相似图形的判定及性质

期末提分练案
∴∠MAD＝∠AMB＝90°. ∴∠B＋∠BAM＝∠MAN＋∠NAD＝90°. ∴∠B＝∠MAN. ∴△AMN∽△BAC. ∴AAMB ＝MACN.
期末提分练案
9．如图，CE 是 Rt△ABC 斜边上的高，在 EC 的延长线上任 取一点 P，连接 AP，作 BG⊥AP 于点 G，交 CE 于点 D．
期末提分练案
【点拨】三点定型法是证明线段等积式或比例式时找相似三 角形的最常用且最有效的方法，它就是设法找出比例式或等 积式中(或转化后的式子中)所蕴含的几个字母，是否存在可 由“三点”确定的两个相似的三角形．
期末提分练案
证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°， ∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°. ∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D. 又∵M 为 BC 的中点，∠BAC＝90°， ∴BM＝AM. ∴∠B＝∠BAM.
北师版 九年级上
期末提分练案
第6讲 相似图形的判定及性质 第5课时 技巧训练
证比例式或等积式的七种常用技巧
习题链接
提示：点击 进入习题
1 见习题 2 见习题 3 见习题 4 见习题 5 见习题
6 见习题 7 见习题 8 见习题 9 见习题 10 见习题
答案显示
11 见习题 12 见习题
期末提分练案
期末提分练案
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AE∥DC，∠A＝∠C. ∴∠CDF＝∠E. ∴△FCD∽△DAE. ∴DAEC＝CAFD.
期末提分练案
4．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，M 为 BC 的中点， DM⊥BC 交 CA 的延长线于 D，交 AB 于 E.
求证：AM2＝MD·ME.
期末提分练案
6．如图，P 是▱ABCD 的边 BC 的延长线上一点，AP 分别交 BD 和 CD 于点 M 和 N.求证：AM 2＝MN·MP.
期末提分练案
【点拨】利用平行线得到角相等，从而判定三角形相似，再 由相似三角形对应边的比相等，可求某些线段的长或证明比 例式和等积式．当直接利用相似三角形对应边的比相等或平 行线截得的对应线段成比例无法解决时，可找中间比进行过 渡，而找“中间比”是证比例关系常用的方法．
期末提分练案
证明：如图，连接 PM，PN. ∵MN 是 AP 的垂直平分线， ∴MA＝MP，NA＝NP. ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 又∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°. ∴∠2＋∠4＝60°.
期末提分练案
∴∠5＋∠6＝120°. 又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°， ∴∠5＝∠7. ∴△BPM∽△CNP. ∴CBNP＝BCMP ，即 BP·CP＝BM·CN.
期末提分练案
证明：过点 D 作 DG∥BC，交 AC 于点 G. 易知△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC. ∴DEFF＝DCEG，ABBC＝DADG. ∵AD＝CE，∴DCEG＝DADG. ∴ABBC＝EDFF，即 AB·DF＝BC·EF.
期末提分练案
3．如图，在▱ABCD 中，E 是 AB 延长线上的一点，DE 交 BC 于 F.求证：DAEC＝ACDF.
7．如图，在 Rt△ABC 中，AD 是斜边 BC 上的高，∠ABC 的平分线 BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F.求证：BBFE＝ABBC.
期末提分练案
证明：由题意得∠BDF＝∠BAE＝90°. ∵BE 平分∠ABC，∴∠DBF＝∠ABE. ∴△BDF∽△BAE.∴BADB＝BBFE. ∵∠BAC＝∠BDA＝90°， ∠ABC＝∠DBA. ∴△ABC∽△DBA. ∴ABBC＝BADB.∴BBFE＝ABBC.
求证：AB·DF＝BC·EF.
期末提分练案
【点拨】利用相似三角形证明等积式或者比例式的一般方 法：把等积式或者比例式中的四条线段分别看成两个三角形 的对应边，然后通过证明这两个三角形相似，从而得到所要 证明的等积式或比例式．特别地，当等积式中的线段的对应 关系不容易看出时，也可以把等积式转化为比例式．
期末提分练案
8．如图，在▱ABCD 中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为 M，N.求证：
期末提分练案
(1)△AMB∽△AND； 证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴∠B＝∠D. ∵AM⊥BC，AN⊥CD， ∴∠AMB＝∠AND＝90°. ∴△AMB∽△AND.
期末提分练案
(2)AAMB ＝MACN. 证明：由△AMB∽△AND 得AAMN＝AABD，∠BAM＝∠DAN. 又∵AD＝BC，∴AAMN＝ABBC. ∴AAMB ＝ABNC. ∵AM⊥BC，AD∥BC，
期末提分练案
∴△ADE∽△CME. ∴AEEC＝CAMD. ∵D 为 AB 的中点，∴BD＝AD. ∴CBMD ＝CAMD . ∴BCFF＝AEEC，即 AE·CF＝BF·EC.
期末提分练案
2．如图，已知△ABC 的边 AB 上有一点 D，边 BC 的延长线 上有一点 E，且 AD＝CE，DE 交 AC 于点 F.
期末提分练案
∴∠BAM＝∠D，即∠EAM＝∠D.
又∵∠AME＝∠DMA.
∴△AME∽△DMA.
∴AM＝ME，即 MD AM
AM2＝MD·ME.
期末提分练案
5．如图，在等边三角形 ABC 中，点 P 是 BC 边上任意一点， AP 的垂直平分线分别交 AB，AC 于点 M，N.
求证：BP·CP＝BM·CN.
1．如图，在△ABC 中，D 为 AB 的中点，DF 交 AC 于点 E， 交 BC 的延长线于点 F.求证：AE·CF＝BF·EC．
期末提分练案
证明：过点 C 作 CM∥AB，交 DF 于点 M. ∵CM∥AB， ∴∠FCM＝∠B，∠FMC＝∠FDB. ∴△CMF∽△BDF. ∴BCFF＝CBMD. 又∵CM∥AD， ∴∠A＝∠ECM，∠ADE＝∠CME.
期末提分练案
证明：∵AB∥DN， ∴∠MBA＝∠MDN，∠MAB＝∠MND. ∴△AMB∽△NMD. ∴NAMM＝BDMM. 又∵AD∥BP， ∴∠MAD＝∠P，∠MDA＝∠MBP.
期末提分练案
∴△BMP∽△DMA. ∴AMMP＝DBMM. ∴MAMN＝AMMБайду номын сангаас. ∴AM2＝MN·MP.
期末提分练案