历年全国高中数学联赛试题及答案9806

1988年全国高中数学联赛试题
第一试(10月16日上午8∶00——9∶30)
一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：
1．设有三个函数，第一个是y=φ(x )，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x +y=0对称，那么，第三个函数是( )
A ．y=－φ(x )
B ．y=－φ(－x )
C ．y=－φ－1(x )
D ．y=－φ－
1(－x ) 2．已知原点在椭圆k 2x 2+y 2－4kx +2ky +k 2－1=0的内部，那么参数k 的取值范围是( ) A ．|k |>1 B ．|k |≠1 C ．－1<k <1 D ．0<|k |<1 3．平面上有三个点集M ，N ，P ：
M={(x ，y )| |x |+|y |<1}，
N={(x ，y )|
(x －12)2+(y +12
)2+
(x +12)2+(y －1
2
)2<22}， P={(x ，y )| |x +y |<1，|x |<1，|y |<1}．则
A ．M
P
N B ．M
N
P C ．P
N
M D ．A 、B 、C 都不成立
4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a ，β∩γ=b ，γ∩α=c ．若有 命题甲：θ>π
3
；
命题乙：a 、b 、c 相交于一点． 则
A ．甲是乙的充分条件但不必要
B ．甲是乙的必要条件但不充分
C ．甲是乙的充分必要条件
D ．A 、B 、C 都不对
5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I 表示所有直线的集合，M 表示恰好通过1个整点的集合，N 表示不通过任何整点的直线的集合，P 表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式 ⑴ M ∪N ∪P=I ； ⑵ N ≠Ø． ⑶ M ≠Ø． ⑷ P ≠Ø中，正确的表达式的个数是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：
1．设x ≠y ，且两数列x ，a 1，a 2，a 3，y 和b 1，x ，b 2，b 3，y ，b 4均为等差数列，那么b 4－b 3
a 2－a 1= ．
2．(x +2)2n +1的展开式中，x 的整数次幂的各项系数之和为 ．
3．在△ABC 中，已知∠A=α，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，则DE
BC
= ．
4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为 ．
三．(15分)长为2，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积． 四．(15分) 复平面上动点Z 1的轨迹方程为|Z 1－Z 0|=|Z 1|，Z 0为定点，Z 0≠0，另一个动点Z 满足Z 1Z=－1，求点Z 的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置．
五．(15分)已知a 、b 为正实数，且1a +1
b =1，试证：对每一个n ∈N *，
(a +b )n －a n －b n ≥22n －2n +1．
1988年全国高中数学联赛二试题
一．已知数列{a n }，其中a 1=1，a 2=2，
a n +2=⎩⎨⎧5a n +1－3a n (a n ·a n +1为偶数)，a n +1－a n (a n ·
a n +1为奇数)．
试证：对一切n ∈N*，a n ≠0．
二．如图，在△ABC 中，P 、Q 、R 将其周长三等分，且P 、Q 在AB 边上，求证：
S
PQR
S
ABC >29
．
三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l 1，l 2，……，l n ，…的直线族，它满足条件： ⑴ 点(1，1)∈l n ，(n=1，2，3，……)； ⑵ k n +1=a n －b n ，其中k n +1是l n +1的斜率，a n 和b n 分别是l n 在x 轴和y 轴上的截距，(n=1，2，3，……)； ⑶ k n k n +1≥0，(n=1，2，3，……)． 并证明你的结论．
1992年全国高中数学联赛试卷
第一试
一．选择题(每小题5分，共30分)
1. 对于每个自然数n ，抛物线y =(n 2
＋n )x 2
-(2n ＋1)x ＋1与x 轴交于A n ，B n 两点，以|A n B n |表示该两点的距离，则|A 1B 1|
＋|A 2B 2|＋ ＋|A 1992B 1992|的值是( )
(A)19921991 (B)19931992
(C)19931991
(D)1992
1993
2. 已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是( )
(A)(x ＋21y -)(y ＋21x -)=0 (B)(x -21y -)(y -21x -)=0 (C)(x ＋
21y -)(y -21x -)=0 (D)(x -21y -)(y ＋21x -)=0
3. 设四面体四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，它们的最大值为S ，记λ=
)
(4
1∑=i i S /S ，则λ一定满足( )
(A)2<λ≤4 (B)3<λ<4 (C)2.5<λ≤4.5 (D)3.5<λ<5.5
4. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别记为a ，b ，c (b ≠1)，且A B
A C sin sin ,都是方程
x b
log =log b
(4x -4)的根，
则△ABC ( )
N A
C
B
P
Q R H 11
O -1
-1
x
y
(A)是等腰三角形，但不是直角三角形 (B)是直角三角形，但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形，也不是直角三角形
5. 设复数z 1，z 2在复平面上对应的点分别为A ，B ，且|z 1|=4，4z 12
-2z 1z 2＋z 22
=0，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )
(A)8
3 (B)43 (C)63 (D)123
6. 设f (x )是定义在实数集R 上的函数，且满足下列关系f (10＋x )=f (10-x )， f (20-x )=-f (20＋x )，则f (x )是
(A)偶函数，又是周期函数 (B)偶函数，但不是周期函数 (C)奇函数，又是周期函数 (D)奇函数，但不是周期函数
二．填空题(每小题5分共30分)
1. 设x ，y ，z 是实数，3x ，4y ，5z 成等比数列，且
z y x 1,1,1成等差数列，则x z z x +的值是______．
2. 在区间[0，π]中，三角方程cos7x =cos5x 的解的个数是______．
3. 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k 的最大值是
_____．
4. 设z 1
，z 2
都是复数，且|z 1
|=3，|z 2
|=5|z 1
＋z 2
|=7，则arg(12
z z )3
的值是______．
5. 设数列a 1，a 2， ，a n ， 满足a 1=a 2=1，a 3=2，且对任何自然数n ， 都有a n a n ＋1a n ＋2≠1，又a n a n ＋1a n ＋2a n ＋3=a n ＋a n ＋1
＋a n ＋2＋a n ＋3，则a 1＋a 2＋ ＋a 100的值是__ __．
6. 函数f (x )=
13
6324+--x x x -
124+-x x 的最大值是_____．
三、(20分)求证：17
11680
1<<∑=k k ．
四、(20分)设l ，m 是两条异面直线，在l 上有A ，B ，C 三点，且AB =BC ，过A ，B ，C 分别作m 的垂线AD ，BE ，CF ，垂足依
次是D ，E ，F ，已知AD =
15，BE =2
7CF =
10，求l 与m 的距离．
五、(20分)设n 是自然数，f n
(x)=
111---+--x x x x n n (x ≠0，±1)，令y =x ＋x
1
.
1.求证:f n ＋1(x)=yf n (x)-f n －1(x)，(n>1)
2.用数学归纳法证明：
f n (x )=
⎪⎩⎪⎨⎧-=-++-++-=-++-++--+---------),21,,2,1(,)1()1(),2
,,2,1(,)1()1(2
12
12122112
22
11
为奇数为偶数n n i C y C y C y n n i y C y C y n n n i n i i n i n n n
n i
n i i
n i
n n n
1993年全国高中数学联合竞赛试卷
第 一 试
一．选择题(每小题5分，共30分)
1． 若M ＝{(x ，y )| |tg πy |+sin 2
πx =0}，N ＝{(x ，y )| x 2
+y 2
≤2}，则M N 的元素个数是（ ）
(A)4 (B )5 (C )8 (D )9
2． 已知f (x )＝asinx +b +4(a ，b 为实数)，且 f (lglog 310)=5，则f (lglg 3)的值是（ ）
(A)-5 (B )-3 (C )3 (D )随a ，b 取不同值而取不同值
3． 集合A ，B 的并集A B ＝{a 1，a 2，a 3}，当A ≠B 时，(A ，B )与(B ，A )视为不同的对，则这样的(A ，B )对的个数是（ ）
（A ）8 （B ）9 （C ）26 （D ）27
4． 若直线x ＝4π
被曲线C ：(x －arcsina )(x －arccosa )＋(y －arcsina )(y ＋arccosa )＝0所截的弦长为d ，当a 变化时
d 的最小值是( )
(A) 4π (B ) 3π (C )2π
(D )π
5． 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若c -a 等于AC 边上的高h ，则
2cos 2sin A
C A C ++-的值是( )
(A)1 (B )21 (C )31
(D )-1 6． 设m ，n 为非零复数，i 为虚数单位，z ∈C ，则方程| z ＋ni |＋| z －mi |＝n 与| z ＋ni |－|z －mi |＝－m 在同一复平
面内的图形(F 1，F 2为焦点)是( )
二．填空题（每小题5分，共30分）
1． 二次方程(1－i )x 2
＋(λ＋i )x ＋(1＋i λ)＝0(i 为虚数单位，λ∈R )有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为
________．
2． 实数x ，y 满足4x 2
－5xy ＋4y 2
＝5，设 S ＝x 2
＋y 2
，则=+min max
11S S _____ __．
(A)
(B)
(C)
(D)
3． 若z ∈C ，arg (z 2-4)＝6
5π
，arg (z 2
+4)＝3π
，则z 的值是_ _______．
4． 整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡+310103193的末两位数是_______．
5． 设任意实数x 0＞x 1＞x 2＞x 3＞0，要使
1993log 1993log 1993log 3
22110x x x x x x ++≥
1993
log 3
0x x k ⋅恒成立，则k 的
最大值是_____ __．
6． 三位数(100，101， ，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，
倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片则不然，如531倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡
二用，于是至多可以少打印__ ___张卡片．
三．（本题满分20分）
三棱锥S －ABC 中，侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，M 为三角形ABC 的重心，D 为AB 的中点，作与SC 平行的直线DP ．证明：(1)DP 与SM 相交；(2)设DP 与SM 的交点为D '，则D '为三棱锥S －ABC 的外接球球心． 四．（本题满分20分）
设0＜a ＜b ，过两定点A (a ，0)和B (b ，0)分别引直线l 和m ，使与抛物线y 2
＝x 有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l 与m 的交点P 的轨迹． 五．（本题满分20分）
设正数列a 0，a 1，a 2， ，a n ， 满足
12122----=-n n n n n a a a a a (n ≥2)且a 0
＝a 1
＝1．求{a n
}的通项公式．
1994年全国高中数学联赛试题
第 一 试
一．选择题(每小题6分，共36分)
1．设a ，b ，c 是实数，那么对任何实数x ， 不等式0cos sin >++c x b x a 都成立的充要条件是
(A)a ，b 同时为0，且c >0 (B)
a b c 22+=
(C)
a b c 22+< (D)a b c 22+>
2．给出下列两个命题： (1)设a ，b ，c 都是复数，如果a
b c 2
22+>，则a b c 2220+->；
(2)设a ，b ，c 都是复数，如果a b c 2
220+->，则a b c 222+>．
那么下述说法正确的是
(A)命题(1)正确，命题(2)也正确 (B)命题(1)正确，命题(2)错误 (C)命题(1)错误，命题(2)也错误 (D)命题(1)错误，命题(2)正确
3．已知数列{}a n 满足3411
a a n n n ++=≥()，且a 19=，其前n 项之和为S n ，则满足不等式
||S n n --<
61
125
的最小整数n 是
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
4．已知
40,10π
<
<<<a b ，则下列三数：x a b a =(sin )log sin ，y a b a
=(cos )log cos ， z a b a =(sin )log cos 的大
小关系是
(A)x ＜z<y (B)y ＜z ＜x (C)z ＜x ＜y (D)x ＜y ＜z 5．在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是
(A)
(
,)n n -2ππ (B)(,)n n -1ππ (C)(,)02π (D)(,)n n n n --21
ππ
6．在平面直角坐标系中，方程||||
x y a x y b ++-=221(a ，b 是不相等的两个正数)所代表的曲线是
(A)三角形 (B)正方形 (C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形 二、填空题(每小题9分，共54分)
1．已知有向线段PQ 的起点P 和终点Q 的坐标分别为(-1，1)和(2，2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与PQ 的延长线相交，则m 的取值范围是__ ____．
2．已知x y a R ,[,],∈-∈ππ
44且⎩
⎨⎧=++=-+0cos sin 40
2sin 3
3a y y y a x x ，则cos()x y +2=_____． 3．已知点集})25()4()3(|),{(222≤-+-=y x y x A ，
}
)25
()5()4(|),{(222>-+-=y x y x B ，则点集A B 中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为_____．
4．设0<<θπ，则sin (cos )
θ
θ21+的最大值是______．
5．已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，则sin α=___
6．已知95个数a a a a 12395,,,, ， 每个都只能取＋1或-1两个值之一，那么它们的两两之积的和
a a a a a a 12139495+++ 的最小值是_ __．
1995年全国高中数学联赛
第 一 试
一．选择题(每小题6分，共36分)
1. 设等差数列{}a n 满足358
13a a =且a 10>，S n 为其前项之和，则S n 中最大的是( )
(A)S 10 (B)S 11 (C)S 20 (D)S 21
2. 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z Z Z 1220,,, ，则复数Z
1
1995，Z 2
1995， ,Z 201995
所
对应的不同的点的个数是( )
(A)4 (B)5 (C)10 (D)20
3. 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称
他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A)1个 (B)2个 (C)50个 (D)100个
4. 已知方程
||()x n k x n N -=∈2在区间(2n -1，2n +1]上有两个不相等的实根，则k 的取值范围是( )
(A)k >0 (B)
01
21<≤
+k n
(C)1
211
21n k n +<≤
+ (D)以上都不是
5.
1tg log ,1sin log ,1tg log ,1cos log 1cos 1cos 1sin 1sin 的大小关系是( ) (A)
1tg log 1log 1sin log 1cos log 1cos 1sin 1cos 1sin <<<tg (B)
1tg log 1cos log 1log 1sin log 1sin 1sin 1cos 1cos <<<tg (C)
1cos log 1sin log 1tg log 1tg log 1sin 1cos 1cos 1sin <<<
(D)
1sin log 1cos log 1tg log 1tg log 1cos 1sin 1sin 1cos <<<
6. 设O 是正三棱锥P -ABC 底面三角形ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于S ，与PA ，PB 的延长线分别交于Q ，R ，则和
式
111PQ PR PS ++
(A)有最大值而无最小值 (B 有最小值而无最大值 (C)既有最大值又有最小值，两者不等 (D)是一个与面QPS 无关的常数 二、填空题(每小题9分，共54分)
1. 设αβ,为一对共轭复数，若||αβ-=23，且
2
βα为实数，则||α=_____．
2. 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_______．
3. 用[x ]表示不大于实数x 的最大整数， 方程
lg [lg ]220x x --=的实根个数是______．
4. 直角坐标平面上，满足不等式组y x y x x y ≤≥
+≤⎧⎨⎪⎩⎪33100
的整点个数是______．
5. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方
法的总数是______．
6. 设M ={1，2，3，…，1995}，A 是M 的子集且满足条件:当x A ∈时，15x A ∉，则A 中元素的个数最多是______．
一九九六年全国高中数学联合竞赛
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
1. 把圆x 2+ (y –1 )2 =1与椭圆9x 2 + (y + 1)2
= 9的公共点, 用线段连接起来的图形是_________. (A) 线段 (B) 不等边三角形 (C) 等边三角形 (D) 四边形
2. 等比数列{a n }的首项a 1＝1536, 公比是q ＝
21
-
． 用T n 表示它的前n 项之积，则T n (n ∈N )最大的是____________
(A) T 9 (B) T 11 (C) T 12 (D) T 13
3.存在在整数n ，使n
n p ++是整数的质数p ．
(A) 不存在 (B) 只有一个 (C) 多于一个，但为有限个 (D)有无穷多个
4设x ∈(–21
，0)，以下三个数： α1=cos(sinx π), α2=sin(cosx π), α3=cos(x+1)π的大小关系是 __________．
(A) α3 < α2 < α1 (B) α1 < α3 < α2 (C) α3 < α1 < α2 (D) α2 < α3 < α1
5.如果在区间[1, 2 ]上, 函数f(x) = x 2 + px + q 与g(x) = x + ()2
在同一点取相同的最小值, 那么f (x )在该区间上的最大值是__________.
(A)
33424114++
(B) 3342254+- (C) 334221
1-- (D)以上答案都不对
6.高为8的圆台内有一个半径为2的球O 1, 球心O 1在圆台的轴上. 球O 1与圆台上底面、侧面都相切. 圆台内可再放入一个半径为3的球O 2, 使得球O 2与球O 1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点, 除球O 2, 圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是_____________.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
二、 填空题(本题满分54分,每小题9分)
1. 集合{x| –1≤ log ()10 <– , x ∈N}的真子集的个数是_____________________．
2. 复平面上非零复数z 1、z 2在以i 为圆心1为半径的圆上，z 1z 1的实部为零，z 1的辐角主值为 π61，则z 2 =
____________．
3.曲线C 的极坐标方程是ρ = 1 + cos θ, 点A 的极坐标是(2, 0)． 曲线C 在它所在的平面内
绕A 旋转一周, 则它扫过的图形的面积是______________．
4.已知将给定的两个全等的三棱锥的底面粘在一起, 恰得到一个所有二面角都相等的六 面体, 并且该六面体的最短棱的长为2, 则最远的两个基本点顶点的距离是__________．
5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色.将一个正方体的六个面染色, 每面恰染一种 颜色, 每两个具有公共棱的面染成不同颜色.则不同的染色方案共有_____________种.
(注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染
色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同).
6.在直角坐标平面上，以（199，0）为圆心，以199为半径的圆周上，整点（即横、纵坐标皆为整数的点）的个数为_______________．
【第二试】
一、（本题满分25分）
设数列{a n }的前n 项和S n =2a n －1（n =1，2，…），数列{b n }满足b 1=3，b k+1=a k +b k （k =1，2，…）。

求数列{b n }的前n 项和. 二、（本题满分25分）
求实数a 的取值范围，使得对任意实数x 和任意θ∈[0，π/2]恒有 （x +3+2sin θcos θ）2+（x +a sin θ+a cos θ）2≥1/8. 三、（本题满分35分）
如图，圆O 1和圆O 2与△ABC 的三边所在的三条直线都相切，E 、F 、G 、H 为切点，并且EG 、FH 的延长线交于P 点。

求证直线P A 与BC 垂直。

四、（本题满分35分）
有n （n ≥6）个人聚会，已知：
（1）每人至少同其中⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2n 个人互相认识；
E F A
B C G H
P O 1。

。

O 2
（2）对于其中任意⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2
n 个人，或者其中有2 人相识，或者余下的人中有2人相识。

1997年全国高中数学联合竞赛试卷
(10月5日上午8:00-10:00)
一、选择题(每小题6分，共36分) 1．已知数列{
n x }满足11-+-=n n n x x x (n ≥2)，x 1
=a ， x 2
=b ， 记S n =x 1
＋x 2
＋ ＋x n
，则下列结论正确的是
(A )x 100＝－a ，S 100＝2b －a (B )x 100＝－b ，S 100=2b －a (C )x 100＝－b ，S 100＝b －a (D )x 100＝－a ，S 100＝b －-a
2．如图，正四面体ABCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，使得
)
0(+∞<<==λλFD CF EB AE ，
记
λλβαλ+=)(f 其中λα表示EF 与AC 所成的角，λβ表示EF 与BD 所成的角，则 (A ))(λf 在),0(+∞单调增加 (B )
)(λf 在),0(+∞单调减少
(C ))(λf 在(0，1)单调增加，而在(1，＋)∞单调减少 (D ))(λf 在(0，＋∞)为常数
3.设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972
，则这样的数列共有 (A )2个 (B )3个 (C )4个 (D )5个
4．在平面直角坐标系中，若方程222)32()12(+-=+++y x y y x m 表示的曲线为椭圆，则m 的取值范围为
(A )(0，1) (B )(1，＋)∞ (C )(0，5) (D )(5，＋)∞
5．设x x x f π-=2)(，α = arcsin 31，)45
(arcctg ),31arccos(,45arctg -=-==δγβ，则
(A ))()()()(γδβαf f f f >>> (B ))()()()(γβδαf f f f >>> (C ))()()()(γβαδf f f f >>> (D ))()()()(βγαδf f f f >>>
6．如果空间三条直线a ，b ，c 两两成异面直线，那么与a ，b ，c 都相交的直线有 (A ) 0条 (B ) 1条 (C )多于1 的有限条 (D ) 无穷多条
B
二、 填空题(每小题9分，共54分)
设x ，y 为实数，且满足
⎩⎨⎧=-+--=-+-1)1(1997)1(1)1(1997)1(33y y x x ，则x ＋y = . 过双曲线1
22
2
=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若实数λ使得|AB | =λ的直线l 恰有3条，则λ＝ .
已知复数z 满足1
|12|=+z z ，则z 的幅角主值范围是 ．
已知三棱锥S -ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰三角形，SA ＝SB ＝SC ＝2，AB ＝2，设S 、A 、B 、C 四点均在以O 为球心的某个球面上，则点O 到平面ABC 的距离为 ．
设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种． 设a =lg z ＋lg[x (yz )-1
＋1]，b =lg x -1
＋lg(xyz ＋1)，c =lg y ＋lg[(xyz )-1
＋1]，记a ，b ，c 中最大数为M ，则M 的最小值为 ．
一九九八年全国高中数学联合竞赛试卷
（10月11日上午8∶00—10∶00）
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
1． 若a ＞1,b ＞1且lg(a +b )=lg a +lg b ，则lg(a -1)+lg(b -1)的值
(A) 等于lg2 (B)等于1 (C)等于0 (D)不是与a ,b 无关的常数
2． 若非空集合A ={x |2a +1≤x ≤3a -5},B ={x |3≤x ≤22}，则能使A ⊆A B 成立的所有a 的集合是( ) (A){a |1≤a ≤9} (B){a |6≤a ≤9} (C){a |a ≤9} (D)∅
3． 各项均为实数的等比数列{a n }前n 项和记为S n ，若S 10=10,S 30=70，则S 40等于( )
(A) 150 (B) -200 (C) 150或-200 (D)400或-50
4． 设命题P ：关于x 的不等式a 1
x 2
+b 1
x +c 1
＞0与a 2
x 2
+b 2
x +c 2
＞0的解集相同；命题Q ：2
1
212
1c c b b a a ==。

则命题Q
(A)是命题P 的充分必要条件 (B)是命题P 的充分条件但不是必要条件 (C)是命题P 的必要条件但不是充分条件
(D)既不是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件
5． 设E ,F ,G 分别是正四面体ABCD 的棱AB ,BC ,CD 的中点，则二面角C -FG -E 的大小是( )
(A)
3
6arcsin
(B)
33arccos
2
+π
(C)2arctg 2-π
(D)2
2arcctg
-π 6． 在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，
共线的三点组的个数是( )
(A) 57 (B) 49 (C) 43 (D) 37 二、 填空题（本题满分54分，每小题9分）
1． 若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当]1,0[∈x 时，
1998
1)(x
x f =，则
)1998(f ,)17101(f ,)
15104(f 由小到大
的排列是_________________.
2． 设复数z =θθsin cos i +(︒0≤θ≤18︒0)，复数z ,(1+i )z ,2z 在复平面上对应的三个点分别是P ,Q ,R ，当P ,Q ,R 不
共线时，以线段PQ ,PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S ，则点S 到原点距离的最大值是_______. 3． 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有________种. 4． 各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有___________项
.
B
D
5． 若椭圆
4)(422=-+a y x 与抛物线y x 22=有公共点，则实数a 的取值范围是_____________.
6． △ABC 中，∠C =90°,∠B =30°,AC =2，M 是AB 的中点，将△ACM 沿CM 折
起，使A ,B 两点间的距离为22，此时三棱锥
A -BCM 的体积等于
________.
三、 （本题满分20分）
已知复数z =1-sin θ+i cos θ(π
θπ
<<2
)，求z 的共轭复数z 的辐
角主值。

四、 （本题满分20分） 设函数
38)(2++=x ax x f (a ＜0)，对于给定的负数a ，有一个最大的正数l (a )，使得在整个区间[0,l (a )]上，不
等式|f
(x )|≤5都成立。

问：a 为何值时l (a )最大？求出这个最大的l (a )，证明你的结论。

五、 （本题满分20分）
已知抛物线px y 22
=及定点),(b a A ,B (-a ,0),
)2,0(2pa b ab ≠≠，M 是抛物线上的点，设直线AM ,BM 与抛物线的另一交点分别为M 1,M 2.
求证：当M 点在抛物线上变动时（只要M 1,M 2存在且M 1≠M 2），直线M 1M 2恒过一个定点，并求出这个定点的坐标。

1999年全国高中数学联合竞赛
一． 选择题（满分36分，每小题6分）
1． 给定公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }，设b 1＝a 1＋a 2＋a 3， b 2＝a 4＋a 5＋a 6，…， b n ＝a 3n -2＋a 3n -1＋a 3n ,…，则数列{b n }( )
(A )是等差数列 (B )是公比为q 的等比数列 (C )是公比为q 3
的等比数列 (D )既非等差数列也非等比数列
2． 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式 (| x |－1)2
＋(| y |-1)2
＜2的整点(x ，
y )的个数是( )
(A )16 (B )17 (C )18 (D )25
3． 若(log 23)x -(log 53)x
≥(log 23)
y
--(log 53)
y
-，则( )
(A )x -y ≥0 (B )x ＋y ≥0 (C )x -y ≤0 (D )x ＋y ≤0 4． 给定下列两个关于异面直线的命题：
命题Ⅰ：若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么，c 至多与a ,b 中的一条相交；
命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。

B
C
那么，( )
(A)命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确 (B)命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确
(C)两个命题都正确 (D)两个命题都不正确
5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。

那么，在上述3名选手之间比赛的场数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
6．已知点A(1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y2＝4x交于另外两点B,C，那么，△ABC是( )
(A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)答案不确定
二．填空题（满分54分，每小题9分）
1．已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是___________．
2．已知θ＝arctg12
5
，那么，复数
i
i
z
+
+
=
239
2
sin
2
cosθ
θ
的辐角主值是______ ___．
3．在△ABC中，记BC＝a，CA＝b，AB＝c，若9a2＋9b2-19c2＝0，则
B
A
C
ctg
ctg
ctg
+
＝__________．
4．已知点P在双曲线
1
9
16
2
2
=
-
y
x
上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的
等差中项，那么，P的横坐标是_____．
5．已知直线ax＋by＋c＝0中的a，b，c是取自集合{-3，-2，-1，0，1，2，,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是__ ____．
6．已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H-AB-C的平面角等于30︒, SA＝2
3。

那么三棱锥S-ABC的体积为__________．
三、(满分20分)已知当x∈[0,1]时，不等式
sin
)
1(
)
1(
cos2
2>
-
+
-
-θ
θx
x
x
x
恒成立，试求的取值范围．
四、(满分20分)给定A(-2,2)，已知B是椭圆
1
16
25
2
2
=
+
y
x
上的动点，F是左焦点，当|AB|＋
3
5
|BF|取最小值时，求
B的坐标．
五、(满分20分)给定正整数n和正数M，对于满足条件
2
1
2
1+
+
n
a
a
≤M的所有等差数列a1,a2,a3,….，试求S＝a n＋1＋a n＋2
＋…＋a2n＋1的最大值．
2000年全国高中数学联合竞赛试卷
（10月15日上午8:00-9:40）
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．设全集是实数，若A={x| ≤0}，B={x| = },则是( )
(A){2} (B){-1} (C){x|x≤2} (D)
2．设sina＞0,cosa＜0,且sin ＞cos ,则的取值范围是( )
(A)(2kp+ ,2kp+ ),k?Z (B)( + , + ),k?Z
(C)(2kp+ ,2kp+p),k?Z (D)(2kp+ ,2kp+ ) (2kp+ ,2kp+p),k?Z
3．已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是( )
(A) (B) (C)3 (D)6
4．给定正数p,q,a,b,c，其中p1q，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx2-2ax+c=0( )
(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根
5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线的距离中的最小值是( )
(A) (B) (C) (D)
6．设，则以w,w3,w7,w9为根的方程是( )
(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B)x4-x3+x2-x+1=0
(C)x4-x3-x2+x+1=0 (D)x4+x3+x2-x-1=0
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7．arcsin(sin2000°)=__________.
8．设an是(3- 的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…)，则)=________.
9．等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________.
10．在椭圆(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________.
11．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.
12．如果：(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4};
(2)a1b,b1c,c1d,d1a;
(3)a是a,b,c,d中的最小值，
那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________.
三、解答题(本题满分60分，每小题20分)
13．设Sn=1+2+3+…+n,n?N，求f(n)= 的最大值.
14．若函数在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b].
15．已知C0:x2+y2=1和C1: (a＞b＞0)。

试问：当且仅当a,b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为项点,与C0外切,与C1内接的平行四边形？并证明你的结论。

2001年全国高中数学联合竞赛题
1、已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为
（A）1 （B）2 （C）4 （D）不确定
2、命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；
命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点；
命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点；
以上三个命题中正确的有
（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个
3、在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以为周期、在（0，2
π
）上单调递增的偶函数是
（A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx| （D）y=lg|sinx| 4、如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的⊿ABC恰有一个，那么k的取值范围是
（A）k=83（B）0<k≤12 （C）≥12（D）0<k≤θ
ρ
cos
2
1
-
=
的短轴长等
于。

8、若复数z1,z2满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=2
3
-I,则z1z2= 。

9、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1 ，则直线A1C1与BD1的距离是。

O
A
B C H F
E D
N
M
10、不等式
2
3
2log 12
1>+x 的解集为 。

11、函数232
+-+=x x x y 的值域为 。

12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一场块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物。

现有4种不同的植物可供选择，则有 种栽种方案。

一、 解答题（本题满分60分，每小题20分）
13、设{a n
}为等差数列，{b n
}为等比数列，且2
1
1
a b =，2
22
a b =，2
33
a b =（a 1<a 2）,又
1
2)(lim 21+=++++∞
→n n b b b ，试求{a n }的首项与公差。

14、设曲线C 1
:122
2
=+y a x (a 为正常数)与C 2
:y 2
=2(x+m)在x 轴上方公有一个公共点P 。

（1） 求实数m 的取值范围（用a 表示）；
（2） O 为原点，若C 1
与x 轴的负半轴交于点A ，当0<a<21
时，试求⊿OAP 的面积的最大值（用a 表示）。

15、用电阻值分别为a 1、a 2、a 3、a 4、a 5、a 6、（a 1>a 2>a 3>a 4>a 5>a 6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。

【第二试】 一．（本题满分50分）
如图，△ABC 中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N ． 求证：(1) OB ⊥DF ，OC ⊥DE ；
(2) OH ⊥MN ．
二．（本题满分50分）
设
≥i x （i =1，2，…，n ）且
12
11
2=+∑
∑≤<≤=n
j k j k n
i i
x x j k
x
，求∑=n
i i x 1的最大值与最小值．
三．（本题满分50分）
将边长为正整数m ，n 的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形．每个正方形的边均平行于
矩形的相应边．试求这些正方形边长之和的最小值．
F
A
B
C
D
E
2002年全国高中数学联赛试题
试题
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1、函数f (x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（）。

（A）（－∞,－1）（B）（－∞,1）（C）（1,＋∞）（D）（3, ＋∞）
2、若实数x，y满足(x+5)2+(y-12)2=142，则x2+y2的最小值为（）。

（A）2 （B）1 （C）√3 （D）√2
3、函数f(x)=x/1-2x-x/2（）
（A）是偶函数但不是奇函数（B）是奇函数但不是偶函数
（C）既是偶函数又是奇函数（D）既不是偶函数也不是奇函数
4、直线x/4+y/3=1与椭圆x2/16+y2/9=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB面积等于3，这样的点P共有（）。

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
5、已知两个实数集合A＝｛a1,a2,…,a100｝与B＝｛b1,b2,…,b50｝，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)则这样的映射共有（）。

（A）C50100（B）C4899（C）C49100（D）C4999
6、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则（）。

（A）V1=（1/2）V2 (B)V1=（2/3）V2 (C)V1=V2 (D)V1=2V2
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7、已知复数Z1,Z2满足∣Z1∣＝2,∣Z2∣＝3,若它们所对应向量的夹角为60°,则∣(Z1＋Z2)/(Z1＋Z2)∣= 。

8、将二项式（√x+1/（24√x））n的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有个。

9、如图，点P1，P2，…，P10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组（P1，P i，P j，P k）（1＜i＜j＜k ≤10）有个。

10、已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1。

若g(x)=f(x)+1-x，则g(2002)= 。

11、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则∣x∣-∣y∣的最小值是。

12、使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是。

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13、已知点A（0,2）和抛物线y2=x+4上两点B，C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围。

14、如图，有一列曲线P0，P1，P2……，已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，P k+1是对P k进行如下操作得到：将P k的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k=0,1,2,）。

记S n为曲线P n所围成图形的面积。

（1）求数列｛S n｝的通项公式；
（2）求limS n.
n→∞
15、设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件：
（1）当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x;
（2）当x∈(0,2)时，f(x)≤((x+1)/2)2;
（3） f(x)在R上的最小值为0.
求最大的m(m＞1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x。

2003年全国高中数学联赛
第一试
一、 选择题（每小题6分,满分36分）
1． 删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2003项是
(A)2046 (B)2047 (C)2048 (D)2049
2． 设a , b ∈R , ab ≠0，那么，直线 ax -y +b =0和曲线 bx 2+ay 2
=ab 的图形是
3． 过抛物线y 2
=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60︒的直线．若此直线与抛物线交于A ,B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，
则线段PF 的长等于
(A) (B)38
(C)3316 (D)83
4． 若x ∈[-125π,-3π]，则y = tan(x +32π)-tan(x +6π)+cos(x +6π
)的最大值是
(A)2512 (B)2611 (C)3611 (D)3512
5． 已知x ,y 都在区间(-2,2)内，且xy ＝-1，则函数u =2
44
x -+299y -的最小值是
(A)58 (B)1124 (C)712
(D)512
6． 在四面体ABCD 中，设AB =1，CD =3，直线AB 与CD 的距离为2，夹角为3π
，则四面体ABCD 的体积等于
(A)23 (B)21 (C)31
(D)33
二、 填空题(每小题9分,满分54分)
7． 不等式|x |3-2x 2
-4|x |+3＜0的解集是__________.
8． 设F 1,F 2是椭圆1492
2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|:|PF 2|=2:1，则△PF 1F 2的面积等于__________.
9． 已知A ={x |x 2
-4x +3＜0,x ∈R }, B ={x |a x
+-12
≤0, x 2-2(a +7)x +5≤0,x ∈R }．若A ⊆B , 则实数a 的取值范围是
____________.
10．已知a ,b ,c ,d 均为正整数，且log a b =23, log c d =45
，若a -c =9, 则b -d =________.
11．将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都
相切，则此圆柱的高等于________. 12．设M n ={(十进制)n 位纯小数0.
n a a a ⋯21|a i 只取0或1(i =1,2,…,n -1)，a n =1}，T n 是M n 中元素的个数，S n 是M n
中所有元
素的和，则
n n
n T S ∞→lim
=_______. 三、 解答题(每小题20分，满分60分)
1.
已知523
≤≤x ,证1923153212<-+-++x x x
2. 设A 、B 、C 分别是复数ai z =0,bi z +=211,),,(12
R c b a ci z ∈+=对应的不共线三点。

证：曲线
)(sin sin cos 2cos 4
222140R t t z t t z t z z ∈++=与ABC ∆中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点。

3. 一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A ，且OA=a ，折叠纸片，使圆周上某一点
A '刚好与A 点重合，这样的每一种
折法，都留下一条直线折痕，当
A '取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合。

2004年全国高中数学联合竞赛试题(1试)
第 一 试 时间：10月16日
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1、设锐角θ使关于x 的方程2
4cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为（ ） A.
6
π B.
512
12
or
π
π C.
56
12
or
π
π D.
12
π 2、已知2
2
{(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+。

若对所有,m R M N ∈≠∅均有，则b
的取值范围是（ ）
A. ⎡⎢⎣⎦
B. ⎛ ⎝⎭
C. (]33
-
D. ⎡⎢⎣⎦
3、
312
1
log 202x +>的解集为（ ） A. [2,3)
B. (2,3]
C. [2,4)
D. (2,4]
4、设O 点在ABC ∆内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为（ ） A. 2
B.
32
C. 3
D.
53
5、设三位数n abc =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有（ ） A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个
6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，AB OB ⊥，垂足为B ，OH PB ⊥，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长是（ ）
A.
B.
C.
D.
3
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7、在平面直角坐标系xoy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的区间上的图像。