高三圆锥曲线知识点总结
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第八章 《圆锥曲线》专题复习
一、椭圆方程.
1. 椭圆的第一定义：
为端点的线段
以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,
2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+
2．椭圆的方程形式： ①椭圆的标准方程：
i. 中心在原点，焦点在x 轴上：
)
0(12
22
2 b a b
y a
x =+
. ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：
)0(12
22
2 b a b
x a
y =+
.
②一般方程：)0,0(12
2
B A By Ax =+.③椭圆的参数方程：
2
22
2+
b y a x ⎩⎨
⎧==θ
θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π
θ ）. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. 3．椭圆的性质： ①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2
2
21,2b a c c F F -==.⑤准线：c
a x 2
±=或
c a y 2±=.⑥离心率：)10( e a
c
e =.⑦焦半径： i. 设),(00y x P 为椭圆
)0(12
22
2 b a b
y a
x =+
上的一点，21,F F 为左、右焦点，则：
证明：由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002
200201 x a ex x c
a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起
来为“左加右减”.
ii.设),(00y x P 为椭圆
)0(12
22
2 b a a
y b
x =+
上的一点，21,F F 为上、下焦点，则：
⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通径： 2
22b d a
=；坐标：22(,),(,)b b c c a a -
4．共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12
22
2 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c a
c
e -==
，方程
t t b y a x (2
22
2=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是a
c
e =
我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 5．若P 是椭圆：
12
22
2=+
b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为
2
tan
2θ
b （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2
cot
2θ
⋅b .
1020
,PF a ex PF a ex
=+=-1020
,PF a ey PF a ey =+=-asin α,)α)
二、双曲线方程.
1. 双曲线的第一定义：
的一个端点的一条射线
以无轨迹
方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-
2．双曲线的方程：
①双曲线标准方程：
)0,(1),
0,(12
22
22
22
2 b a b x a y b a b y a x =-
=-
. 一般方程：
)0(122 AC Cy Ax =+.
3．双曲线的性质：
①i. 焦点在x 轴上： 顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程c
a x 2
±= 渐近线
方程：0=±b y
a x 或02222=-
b y a x ii. 焦点在y 轴上：顶点：),0(),,0(a a -. 焦点：),0(),,0(
c c -. 准
线方程：c a y 2
±=. 渐近线方程：0=±b x a y 或02222=-b x a y ，参数方程：⎩
⎨⎧==θθtan sec b y a x 或
⎩
⎨
⎧==θθ
sec tan a y b x . ②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率a c
e =. ④准线距
c a 22（两准线的距离）；通径a b 22. ⑤参数关系a
c
e b a c =+=,222. ⑥焦半径公式：对于双曲线
方程
12
22
2=-
b y a x （21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
“长加短减”原则：
a
ex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-
a
ex F M a ex F M +-='--='0201（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半
a
ey F M a ey F M a ey MF a ey MF -'
-='+'
-='+=-=02010201
4． 等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e . 5．共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-22
22b y a x 与λ-=-2222b
y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：
02
22
2=-
b
y a
x .