工程力学 第13章 点的运动学与刚体的基本运动

= x 2 + y 2 + z 2 v=s
a = s= d 2 2 + y 2 + z 2 ) = at2 + an ( x = x 2 + y 2 + z2 dt
4. 在判断刚体是否作平行移动（特别是作曲线平移）时，只 要根据平移刚体上各点轨迹形状相同的特征， 通过对该刚体上若 干特殊点（例如它与其他构件的两个连接点）的运动分析，就可 确定刚体的运动形式，如果有两点的轨迹完全相同，该刚体即作 平移。 关于平移刚体上各点的运动分析，与点的运动分析相同，所 以只需分析其上任意一点。对于非自由的平移刚体，可分析其联 接点所受约束的条件，先建立它的运动方程。 作圆弧形曲线平移的问题，常应用弧坐标法分析运动；作直 线平移的问题，只需用一维坐标轴表示和分析其运动。 5. 在已知定轴转动刚体的角速度与角加速度的条件下，根据 相应的关系式，就可分析、计算刚体上任一点的速度及加速度。
1 2 2 3 r ω (1 + 8sin 2 ω t ) v2 4 r (1 + 8sin 2 ω t ) 2 = ρ= = 3rω 2 an 6 2 1 + 8sin 2 ω t
【例题 13-2】图 13-4a 所示机构中齿轮 1 紧固在杆 AC 上，AB = O1O2，齿 轮 1 和半径为 r2 的齿轮 2 啮合，齿轮 2 可绕 O2 轴转动且和曲柄 O2B 没有联系。 π 设 O1A = O2B = l，ϕ = bsinωt，试确定 t = s 时，轮 2 的角速度和角加速度。 2ω
13.2.3 角速度与角加速度矢
设转轴 Oz 的单位矢为 k ，则刚体角速度与角加速度可以分别表示为矢量 ω 和α，称为角速度矢和角加速度矢，如图 13-2 所示。
图 13-2 角速度矢与角加速度矢
ω = ω k⎫ ⎬ α =α k⎭
若刚体加速转动，则 α 与 ω 同向；若减速转动，则 α 与 ω 反向。 刚体上某一点 P 的速度可以表示为
d rBA =0 dt
故有
A = r B r
即
v A = vB →
类似地，有：
A = v B v
4
即
a A = aB
2. 定轴Fra Baidu bibliotek动
刚体定轴转动的定义：刚体运动时，若其上（或其扩展部分）有一条直线始 终保持不动。这条固定不动的直线称为转轴。轴线上各点的速度和加速度均恒 为零，其他各点均围绕轴线作圆周运动。
13.2 理 论 要 点
本章主要研究：点的一般运动和刚体的两种基本运动——平移和定轴转动。
13.2.1 分析点的运动的三种方法
点的运动分析主要是研究点的运动方程、速度和加速度。描述点在空间的 位置随时间变化的数学表达式称为点的运动方程。研究点的运动通常有以下几 种方法：
2
1. 矢量法
r = r (t ) ，
n 速度 aP 与法向加速度 a P 。
t
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13.3 学 习 建 议
1. 建立非自由点的运动方程时，应先根据点运动的约束条 件，选择适当的方法（轨迹已知采用弧坐标法；轨迹未知采用直 角坐标法） ，确定表示该点在任一瞬时位置的独立参量。再根据 已知的运动条件，把独立参量表示为时间 t 的函数，从而得到用 适当的坐标形式表示的点的运动方程。 2. 将点的运动方程中的参变量 t 消去，即得到点的轨迹方程， 由此，可以描绘点的运动轨迹。将运动方程对时间求导数后，得 到速度和加速度的表达式， 它们表明点的速度和加速度随时间的 变化规律。 3. 为了确定点沿轨迹运动的性质，需要分别计算加速度的切 向和法向分量。在计算运动轨迹的曲率半径时，常需要直角坐标 法和弧坐标法的综合应用。故需熟练掌握下列关系式
vP = ω×rP
式中， rP 为点 P 的位矢（图 13-2） 。 点 P 的加速度为
P = ω × rP + ω × r P = α × rP + ω × v P aP = v
t n + aP = α × rP + ω × (ω × rP ) = a P
这表明，定轴转动刚体上某一点的加速度由两部分组成，即式中的切向加
ϕ = f (t )
刚体的角速度ω与角加速度 α 分别为
ω =ϕ ⎫ ⎬ =ϕ ⎭ α =ω
转角（或角位移） ϕ 、角速度 ω 与角加速度 α 都是描述刚体整体运动的物理量。 上式中，角速度 ω 与角加速度 α 均为代数量。当规定转角 ϕ 以逆时针方向为 正时， ω 与 α 均应以 ϕ 增加的方向为正，即均按逆时针方向为正，相反则为负。 若 ω 与 α 同号，则刚体加速转动；若异号，则刚体减速转动。 刚体上点 P 作圆周运动的速度与加速度（包括切向与法向分量）的大小为
2 2 2 2 2 1 v = vx + vy =1 2 rω 9 sin ω t + cos ω t = 2 rω 1 + 8 sin ω t
(d) (e)
3 1 a = ax i + a y j = xi + yj = (− ω 2 r cos ω t )i + (− ω 2 r sin ω t ) j 2 2 所以点 M 加速度的大小为
x2 y2 + 1 2 =1 2 (3 ( 2 r) 2 r)
显然 M 点的轨迹是一个椭圆。 3．求点 M 的速度和加速度
(c)
3 1 i + y j = (− ω r sin ω t )i + ( ω r cos ω t ) j v = vx i + v y j = x 2 2
所以点 M 速度的大小为
8
at =
dv sin 2ωt = 2rω 2 dt 1 + 8sin 2 ωt
由式(f)和切向加速度的表达式可得法向加速度的大小为
an = a 2 − at2 = =
轨迹的曲率半径为
1 2 16sin 2 2ωt rω (1 + 8cos 2 ωt ) − 2 1 + 8sin 2 ωt
3rω 2 2 1 + 8sin 2 ωt
第 13 章 点的运动学与 刚体的基本运动
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工程力学学习指导
第三篇 运动学与动力学
第 13 章 点的运动学与刚体的基本运动
运动学研究物体在空间的位置随时间的变化规律， 以及物体上各点的速度和 加速度这些运动的几何性质，但是不涉及引起运动的原因。 物体的运动都是相对的，因此研究物体的运动必须指明参考体和参考系。 物体运动的位移、及其上各点的速度和加速度都是矢量，因此研究运动学 采用矢量方法。一般情形下，这些矢量的大小和方向会随着时间的变化而变化， 因而称为变矢量。
ρ
=
ρ
建立点的运动方程的关键，是选择合适的方法，建立相应的坐标系（不管 使用哪种坐标系，一定要首先确定原点及坐标正向） ，并将点置于一般位置（不 能放在特殊位置） ，根据问题的约束条件建立运动方程。
4. 三种方法各自的特点及适用性
1) 矢量法简明、直观，常用于理论推导，不适于具体问题的计算； 2) 便于代数及微积分运算， 常用于点的运动轨迹未知情况下的具体计算， 但所得结果物理意义不够直观； 3) 弧坐标法速度、切向加速度、法向加速度的表达式物理意义明确，常 用于点的运动轨迹已知情况下的具体计算，但不适用于点的运动轨迹未知的情 况。
A O1 C vA B 1 O1 2 a) 图 13-4 例题 13-2 b) A vD O2 vB C D 2 B 1
ϕ
O2
ϕ
解：1．分析机构的运动 机构由杆 O1A、O2B、组合体 ACB 和轮 O2 四部分组成，除组合体 ACB 作 平移（A、B 两点速度相同）外，其余三物体作定轴转动。 2．速度分析 因为杆 O1A 作定轴转动，故点 A 的速度为
= atτ + an n 式中 τ 和 n 分别为运动轨迹在点 P 处的切向和法向单位矢量, ρ 为轨迹的曲率半 径。
3
式中的第一项称为切向加速度，为速度大小的变化率；第二项称为法向加 速度，为速度方向的变化率，二者在 τ 与 n 方向的投影分别为：
v2 2 s
= s ， an = at = v
13.4 例 题 示 范
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【例题 13-1】椭圆规机构如图 13-3 所示，已知 AC=CB=OC=r，曲柄 OC 转 动时， ϕ = ω t ，带动 AB 尺运动，A、B 分别在铅垂和水平槽内滑动。求 BC 中 点 M 的运动速度和加速度以及运动轨 迹的曲率半径。 【解】1．分析 M 点的运动 曲柄 OC 转动时，带动 BC 尺运动， 而 CB 中点 M 作运动轨迹未知的平面曲 线运动，可采用直角坐标法确定其运 动。 2．建立运动方程 建立如图 13-3 所示的直角坐标系 ϕ Oxy，由图的几何关系知，M 点的坐标 为
= v=r dr , dt = a=v r= d2 r dt 2
r、v、a 分别为点在时间 t 瞬时的位矢、速度、加速度。且 r = r (t ) 为运动方程。
2. 直角坐标法
⎡i ⎤ ⎥ r = xi + yj + zk = ( x , y , z ) ⎢ ⎢ j⎥ ⎢ ⎣k ⎥ ⎦ ⎡i ⎤ i + y j + z , y ,z k = ( x ) ⎢ j ⎥ v=x ⎢ ⎥ ⎢ ⎣k ⎥ ⎦ ⎡i ⎤ i + j + , , k = ( ) ⎢ j ⎥ a= x y z x y z ⎢ ⎥ ⎢ ⎣k ⎥ ⎦
13.1 教学要求与学习目标
1. 掌握点作一般运动及刚体基本运动的有关定义和概念，如 位矢、速度与加速度； at 与 an 的物理意义；刚体的平移与定轴转 动；刚体角速度、角加速度矢量等。 2. 对于点的运动问题，能熟练地根据约束条件选择恰当坐标 （直角坐标或弧坐标）建立运动方程，正确熟练地进行速度及加 速度分析， 对所得到的数学表达式所代表的运动性质有清晰地了 解。 3. 对于刚体的基本运动，要首先能正确、熟练地判断其运动 形式，再根据确定的运动形式建立相应的运动方程，并能熟练地 计算刚体上一点的速度与加速度。
x = OCcosϕ + CMcosϕ y = BMsinϕ
⎫ ⎬ ⎭
(a)
图 13-3
例题 13-1
将 ϕ = ω t 、r 代入式（1） ，得
x= 3 rcosω t 2 y=1 rsinω t 2
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
(b)
式（2）为 M 点的运动参数方程。从式（2）中消去参数 t，得到 M 点的轨迹方 程
图 13-1 二维刚体的定轴转动
如果研究位于定系 Oxy 中的平面刚体绕垂直于纸面的轴 O 转动（图 13－1） ， 以 OA 与定坐标轴 Ox 之间的夹角 ϕ 则取与刚体固结并通过轴 O 的任意直线 OA， 为坐标。于是，转角 ϕ 随时间 t 的变化描述了刚体的运动，由此得到刚体定轴转 动的运动方程为
3. 弧坐标法
如果点的运动轨迹已知， 则点沿轨迹的运动规律可用弧坐标 s 表示， 运动方 程、速度、加速度分别为
s = f (t )
v= d r ds d r τ = =s dt dt ds dv d dv dτ dv v2 a= = ( vτ ) = τ +v = τ + n ρ dt dt dt dt dt
vP = ω rP
t 2 n 2 ) + ( aP ) = (α rP ) 2 + (ω 2 rP ) 2 = rP α 2 + ω 4 a P = ( aP
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式中， rP = OP ，这表明，刚体定轴转动时，其上各点的速度和加速度与点到转 轴的距离成正比，方向角由下式确定
t aP rα α tan θ = n = P 2 = 2 aP rPω ω
13.2.2 刚体的基本运动
1. 平移
平移的定义：刚体在运动过程中，其上任取直线始终与它的最初位置平行。 平移的运动特点是：刚体上各点的轨迹形状、速度、加速度相同。因此，只要 求得刚体上任意一点的运动，就可得知其他各点的运动，也就决定了整个刚体 的运动。
r A = rB + rBA
根据平移的定义， rBA 为常矢量
2 2 2 2 2 2 1 a = ax + ay = (− 3 2 ω r cos ω t ) + ( − 2 ω r cos ω t )
= rω
1 2
2
1 + 8cos ω t
2
(f)
4．确定轨迹的曲率半径ρ 在点的运动学中可根据点的法向加速度表达式求出运动轨迹的曲率半径。 将式(d)对时间 t 求导数可得切向加速度的大小为