一课时教学过程：（学生通过导学提纲，了解本节课自己应该掌握的内容）一、自主探索：（学生通过自学，经历思考、讨论、分析的过程，最终形成一元二次方程及其有关概念）1、请认真完成课本P39—40议一议以上的内容；化简上述三个方程.。
2、你发现上述三个方程有什么共同特点？你能把这些特点用一个方程概括出来吗？3、请同学看课本40页，理解记忆一元二次方程的概念及有关概念你觉得理解这个概念要掌握哪几个要点？你还掌握了什么？二、学以致用：（通过练习，加深学生对一元二次方程及其有关概念的理解与把握）１、下列哪些是一元二次方程？哪些不是？①②③④x2+2x-3=1+x2 ⑤ax2+bx+c=02、判断下列方程是不是关于x的一元二次方程，如果是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）3-6x2=0(2)3x(x+2)=4(x-1)+7(3)(2x+3)2=(x+1)(4x-1)3、若关于x的方程(k－3)x2＋2x－1＝0是一元二次方程，则k的值是多少？4、关于x的方程(k2－1)x2＋2(k+1)x＋2k＋2＝0,在什么条件下它是一元二次方程?在什么条件下它是一元一次方程?5、以－2、3、0三个数作为一个一元二次方程的系数和常数项，请你写出满足条件的不同的一元二次方程？三、反思：（学生，进一步加深本节课所学内容）这节课你学到了什么？四、自查自省：（通过当堂小测，及时发现问题，及时应对）1、下列方程中是一元二次方程的有（）Ａ、1个B、2个 C、3个D、4个（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、将方程－5x2+1=6x化为一般形式为____________________.其二次项是_________，系数为_______，一次项系数为______，常数项为______。
华师版九年级数学上册教案：第22章 一元二次方程2 一元二次方程的解法(5课时)
22.2 一元二次方程的解法1 直接开平方法和因式分解法(第1课时)一、基本目标1．理解直接开平方法和因式分解法,掌握用两种方法解一元二次方程的一般步骤,并会根据方程的特点灵活选用方法解一元二次方程．2．通过利用已学知识求解一元二次方程,获得成功的体验,体会转化思想的应用． 二、重难点目标 【教学重点】用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程． 【教学难点】根据方程特点选择合适的方法解一元二次方程．环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P20～P25的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】1．直接开平方法：利用__平方根的定义__解一元二次方程的方法． 2．因式分解法：利用__因式分解__求出方程的解的方法．3．因式分解法的依据：如果两个因式的积等于0,那么两个因式中__至少__有一个等于0.反过来,如果两个因式中有一个等于0,那么__它们的积__就等于0.4．方程(x －1)2＝1的解为__x 1＝2,x 2＝0__.5．用因式分解法解一元二次方程(4x －1)(x ＋3)＝0时,可将原方程转化为两个一元一次方程,其中一个方程是4x －1＝0,则另一个方程是__x ＋3＝0__.环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】用直接开平方法或因式分解法解下列方程： (1)(x ＋1)2＝2； (2)(2x ＋1)2＝2x ＋1； (3)－x 2＝4x ； (4)12(x ＋5)2＝9.【互动探索】(引发学生思考)观察方程的特点,确定解方程的方法及一般步骤． 【解答】(1)直接开平方,得x ＋1＝±2. 故x 1＝2－1,x 2＝－2－1.(2)移项,得(2x ＋1)2－(2x ＋1)＝0.方程左边分解因式,得(2x ＋1)(2x ＋1－1)＝0,所以2x ＋1＝0或2x ＋1－1＝0,得x 1＝－12,x 2＝0.(3)方程可变形为x 2＋4x ＝0.方程左边分解因式,得x (x ＋4)＝0,所以x ＝0或x ＋4＝0,得x 1＝0,x 2＝－4.(4)方程两边同时乘2,得(x ＋5)2＝18.直接开平方,得x ＋5＝±32,所以x 1＝32－5,x 2＝－32－5.【互动总结】(学生总结,老师点评)(1)用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：①观察方程两边是否符合x 2＝b (b ≥0)或(mx ＋a )2＝b (m ≠0,b ≥0)的形式；②直接开平方,得到两个一元一次方程；③解这两个一元一次方程,得到原方程的两个根．(2)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项,将方程的右边化为0；②将方程的左边分解成两个一次因式的积的形式；③令每个因式分别为0,得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程,得到原方程的两个根．活动2 巩固练习(学生独学)1．一元二次方程x 2－16＝0的根是( D ) A ．x ＝2 B ．x ＝4 C ．x 1＝2,x 2＝－2D ．x 1＝4,x 2＝－42．在实数范围内定义一种运算“﹡”,其规则为a ﹡b ＝a 2－b 2,根据这个规则,方程(x ＋1)﹡3＝0的解为__x 1＝2,x 2＝－4__.【教师点拨】根据新定义,由(x ＋1)﹡3＝0,得(x ＋1)2－32＝0. 3．解下列方程： (1)4x 2＝25； (2)x (x ＋2)＝x ＋2.解：(1)方程可化为x 2＝254.直接开平方,得x ＝±52,所以x 1＝52,x 2＝－52.(2)移项,得x (x ＋2)－(x ＋2)＝0.方程左边分解因式,得(x ＋2)(x －1)＝0,所以x ＋2＝0或x －1＝0,得x 1＝－2或x 2＝1.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】由多项式乘法：(x ＋a )(x ＋b )＝x 2＋(a ＋b )x ＋ab ,将该式从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x 2＋(a ＋b )x ＋ab ＝(x ＋a )(x ＋b )．示例：分解因式：x 2＋5x ＋6＝x 2＋(2＋3)x ＋2×3＝(x ＋2)(x ＋3)． (1)尝试：分解因式：x 2＋6x ＋8＝(x ＋__2__)(x ＋__4__)； (2)应用：请用上述方法解方程：x 2－3x －4＝0.【互动探索】理解“十字相乘法”的含义→对方程左边因式分解(十字相乘法)→解方程．【解答】∵x 2－3x －4＝0,即x 2＋(－4＋1)x ＋(－4)×1＝0,∴(x －4)(x ＋1)＝0,则x ＋1＝0或x －4＝0,解得x 1＝－1,x 2＝4.【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,要把握新定义的内涵,抓住关键词语,合理套用求解．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)直接开平方法⎩⎪⎨⎪⎧定义依据：平方根的定义形式：方程x 2＝a (a ≥0)的根为x 1＝a ，x 2＝－a因式分解法⎩⎪⎨⎪⎧定义依据：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0方法：提公因式、完全平方公式、平方差公式请完成本课时对应练习！2 配方法(第2课时)一、基本目标1．理解配方法解一元二次方程的含义,并掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤． 2．经历利用完全平方公式推导配方法的过程,掌握新的解一元二次方程的方法——配方法．二、重难点目标 【教学重点】用配方法解一元二次方程． 【教学难点】把一元二次方程通过配方转化为(x ±h )2＝k (k ≥0)的形式．环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P25～P27的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】1. (1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2；(2)x 2－x ＋__14__＝⎝⎛⎭⎫x －！！！！__12__####2； (3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋ __1__)2.2．配方法：通过方程的简单变形,将左边配成一个含有未知数的__完全平方式__,右边是一个__非负常数__,从而可以直接开平方求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法．环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】用配方法解下列方程： (1)x 2－4x －12＝0； (2)22x 2＋4x －6＝0.【互动探索】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 【解答】(1)原方程可化为x 2－4x ＝12. 配方,得x 2－4x ＋4＝16,即(x －2)2＝16. 直接开平方,得x －2＝±4, 所以x 1＝－2,x 2＝6. (2)移项,得22x 2＋4x ＝6. 两边同除以22,得x 2＋211x ＝311.配方,得x 2＋211x ＋⎝⎛⎭⎫1112＝311＋⎝⎛⎭⎫1112,即⎝⎛⎭⎫x ＋1112＝34121. 直接开平方,得x ＋111＝±3411,所以x 1＝－1＋3411,x 2＝－1－3411.【互动总结】(学生总结,老师点评)用配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)变形：将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)；(2)移项：将常数项移到方程的右边；(3)系数化为1：方程的两边同除以二次项的系数,将二次项系数化为1；(4)配方：在方程的两边各加上一次项系数绝对值的一半的平方,把原方程化为(x ±h )2＝k 的形式；(5)求解：若k ≥0,则利用直接开平方法求解；若k <0,则原方程无实数根．活动2 巩固练习(学生独学)1．用配方法解下列方程,配方正确的是( D ) A ．2y 2－4y －4＝0可化为(y －1)2＝4 B ．x 2－2x －9＝0可化为(x －1)2＝8 C ．x 2＋8x －9＝0可化为(x ＋4)2＝16 D ．x 2－4x ＝0可化为(x －2)2＝42．用配方法解下列方程,其中应在方程左右两边同时加上4的是( C ) A ．x 2－2x ＝5 B ．2x 2－4x ＝5 C ．x 2＋4x ＝3D ．x 2＋2x ＝53．用配方法解方程2x 2－x ＝4,配方后方程可化为⎝⎛⎭⎫x －142＝__3316__. 4．用配方法解下列方程：(1)x 2＋6x ＋1＝0； (2)2x 2－3x ＋12＝0.解：(1)x 1＝22－3,x 2＝－22－3. (2)x 1＝5＋34,x 2＝－5＋34. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】试用配方法说明：无论x 取何值,代数式x 2－4x ＋5的值总是正数,并指出当x 取何值时,这个代数式的值最小,最小值是多少？【互动探索】这是一个二次三项式的最值问题→对x 2－4x ＋5进行配方→确定代数式的最小值．【解答】x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1. ∵(x －2)2≥0, ∴(x －2)2＋1≥1,∴不论x 为何值,代数式x 2－4x ＋5的值总是正数,且当(x －2)2＝0,即x ＝2时,代数式x 2－4x ＋5有最小值,最小值为1.【互动总结】(学生总结,老师点评)已知代数式是一个关于x 的二次三项式且含有一次项,在求它的最值时,通常用配方法将原代数式变形为一个完全平方式加一个常数的形式,再根据一个数的平方是非负数求出原代数式的最值．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)配方法⎩⎪⎨⎪⎧定义依据：完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2形式：方程(x ±h )2＝k (k ≥0)的根为x 1＝k ±h ，x 2＝－k ±h请完成本课时对应练习！3 公式法(第3课时)一、基本目标1．理解求根公式的推导过程,能正确推导出一元二次方程的求根公式．2．理解b 2－4ac ≥0是求根公式使用的前提条件和重要的组成部分,当b 2－4ac <0时,方程无解．3．理解和掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤,并能正确运用公式法解一元二次方程．二、重难点目标 【教学重点】用公式法解一元二次方程． 【教学难点】 求根公式的推导过程．环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P28～P31的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】 1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是x ＝__－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0)__.将一元二次方程中系数a 、b 、c 的值,直接代入这个公式,就可以求得方程的根．这种解一元二次方程的方法叫做__公式法__.2．用公式法解方程2x 2－3x －1＝0时,a ＝__2__,b ＝__－3__,c ＝__－1__,则b 2－4ac ＝__17__,代入求根公式,得x ＝__3±174__.环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】用公式法解下列方程：(1)5x 2－4x －1＝0； (2)3x 2＋5(2x ＋1)＝0.【互动探索】(引发学生思考)用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 【解答】(1)∵a ＝5,b ＝－4,c ＝－1,∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×5×(－1)＝16＋20＝36, ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝4±362×5＝4±610,∴x 1＝1,x 2＝－15.(2)将方程化为一般形式,得3x 2＋10x ＋5＝0. ∵a ＝3,b ＝10,c ＝5,∴b 2－4ac ＝102－4×3×5＝100－60＝40, ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－10±402×3＝－5±103,∴x 1＝－5＋103,x 2＝－5－103.【互动总结】(学生总结,老师点评)用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)把一元二次方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)；(2)确定a 、b 、c 的值；(3)求出b 2－4ac 的值；(4)判断b 2－4ac 的符号．当b 2－4ac ≥0时,把a 、b 及b 2－4ac 的值代入求根公式,求出x 1、x 2；当b 2－4ac <0时,b 2－4ac 无意义,此时方程无解．活动2 巩固练习(学生独学)1．以x ＝b ±b 2＋4c2为根的一元二次方程可能是( D )A ．x 2＋bx ＋c ＝0B ．x 2＋bx －c ＝0C ．x 2－bx ＋c ＝0D ．x 2－bx －c ＝02．方程3x 2－5x ＋1＝0的解,正确的是( B ) A ．x ＝－5±136B ．x ＝5±136C ．x ＝－5±133D ．x ＝5±1333．用公式法解下列方程： (1)3x 2－6x －1＝0； (2)(x －1)(x ＋3)＝12； (3)x 2－x ＋3＝0.解：(1)x 1＝3＋233,x 2＝3－233.(2)x 1＝－5,x 2＝3. (3)方程没有实数解． 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】我们规定一种运算：⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ,例如：⎪⎪⎪⎪24 35＝2×5－3×4＝10－12＝－2.按照这种运算的规定,当x 取何值时,⎪⎪⎪⎪x 1 0.5－x 2x ＝0?【互动探索】理解新定义的规则→转化所求式子形式→得一元二次方程→利用公式法解方程．【解答】由⎪⎪⎪⎪x 1 0.5－x 2x ＝0,得2x 2－1×(0.5－x )＝0. 整理,得4x 2＋2x －1＝0,则a ＝4,b ＝2,c ＝－1,∴b 2－4ac ＝22－4×4×(－1)＝20, ∴x ＝－2±202×4＝－1±54,∴当x ＝－1＋54或－1－54时,⎪⎪⎪⎪x 1 0.5－x 2x ＝0.【互动总结】(学生总结,老师点评)这是一个关于二元一次方程的新定义问题,解这类题的关键是根据新定义得到方程,再解方程即可．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)公式法⎩⎪⎨⎪⎧定义—求根式公：－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0)推导过程—配方法一般形式—方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根为x ＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0)请完成本课时对应练习！4 一元二次方程根的判别式(第4课时)一、基本目标1．了解根的判别式,掌握由根的判别式符号判断一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的实数根的情况．2．经历思考、探究一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的过程,学会合作交流,并掌握代数学习的常用方法——分类讨论法．二、重难点目标 【教学重点】由根的判别式符号判断一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的实数根的情况． 【教学难点】推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的b 2－4ac 的符号与其根的关系．环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P31～P32的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的__b2－4ac__叫做一元二次方程根的判别式,通常用符号“__Δ__”来表示．2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的情况：当Δ__>0__时,方程有两个不相等的实数根；当Δ__＝0__时,方程有两个相等的实数根；当Δ<0时,方程__没有__实数根．3．一元二次方程x2－5x－78＝0根的情况是__有两个不相等的实数根__.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】不解方程,判定下列方程的根的情况：(1)16x2＋8x＝－3；(2)9x2＋6x＋1＝0；(3)2x2－9x＋8＝0；(4)x2－7x－18＝0.【互动探索】(引发学生思考)不解方程,要判断方程的根的情况,结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中Δ的符号与根的关系,各个方程的Δ与0的大小关系是什么？相应的方程根的情况是什么？【解答】(1)原方程可变形为16x2＋8x＋3＝0,则a＝16,b＝8,c＝3.∵Δ＝b2－4ac＝82－4×16×3＝64－192＝－128<0,∴方程没有实数根．(2)a＝9,b＝6,c＝1.∵Δ＝b2－4ac＝62－4×9×1＝36－36＝0,∴方程有两个相等的实数根．(3)a＝2,b＝－9,c＝8.∵Δ＝b2－4ac＝(－9)2－4×2×8＝81－64＝17>0,∴方程有两个不相等的实数根．(4)a＝1,b＝－7,c＝－18.∵Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×1×(－18)＝49＋72＝121>0,∴方程有两个不相等的实数根．【互动总结】(学生总结,老师点评)不解一元二次方程,由Δ确定方程根的情况的一般步骤：(1)将原方程化为一般形式；(2)确定a、b、c的值；(3)计算b2－4ac的值；(4)判断b2－4ac与0的大小；(5)得出结论．活动2巩固练习(学生独学)1．一元二次方程x2＋3x＋5＝0的根的情况是(C)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断2．若关于x 的一元二次方程x 2＋x －m ＝0有实数根,则m 的取值范围是( B ) A ．m ≥14B ．m ≥－14C ．m ≤14D ．m ≤－14【教师点拨】若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实数根,则b 2－4ac ≥0. 3．已知方程x 2＋px ＋q ＝0有两个相等的实数根,则p 与q 的关系是__p 2＝4q __. 4．不解方程,试判断下列方程的根的情况： (1)2＋5x ＝3x 2；(2)x 2－(1＋23)x ＋3＋4＝0. 解：(1)方程有两个不相等的实数根． (2)方程没有实数根．5．已知关于x 的方程kx 2－6x ＋9＝0,问k 为何值时,这个方程： (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？解：(1)当k ＜1且k ≠0时,方程有两个不相等的实数根． (2)当k ＝1时,方程有两个相等的实数根． (3)当k ＞1时,方程没有实数根． 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知关于x 的一元二次方程(a ＋c )x 2＋2bx ＋(a －c )＝0,其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．若方程有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状,并说明理由．【互动探索】方程有两个相等的实数根→得出a 、b 、c 的数量关系→确定三角形的形状． 【解答】△ABC 是直角三角形．理由如下：∵关于x 的一元二次方程(a ＋c )x 2＋2bx ＋(a －c )＝0有两个相等的实数根, ∴Δ＝0,即(2b )2－4(a ＋c )(a －c )＝0, ∴a 2＝b 2＋c 2,∴△ABC 是直角三角形．【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,先根据根的情况得到判别式的符号,再推出系数之间的关系,进而解决问题．【例3】如果关于x 的方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根,试判断关于x 的方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0的根的情况．【互动探索】方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根→确定m 的取值范围→分类讨论确定方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0的根的情况．【解答】∵方程mx 2－2(m ＋2)x ＋m ＋5＝0没有实数根,∴Δ＝[－2(m ＋2)]2－4m (m ＋5)＝4(m 2＋4m ＋4－m 2－5m )＝4(4－m )＜0,∴m ＞4.对于方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0,当m ＝5时,方程有一个实数根；当m ≠5时,Δ1＝[－2(m －1)]2－4m (m －5)＝12m ＋4.∵m ＞4,∴Δ1＝12m ＋4＞0,∴此时方程有两个不相等的实数根．综上,当m ＝5时,方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0有一个实数根；当m ＞4且m ≠5时,方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根．【互动总结】(学生总结,老师点评)解此题时,不要忽略对方程(m －5)x 2－2(m －1)x ＋m ＝0是否为一元二次方程进行讨论,此方程可能是一元一次方程．环节3 课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)一元二次方程根的判别式⎩⎪⎨⎪⎧ 定义——Δ＝b 2－4ac 与ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)实数根的关系⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0↔有两个不相等的实数根Δ＝0↔有两个相等的实数根Δ<0↔没有实数根请完成本课时对应练习！5 一元二次方程的根与系数的关系(第5课时)一、基本目标1．理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系.2．能利用一元二次方程根与系数的关系解决相关问题．二、重难点目标【教学重点】一元二次方程两根之和及两根之积与方程系数之间的关系．【教学难点】一元二次方程的根与系数的关系的推导及其应用．环节1 自学提纲,生成问题【5 min 阅读】阅读教材P33～P35的内容,完成下面练习．【3 min 反馈】1．一元二次方程根与系数的关系：若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2,则有x 1＋x 2＝__－b a __,x 1x 2＝__c a __. 特殊形式：若x 2＋px ＋q ＝0的两根为x 1、x 2,则x 1＋x 2＝__－p __,x 1x 2＝__q __.2．已知x 1、x 2是一元二次方程x 2－6x －15＝0的两根,则x 1＋x 2＝__6__,x 1x 2＝__－15__.3．已知实数x 1、x 2满足x 1＋x 2＝11,x 1x 2＝30,则以x 1、x 2为根的一元二次方程是__x 2－11x ＋30＝0__.环节2 合作探究,解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】已知x 1、x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根,不解方程,求下列代数式的值．(1)(x 1－x 2)2； (2)x 2x 1＋x 1x 2. 【互动探索】(引发学生思考)方程x 2＋6x ＋3＝0的根与系数的关系怎样？所求代数式与它们的关系有什么联系？【解答】∵x 1、x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根,∴x 1＋x 2＝－6,x 1x 2＝3.(1)(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(－6)2－4×3＝24.(2)x 2x 1 ＋ x 1x 2＝x 22 ＋ x 21x 1x 2＝(x 1 ＋ x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝(－6)2－2×33＝10. 【互动总结】(学生总结,老师点评)(1)解此类题时,先根据根与系数的关系得到两根和与两根积,再把所求代数式变形,最后利用整体代入法计算即可．(2)常见的与一元二次方程根的和、积有关系的代数式变形：①x 21 ＋ x 22＝(x 1 ＋ x 2)2－2x 1x 2； ②(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2；③1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2； ④x 2x 1＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2； ⑤(x 1＋k )(x 2＋k )＝x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋k 2；⑥|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.活动2巩固练习(学生独学)1．方程x2－6x＋10＝0的根的情况是(C)A．两个实根和为6B．两个实根之积为10C．没有实数根D．有两个相等的实数根2．若关于x的一元二次方程的两个根为x1＝1,x2＝2,则这个方程可能是(C) A．x2＋3x－2＝0 B．x2＋3x＋2＝0C．x2－3x＋2＝0 D．x2－2x＋3＝03．已知关于x的方程5x2＋kx－6＝0的一个根2,则k＝__－7__,另一个根为__－35__.4．设a、b是方程x2＋2x－2019＝0的两个不相等的实数根．(1)a＋b＝__－2__,ab＝__－2019__,2a2＋4a＝__4038__；(2)求代数式a2＋3a＋b的值．解：a2＋3a＋b＝a2＋2a＋a＋b＝2019－2＝2017.5．请利用一元二次方程的根与系数关系解决下列问题：(1)若x2＋bx＋c＝0的两根为－2和3,求b和c的值；(2)设方程2x2－3x＋1＝0的两根为x1、x2,不解方程,求1x1＋1x2的值．解：(1)b＝－1,c＝－6.(2)1x1＋1x2＝3.活动3拓展延伸(学生对学)【例2】设一元二次方程x2－6x＋k＝0的两根分别为x1、x2.(1)若x1＝2,求x2的值；(2)若k＝4,且x1、x2分别是Rt△ABC的两条直角边的长,试求Rt△ABC的面积．【互动探索】(1)已知方程一根→利用根与系数的关系得方程的另一个根．(2)分析法：Rt△的面积→与两直角边的乘积相关,即x1x2的乘积关系→根与系数的关系,确定x1x2的值．【解答】(1)∵x1、x2是一元二次方程x2－6x＋k＝0的两根,且x1＝2,∴x1＋x2＝－(－6),即2＋x2＝6,∴x2＝4.(2)∵x1、x2是一元二次方程x2－6x＋k＝0的两根,k＝4,∴x1·x2＝k＝4.又∵x1、x2分别是Rt△ABC的两条直角边的长,∴S Rt△ABC＝12x1·x2＝12×4＝2.【互动总结】(学生总结,老师点评)求(2)问时,弄清直角三角形的面积与方程两实根的关系是解决问题的关键．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)一元二次方程的根与系数的关系：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2,则x 1＋x 2＝－b a ,x 1x 2＝c a. 特殊地,x 2＋px ＋q ＝0的两根为x 1、x 2,则x 1＋x 2＝－p ,x 1x 2＝q .请完成本课时对应练习！。
22.1一元二次方程数学教案
22．1一元二次方程数学教案
教案名称：《一元二次方程》
一、教学目标：
1. 知识与技能：理解并掌握一元二次方程的概念，能够解基本的一元二次方程；学会使用因式分解法、公式法等方法解决相关问题。
2. 过程与方法：通过观察、思考、讨论、合作等方式，提高学生分析问题、解决问题的能力。
3. 情感态度价值观：培养学生的数学思维，激发学生对数学的兴趣，增强学生的学习自信心。
二、教学重难点：
重点：理解和掌握一元二次方程的概念，学会使用因式分解法、公式法解一元二次方程。
难点：理解和运用一元二次方程的解法，解决实际问题。
三、教学过程：
1. 导入新课：通过生活实例或者历史故事引出一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 新知探究：首先介绍一元二次方程的概念，然后引导学生学习如何用因式分解法解一元二次方程，再进一步介绍公式法，并举例说明。
在这个过程中，鼓励学生主动参与，提出自己的见解和疑问。
3. 实践应用：设计一些练习题让学生独立完成，以此来检验他们对新知识的理解和掌握程度。
同时，还可以设置一些实际问题，让学生利用所学知识去解决，以提升他们的应用能力。
4. 总结归纳：带领学生回顾本节课的主要内容，强调重要知识点，解答学生在课堂上提出的疑问。
5. 布置作业：布置适量的习题，让学生在课后巩固和复习所学知识。
四、教学评价：
通过课堂观察、小组讨论、练习反馈等方式，评价学生对一元二次方程的理解和掌握程度，以及他们的问题解决能力。
五、教学反思：
在课程结束后，教师需要反思本次教学的效果，包括教学设计是否合理，教学方法是否有效，学生的学习效果如何等等，以便于下次改进教学。
一元二次方程优秀教案
924=-x22．1 一元二次方程第一课时一、 教学内容:一元二次方程概念及一元二次方程一般式．二、教学目标:1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的。
2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式。
3.在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识．4.通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．三、教学重难点：1．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．四、教学媒体：希沃白板五、教学过程（一）、复习引入学生活动：1. 填空：(1)含有 的等式叫做方程.(2)我们已经学过的方程有 、 、 ,其中 、 都是整式方程 .(3)含有 ，且未知数的 的 叫做一元一次方程. 一元一次方程的一般形式为ax+b=02. 下列式子哪些是方程？正确的放进篮子里2+6=8 2x+3 5x+6=22 x+3y=8 x-5＜18（二）、探究新知 问题一：有一块矩形铁皮,长100cm ,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm 2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？解：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为（100－2x)cm,宽为(50－2x)cm,根据方盒的底面积为3600cm 2, 得 整理、化简，得： 3600)250)(2100(=--x x 2753500x x ①-+=222221A.0B.350C.(1)(2)0D.0x x xy yxx x ax bx c+=-+=--=++=（三）、观察与思考学生活动：请口答下面问题．（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．下列选项中，关于x的一元二次方程的是（）答案解析:A不是整式方程，是分式方程，B含有两个未知数，C可以化简成x2-3x+2=0，D少了限制条件a≠0 。
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课题：22.1 一元二次方程（第1 课时）一、教学目标1. 经历一元二次方程概念的形成过程，知道什么是一元二次方程.2. 会把一元二次方程化成一般形式，并知道各项及系数的名称.二、教学重点和难点1. 重点：一元二次方程的概念.2. 难点：把一元二次方程化成一般形式.三、教学过程（一）创设情境，导入新课师：（板书：3x-5=0）这是一个什么方程？（稍停）3x-5=0是一个一元一次方程（板书：一元一次方程）.师：哪位同学知道什么样的方程是一元一次方程？生：……（让几名同学回答）师：（指准3x-5=0）只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程，叫做一元一次方程.（指准“一元一次方程” ）一元指的是含有一个未知数，一次指的是未知数的次数是1.师：一元一次方程是我们在初一已经学过的，从今天开始，我们要学习一种新的方程，叫做一元二次方程（板书：一元二次方程）.（二）尝试指导，讲授新课师：什么样的方程是一元二次方程？（板书：x2-x=56）x2-x=56 是一个一元二次方程，（板书：4X2-9=0）4X2-9=0也是一元二次方程，（板书：X2+3X=0） x2+3x=0 也是一元二次方程，（板书：3y2-5y=7 ）3y2-5y=7 也是一元二次方程.师：从这些一元二次方程，哪位同学能概括什么样的方程是一元二次方程？（等到有一部分同学举手再叫学生）生：……（多让几名同学回答）师：（指准x2-x=56）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2,这样的方程叫做一元二次方程.（师出示下面的板书）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.师：请大家把一元二次方程的定义读两遍. （生读）师：根据一元二次方程的定义，（指准方程）我们很容易判断x2-x=56，4x2-9=0，x2+3x=0，3y2-5y=7 这些方程都是一元二次方程.（板书：3x（x-1）=5（x+2））现在请大家判断，这个方程是不是一元二次方程？为什么？（让生思考一会儿）生：（让几名学生发表看法）师：把这个方程两边去括号，得到3X2-3X=5X+10（边讲边板书：3X2-3X=5X+10），去括号后容易看出，这个方程是一元二次方程.师：（指3X2-3X=5X+10）这个方程还可以继续整理，怎么继续整理？（指准方程）先把右边的5x和10都移到左边去，再合并，得到3x2-8x-10=0 （边讲边板书：3x2-8x-10=0 ）.师：（指原方程和3x2-8x-10=0 ）大家可以比较这两个方程，这个方程是这个方程经过整理得到的，这个方程的形式又简单又整齐，我们把这种形式叫做一元二次方程的一般形式（板书：一元二次方程的一般形式）.师：从这个例子大家可以看到，任何一个一元二次方程，经过整理，都可以化成一般形式，一般形式就是ax 2+bx+c=0这样的形式（边讲边板书：ax 2+bx+c=0 ）. 师：（指准ax 2+bx+c=0）在一元二次方程的一般形式中，我们把 ax 2叫做二次项，a是二次项系数（板书：其中a 是二次项系数）；bx 叫做一次项，b 是一次项系数 （板书：b 是一次项系数）；c 叫做常数项（板书：c 是常数项）.师：（指准3X 2-8X -10=0 ）譬如，在这个方程中，二次项是 3x 2,二次项系数是3； 一次项是-8x ，一次项系数是-8 ;常数项是-10.师：（指X 2+3X =0）大家看这个方程，它的二次项、二次项系数是什么？ 生：二次项是x 2,二次项系数是1.（多让几名同学回答） 师：（指X 2+3X =0）它的一次项、一次项系数是什么？ 生：一次项是3x , —次项系数是3.（多让几名同学回答） 师：（指X 2+3X =0）它的常数项是什么？ 生：常数项是 0. （多让几名同学回答，如有必要师作解释） 师：（指4X 2-9=0 ）大家再看这个方程，它的二次项、二次项系数是什么？ 生：二次项是4x 2,二次项系数是4. 师：（指4X 2-9=0 ）它的一次项、一次项系数是什么？ 生：……（多让几名同学回答）师：这个方程的一次项可以写成0x （边讲边板书：0x ），所以这个方程的一次项是 0x ，一次项系数是0.2师：（指4x-9=0）它的常数项是什么？ 生：常数项是 -9.师：前面我们学习了一元二次方程的概念和一般形式，下面请大家利用这些知识 来做几个练习 . 三）试探练习，回授调节1. 填空：（1） 把 5x 2-1=4x 化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一 次项系数是，常数项是；（2） 把 4x 2=81 化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次 项系数是，常数项是；（3） 把 x （x+2）=15 化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；（4）把（3x-2）（x+1）=8x-3 化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系 数是，一次项系数是，常数项是 . 2. 填空：（1） 一个一元二次方程，它的二次项系数为 这个一元二次方程是；（2） 一个一元二次方程，它的二次项系数为 这个一元二次方程是； （3） 一个一元二次方程，它的二次项系数为 这个一元二次方程是；（4） 一个一元二次方程，它的二次项系数为这个一元二次方程是四）归纳小结，布置作业 师：这节课我们学习了什么？哪位同学能帮老师小结一下? 生：……（让一两名学生小结）（作业：P 28习题1） 四、板书设计2，一次项系数为 3，常数项为 -5 ， 1，一次项系数为 -3，常数项为 3， 5，一次项系数为 -1 ，常数项为 0， 1-6课题：22.1 一元二次方程（第2课时） 一、 教学目标1. 知道什么是一元二次方程的解（根）.2. 会用直接开平方法解一元二次方程，渗透转化思想 .二、 教学重点和难点1. 重点：一元二次方程解（根）的概念，直接开平方法 .2. 难点：直接开平方法.三、 教学过程（一） 基本训练，巩固旧知1. 填空：（1）只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程；⑵ax 2+bx+c=0（a 工0）这种形式叫做一元二次方程的形式，其中 是二次项系数，是一次项系数，是常数项. 2. 填空：（1） 把（x+3）（x-4）=0 化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是， 一次项系数是，常数项是；（2） 把（2x+1） 2=4x 化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是， 一次项系数是，常数项是.（二） 尝试指导，讲授新课师：（板书：2x-6=0 ）这是一个一元一次方程，这个方程的解是什么？ 生：（齐答）解是x=3.（师板书：解是x=3）师：（指准方程）2x-6=0的解是x=3，这话是什么意思？（稍停）把x=3代入方程， 左边=2X3-6=0，右边=0，左边和右边恰好相等.2x-6=0的解x=3，意思是，x=3 能使方程左右两边恰好相等.师：（板书：x 2-x=0 ）这是一个一元二次方程，这个方程的解是什么？（让生思考 一会儿再叫学生）生：解是x=0.（师板书：x=0）师：（指准方程）把x=0代入方程，左边和右边相等，所以x=0是这个一元二次方 程的一个解. 师：除了 x=0,这个方程还有没有别的的解？ 生：x=1.（师板书：x=1）师：（指准方程）把x=1代入方程，左边和右边相等，所以x=1也是这个一元二次 方程的一个解• 师：可见x 2-x=0有两个解，一个解X i =0 （边讲边标下标），另一个解X 2=1 （边讲边 标下标）. 师：一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根（板书：（根）），所以也可以这样2说，（指准板书）x -x=0有两个根，一个根x i 是0，另一个根X 2是1.一兀一次方程： 3x-5=03x(x-1)=5(x+2) 一兀二次方程：x 2-x=56 3x 2-3x=5x+104x 2-9=03x 2-8x-10=0x 2+3x=0一兀二次方程的一般形式：3y 2-5y=7ax 2+bx+c=0，其中 a 是二 只含有一个未知数……叫做数，c 是常数项.次项系数，b 是一次项系兀二次方程.师：下面请同学们做一个练习.（三）试探练习，回授调节3. 填空：在-4，-3，-2，-1，0，1, 2，3, 4这些数中，是一元二次方程x3 4-x-6=0 的根的是.4. 填空：方程X2-36=0的根是x i=，X2=.（四）尝试指导，讲授新课师：（板书：X2-36=0）刚才我们求了X2-36=0这个一元二次方程的两个根，x i=6, X2=-6.我们是怎么求的？我们是通过凑数字求的.大家可以想到，凑数字求根是有局限性的，什么局限性？（稍停）通过凑数字只能求那些很简单的一元二次方程的根，如果方程稍微复杂一点，数字就不好凑了.譬如，我们把右边的0改为2x （边讲边把X2-36=0中的0改为2x），X2-36=2X这个方程就很难用凑数字来求根.所以，求一元二次方程的根不能光靠凑数字，还需要有专门的方法.师：解一元二次方程的方法有好几种，下面我们先来介绍第一种方法，叫直接开平方法（板书：直接开平方法）.师：怎么用直接开平方法解一元二次方程？（稍停）让我们来看一个例子.（师出示例题）例解下列一元二次方程：（1）4X2-9=0；（2）3（2X-1）2=15.（师边讲解边板书，解题过程如下所示）9解：（1）原方程化成x2=-.43开平方，得x= 一，2x2=常数，或者含x的式子的平方=常数的形式（板书：第一步：化成什么2=常数）；第二步开平方，把一元二次方程化成一元一次方程（板书：第二步：开平方）；第三步解一元一次方程，得到两个根（板书：第三步：解一元一次方程）•师：下面请同学们按这三步来做两个题目•（五）试探练习，回授调节5. 完成下面的解题过程：⑴解方程：2X2-6=0；解：原方程化成•开平方，得，X 1=，X2=.2（2）解方程：9（x-2） =1.解：原方程化成•3 3X1= ，X2=- _ .2 2（2）原方程化成（2x-1）2 = 5.开平方，得2x-1= _「5，开平方，得，X 1=，X2=.（六）归纳小结，布置作业师：（指准板书）本节课我们学习了一元二次方程根的概念，还学习了用直接开平方法解一元二次方程.用直接开平方法解一元二次方程有这么三步，第一步把原方程化成什么2=常数这种形式；第二步开平方，把一元二次方程化成一元一次方程，也就是把二次降为一次（板书：降次）；第三步解一元一次方程，得到两个根•（作业：P28习题3，F42习题1）四、板书设计课题：22.2.1配方法（第1课时）一、教学目标1. 经历探究过程，会用配方法解较简单的一元二次方程（二次项系数为1）2. 培养思考能力和探索精神.二、教学重点和难点1. 重点：用配方法解一元二次方程.2. 难点：配方.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1. 完成下面的解题过程：2（1）解方程：2X -8=O ；解：原方程化成.开平方，得，X 1=，X2=.2（2）解方程：3（x-1） -6=0.解：原方程化成•开平方，得，X 1=, X2=.（二）尝试指导，讲授新课（师出示下面的板书）直接开平方法：第一步：化成什么2二常数；第二步：开平方降次；第三步：解一元一次方程•师：上节课我们学习了用直接开平方法解一元二次方程.（指准板书）用直接开平方法解一元二次方程有这么三步，第一步化成什么2=常数；第二步开平方降次，把一元二次方程转化为一元一次方程；第三步解一元一次方程，得到两个根.师：按这三步，我们来做一个题目•（师出示例1）例1解方程：X2-4X+4=5.（先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）解：原方程化成（X-2）2=5.开平方，得x-2= _書，X1=、5 +2，x2=- 5 +2.（三）试探练习，回授调节2. 完成下面的解题过程：解方程：9X2+6X+1=4;解：原方程化成.开平方，得，x 1=，X2=.（四）尝试指导，讲授新课师：下面我们再来做一个题目.（师出示例2）例2 解方程：X2+6X-16=0.师：（指准板书）怎么解这个一元二次方程？（稍停）还是要按这三步来做.按这三步来做，关键是哪一步？（稍停）关键是第一步，把方程化成什么2二常数的这种样子，也就是左边化成含有x的式子的平方，右边是一个常数这种样子.怎么化呢？大家自己先化一化.（生尝试，师巡视）师：下面我们一起来化.师：（指准方程）要把这个方程化成什么2二常数这种样子，首先要把常数项移到右边去（板书：解：移项，得X2+6X=16），然后在这个方程的两边加上32（板书：X2+6X+32=16+32），左边X2+6X+3等于什么？（稍停）等于（x+3）2（边讲边板书：（x+3）2），右边16+32等于25 （边讲边板书：=25）.这样我们把原方程化成了含有x的式子的平方二常数这种样子.师：方程化成这种样子，下面就很好做了•开平方，得x+3=± 5 (边讲边板书：开平方，得x+3= ±5)，解一元一次方程，得到两个根，x i=2，X2=-8 (边讲边板书：x1=2，x2=-8).师：(指准解题过程)这个题目做完了，通过做这个题目，大家不难发现，解这个题目的关键是在方程两边加上32，把方程的左边配成(x+3) 2. 这样做叫什么？叫配方(板书：配方) .师：像这道例题那样，通过把方程左边配成平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法(板书：配方法 ) .师：下面请大家做几个有关配方法的练习.(五)试探练习，回授调节3. 填空：⑴x 2+2 - x • 2+=(x+)2;(2) x 2-2 • x • 6+=(x-) 2;22(3) x 2+10x+=(x+) 2;(4) x 2-8x+=(x-) 2.4. 完成下面的解题过程：2解方程：x2-8x+1=0 ; 解：移项，得.配方，得，开平方，得，x 1=，x2=.5. 用配方法解方程：x2+10x+9=0.(六)归纳小结，布置作业师：这节课我们学习了什么？(稍停)我们学习了用配方法解一元二次方程. 怎么用配方法解一元二次方程？(指准板书)和直接开平方法一样，都是这么三步，所不同的是，直接开平方法很容易把原方程化成什么2=常数这种样子，而配方法需要通过配方才能把原方程化成这种样子.课外补充作业：6. 填空：22(1) x -2 • x • 3+=(x-);22(2) x +2 - x • 4+=(x+);(3) x 2-4x+=(x-) 2；22(4) x 2+14x+=(x+) 2.7. 完成下面的解题过程：解方程：x2+4x-12=0. 解：移项，得.配方，得，开平方，得，x 1=，x2=.8. 用配方法解方程：x2-6x+7=0.课题：2221配方法(第2课时)一、教学目标1. 会用配方法解一元二次方程(二次项系数不为1).2. 培养数感和运算能力.二、教学重点和难点1. 重点：用配方法解一元二次方程.2. 难点：配方法.三、教学过程(一)基本训练，巩固旧知1. 完成下面的解题过程：用配方法解方程：X2-12X+35=0.解：移项，得.配方，得，开平方，得，X 1=，X2=.2. 填空：2 1 2(1) X -2 • X •+=(x-);3(2) X 2+5X+=(X+)2;2 3 2(3) X ——X+=(X-);2(4) X 2+X+=(X+)2.(订正时告诉学生，加上的那个数是一次项系数一半的平方)(二)尝试指导，讲授新课(师出示下面的板书)配方法第一步：化成什么2二常数；第二步：开平方降次；第三步：解一元一次方程.师：(指准板书)上节课我们学习了用配方法解一元二次方程.怎么用配方法解一元二次方程？有这么三步，第一步：通过移项、配方把原方程化成什么2二常数这种样子；第二步：开平方，把一元二次方程转化为一元一次方程；第三步：解一元一次方程，得到两个根.在这三步中，第一步中的配方是关键，所以这种解法叫做配方法.师：下面我们用配方法再来解几个一元二次方程，先看例 1.（师出示例1）（三）尝试指导，讲授新课1例1用配方法解方程：X2+5X+—=0.4（先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）1解：移项，得X2+5X=-.42 2配方X2+5X+ '5）=-丄+ ' 5），I2丿4C丿2（5 ）x+—=6 ..2开平方，得X+-= _ J6，2X1 = - + -6，X2=_ ?- . 6.2 2（四）试探练习，回授调节3. 完成下面的解题过程：27用配方法解方程：X -X- =0.4解：移项，得• 配方，开平方，得，X 1=，X2=.（五）尝试指导，讲授新课师：下面我们再来做一个题目•（师出示例2）例2用配方法解方程：2X2+仁3x.师：（指准方程）这个方程与例1这个方程有点区别，区别在哪儿？（稍停）区别主要是，例1这个方程的二次项系数是1,而这个方程的二次项系数不是1.怎么办？我们可以设法把这个方程二次项系数化为 1.下面大家自己先试着做一做.（以下生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）解：移项，得2X2-3X=-1.3 1二次项系数化为1，得X2--X=--.2 2配方23 (3 y 1 (3 > X - — X + —= - --- + ----- 2I4丿2I4丿(3 [ 1X-— | =—1 4丿163 1开平方，得x- —= ±-,4 41X1 = 1,X2=2（六）试探练习，回授调节4. 完成下面的解题过程：用配方法解方程：3X2+6X+2=0.解：移项，得•二次项系数化为1,得• 配方，开平方，得，X 1 = ,X 2=.5. 用配方法解方程：9X2-6X-8=0.（七）归纳小结，布置作业师：这节课我们继续学习了用配方法解一元二次方程，（指板书）用配方法解一元二次方程就这么三步，解题的关键是第一步•怎么做第一步？（指例2）先移项, 再把二次项系数化为1,然后配方.配方时，要在方程两边加上一次项系数一半的平方•（作业：P42习题2.3.）四、板书设计课题：2221配方法（第3课时）一、教学目标1. 会先整理再用配方法解一元二次方程（包括没有实数根的情况）2. 培养数感和运算能力.二、教学重点和难点1. 重点：先整理再用配方法解一元二次方程.2. 难点：没有实数根的情况.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1. 完成下面的解题过程：用配方法解方程：3X2+6X— 4=0.解：移项，得.二次项系数化为1,得.配方，开平方，得,1 = ,X 2=.（二）创设情境，导入新课师：上节课我们用配方法解了几个一元二次方程，这节课我们用配方法再来做几个题目.（三）尝试指导，讲授新课（师出示例题）例用配方法解方程：（1）（x-2）（x+3）=6 ；（2）3x（x-1）=3x-4.（先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）解：⑴整理，得X56+X-12=0.移项，得x2+x=12.（1 \ （1 \配方x2+x+ — =12+1—，I2丿I2丿21 49i x+—=.2 71 7开平方，得X+ =_ ,2 2X1=3，X2=-4.（2）整理，得3X2-6X+4=0.移项，得3x2-6x=-4.4二次项系数化为1，得x2-2x=--34酉己方x2- 2x + 12 =- +1，5 1x-1 =- 3.原方程没有实数根.师：例题做完了，从这个例题，谁能概括怎么用配方法解一元二次方程？（让生思考一会儿，再叫学生）生：……（让一两名好生回答）师：用配方法解一元二次方程，（指准例2）第一步要把原方程化成什么2二常数这种样子，怎么化呢？（稍停）先整理，把原方程化成一元一次方程的一般形式；再移项；然后把二次项系数化为1;然后再配方，配方时，在方程两边加上一次项系数一半的平方•第一步完成后，看右边的常数，如果右边的常数为负数，说明原方程没有实数根；（指准例1）如果右边的常数为非负数，则继续第二步第三步，第二步开平方，第三步解一元一次方程得到两个实数根•（四）试探练习，回授调节2. 完成下面的解题过程：用配方法解方程：（2x-1）2=4x+9.解：整理，得•移项，得•二次项系数化为1,得. 配方， 开平方，得，X1= ,x 2=.3. 用配方法解方程：（2x+1）（x-3）=x-9.（五）归纳小结，布置作业师：本节课我们用配方法解了几个一元二次方程，通过做题，同桌之间互相说一 说，怎么用配方法解一元二次方程？（同桌之间互相说）（作业：P 34练习 2（5）（6））四、板书设计（略） 课题：2222公式法（第1课时） 一、 教学目标1. 经历一元二次方程求根的推导过程，会用公式法解一元二次方程2. 发展符号感.二、 教学重点和难点1. 重点：一元二次方程求根公式的推导和运用.2. 难点：一元二次方程求根公式的推导.三、 教学过程（一）尝试指导，讲授新课什么2=常数这种形式，接下来怎么做呢？师：（指准方程）接下来开平方（板书：开平方，得），x + 2=（边讲边2a \ 4a 2板书：x+ 2=±J£J^），这个二次根式还可以化简，化简结果是沁竺（边 2a 4a 2 2a讲边将上面的二次根式改写成 ^2~4aC ）.2a师：（板书：ax 2+bx+c=0，并指准）这是一个一元二次方程，x 是未知数，a ，b ， c 都是常数，而且a ^ 0（板书：（a 工0））.怎么用配方法来解这个一元二次方程？ 大家自己先试一试.（生尝试，师巡视，要给学生充足的尝试时间） 师：我们一起来解这个 样子，怎么化呢？ 先把常数项c 移到右边 元二次方程 .首先我们要把这个方程化成什么2=常数这种 师:（板书: 师: 再把二次项系数化为1，得移项，得 ax 2+bx=-c ).b2x 2 + x =-ac-（板书：二次项系数化为 1，得a师: b c、 + —x =-—）.a a然后配方（板书：配方） 半的平方（板书：，怎么配方？（稍停）在方程两边加上一次项系数一（b "2），左边是x + —（板书:I 2a 丿b c b 一=-— + 1 2a'a 2 ax+1=)，右边=- .2ac b 2 b 2 c b 2 4ac b 2 - 4a c-+ —= -------- = --------- = -------- （边讲边在黑板的其它 4 22a 2 4a 22 ,24a 2 a 4a 2 4a 2 4a 2fh地方板演），所以X+—22 I 2a 丿 4a 24a 2师：（指准板书）通过移项、二次项系数化为 1、配方，现在我们把原方程化成了” ,b 2 - 4ac（边讲边板书：一）. b 2X + —X +a师：（指准方程）把&移到方程右边去，可以解出X，x=^ 士竺（边讲边板2a 2a书：）.2a师：x i=-b72-4ac（边讲边板书），x2=-b-"2-4ac（边讲边板书）.2a 2a师：（指准板书）这个方程解完了，通过解这个方程我们得出，一元二次方程2 -b ・. b2-4acax +bx+c=0的两个根是x= （在这个式子外加框）.2a师：（指ax2+bx+c=0）忙乎了半天，有的同学可能会问：这个方程尽是字母，很难解，解它有什么用？是啊，大家想一想，解这个方程有什么用啊？（让生思考一会儿，再叫学生）生：（让几名同学发表看法）师：以前我们解一元二次方程用的是配方法，要一步一步来解，过程比较麻烦•现在好了，通过解这个方程，（指准求根公式）有了这个式子，只需要把二次项系数a、一次项系数b、常数项c代入这个式子，就可以求出根.因为利用这个式子可直接求根，所以我们把这个式子叫做一元二次方程的求根公式（板书：求根公式）.师：（指求根公式）求根公式挺复杂，大家把求根公式写一写，记一记，熟悉熟悉.（生熟悉公式）师：下面我们利用求根公式来解几个一元二次方程•（师出示例题）例利用求根公式解下列方程：（1）x2-4x-7=0 ; （2）5x2-3x=x+1 ;（3）2x2-2、、2 x+1=0 ; （4）X2+17=8X.师：（指（1）题）怎么利用求根公式解这个一元二次方程？（板书：解：（1））师：（指（1）题）首先要找出这个方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，这个方程的a，b，c等于什么？生：a=1，b=-4，c=-7 （生答师板书：a=1，b=-4，c=-7）.师：找出了a，b，c，接下来干什么？接下来要计算b2-4ac的值（板书：b2-4ac= ）.b2-4ac=（-4）2-4 x 1X （-7）=44 （边讲边板书：（-4）2-4 X1 x（-7）=44 ）师：大家可能觉得有点奇怪，找出了a，b，c，为什么不把a，b，c直接代入求根公式，而是先计算b2-4ac的值？（稍停后指准求根公式）大家看求根公式，公式中这个二次根式的被开方数是b-4ac，可见b2-4ac必须大于等于0.计算b2-4ac 的目的是什么？目的是看一看b2-4ac的值是大于等于0还是小于0.如果b2-4ac 的值大于等于0,下一步才把a，b，c代入求根公式；如果b2-4ac的值小于0, 这个二次根式没有意义，说明方程没有实数根.总之，要根据b2-4ac 值的符号来决定下一步怎么做，所以不能直接把a，b，c代入求根公式，先要求b2-4ac的值•师：（指准板书）这个方程的b2-4ac等于44,大于0 （边讲边板书：〉0），所以下一步可以把a，b，c代入求根公式.师：乂：-冃：”兀鼻連（边讲边板书）.2a 2x1 2师：x1=2+、、肓，x!=2- ...77 （边讲边板书）•（以下师边讲解边板书其它各题，解题过程如下）（2）整理，得5x2-4x-1=0.a=5，b=-4，c=-1，b2-4ac=（-4）2-4 X5 x（-1）=36 > 0.-b _■. b2 - 4ac - （ - 4） _ . 3"6 4 _6x = = =—2a 2 5 10’4+6 4- 6 1x1= =1，x1= =-一 .1 0 1 0 5（3）a=2，b=-2 &，c=1，b2-4ac=（-2 仍）2-4 >2 X1=0.-W b2- 4ac - （ - 2、、2） _ 0 2、、2 _0 x= = =一2 a 2 :：2 4逅x1 =x2 =. 2⑷整理，得X2-8X+17=0.a=1，b=-8，c=17，b2-4ac=（-8）2-4 > >7=-4 v 0.方程没有实数根•（二）试探练习，回授调节1. 完成下面的解题过程：利用求根公式解方程：X2+X-6=0.解: a=，b=，c=.b 2-4ac== > 0.-b . b2 - 4a cx = -------------------------- = ___________________2ax’=_________ ，乂产___________2. 利用求根公式解下列方程：（1）x2- . 3x- =0 ;4⑵4X2+4、、5X+5=0 ;⑶3x 2-4X+2=0 ;(三)归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了利用求根公式解一元二次方程，利用求根公式解一元二次方程，这种方法叫公式法(板书课题：22.2.2公式法).师：和配方法相比，用公式法解一元二次方程要简单得多，不过我们还要看到，公式法所用的求根公式是用配方法推导出来的，所以我们说，公式法更简单，配方法更基本.(作业：P42 习题5(1)(2)(5)(6))四、板书设计(略)2222公式法ax2+bx+c=0(a 和) 例移项，得……二次项系数化为1，得……配方……开平方，得••…X l= ....... X2 =课题：22.2.2公式法(第2课时)一、教学目标1. 会较熟练地用公式法解一元二次方程•2. 知道什么是判别式，会根据判别式的值确定解的情况二、教学重点和难点1. 重点：根据判别式的值确定解的情况.2. 难点：根据判别式的值确定解的情况.三、教学过程(一)基本训练，巩固旧知1. 完成下面的解题过程：用公式法解下列方程：2(1) 2X -3X-2=0.解: a=，b=，c=.b 2-4ac== > 0.-b 二b2 - 4a cX = = _______________2a，X1= ______________X1= ____________(2) X(2X-, 6 )= 6 X-3.解：整理，得.a=，b=，c=.b 2-4ac==.-b _ . b2 - 4a cx= = ---------------------------------------- = ------------------- , 2ax1 =x2 = ____________ .2（3）（x-2）=x-3.解：整理，得•a=, b=, c=.b 2-4ac== v 0.方程实数根•（二）尝试指导，讲授新课（师出示下面的板书）一元二次方程ax2+bx+c=0（1）当b2-4ac时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2-4ac时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2-4ac时，方程没有实数根.师：刚才我们解了个一元二次方程，我们是怎么解方程的？（稍停）师：（指准板书）首先我们把方程化成一元二次方程的一般形式，也就是ax2+bx+c=0这样的形式.2 2师：然后计算b-4ac的值，（指准板书）当b-4ac的值怎么样时，方程有两个不相等的实数根？生：当b2-4ac >0时（多让几名同学回答，然后师填入：〉0）.2师：（指准板书）当b-4ac的值怎么样时，方程有两个相等的实数根？生：当b2-4ac二0时（多让几名同学回答，然后师填入：二0）. 师：（指准板书）当b2-4ac的值怎么样时，方程没有实数根？生：当b2-4ac v0时（生答师填入：v 0）.师：（指板书）通过解一元二次方程，我们得到了这个的结论，请大家一起来把这个结论读两遍.（生读）师：（指板书）这是一个很重要的结论，这个结论告诉我们，一元二次方程根的情况由式子b2-4ac决定，所以我们把式子b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式（板书：b2-4ac叫做根的判别式），记作△（板书：记作△）.师：下面我们就利用这个结论来做一个题目.（师出示下面的例题）例利用判别式判断下列方程的根的情况：（1）2x2+3x-4=0 ;⑵4y2+9=12y ;（3）5（X2+1）-7X=0.（师边讲解边板书，解题过程如下）解：⑴a=2，b=3，c=-4.△=b2-4ac=3 2-4 X2 X-4）=9+32 > 0，方程有两个不相等的实数根.（2）整理，得4y2-12y+9=0a=4 , b=-12 , c=9.△=b2-4ac=(-12) 2-4 X4 X9=144-144=0 ,方程有两个相等的实数根•(3) 整理，得5X2-7X+5=0a=5 , b=-7 , c=5.△=b2-4ac=(-7) 2-4 >5 >5=49-100 v 0,方程没有实数根•(三)试探练习，回授调节2. 利用判别式判断下列方程的根的情况：2(1) X-5X=-7；⑵(x-1)(2x+3)=x ；(3)X2+5=2、、5 X.(四)归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了什么？(稍停)我们学习了利用判别式判断方程根的情况请大家再把这个结论读一遍.(生读)(作业：P42 习题4.5(3)(4))四、板书设计(略)一元二次方程ax2+bx+c=0 例(1)当b2-4ac > 0时……⑵当b2-4ac=0时……⑶当b2-4ac v 0时……课题：22.2.3因式分解法(第1课时)一、教学目标1. 会用因式分解法解一元二次方程，领会因式分解法的实质是降次2. 培养式的变形能力，发展符号感.二、教学重点和难点1. 重点：用因式分解法解一元二次方程.2. 难点：式的变形.三、教学过程(一)基本训练，巩固旧知1. 完成下面的解题过程：用公式法解方程：2X(X-1)+6=2(0.5X+3)解：整理，得.a=，b=，c=.b 2-4ac== > 0.X=--------------------- = ------- ，.X1= ----------- ，X2= --------------(二)尝试指导，讲授新课师：刚才我们解了一个方程，我们是怎么解的？（稍停）我们先整理得到了方程2X2-3X=0（边讲边板书：2X2-3X=0），然后用公式法求出两个根.师：（指2X2-3X=0）除了用公式法，大家想一想，还有别的更简单的方法解这个方程吗？（让生思考一会儿）师：（指2X2-3X=0）我们把这个方程的左边分解因式（板书：因式分解，得），得到X（2X-3）=0（边讲边板书：X（2X-3）=0）.师：（指准X（2X-3）=0）X乘以2X-3等于0,这说明什么？生：... （多让几名同学发表看法）师：（指准X（2X-3）=0）X乘以2X-3等于0，说明X=0或者2X-3=0（板书：于是得X=0或2X-3=0）.师：（指准板书）这样我们通过因式分解把一元二次方程转化成了两个一元一次方程.接下来解这两个一元一次方程，由X=0得到X I=0（板书：X i=0），由2X-3=0，3 3得到X2=-（板书：X2=-）.2 2师：（指板书）用这种方法解出的结果与用公式法解出的结果是一样的，但显然用这种方法解更简。