理论力学 第二章 平面任意力系解析
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列平衡方程
h
q
F
θ
M
∑Fx=0 FAx-Fcosθ=0
∑Fy=0 FAy-ql-Fsinθ=0
FAy
∑MA(F)=0
MA FAx l
MA-ql(l/2)-Fsinθ.l+Fcosθ.h-M=0
解得: FAx=Fcosθ
FAy=ql+Fsinθ
MA=ql2/2+Flsinθ-Fhcosθ +M
例3-5 已知：P 10kN, P1 40kN 尺寸如图；
得 h 2l
0
0l
3
§3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
即 F 0 M 0
R
o
因为 FR ( Fx )2 ( Fy )2
有
Fx Fy
0 0
Mo 0
(3 6)
M O M O (Fi )
例3-3
已知： P, q, a, M pa; 求：支座A、B处的约束力。
解：(1)向O点简化 FR, x F x F1cos30 F2 15.98N FR, y F y F1sin 30 F3 25N
FR,
cos
θ
(FFR,R,Fxx)20.5(39Fx)2
29.67N 57.410
MO MO (F ) 319.6N.mm
(2)进一步简化
d M O 10.77mm FR,
第三章 平面任意力系
平面任意力系实例
§3-1 平面任意力系向作用面内一点简化
1、力的平移定理
作用在刚体上的力F可以平移到刚体 上任一点，但必须同时附加一个力偶， 附加力偶的力偶矩等于原力F对新作 用点的力矩。
M M (F ) Fd
B
B
等效
2、平面任意力系向作用面内一点简化 ·主矢和主矩
F F
解得 MA 1188kN m
如何提高列平衡方程解题的效率
总原则：尽量避免解联立方程
要点： •优先考虑力矩方程 •首先考虑取两个未知力的交点作为矩心 •解第一个未知量是关键 •坐标轴尽量和多个未知力平行
3.3 平面平行力系的平衡方程
F x
0
000 0
F x
0
F1 cos
F2 cos F3 cos
位于O点的右上侧
F2 (-40, 0) M
F3
y
(0,30) F1 300
MO (20,20)
d
θ
x
FR F’R
例2-7 已知：q,l；求：合力及合力作用线位置。
转动效应等效
解：取微元如图
q x q
l
P l x q dx 1 ql
0l
2
由合力矩定理 P h l q dx x l x2 q dx
求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3； （2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。
解： 取起重机，画受力图。
二矩式
Fx M
A(
0 F
)
0
M B (F ) 0
A, B 两个取矩点连线，不得与投影轴垂直
三矩式
M M
A B
( (
F F
) )
0 0
M C (F ) 0
A, B,C 三个取矩点，不得共线
例3-4 悬臂刚架尺寸和受力如 图所示,求A支座的约束反力 解: 取刚架作为研究对象，
画受力分析图
1
1
F2 F2
F F
n
n
M M (F )
1
01
M 2 M 0 (F2 )
M M (F )
n
0n
F F
n
n
M M (F )
n
0n
F R
F i
F i
能否称 F 为合力： R
M O
Mi
M
O
(
F i
)
能否称 MO 为合力偶：
主矢
F R
F i
主矩
M O
M
O
(
F i
)
若选取不同的简化中心，对主矢、主矩有无影响？
求： 轴承A、B处的约束力。
解： 取起重机，画受力图。
Fx 0 FAx FB 0
Fy 0 FAy P P1 0
M A 0 FB 5 1.5 P 3.5 P1 0 解得
FAx 31kN FAy 50kN FB 31kN
例3-6 已知：P 100kN, M 20kN m,
主矢
FR 0 FR 0
wk.baidu.com
主矩
MO 0
MO 0 MO 0
MO 0
最后结果
说明
合力 合力作用线过简化中心
合力 合力偶
合力作用线距简化中心M O FR
与简化中心的位置无关
平衡
与简化中心的位置无关
例3-1 已知：图示平面任意力系，F1=30N,F2=10N, F3=40N, M=2000N.mm，求各力向O点简化，并求简化的最后结果
主矢FR与简化中心无关，主矩MO与简化中心有关
如何求出主矢、主矩?
F Rx
F ix
F ix
F x
F Ry
F iy
F iy
F y
主矢大小 FR ( Fix )2 ( Fiy )2
方向 作用点
cos( FR, i
)
Fix FR
cos( FR,
j)
Fiy FR
作用于简化中心上
主矩
MO MO (Fi )
MO Mo (Fi ) (xi Fiy yi Fix)
(3 2)
3、平面固定端约束
=
=
≠
=
平面任意力系的简化结果分析
=
合力
其中
d
M O
F
M Fd
o
R
FR FR FR 合力（新位置）
R
合力矩定理
M (F ) oR
M O
M
O
(
F i
)
(3 3)
若为O1点，如何? 与简化中心无关 平衡
q 20kN m, l 1m; F 400kN,
求： 固定端A处约束力。
解：取T型刚架，画受力图。
其中
F x
F1 0
1 2
q 3l 30kN
FAx F1
F
sin 600
0
解得 FAx 316.4kN
Fy 0
FAy P F cos 60 0
解得 FAy 300kN
MA 0
MA M F1l F cos 60 l F sin 60 3l 0
解：取AB梁，画受力图。
F x
0
FAx 0
F y
0
FAy q 2a P FB 0
q
M A 0 FB 4a M P2a q2aa 0 A
M
C
B
P3
解得
FAy
4
qa 2
31
FA
FB 4 P 2 qa
2a P 4a
FB
平面任意力系平衡方程的三种形式
一般式
Fx Fy
0 0
M A (F ) 0
0
θ
F y
0
F1 sin F2 sin F3 sin 0
平面平行力系的方程为两个，有两种形式
Fy 0 M A(F ) 0
各力不得与投影轴垂直
M A(F ) 0 M B (F ) 0
A, B 两点连线不得与各力平行
例3-7 已知： P1 700kN, P2 200kN, 尺寸如图；
h
q
F
θ
M
∑Fx=0 FAx-Fcosθ=0
∑Fy=0 FAy-ql-Fsinθ=0
FAy
∑MA(F)=0
MA FAx l
MA-ql(l/2)-Fsinθ.l+Fcosθ.h-M=0
解得: FAx=Fcosθ
FAy=ql+Fsinθ
MA=ql2/2+Flsinθ-Fhcosθ +M
例3-5 已知：P 10kN, P1 40kN 尺寸如图；
得 h 2l
0
0l
3
§3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
即 F 0 M 0
R
o
因为 FR ( Fx )2 ( Fy )2
有
Fx Fy
0 0
Mo 0
(3 6)
M O M O (Fi )
例3-3
已知： P, q, a, M pa; 求：支座A、B处的约束力。
解：(1)向O点简化 FR, x F x F1cos30 F2 15.98N FR, y F y F1sin 30 F3 25N
FR,
cos
θ
(FFR,R,Fxx)20.5(39Fx)2
29.67N 57.410
MO MO (F ) 319.6N.mm
(2)进一步简化
d M O 10.77mm FR,
第三章 平面任意力系
平面任意力系实例
§3-1 平面任意力系向作用面内一点简化
1、力的平移定理
作用在刚体上的力F可以平移到刚体 上任一点，但必须同时附加一个力偶， 附加力偶的力偶矩等于原力F对新作 用点的力矩。
M M (F ) Fd
B
B
等效
2、平面任意力系向作用面内一点简化 ·主矢和主矩
F F
解得 MA 1188kN m
如何提高列平衡方程解题的效率
总原则：尽量避免解联立方程
要点： •优先考虑力矩方程 •首先考虑取两个未知力的交点作为矩心 •解第一个未知量是关键 •坐标轴尽量和多个未知力平行
3.3 平面平行力系的平衡方程
F x
0
000 0
F x
0
F1 cos
F2 cos F3 cos
位于O点的右上侧
F2 (-40, 0) M
F3
y
(0,30) F1 300
MO (20,20)
d
θ
x
FR F’R
例2-7 已知：q,l；求：合力及合力作用线位置。
转动效应等效
解：取微元如图
q x q
l
P l x q dx 1 ql
0l
2
由合力矩定理 P h l q dx x l x2 q dx
求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3； （2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。
解： 取起重机，画受力图。
二矩式
Fx M
A(
0 F
)
0
M B (F ) 0
A, B 两个取矩点连线，不得与投影轴垂直
三矩式
M M
A B
( (
F F
) )
0 0
M C (F ) 0
A, B,C 三个取矩点，不得共线
例3-4 悬臂刚架尺寸和受力如 图所示,求A支座的约束反力 解: 取刚架作为研究对象，
画受力分析图
1
1
F2 F2
F F
n
n
M M (F )
1
01
M 2 M 0 (F2 )
M M (F )
n
0n
F F
n
n
M M (F )
n
0n
F R
F i
F i
能否称 F 为合力： R
M O
Mi
M
O
(
F i
)
能否称 MO 为合力偶：
主矢
F R
F i
主矩
M O
M
O
(
F i
)
若选取不同的简化中心，对主矢、主矩有无影响？
求： 轴承A、B处的约束力。
解： 取起重机，画受力图。
Fx 0 FAx FB 0
Fy 0 FAy P P1 0
M A 0 FB 5 1.5 P 3.5 P1 0 解得
FAx 31kN FAy 50kN FB 31kN
例3-6 已知：P 100kN, M 20kN m,
主矢
FR 0 FR 0
wk.baidu.com
主矩
MO 0
MO 0 MO 0
MO 0
最后结果
说明
合力 合力作用线过简化中心
合力 合力偶
合力作用线距简化中心M O FR
与简化中心的位置无关
平衡
与简化中心的位置无关
例3-1 已知：图示平面任意力系，F1=30N,F2=10N, F3=40N, M=2000N.mm，求各力向O点简化，并求简化的最后结果
主矢FR与简化中心无关，主矩MO与简化中心有关
如何求出主矢、主矩?
F Rx
F ix
F ix
F x
F Ry
F iy
F iy
F y
主矢大小 FR ( Fix )2 ( Fiy )2
方向 作用点
cos( FR, i
)
Fix FR
cos( FR,
j)
Fiy FR
作用于简化中心上
主矩
MO MO (Fi )
MO Mo (Fi ) (xi Fiy yi Fix)
(3 2)
3、平面固定端约束
=
=
≠
=
平面任意力系的简化结果分析
=
合力
其中
d
M O
F
M Fd
o
R
FR FR FR 合力（新位置）
R
合力矩定理
M (F ) oR
M O
M
O
(
F i
)
(3 3)
若为O1点，如何? 与简化中心无关 平衡
q 20kN m, l 1m; F 400kN,
求： 固定端A处约束力。
解：取T型刚架，画受力图。
其中
F x
F1 0
1 2
q 3l 30kN
FAx F1
F
sin 600
0
解得 FAx 316.4kN
Fy 0
FAy P F cos 60 0
解得 FAy 300kN
MA 0
MA M F1l F cos 60 l F sin 60 3l 0
解：取AB梁，画受力图。
F x
0
FAx 0
F y
0
FAy q 2a P FB 0
q
M A 0 FB 4a M P2a q2aa 0 A
M
C
B
P3
解得
FAy
4
qa 2
31
FA
FB 4 P 2 qa
2a P 4a
FB
平面任意力系平衡方程的三种形式
一般式
Fx Fy
0 0
M A (F ) 0
0
θ
F y
0
F1 sin F2 sin F3 sin 0
平面平行力系的方程为两个，有两种形式
Fy 0 M A(F ) 0
各力不得与投影轴垂直
M A(F ) 0 M B (F ) 0
A, B 两点连线不得与各力平行
例3-7 已知： P1 700kN, P2 200kN, 尺寸如图；