历年全国高中数学联赛试题及答案9806
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1988年全国高中数学联赛试题
第一试(10月16日上午8∶00——9∶30)
一.选择题(本大题共5小题,每小题有一个正确答案,选对得7分,选错、不选或多选均得0分):
1.设有三个函数,第一个是y=φ(x ),它的反函数是第二个函数,而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x +y=0对称,那么,第三个函数是( )
A .y=-φ(x )
B .y=-φ(-x )
C .y=-φ-1(x )
D .y=-φ-
1(-x ) 2.已知原点在椭圆k 2x 2+y 2-4kx +2ky +k 2-1=0的内部,那么参数k 的取值范围是( ) A .|k |>1 B .|k |≠1 C .-1<k <1 D .0<|k |<1 3.平面上有三个点集M ,N ,P :
M={(x ,y )| |x |+|y |<1},
N={(x ,y )|
(x -12)2+(y +12
)2+
(x +12)2+(y -1
2
)2<22}, P={(x ,y )| |x +y |<1,|x |<1,|y |<1}.则
A .M
P
N B .M
N
P C .P
N
M D .A 、B 、C 都不成立
4.已知三个平面α、β、γ,每两个之间的夹角都是θ,且α∩β=a ,β∩γ=b ,γ∩α=c .若有 命题甲:θ>π
3
;
命题乙:a 、b 、c 相交于一点. 则
A .甲是乙的充分条件但不必要
B .甲是乙的必要条件但不充分
C .甲是乙的充分必要条件
D .A 、B 、C 都不对
5.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点叫做整点,我们用I 表示所有直线的集合,M 表示恰好通过1个整点的集合,N 表示不通过任何整点的直线的集合,P 表示通过无穷多个整点的直线的集合.那么表达式 ⑴ M ∪N ∪P=I ; ⑵ N ≠Ø. ⑶ M ≠Ø. ⑷ P ≠Ø中,正确的表达式的个数是
A .1
B .2
C .3
D .4 二.填空题(本大题共4小题,每小题10分):
1.设x ≠y ,且两数列x ,a 1,a 2,a 3,y 和b 1,x ,b 2,b 3,y ,b 4均为等差数列,那么b 4-b 3
a 2-a 1= .
2.(x +2)2n +1的展开式中,x 的整数次幂的各项系数之和为 .
3.在△ABC 中,已知∠A=α,CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高,则DE
BC
= .
4.甲乙两队各出7名队员,按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛,双方先由1号队员比赛,负者被淘汰,胜者再与负方2号队员比赛,……直至一方队员全部淘汰为止,另一方获得胜利,形成一种比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程的种数为 .
三.(15分)长为2,宽为1的矩形,以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周,求得到的旋转体的体积. 四.(15分) 复平面上动点Z 1的轨迹方程为|Z 1-Z 0|=|Z 1|,Z 0为定点,Z 0≠0,另一个动点Z 满足Z 1Z=-1,求点Z 的轨迹,指出它在复平面上的形状和位置.
五.(15分)已知a 、b 为正实数,且1a +1
b =1,试证:对每一个n ∈N *,
(a +b )n -a n -b n ≥22n -2n +1.
1988年全国高中数学联赛二试题
一.已知数列{a n },其中a 1=1,a 2=2,
a n +2=⎩⎨⎧5a n +1-3a n (a n ·a n +1为偶数),a n +1-a n (a n ·
a n +1为奇数).
试证:对一切n ∈N*,a n ≠0.
二.如图,在△ABC 中,P 、Q 、R 将其周长三等分,且P 、Q 在AB 边上,求证:
S
PQR
S
ABC >29
.
三.在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多直线l 1,l 2,……,l n ,…的直线族,它满足条件: ⑴ 点(1,1)∈l n ,(n=1,2,3,……); ⑵ k n +1=a n -b n ,其中k n +1是l n +1的斜率,a n 和b n 分别是l n 在x 轴和y 轴上的截距,(n=1,2,3,……); ⑶ k n k n +1≥0,(n=1,2,3,……). 并证明你的结论.
1992年全国高中数学联赛试卷
第一试
一.选择题(每小题5分,共30分)
1. 对于每个自然数n ,抛物线y =(n 2
+n )x 2
-(2n +1)x +1与x 轴交于A n ,B n 两点,以|A n B n |表示该两点的距离,则|A 1B 1|
+|A 2B 2|+ +|A 1992B 1992|的值是( )
(A)19921991 (B)19931992
(C)19931991
(D)1992
1993
2. 已知如图的曲线是以原点为圆心,1为半径的圆的一部分,则这一曲线的方程是( )
(A)(x +21y -)(y +21x -)=0 (B)(x -21y -)(y -21x -)=0 (C)(x +
21y -)(y -21x -)=0 (D)(x -21y -)(y +21x -)=0
3. 设四面体四个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4,它们的最大值为S ,记λ=
)
(4
1∑=i i S /S ,则λ一定满足( )
(A)2<λ≤4 (B)3<λ<4 (C)2.5<λ≤4.5 (D)3.5<λ<5.5
4. 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别记为a ,b ,c (b ≠1),且A B
A C sin sin ,都是方程
x b
log =log b
(4x -4)的根,
则△ABC ( )
N A
C
B
P
Q R H 11
O -1
-1
x
y
(A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (B)是直角三角形,但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角形
5. 设复数z 1,z 2在复平面上对应的点分别为A ,B ,且|z 1|=4,4z 12
-2z 1z 2+z 22
=0,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( )
(A)8
3 (B)43 (C)63 (D)123
6. 设f (x )是定义在实数集R 上的函数,且满足下列关系f (10+x )=f (10-x ), f (20-x )=-f (20+x ),则f (x )是
(A)偶函数,又是周期函数 (B)偶函数,但不是周期函数 (C)奇函数,又是周期函数 (D)奇函数,但不是周期函数
二.填空题(每小题5分共30分)
1. 设x ,y ,z 是实数,3x ,4y ,5z 成等比数列,且
z y x 1,1,1成等差数列,则x z z x +的值是______.
2. 在区间[0,π]中,三角方程cos7x =cos5x 的解的个数是______.
3. 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k 条,使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线,则k 的最大值是
_____.
4. 设z 1
,z 2
都是复数,且|z 1
|=3,|z 2
|=5|z 1
+z 2
|=7,则arg(12
z z )3
的值是______.
5. 设数列a 1,a 2, ,a n , 满足a 1=a 2=1,a 3=2,且对任何自然数n , 都有a n a n +1a n +2≠1,又a n a n +1a n +2a n +3=a n +a n +1
+a n +2+a n +3,则a 1+a 2+ +a 100的值是__ __.
6. 函数f (x )=
13
6324+--x x x -
124+-x x 的最大值是_____.
三、(20分)求证:17
11680
1<<∑=k k .
四、(20分)设l ,m 是两条异面直线,在l 上有A ,B ,C 三点,且AB =BC ,过A ,B ,C 分别作m 的垂线AD ,BE ,CF ,垂足依
次是D ,E ,F ,已知AD =
15,BE =2
7CF =
10,求l 与m 的距离.
五、(20分)设n 是自然数,f n
(x)=
111---+--x x x x n n (x ≠0,±1),令y =x +x
1
.
1.求证:f n +1(x)=yf n (x)-f n -1(x),(n>1)
2.用数学归纳法证明:
f n (x )=
⎪⎩⎪⎨⎧-=-++-++-=-++-++--+---------),21,,2,1(,)1()1(),2
,,2,1(,)1()1(2
12
12122112
22
11
为奇数为偶数n n i C y C y C y n n i y C y C y n n n i n i i n i n n n
n i
n i i
n i
n n n
1993年全国高中数学联合竞赛试卷
第 一 试
一.选择题(每小题5分,共30分)
1. 若M ={(x ,y )| |tg πy |+sin 2
πx =0},N ={(x ,y )| x 2
+y 2
≤2},则M N 的元素个数是( )
(A)4 (B )5 (C )8 (D )9
2. 已知f (x )=asinx +b +4(a ,b 为实数),且 f (lglog 310)=5,则f (lglg 3)的值是( )
(A)-5 (B )-3 (C )3 (D )随a ,b 取不同值而取不同值
3. 集合A ,B 的并集A B ={a 1,a 2,a 3},当A ≠B 时,(A ,B )与(B ,A )视为不同的对,则这样的(A ,B )对的个数是( )
(A )8 (B )9 (C )26 (D )27
4. 若直线x =4π
被曲线C :(x -arcsina )(x -arccosa )+(y -arcsina )(y +arccosa )=0所截的弦长为d ,当a 变化时
d 的最小值是( )
(A) 4π (B ) 3π (C )2π
(D )π
5. 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边长分别为a ,b ,c ,若c -a 等于AC 边上的高h ,则
2cos 2sin A
C A C ++-的值是( )
(A)1 (B )21 (C )31
(D )-1 6. 设m ,n 为非零复数,i 为虚数单位,z ∈C ,则方程| z +ni |+| z -mi |=n 与| z +ni |-|z -mi |=-m 在同一复平
面内的图形(F 1,F 2为焦点)是( )
二.填空题(每小题5分,共30分)
1. 二次方程(1-i )x 2
+(λ+i )x +(1+i λ)=0(i 为虚数单位,λ∈R )有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为
________.
2. 实数x ,y 满足4x 2
-5xy +4y 2
=5,设 S =x 2
+y 2
,则=+min max
11S S _____ __.
(A)
(B)
(C)
(D)
3. 若z ∈C ,arg (z 2-4)=6
5π
,arg (z 2
+4)=3π
,则z 的值是_ _______.
4. 整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡+310103193的末两位数是_______.
5. 设任意实数x 0>x 1>x 2>x 3>0,要使
1993log 1993log 1993log 3
22110x x x x x x ++≥
1993
log 3
0x x k ⋅恒成立,则k 的
最大值是_____ __.
6. 三位数(100,101, ,999)共900个,在卡片上打印这些三位数,每张卡片上打印一个三位数,有的卡片所印的,
倒过来看仍为三位数,如198倒过来看是861;有的卡片则不然,如531倒过来看是 ,因此,有些卡片可以一卡
二用,于是至多可以少打印__ ___张卡片.
三.(本题满分20分)
三棱锥S -ABC 中,侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直,M 为三角形ABC 的重心,D 为AB 的中点,作与SC 平行的直线DP .证明:(1)DP 与SM 相交;(2)设DP 与SM 的交点为D ',则D '为三棱锥S -ABC 的外接球球心. 四.(本题满分20分)
设0<a <b ,过两定点A (a ,0)和B (b ,0)分别引直线l 和m ,使与抛物线y 2
=x 有四个不同的交点,当这四点共圆时,求这种直线l 与m 的交点P 的轨迹. 五.(本题满分20分)
设正数列a 0,a 1,a 2, ,a n , 满足
12122----=-n n n n n a a a a a (n ≥2)且a 0
=a 1
=1.求{a n
}的通项公式.
1994年全国高中数学联赛试题
第 一 试
一.选择题(每小题6分,共36分)
1.设a ,b ,c 是实数,那么对任何实数x , 不等式0cos sin >++c x b x a 都成立的充要条件是
(A)a ,b 同时为0,且c >0 (B)
a b c 22+=
(C)
a b c 22+< (D)a b c 22+>
2.给出下列两个命题: (1)设a ,b ,c 都是复数,如果a
b c 2
22+>,则a b c 2220+->;
(2)设a ,b ,c 都是复数,如果a b c 2
220+->,则a b c 222+>.
那么下述说法正确的是
(A)命题(1)正确,命题(2)也正确 (B)命题(1)正确,命题(2)错误 (C)命题(1)错误,命题(2)也错误 (D)命题(1)错误,命题(2)正确
3.已知数列{}a n 满足3411
a a n n n ++=≥(),且a 19=,其前n 项之和为S n ,则满足不等式
||S n n --<
61
125
的最小整数n 是
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
4.已知
40,10π
<
<<<a b ,则下列三数:x a b a =(sin )log sin ,y a b a
=(cos )log cos , z a b a =(sin )log cos 的大
小关系是
(A)x <z<y (B)y <z <x (C)z <x <y (D)x <y <z 5.在正n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是
(A)
(
,)n n -2ππ (B)(,)n n -1ππ (C)(,)02π (D)(,)n n n n --21
ππ
6.在平面直角坐标系中,方程||||
x y a x y b ++-=221(a ,b 是不相等的两个正数)所代表的曲线是
(A)三角形 (B)正方形 (C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形 二、填空题(每小题9分,共54分)
1.已知有向线段PQ 的起点P 和终点Q 的坐标分别为(-1,1)和(2,2),若直线l :x +my +m =0与PQ 的延长线相交,则m 的取值范围是__ ____.
2.已知x y a R ,[,],∈-∈ππ
44且⎩
⎨⎧=++=-+0cos sin 40
2sin 3
3a y y y a x x ,则cos()x y +2=_____. 3.已知点集})25()4()3(|),{(222≤-+-=y x y x A ,
}
)25
()5()4(|),{(222>-+-=y x y x B ,则点集A B 中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为_____.
4.设0<<θπ,则sin (cos )
θ
θ21+的最大值是______.
5.已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α,则sin α=___
6.已知95个数a a a a 12395,,,, , 每个都只能取+1或-1两个值之一,那么它们的两两之积的和
a a a a a a 12139495+++ 的最小值是_ __.
1995年全国高中数学联赛
第 一 试
一.选择题(每小题6分,共36分)
1. 设等差数列{}a n 满足358
13a a =且a 10>,S n 为其前项之和,则S n 中最大的是( )
(A)S 10 (B)S 11 (C)S 20 (D)S 21
2. 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z Z Z 1220,,, ,则复数Z
1
1995,Z 2
1995, ,Z 201995
所
对应的不同的点的个数是( )
(A)4 (B)5 (C)10 (D)20
3. 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大,则称甲不亚于乙,在100个小伙子中,如果某人不亚于其他99人,就称
他为棒小伙子,那么,100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A)1个 (B)2个 (C)50个 (D)100个
4. 已知方程
||()x n k x n N -=∈2在区间(2n -1,2n +1]上有两个不相等的实根,则k 的取值范围是( )
(A)k >0 (B)
01
21<≤
+k n
(C)1
211
21n k n +<≤
+ (D)以上都不是
5.
1tg log ,1sin log ,1tg log ,1cos log 1cos 1cos 1sin 1sin 的大小关系是( ) (A)
1tg log 1log 1sin log 1cos log 1cos 1sin 1cos 1sin <<<tg (B)
1tg log 1cos log 1log 1sin log 1sin 1sin 1cos 1cos <<<tg (C)
1cos log 1sin log 1tg log 1tg log 1sin 1cos 1cos 1sin <<<
(D)
1sin log 1cos log 1tg log 1tg log 1cos 1sin 1sin 1cos <<<
6. 设O 是正三棱锥P -ABC 底面三角形ABC 的中心,过O 的动平面与PC 交于S ,与PA ,PB 的延长线分别交于Q ,R ,则和
式
111PQ PR PS ++
(A)有最大值而无最小值 (B 有最小值而无最大值 (C)既有最大值又有最小值,两者不等 (D)是一个与面QPS 无关的常数 二、填空题(每小题9分,共54分)
1. 设αβ,为一对共轭复数,若||αβ-=23,且
2
βα为实数,则||α=_____.
2. 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_______.
3. 用[x ]表示不大于实数x 的最大整数, 方程
lg [lg ]220x x --=的实根个数是______.
4. 直角坐标平面上,满足不等式组y x y x x y ≤≥
+≤⎧⎨⎪⎩⎪33100
的整点个数是______.
5. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有5种颜色可使用,那么不同的染色方
法的总数是______.
6. 设M ={1,2,3,…,1995},A 是M 的子集且满足条件:当x A ∈时,15x A ∉,则A 中元素的个数最多是______.
一九九六年全国高中数学联合竞赛
一、 选择题(本题满分36分,每小题6分)
1. 把圆x 2+ (y –1 )2 =1与椭圆9x 2 + (y + 1)2
= 9的公共点, 用线段连接起来的图形是_________. (A) 线段 (B) 不等边三角形 (C) 等边三角形 (D) 四边形
2. 等比数列{a n }的首项a 1=1536, 公比是q =
21
-
. 用T n 表示它的前n 项之积,则T n (n ∈N )最大的是____________
(A) T 9 (B) T 11 (C) T 12 (D) T 13
3.存在在整数n ,使n
n p ++是整数的质数p .
(A) 不存在 (B) 只有一个 (C) 多于一个,但为有限个 (D)有无穷多个
4设x ∈(–21
,0),以下三个数: α1=cos(sinx π), α2=sin(cosx π), α3=cos(x+1)π的大小关系是 __________.
(A) α3 < α2 < α1 (B) α1 < α3 < α2 (C) α3 < α1 < α2 (D) α2 < α3 < α1
5.如果在区间[1, 2 ]上, 函数f(x) = x 2 + px + q 与g(x) = x + ()2
在同一点取相同的最小值, 那么f (x )在该区间上的最大值是__________.
(A)
33424114++
(B) 3342254+- (C) 334221
1-- (D)以上答案都不对
6.高为8的圆台内有一个半径为2的球O 1, 球心O 1在圆台的轴上. 球O 1与圆台上底面、侧面都相切. 圆台内可再放入一个半径为3的球O 2, 使得球O 2与球O 1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点, 除球O 2, 圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是_____________.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
二、 填空题(本题满分54分,每小题9分)
1. 集合{x| –1≤ log ()10 <– , x ∈N}的真子集的个数是_____________________.
2. 复平面上非零复数z 1、z 2在以i 为圆心1为半径的圆上,z 1z 1的实部为零,z 1的辐角主值为 π61,则z 2 =
____________.
3.曲线C 的极坐标方程是ρ = 1 + cos θ, 点A 的极坐标是(2, 0). 曲线C 在它所在的平面内
绕A 旋转一周, 则它扫过的图形的面积是______________.
4.已知将给定的两个全等的三棱锥的底面粘在一起, 恰得到一个所有二面角都相等的六 面体, 并且该六面体的最短棱的长为2, 则最远的两个基本点顶点的距离是__________.
5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色.将一个正方体的六个面染色, 每面恰染一种 颜色, 每两个具有公共棱的面染成不同颜色.则不同的染色方案共有_____________种.
(注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染
色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同).
6.在直角坐标平面上,以(199,0)为圆心,以199为半径的圆周上,整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为_______________.
【第二试】
一、(本题满分25分)
设数列{a n }的前n 项和S n =2a n -1(n =1,2,…),数列{b n }满足b 1=3,b k+1=a k +b k (k =1,2,…)。
求数列{b n }的前n 项和. 二、(本题满分25分)
求实数a 的取值范围,使得对任意实数x 和任意θ∈[0,π/2]恒有 (x +3+2sin θcos θ)2+(x +a sin θ+a cos θ)2≥1/8. 三、(本题满分35分)
如图,圆O 1和圆O 2与△ABC 的三边所在的三条直线都相切,E 、F 、G 、H 为切点,并且EG 、FH 的延长线交于P 点。
求证直线P A 与BC 垂直。
四、(本题满分35分)
有n (n ≥6)个人聚会,已知:
(1)每人至少同其中⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2n 个人互相认识;
E F A
B C G H
P O 1。
。
O 2
(2)对于其中任意⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2
n 个人,或者其中有2 人相识,或者余下的人中有2人相识。
1997年全国高中数学联合竞赛试卷
(10月5日上午8:00-10:00)
一、选择题(每小题6分,共36分) 1.已知数列{
n x }满足11-+-=n n n x x x (n ≥2),x 1
=a , x 2
=b , 记S n =x 1
+x 2
+ +x n
,则下列结论正确的是
(A )x 100=-a ,S 100=2b -a (B )x 100=-b ,S 100=2b -a (C )x 100=-b ,S 100=b -a (D )x 100=-a ,S 100=b --a
2.如图,正四面体ABCD 中,E 在棱AB 上,F 在棱CD 上,使得
)
0(+∞<<==λλFD CF EB AE ,
记
λλβαλ+=)(f 其中λα表示EF 与AC 所成的角,λβ表示EF 与BD 所成的角,则 (A ))(λf 在),0(+∞单调增加 (B )
)(λf 在),0(+∞单调减少
(C ))(λf 在(0,1)单调增加,而在(1,+)∞单调减少 (D ))(λf 在(0,+∞)为常数
3.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于3,且各项的和为972
,则这样的数列共有 (A )2个 (B )3个 (C )4个 (D )5个
4.在平面直角坐标系中,若方程222)32()12(+-=+++y x y y x m 表示的曲线为椭圆,则m 的取值范围为
(A )(0,1) (B )(1,+)∞ (C )(0,5) (D )(5,+)∞
5.设x x x f π-=2)(,α = arcsin 31,)45
(arcctg ),31arccos(,45arctg -=-==δγβ,则
(A ))()()()(γδβαf f f f >>> (B ))()()()(γβδαf f f f >>> (C ))()()()(γβαδf f f f >>> (D ))()()()(βγαδf f f f >>>
6.如果空间三条直线a ,b ,c 两两成异面直线,那么与a ,b ,c 都相交的直线有 (A ) 0条 (B ) 1条 (C )多于1 的有限条 (D ) 无穷多条
B
二、 填空题(每小题9分,共54分)
设x ,y 为实数,且满足
⎩⎨⎧=-+--=-+-1)1(1997)1(1)1(1997)1(33y y x x ,则x +y = . 过双曲线1
22
2
=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点,若实数λ使得|AB | =λ的直线l 恰有3条,则λ= .
已知复数z 满足1
|12|=+z z ,则z 的幅角主值范围是 .
已知三棱锥S -ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰三角形,SA =SB =SC =2,AB =2,设S 、A 、B 、C 四点均在以O 为球心的某个球面上,则点O 到平面ABC 的距离为 .
设ABCDEF 为正六边形,一只青蛙开始在顶点A 处,它每次可随意地跳到相邻两顶点之一.若在5次之内跳到D 点,则停止跳动;若5次之内不能到达D 点,则跳完5次也停止跳动,那么这只青蛙从开始到停止,可能出现的不同跳法共 种. 设a =lg z +lg[x (yz )-1
+1],b =lg x -1
+lg(xyz +1),c =lg y +lg[(xyz )-1
+1],记a ,b ,c 中最大数为M ,则M 的最小值为 .
一九九八年全国高中数学联合竞赛试卷
(10月11日上午8∶00—10∶00)
一、 选择题(本题满分36分,每小题6分)
1. 若a >1,b >1且lg(a +b )=lg a +lg b ,则lg(a -1)+lg(b -1)的值
(A) 等于lg2 (B)等于1 (C)等于0 (D)不是与a ,b 无关的常数
2. 若非空集合A ={x |2a +1≤x ≤3a -5},B ={x |3≤x ≤22},则能使A ⊆A B 成立的所有a 的集合是( ) (A){a |1≤a ≤9} (B){a |6≤a ≤9} (C){a |a ≤9} (D)∅
3. 各项均为实数的等比数列{a n }前n 项和记为S n ,若S 10=10,S 30=70,则S 40等于( )
(A) 150 (B) -200 (C) 150或-200 (D)400或-50
4. 设命题P :关于x 的不等式a 1
x 2
+b 1
x +c 1
>0与a 2
x 2
+b 2
x +c 2
>0的解集相同;命题Q :2
1
212
1c c b b a a ==。
则命题Q
(A)是命题P 的充分必要条件 (B)是命题P 的充分条件但不是必要条件 (C)是命题P 的必要条件但不是充分条件
(D)既不是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件
5. 设E ,F ,G 分别是正四面体ABCD 的棱AB ,BC ,CD 的中点,则二面角C -FG -E 的大小是( )
(A)
3
6arcsin
(B)
33arccos
2
+π
(C)2arctg 2-π
(D)2
2arcctg
-π 6. 在正方体的8个顶点,12条棱的中点,6个面的中心及正方体的中心共27个点中,
共线的三点组的个数是( )
(A) 57 (B) 49 (C) 43 (D) 37 二、 填空题(本题满分54分,每小题9分)
1. 若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数,当]1,0[∈x 时,
1998
1)(x
x f =,则
)1998(f ,)17101(f ,)
15104(f 由小到大
的排列是_________________.
2. 设复数z =θθsin cos i +(︒0≤θ≤18︒0),复数z ,(1+i )z ,2z 在复平面上对应的三个点分别是P ,Q ,R ,当P ,Q ,R 不
共线时,以线段PQ ,PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S ,则点S 到原点距离的最大值是_______. 3. 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数中取出3个数,使其和为不小于10的偶数,不同的取法有________种. 4. 各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的数列至多有___________项
.
B
D
5. 若椭圆
4)(422=-+a y x 与抛物线y x 22=有公共点,则实数a 的取值范围是_____________.
6. △ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,AC =2,M 是AB 的中点,将△ACM 沿CM 折
起,使A ,B 两点间的距离为22,此时三棱锥
A -BCM 的体积等于
________.
三、 (本题满分20分)
已知复数z =1-sin θ+i cos θ(π
θπ
<<2
),求z 的共轭复数z 的辐
角主值。
四、 (本题满分20分) 设函数
38)(2++=x ax x f (a <0),对于给定的负数a ,有一个最大的正数l (a ),使得在整个区间[0,l (a )]上,不
等式|f
(x )|≤5都成立。
问:a 为何值时l (a )最大?求出这个最大的l (a ),证明你的结论。
五、 (本题满分20分)
已知抛物线px y 22
=及定点),(b a A ,B (-a ,0),
)2,0(2pa b ab ≠≠,M 是抛物线上的点,设直线AM ,BM 与抛物线的另一交点分别为M 1,M 2.
求证:当M 点在抛物线上变动时(只要M 1,M 2存在且M 1≠M 2),直线M 1M 2恒过一个定点,并求出这个定点的坐标。
1999年全国高中数学联合竞赛
一. 选择题(满分36分,每小题6分)
1. 给定公比为q (q ≠1)的等比数列{a n },设b 1=a 1+a 2+a 3, b 2=a 4+a 5+a 6,…, b n =a 3n -2+a 3n -1+a 3n ,…,则数列{b n }( )
(A )是等差数列 (B )是公比为q 的等比数列 (C )是公比为q 3
的等比数列 (D )既非等差数列也非等比数列
2. 平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点叫做整点,那么,满足不等式 (| x |-1)2
+(| y |-1)2
<2的整点(x ,
y )的个数是( )
(A )16 (B )17 (C )18 (D )25
3. 若(log 23)x -(log 53)x
≥(log 23)
y
--(log 53)
y
-,则( )
(A )x -y ≥0 (B )x +y ≥0 (C )x -y ≤0 (D )x +y ≤0 4. 给定下列两个关于异面直线的命题:
命题Ⅰ:若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线,直线c 是α与β的交线,那么,c 至多与a ,b 中的一条相交;
命题Ⅱ:不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线。
B
C
那么,( )
(A)命题Ⅰ正确,命题Ⅱ不正确 (B)命题Ⅱ正确,命题Ⅰ不正确
(C)两个命题都正确 (D)两个命题都不正确
5.在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有3名选手各比赛了2场之后就退出了,这样,全部比赛只进行了50场。
那么,在上述3名选手之间比赛的场数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
6.已知点A(1,2),过点(5,-2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B,C,那么,△ABC是( )
(A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)答案不确定
二.填空题(满分54分,每小题9分)
1.已知正整数n不超过2000,并且能表示成不少于60个连续正整数之和,那么,这样的n的个数是___________.
2.已知θ=arctg12
5
,那么,复数
i
i
z
+
+
=
239
2
sin
2
cosθ
θ
的辐角主值是______ ___.
3.在△ABC中,记BC=a,CA=b,AB=c,若9a2+9b2-19c2=0,则
B
A
C
ctg
ctg
ctg
+
=__________.
4.已知点P在双曲线
1
9
16
2
2
=
-
y
x
上,并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的
等差中项,那么,P的横坐标是_____.
5.已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,,3}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,那么,这样的直线的条数是__ ____.
6.已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心,二面角H-AB-C的平面角等于30︒, SA=2
3。
那么三棱锥S-ABC的体积为__________.
三、(满分20分)已知当x∈[0,1]时,不等式
sin
)
1(
)
1(
cos2
2>
-
+
-
-θ
θx
x
x
x
恒成立,试求的取值范围.
四、(满分20分)给定A(-2,2),已知B是椭圆
1
16
25
2
2
=
+
y
x
上的动点,F是左焦点,当|AB|+
3
5
|BF|取最小值时,求
B的坐标.
五、(满分20分)给定正整数n和正数M,对于满足条件
2
1
2
1+
+
n
a
a
≤M的所有等差数列a1,a2,a3,….,试求S=a n+1+a n+2
+…+a2n+1的最大值.
2000年全国高中数学联合竞赛试卷
(10月15日上午8:00-9:40)
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
1.设全集是实数,若A={x| ≤0},B={x| = },则是( )
(A){2} (B){-1} (C){x|x≤2} (D)
2.设sina>0,cosa<0,且sin >cos ,则的取值范围是( )
(A)(2kp+ ,2kp+ ),k?Z (B)( + , + ),k?Z
(C)(2kp+ ,2kp+p),k?Z (D)(2kp+ ,2kp+ ) (2kp+ ,2kp+p),k?Z
3.已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点,点B和点C在双曲线的右分支上,△ABC是等边三角形,则△ABC的面积是( )
(A) (B) (C)3 (D)6
4.给定正数p,q,a,b,c,其中p1q,若p,a,q是等比数列,p,b,c,q是等差数列,则一元二次方程bx2-2ax+c=0( )
(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根
5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线的距离中的最小值是( )
(A) (B) (C) (D)
6.设,则以w,w3,w7,w9为根的方程是( )
(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B)x4-x3+x2-x+1=0
(C)x4-x3-x2+x+1=0 (D)x4+x3+x2-x-1=0
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
7.arcsin(sin2000°)=__________.
8.设an是(3- 的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…),则)=________.
9.等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________.
10.在椭圆(a>b>0)中,记左焦点为F,右顶点为A,短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是,则∠ABF=_________.
11.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积是________.
12.如果:(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4};
(2)a1b,b1c,c1d,d1a;
(3)a是a,b,c,d中的最小值,
那么,可以组成的不同的四位数的个数是_________.
三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
13.设Sn=1+2+3+…+n,n?N,求f(n)= 的最大值.
14.若函数在区间[a,b]上的最小值为2a,最大值为2b,求[a,b].
15.已知C0:x2+y2=1和C1: (a>b>0)。
试问:当且仅当a,b满足什么条件时,对C1上任意一点P,均存在以P为项点,与C0外切,与C1内接的平行四边形?并证明你的结论。
2001年全国高中数学联合竞赛题
1、已知a为给定的实数,那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为
(A)1 (B)2 (C)4 (D)不确定
2、命题1:长方体中,必存在到各顶点距离相等的点;
命题2:长方体中,必存在到各棱距离相等的点;
命题3:长方体中,必存在到各面距离相等的点;
以上三个命题中正确的有
(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个
3、在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以为周期、在(0,2
π
)上单调递增的偶函数是
(A)y=sin|x| (B)y=cos|x| (C)y=|ctgx| (D)y=lg|sinx| 4、如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k的⊿ABC恰有一个,那么k的取值范围是
(A)k=83(B)0<k≤12 (C)≥12(D)0<k≤θ
ρ
cos
2
1
-
=
的短轴长等
于。
8、若复数z1,z2满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=2
3
-I,则z1z2= 。
9、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1 ,则直线A1C1与BD1的距离是。
O
A
B C H F
E D
N
M
10、不等式
2
3
2log 12
1>+x 的解集为 。
11、函数232
+-+=x x x y 的值域为 。
12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图),要求同一场块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物。
现有4种不同的植物可供选择,则有 种栽种方案。
一、 解答题(本题满分60分,每小题20分)
13、设{a n
}为等差数列,{b n
}为等比数列,且2
1
1
a b =,2
22
a b =,2
33
a b =(a 1<a 2),又
1
2)(lim 21+=++++∞
→n n b b b ,试求{a n }的首项与公差。
14、设曲线C 1
:122
2
=+y a x (a 为正常数)与C 2
:y 2
=2(x+m)在x 轴上方公有一个公共点P 。
(1) 求实数m 的取值范围(用a 表示);
(2) O 为原点,若C 1
与x 轴的负半轴交于点A ,当0<a<21
时,试求⊿OAP 的面积的最大值(用a 表示)。
15、用电阻值分别为a 1、a 2、a 3、a 4、a 5、a 6、(a 1>a 2>a 3>a 4>a 5>a 6)的电阻组装成一个如图的组件,在组装中应如何选取电阻,才能使该组件总电阻值最小?证明你的结论。
【第二试】 一.(本题满分50分)
如图,△ABC 中,O 为外心,三条高AD 、BE 、CF 交于点H ,直线ED 和AB 交于点M ,FD 和AC 交于点N . 求证:(1) OB ⊥DF ,OC ⊥DE ;
(2) OH ⊥MN .
二.(本题满分50分)
设
≥i x (i =1,2,…,n )且
12
11
2=+∑
∑≤<≤=n
j k j k n
i i
x x j k
x
,求∑=n
i i x 1的最大值与最小值.
三.(本题满分50分)
将边长为正整数m ,n 的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形.每个正方形的边均平行于
矩形的相应边.试求这些正方形边长之和的最小值.
F
A
B
C
D
E
2002年全国高中数学联赛试题
试题
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
1、函数f (x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是()。
(A)(-∞,-1)(B)(-∞,1)(C)(1,+∞)(D)(3, +∞)
2、若实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x2+y2的最小值为()。
(A)2 (B)1 (C)√3 (D)√2
3、函数f(x)=x/1-2x-x/2()
(A)是偶函数但不是奇函数(B)是奇函数但不是偶函数
(C)既是偶函数又是奇函数(D)既不是偶函数也不是奇函数
4、直线x/4+y/3=1与椭圆x2/16+y2/9=1相交于A,B两点,该椭圆上点P,使得ΔPAB面积等于3,这样的点P共有()。
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
5、已知两个实数集合A={a1,a2,…,a100}与B={b1,b2,…,b50},若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象,且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)则这样的映射共有()。
(A)C50100(B)C4899(C)C49100(D)C4999
6、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1;满足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2,则()。
(A)V1=(1/2)V2 (B)V1=(2/3)V2 (C)V1=V2 (D)V1=2V2
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
7、已知复数Z1,Z2满足∣Z1∣=2,∣Z2∣=3,若它们所对应向量的夹角为60°,则∣(Z1+Z2)/(Z1+Z2)∣= 。
8、将二项式(√x+1/(24√x))n的展开式按x的降幂排列,若前三项系数成等差数列,则该展开式中x的幂指数是整数的项共有个。
9、如图,点P1,P2,…,P10分别是四面体顶点或棱的中点,那么在同一平面上的四点组(P1,P i,P j,P k)(1<i<j<k ≤10)有个。
10、已知f(x)是定义在R上的函数,f(1)=1且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1。
若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)= 。
11、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则∣x∣-∣y∣的最小值是。
12、使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是。
三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
13、已知点A(0,2)和抛物线y2=x+4上两点B,C使得AB⊥BC,求点C的纵坐标的取值范围。
14、如图,有一列曲线P0,P1,P2……,已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形,P k+1是对P k进行如下操作得到:将P k的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,)。
记S n为曲线P n所围成图形的面积。
(1)求数列{S n}的通项公式;
(2)求limS n.
n→∞
15、设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件:
(1)当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x;
(2)当x∈(0,2)时,f(x)≤((x+1)/2)2;
(3) f(x)在R上的最小值为0.
求最大的m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x。
2003年全国高中数学联赛
第一试
一、 选择题(每小题6分,满分36分)
1. 删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个新数列的第2003项是
(A)2046 (B)2047 (C)2048 (D)2049
2. 设a , b ∈R , ab ≠0,那么,直线 ax -y +b =0和曲线 bx 2+ay 2
=ab 的图形是
3. 过抛物线y 2
=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60︒的直线.若此直线与抛物线交于A ,B 两点,弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点,
则线段PF 的长等于
(A) (B)38
(C)3316 (D)83
4. 若x ∈[-125π,-3π],则y = tan(x +32π)-tan(x +6π)+cos(x +6π
)的最大值是
(A)2512 (B)2611 (C)3611 (D)3512
5. 已知x ,y 都在区间(-2,2)内,且xy =-1,则函数u =2
44
x -+299y -的最小值是
(A)58 (B)1124 (C)712
(D)512
6. 在四面体ABCD 中,设AB =1,CD =3,直线AB 与CD 的距离为2,夹角为3π
,则四面体ABCD 的体积等于
(A)23 (B)21 (C)31
(D)33
二、 填空题(每小题9分,满分54分)
7. 不等式|x |3-2x 2
-4|x |+3<0的解集是__________.
8. 设F 1,F 2是椭圆1492
2=+y x 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF 1|:|PF 2|=2:1,则△PF 1F 2的面积等于__________.
9. 已知A ={x |x 2
-4x +3<0,x ∈R }, B ={x |a x
+-12
≤0, x 2-2(a +7)x +5≤0,x ∈R }.若A ⊆B , 则实数a 的取值范围是
____________.
10.已知a ,b ,c ,d 均为正整数,且log a b =23, log c d =45
,若a -c =9, 则b -d =________.
11.将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内,并使得每个球和其相邻的四个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都
相切,则此圆柱的高等于________. 12.设M n ={(十进制)n 位纯小数0.
n a a a ⋯21|a i 只取0或1(i =1,2,…,n -1),a n =1},T n 是M n 中元素的个数,S n 是M n
中所有元
素的和,则
n n
n T S ∞→lim
=_______. 三、 解答题(每小题20分,满分60分)
1.
已知523
≤≤x ,证1923153212<-+-++x x x
2. 设A 、B 、C 分别是复数ai z =0,bi z +=211,),,(12
R c b a ci z ∈+=对应的不共线三点。
证:曲线
)(sin sin cos 2cos 4
222140R t t z t t z t z z ∈++=与ABC ∆中平行于AC 的中位线只有一个公共点,并求出此点。
3. 一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A ,且OA=a ,折叠纸片,使圆周上某一点
A '刚好与A 点重合,这样的每一种
折法,都留下一条直线折痕,当
A '取遍圆周上所有点时,求所有折痕所在直线上点的集合。
2004年全国高中数学联合竞赛试题(1试)
第 一 试 时间:10月16日
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
1、设锐角θ使关于x 的方程2
4cos cot 0x x θθ++=有重根,则θ的弧度数为( ) A.
6
π B.
512
12
or
π
π C.
56
12
or
π
π D.
12
π 2、已知2
2
{(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+。
若对所有,m R M N ∈≠∅均有,则b
的取值范围是( )
A. ⎡⎢⎣⎦
B. ⎛ ⎝⎭
C. (]33
-
D. ⎡⎢⎣⎦
3、
312
1
log 202x +>的解集为( ) A. [2,3)
B. (2,3]
C. [2,4)
D. (2,4]
4、设O 点在ABC ∆内部,且有230OA OB OC ++=,则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为( ) A. 2
B.
32
C. 3
D.
53
5、设三位数n abc =,若以a ,b ,c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n 有( ) A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个
6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面圆内的点,O 为底面圆的圆心,AB OB ⊥,垂足为B ,OH PB ⊥,垂足为H ,且PA=4,C 为PA 的中点,则当三棱锥O -HPC 的体积最大时,OB 的长是( )
A.
B.
C.
D.
3
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
7、在平面直角坐标系xoy 中,函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的区间上的图像。