理想流体动力学
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流体力学4-理想流体动力学
下标1 下标1、2为同一流线 上的任意两点
理想流体动力 学
二、拉氏积分和伯氏积分不同点： 拉氏积分和伯氏积分不同点： (１) 应用条件不同。 １ 应用条件不同。 拉格朗日积分只能用于无旋流运动， 拉格朗日积分只能用于无旋流运动， 伯努利积分既可用于无旋运动， 伯努利积分既可用于无旋运动，又 可用于有旋运动。 可用于有旋运动。 （２）常数Ｃ性质不同。 常数Ｃ性质不同。 拉格朗日积分中的常数在整个流场中不变 伯努利积分常数Ｃ 伯努利积分常数Ｃｌ只在同一根流线上不变
伯努利方程也表明重力作用下不可压缩理想流体 定常流动过程中单位重量流体所具有的位能、 定常流动过程中单位重量流体所具有的位能、动能和 压强势能可互相转化，但总机械能保持不变。 压强势能可互相转化，但总机械能保持不变。
理想流体动力 学
？讨论： 讨论：
实际流动中总水头线不是水平线， 实际流动中总水头线不是水平线，单位重量 流体的总机械能沿流线也不守恒, 为什么？ 流体的总机械能沿流线也不守恒, 为什么？
流体的质量力只有重力， 流体的质量力只有重力， U＝－ｇｚ p v p V ∂Φ z + + = − 或为 + = − gz + γ 2g
2
2
ρ
2
∂t
1 ∂Φ g ∂t
2.定常运动 2.定常运动
p V2 −U + + =C ρ 2
(通用常数) 通用常数)
3.对于理想、不可压缩流体、 3.对于理想、不可压缩流体、在重力作用 对于理想 下的定常无旋运动
理想流体动力 学
伯努力积分式
p
在重力场中Ｕ＝－ｇｚ 在重力场中Ｕ＝－ｇｚ
p V2 −U + + =C ρ 2
北航水力学 第四章理想流体动力学和恒定平面势流解读
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
4.2.2 由动能定理推导理想流体的伯努利方程
推导过程同学们自学
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
本公式是由动能定理推导而得，它使伯努利方程有更加明确的 物理意义，说明伯努利方程是一能量方程。
第三节 元流伯努利方程的意义和应用
4.3.1 沿流线的伯努利方程的水力学意义
可见，在同一流线上各点的流函数为一常数，故等流函数线就是流线。
2、平面内任意两点流函数值的差等于通过这两点连线的流量。
y ABdrBnA x
d r dxi dy j
n cos i sin j dy i dx j
dr dr V ui v j
dq V
ndr
u
dy dr
v
dx dr
等 线和等Ψ线，这两族曲线互相垂直，构
成流网。
两族曲线所构成的正交网络，称为流网
流网的特征：
流网
等 线和速度矢量垂直，或者说， 等 线与等Ψ线（流线）垂直，
【例题】
已知90度角域内无粘流动，速度分布
ux kx uy ky
(k 0, x 0, y 0)
求：（1）判断该流场是否存在速度势函数， 若存在请给出并画出等势线；
流动。但粘滞性对流动 的影响很微小时，影响可以忽略。 --机械能守恒
引入势流的意义：使问题简化。
波浪运动，无分离的边界层外部的流动，多孔介质的流动（渗流） 等等可以看为势流。
4.4.1 流速势函数
以二维流动为例，根据流体运动学，它与无旋流动等价
由 ux 0 无旋流的条件→涡量 z 0
第4章理想流体动力学
Q=0.036m3/s，水柱的来流速度V=30m/s，若被截取的流量
Q=0.012m3/s，试确定水柱作用在板上的合力R和水流的偏
转角
（略去水的重量及粘性）。 解：设水柱的周围均为大气压。由于不计重力，因此由伯努利方程可知
由连续方程
取封闭的控制面如图，并建立 坐标，设平板对射流柱的作用力为 （由于不考虑粘性，仅为压力）。由动量定理
<<
,
<<
以及与水箱A中流出的流量相比，从B中吸出的流量为小量。） 解：（1）在
及
的假定下，本题可看作小孔出流 由Torricelli定理
处为基准，对水箱 自由液面及最小截面
建立总流伯努利方程 其中
， 故 要使最小截面处压强
低于大气压即为负值必须使 由连续方程
得 故
得此时的条件应为 （2）若从水槽中吸出水时，需具备的条件为 或者 将 代入
时，
例如，当 则
【4.18】 如图,锅炉省煤气的进口处测得烟气负压 h1=10.5mmH2O，出口负压h2=20mmH2O。如炉外空气 ρ=1.2kg/m3，烟气的密度ρ'= 0.6 kg/m3，两测压断面高度 差H=5m，试求烟气通过省煤气的压强损失。 解：本题要应用非空气流以相对压强表示的伯努利方程形式。 由进口断面1至出口断面2列伯努利方程
即 或者 ，
由于 将上述不等式代入
得 【4.14】 如图，一消防水枪，向上倾角
水管直径D=150mm，压力表读数p=3m水柱高，喷嘴直径 d=75mm，求喷出流速，喷至最高点的高程及在最高点的 射流直径。 解：不计重力，对压力表截面1处至喷咀出口2处列伯努利方程
其中
得
式得
另外，由连续方程 得 上式代入
第7章_理想流体动力学基本方程
④列动量方程求解。
Fx p1A1 p2 A2 cos Rx Qv2x v1x
Fy p2 A2 sin Ry Q v2y v1y
Fx p1A1 p2 A2 cos Rx Qv2 cos v1
Fy p2 A2 sin Ry Qv2 sin 0
Rx p1A1 p2 A2 cos Qv2 cos v1
动量方程：反映了流体的动量变 化与外力之间的关系
粘性流体：实际流体都具有粘性。既有粘性切应力，又有法向压应力。
0
理想流体：理想流体可忽略粘性。即无粘性切应力，只有法向压应力。
0
粘性流体：
理想流体：
一、动量方程——流体的运动方程
1、积分形式的动量方程——流体的运动方程
质点系的动量定理：
系统的动量对时间的变化率等于作
第7章 理想流体动力学动量方程
粘性流体：实际流体都具有粘性，致使所研究的问题比较复杂。 理想流体：指粘性为零的流体，实际上并不存在，但在有些问题
中，粘性的影响很小，可以忽略不计，致使所研究的 问题简单化。 理想流体动力学规律可以应用于粘性的影响很小的实 际流体中，所以本章的研究具有实际意义。
主要内容
过流断面是均匀流或渐（缓）变流断面不可压缩流体
Fx Q(2v2x 1v1x ) Fy Q(2v2 y 1v1y ) Fz Q(2v2z 1v1z )
④当沿程有分流和汇流时：
Fx (3Q3v3x 2Q2v2x 1Q1v1x ) Fy (3Q3v3y 2Q2v2 y 1Q1v1y ) Fz (3Q3v3z 2Q2v2z 1Q1v1z )
对1-1，2-2断面列伯努利方程
p1 v12 p2 v22
g 2g g 2g
v1 1.42m / s v2 3.18m / s
理想流体动力学
∂ϕ ∂z
利用梯度的概念，可类推出 vl =
∂ϕ 。 （参加书上的推导方式） ∂l
2.存在势函数的流动一定是无旋流动 设某一流动，存在势函数 设某 流动，存在势函数 ϕ ( x, y, z, t ) ，其流动的角速度分量：
1 ∂ ∂ϕ 1 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ 1 ∂v y ∂vx ∂ ∂ϕ ωz = ( ) = [ ( ) − ( )] = ( − )=0 − 2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂y ∂y ∂x 2 ∂x∂y ∂x∂y
这说明， 一点的速度矢量与过该点的等势面是垂直的， 又因为速度矢 量与流向平行 可推知流线与等势面是正交的 量与流向平行，可推知流线与等势面是正交的。
4.势函数是调和函数（满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数） ，对 不可压缩流体，连续性方程为： 缩 连
∂v x ∂v y ∂v z + =0 + ∂x ∂y ∂z
从上所见，在不可压缩流体有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续 性方程的一种特殊形式，这样把求解无旋流动的问题，转化为求解一定 边界条件下的拉普拉斯方程的问题。 Laplace l 方程是一个线性方程，其解具有可叠加性，如： 方程是 个线性方程 其解具有可叠加性 如 ϕ1 ，ϕ 2 是 方程的解，则ϕ1 + ϕ 2 也是方程的解。利用这一性质，分析研究一些简单 的势流 然后叠加可组成比较复杂的势流 的势流，然后叠加可组成比较复杂的势流。 三、流函数 在三维、理想、不可压缩无旋流动中，由于存在速度势函数ϕ ，而 使问题大为简化。 对于不可压缩流体的平面运动（有旋、无旋） 缩 体 平 动 有旋 无旋 ，还存在另一个表征 存在另 个 征 流动的函数—流函数。且不同的流函数数值代表不同的流线。如下图所 示：
将用势函数表示的速度分量：v x = 得：
第六章 理想流体动力学(2)
ρ
+
2
=
ρ
∞
+
∞
将圆柱面上的速度带入上式，可得圆柱面上的压强分布： 将圆柱面上的速度带入上式，可得圆柱面上的压强分布：
2 1 Γ 2 p = p∞ + ρ v∞ − −2v∞sinθ − 2 2π r0
9
2 1 Γ 2 p = p∞ + ρ v∞ − −2v∞sinθ − 2 2π r0
r02 ∂ϕ = v∞ 1 − 2 cosθ vr = ∂r r
2 r0 ∂ϕ Γ vθ = = −v∞ 1 + 2 sinθ − r ∂θ 2π r r
这说明，流体只有沿着圆周切线方向的速度，流体与圆柱体 这说明，流体只有沿着圆周切线方向的速度， 圆周切线方向的速度 没有分离现象，满足流体不能穿入和不能穿出的条件， 没有分离现象，满足流体不能穿入和不能穿出的条件，即圆 柱面的绕流条件。 柱面的绕流条件。
11
D = Fx = − ∫
2π
0
pr0 cosθ dθ
L = F柱表面压强表达式代入上式得： 将圆柱表面压强表达式代入上式得： 表面压强表达式代入上式得
2 2π 1 Γ 2 D = − ∫ p∞ + ρ v∞ − −2v∞ sinθ − r0 cosθ dθ = 0 0 2 2π r0
r0和 v∞ 不变的情况下，θ 分 只与 Γ 有关。 不变的情况下， 有关。
6
以下分三种情况讨论： 以下分三种情况讨论： 1、 当 Γ < 4πr0 v∞ 时， 、
sinθ < 1， sin(− θ ) = sin[- (π − θ )]
水力学 第四章 理想流体动力学和平面势流
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
6
3、欧拉运动微分方程和求解条件
运动微分方程组
u u u 1 p u x ux x u y x uz x x t x y z u y u y u y 1 p u y fy ux uy uz y t x y z 1 p u z u z u z u z fz ux uy uz z t x y z fx
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
14
4-1-2 葛罗米柯(又称兰姆)运动微分方程
矢量表示形式：
1 u2 u 2 2ω u f ρ p t
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
15
4-1-3 葛罗米柯运动微分方程的应用—伯努利方程 1、 伯努利方程的推导条件
2
对加速度在y及z的投影做同样处理，即可得到葛罗米柯运动 微分方程，如下：
1 p 1 u 2 u x fx 2ω y uz ωz u y ρ x 2 x t 1 p 1 u 2 u y fy 2ωz u x ωx uz ρ y 2 y t 1 p 1 u 2 uz fz 2ωx u y ω y u x ρ z 2 z t
1 上面三个式的矢量形式为 ： f p du dt
上式为理想流体的运动微分方程，反映了在任意流体微元上单 位质量力、惯性力与压强的平衡关系。 适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流体或不可压缩流体。
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
4
2、欧拉运动微分方程
加速度表示式按欧拉运动描述展开为 du u u u dt t
6
3、欧拉运动微分方程和求解条件
运动微分方程组
u u u 1 p u x ux x u y x uz x x t x y z u y u y u y 1 p u y fy ux uy uz y t x y z 1 p u z u z u z u z fz ux uy uz z t x y z fx
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
14
4-1-2 葛罗米柯(又称兰姆)运动微分方程
矢量表示形式：
1 u2 u 2 2ω u f ρ p t
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
15
4-1-3 葛罗米柯运动微分方程的应用—伯努利方程 1、 伯努利方程的推导条件
2
对加速度在y及z的投影做同样处理，即可得到葛罗米柯运动 微分方程，如下：
1 p 1 u 2 u x fx 2ω y uz ωz u y ρ x 2 x t 1 p 1 u 2 u y fy 2ωz u x ωx uz ρ y 2 y t 1 p 1 u 2 uz fz 2ωx u y ω y u x ρ z 2 z t
1 上面三个式的矢量形式为 ： f p du dt
上式为理想流体的运动微分方程，反映了在任意流体微元上单 位质量力、惯性力与压强的平衡关系。 适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流体或不可压缩流体。
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
4
2、欧拉运动微分方程
加速度表示式按欧拉运动描述展开为 du u u u dt t
清华大学流体力学课件-4-理想流体动力学.pdf
第四章 理想流体动力学
2017年春-本科生-流体力学
理想流体动力学
1
简介
理想流体是真实流体的一种近似模型，忽略粘性
0
Cv 0
m
Tij pij
理想流体（势流）
真实流体
2017年春-本科生-流体力学
理想流体动力学
2
基本内容
1. 理想流体运动的基本方程和初边值条件 2. 理想流体在势力场中运动的主要性质 3. 兰姆型方程和理想流体运动的几个积分 4. 理想不可压缩无旋流动问题的数学提法和主要性质 5. 理想不可压缩无旋流动速度势方程的基本解及叠加法 6. 不可压缩流体二维流动的流函数及其性质 7. 理想不可压缩流体平面无旋流动问题的复变函数方法
2 ) V (e
1 2
V
2)
f
V
1
TV q
qR
1
T
pijeie j Vkek pViei pV
2017年春-本科生-流体力学
理想流体动力学
4
§4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件
V V
t
V V V 1 p f
t
t
Vj
x j
V j x j
Vi t
Vj
Vi x j
理想流体动力学
11
§4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件
例：在原无界静止的理想匀质不可压缩流体中，有一圆球作均匀膨胀，
其物面方程为 R Rb (t)
无穷远处压力 p p ，不计质量力，
Rb (t)
求：球面上的压强分布。
R
V 0
V V V 1 p
t
t 0: V 0
R : V 0 p p R Rb (t) : VR Rb (t)
2017年春-本科生-流体力学
理想流体动力学
1
简介
理想流体是真实流体的一种近似模型，忽略粘性
0
Cv 0
m
Tij pij
理想流体（势流）
真实流体
2017年春-本科生-流体力学
理想流体动力学
2
基本内容
1. 理想流体运动的基本方程和初边值条件 2. 理想流体在势力场中运动的主要性质 3. 兰姆型方程和理想流体运动的几个积分 4. 理想不可压缩无旋流动问题的数学提法和主要性质 5. 理想不可压缩无旋流动速度势方程的基本解及叠加法 6. 不可压缩流体二维流动的流函数及其性质 7. 理想不可压缩流体平面无旋流动问题的复变函数方法
2 ) V (e
1 2
V
2)
f
V
1
TV q
qR
1
T
pijeie j Vkek pViei pV
2017年春-本科生-流体力学
理想流体动力学
4
§4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件
V V
t
V V V 1 p f
t
t
Vj
x j
V j x j
Vi t
Vj
Vi x j
理想流体动力学
11
§4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件
例：在原无界静止的理想匀质不可压缩流体中，有一圆球作均匀膨胀，
其物面方程为 R Rb (t)
无穷远处压力 p p ，不计质量力，
Rb (t)
求：球面上的压强分布。
R
V 0
V V V 1 p
t
t 0: V 0
R : V 0 p p R Rb (t) : VR Rb (t)
第三章 理想流体动力学基本方程(1)
t=0 即 流动恒定, 或流动定常, 对 等截面(A与B), 位变导数为
H A B C D
零, 对非等截面(C与D), 位 变导数一般不为零
若H是变化的, 则∂/∂t不为零 即流动非恒定, 或流动非定常 而对于位变导数, 与上述结论 相同
例
质点沿直线以速度
V=3 x2 + y2 (m/s)运动, 求质点在(8,6) y (8,6) α 0 点的加速度 解: u=Vcosα=3 x v=3y
质点导数亦称随体导数亦称物质导数等
作业
2---30
2---31
预习 第三章理想流体动力学基 本方程 §3-2 流线和流管 §3-3 连续性方程
休息一下！
质点导数概念: 质点导数概念
以量 u(x,y,z,t)为代表 为代表
u(x + ∆x, y +∆y, z +∆z, t +∆t) − u(x, y, z, t) ax = lim ∆t →0 ∆t
du Du ∂u ∂u ∆ x ∂u ∆ y ∂u ∆ z ax = = = + + + dt Dt ∂t ∂x ∆ t ∂y ∆ t ∂z ∆ t
质点导数概念可扩展到质点所携带 的其它物理量, 的其它物理量, 如密度如压强等
d ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ = +u +v +w dt ∂t ∂x ∂y ∂z dp ∂p ∂p ∂p ∂p = +u +v + w dt ∂t ∂x ∂y ∂z 用一个通式表示为 d ∂ ∂ ∂ ∂ = +u +v +w dt ∂t ∂x ∂y ∂z
box-walk_320x240.avi
质点导数概念: 质点导数概念 以质点所携带的物理量u为代表
H A B C D
零, 对非等截面(C与D), 位 变导数一般不为零
若H是变化的, 则∂/∂t不为零 即流动非恒定, 或流动非定常 而对于位变导数, 与上述结论 相同
例
质点沿直线以速度
V=3 x2 + y2 (m/s)运动, 求质点在(8,6) y (8,6) α 0 点的加速度 解: u=Vcosα=3 x v=3y
质点导数亦称随体导数亦称物质导数等
作业
2---30
2---31
预习 第三章理想流体动力学基 本方程 §3-2 流线和流管 §3-3 连续性方程
休息一下！
质点导数概念: 质点导数概念
以量 u(x,y,z,t)为代表 为代表
u(x + ∆x, y +∆y, z +∆z, t +∆t) − u(x, y, z, t) ax = lim ∆t →0 ∆t
du Du ∂u ∂u ∆ x ∂u ∆ y ∂u ∆ z ax = = = + + + dt Dt ∂t ∂x ∆ t ∂y ∆ t ∂z ∆ t
质点导数概念可扩展到质点所携带 的其它物理量, 的其它物理量, 如密度如压强等
d ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ = +u +v +w dt ∂t ∂x ∂y ∂z dp ∂p ∂p ∂p ∂p = +u +v + w dt ∂t ∂x ∂y ∂z 用一个通式表示为 d ∂ ∂ ∂ ∂ = +u +v +w dt ∂t ∂x ∂y ∂z
box-walk_320x240.avi
质点导数概念: 质点导数概念 以质点所携带的物理量u为代表
第四章理想流体动力学
5
平行六面体，顶点为 Ax, y,z 处的速度 是 vx, y,z ，压强为 px, y,z 。六面体平均密
度为 ，作用在六面体上的力有表面力和质量 力。
以y方向为例进行受力分析： 1. y方向的表面力 由于讨论的流体是理想流体,作用在流体表 面上的力只有法向力,其方向为内法线方向。
第四章 理想流体动力学 §4-1 欧拉运动微分方程式
上式为非定常无旋运动的拉格朗日积分式。
对于定常无旋运动，括号中的函数还不 随时间变化，因此它在整个流场为常数：
U p v2 C(通用常数) 2
第四章 理想流体动力学 §4-2 拉格朗日积分式
16
U p v2 C(通用常数) 2
对于理想、不可压缩流体，在重力作用下
的定常、无旋运动，上式写为：
第四章 理想流体动力学
1
第四章 理想流体动力学
(Ideal fluid dynamics)
§4-1 欧拉运动微分方程式 §4-2 拉格朗日积分式 §4-3 伯努利积分式及其应用 §4-4 伯努利方程几何意义和能量意义 §4-5 动量定理及动量矩定理
第四章 理想流体动力学
2
重点：伯努利积分式及其应 用、伯努利方程的几何意义和能 量意义、动量定理及动量矩定理
⑵常数性质不同。拉格朗日积分中的常数 在整个流场中不变，故称为普遍常数，伯努利 积分常数只在同一根流线上不变，不同流线取 值不同，称为流线常数。或者说拉格朗日积分 在整个空间成立，而伯努利积分只在同一条流 线上成立。
当流动定常且无旋时，两个积分式等同。
第四章 理想流体动力学 §4-3 伯努利积分式及其应用
第二项：
12
vx t
vx
vx x
vy
流体力学--理想流体的流动
2p1 p2
S12 S22
p1 p2 gH
流速：2 S1
2gH S12 S22
,
1
S2
2gH S12 S22
体积流量：QV S22 S1S2
2gH S12 S22
只要读出两个 竖管的高度差， 就可以测量流 速和流量
•二. 流速的测定：
应用实例3. 皮托管：常用的流速测定装置；
补充例题， 水管里的水在压强为p=4×105 Pa的作用下流入房间， 水管的内直径为2.0 cm，管内水的流速为4 m/s。引入 到5 m高处二楼浴室的水管，内直径为1.0 cm，
试求浴室水管内水的流速和压强? (已知水的密度为＝103 kg/m3)。
2 16m / s
p2 2.25105 (Pa)
伯努利方程：理想流体在重力场中作稳定流动时，能量守
衡定律在流动液体中的表现形式。
一. 伯努利方程的推导：
稳定流动的理想流体中，忽略流体的粘滞性，任意细流管中的 液体满足能量守恒和功能原理！
设：流体密度，细流管中分析一段流体a1 a2 : a1处：S1，1，h1, p1 a2处：S2，2，h2, p2 经过微小时间t后，流体a1 a2 移到了b1 b2, 从 整体效果看，相当于将流体 a1 b1 移到了a2 b2, 设a1 b1段流体的质量为m，则：
粘滞力：
粘滞流体在流动中各层的流速不同，相邻两流层之间有相 对运动，互施摩擦力，快的一层给慢的一层以向前的拉力； 慢的一层则给快的一层以向后的阻力，这种摩擦力称为内 摩擦，又称粘滞力；
粘滞力和哪些因素有关？
流体内相邻两层内摩擦力的大小：
与两流层的接触面积大小有关； 还与两流层间速度变化的快慢有关；
理想流体动力学基本方程
一、动量方程——流体的运动方程 二、能量方程——伯努利方程
三、恒定总流能量方程应用 四、恒定总流动量方程与能量方程
的综合应用
3
，致使所研究的问题比较复杂。 理想流体：指粘性为零的流体，实际上并不存在，但在有些问题
中，粘性的影响很小，可以忽略不计，致使所研究的 问题简单化。 理想流体动力学规律可以应用于粘性的影响很小的实 际流体中，所以本章的研究具有实际意义。
C点（六面体的中心点）:
坐标：x、y、z
平均密度：ρ 动压强：p 速度： ux、uy、uz
方向沿坐标轴的正向
11
x 轴方向受到的表面压力：
p p dx dydz p p dx dydz p dxdydz
x 2
x 2
x
单位质量力为：
f fx i fy j fz k
流体微团受到 x 轴 方向的质量力：
动量的增量对总流过流断面进行积分，得：
dK
A2
dA2u2
dtu2
A1 dA1u1dtu1
dt[
A2 dA2u2u2
A1 dA1u1u1]
用过流断面的平均流速 v 来代替上式中未知的点速 u 分布，
主要内容
动量方程：反映了流体的动量变 化与外力之间的关系
能量方程：机械能守恒定理
4
粘性流体：实际流体都具有粘性。既有粘性切应力，又有法向压应力。
0
理想流体：理想流体可忽略粘性。即无粘性切应力，只有法向压应力。
0
粘性流体：
理想流体：
5
一、动量方程——流体的运动方程
1、积分形式的动量方程——流体的运动方程
质量力：用 f 表示，具有加速度的量纲
f d
( v)d
三、恒定总流能量方程应用 四、恒定总流动量方程与能量方程
的综合应用
3
，致使所研究的问题比较复杂。 理想流体：指粘性为零的流体，实际上并不存在，但在有些问题
中，粘性的影响很小，可以忽略不计，致使所研究的 问题简单化。 理想流体动力学规律可以应用于粘性的影响很小的实 际流体中，所以本章的研究具有实际意义。
C点（六面体的中心点）:
坐标：x、y、z
平均密度：ρ 动压强：p 速度： ux、uy、uz
方向沿坐标轴的正向
11
x 轴方向受到的表面压力：
p p dx dydz p p dx dydz p dxdydz
x 2
x 2
x
单位质量力为：
f fx i fy j fz k
流体微团受到 x 轴 方向的质量力：
动量的增量对总流过流断面进行积分，得：
dK
A2
dA2u2
dtu2
A1 dA1u1dtu1
dt[
A2 dA2u2u2
A1 dA1u1u1]
用过流断面的平均流速 v 来代替上式中未知的点速 u 分布，
主要内容
动量方程：反映了流体的动量变 化与外力之间的关系
能量方程：机械能守恒定理
4
粘性流体：实际流体都具有粘性。既有粘性切应力，又有法向压应力。
0
理想流体：理想流体可忽略粘性。即无粘性切应力，只有法向压应力。
0
粘性流体：
理想流体：
5
一、动量方程——流体的运动方程
1、积分形式的动量方程——流体的运动方程
质量力：用 f 表示，具有加速度的量纲
f d
( v)d
第三章 理想流体动力学基本方程(4)
θ β g u S
∂z fr = − g cos β = − g ∂r u2 ∂ p − = − (gz + ) r ∂r ρ
r
当曲率半径很大时, 上式左边可忽略不计, 故沿流线的 法向有
z +
p
ρ g
=
C
1
缓变流与急变流概念
§3-7 总流的伯努利方程
通过过流断面将元流积分 (A)
V12 p1 V22 p2 ' ( + + z1 ) g ρVdA = ( + + z2 ) g ρVdA + hw g ρ dQ 2g g ρ 2g g ρ p (z + 考虑恒定渐变流 (缓变流) ∫ g ρ ) g ρVdA A
第三章 理想流体动力学基本方程（4） 理想流体动力学基本方程（4
§3-6 压强沿流线法向的变化 §3-7 总流的伯努利方程 §3-8 伯努利方程应用举例 §3-9 叶轮机械内相对运动的伯努利方程 §3-10 非定常流动的伯努利方程
§3-6 压强沿流线法向的变化
ar = fr − ar u2 = − r 1 ∂p ρ ∂r
∆H + H01 = H02 + hw
其中∆H表示流体机械输入给单位重量流体的机械能
伯努利方程应用
一.小孔定常出流 二.毕托管测速原理 三.文丘里流量计
Applications of Bernoulli's Equation
Somew elementary flow velocity measurement system using a U-tube manometer.
pdA-(p+dP)dA+gρdAdlcosθ=0 dp+g ρdz=0 z+p/(g ρ)=C 0
∂z fr = − g cos β = − g ∂r u2 ∂ p − = − (gz + ) r ∂r ρ
r
当曲率半径很大时, 上式左边可忽略不计, 故沿流线的 法向有
z +
p
ρ g
=
C
1
缓变流与急变流概念
§3-7 总流的伯努利方程
通过过流断面将元流积分 (A)
V12 p1 V22 p2 ' ( + + z1 ) g ρVdA = ( + + z2 ) g ρVdA + hw g ρ dQ 2g g ρ 2g g ρ p (z + 考虑恒定渐变流 (缓变流) ∫ g ρ ) g ρVdA A
第三章 理想流体动力学基本方程（4） 理想流体动力学基本方程（4
§3-6 压强沿流线法向的变化 §3-7 总流的伯努利方程 §3-8 伯努利方程应用举例 §3-9 叶轮机械内相对运动的伯努利方程 §3-10 非定常流动的伯努利方程
§3-6 压强沿流线法向的变化
ar = fr − ar u2 = − r 1 ∂p ρ ∂r
∆H + H01 = H02 + hw
其中∆H表示流体机械输入给单位重量流体的机械能
伯努利方程应用
一.小孔定常出流 二.毕托管测速原理 三.文丘里流量计
Applications of Bernoulli's Equation
Somew elementary flow velocity measurement system using a U-tube manometer.
pdA-(p+dP)dA+gρdAdlcosθ=0 dp+g ρdz=0 z+p/(g ρ)=C 0
流体动力学微分形式的基本方程
r r q ( r , t0 ) = f ( r )
二、边界条件： 1、固体壁面：渗透、介质交换 无分离条件：理想流体，不可以渗透时法向速度为零。 r r (v 若物面静止不动： b ) ⋅ n = 0 设物面方程为 F ( x, y, z, t ) = 0 ，则物面上组成光滑流体面， DF =0 则 Dt 无滑移条件：粘性流体，沿壁面切向、法向速度均为零。
Dp ∂p r = + v ⋅∇p Dt ∂t
1 Dρ r ∇⋅v = − ρ Dt
Dp ∂p r v ⋅∇p = − Dt ∂t
§4-7 理想流体动力学的基本方程
D p ∂p r 所以： ∇ ⋅ ( Pv ) = − ρ + Dt ρ ∂t 代入能量方程中得：
r r D p v2 ∂p ρ e + + = ρ f ⋅ v + ρ qR + ρ 2 Dt ∂t r ρv ： 将动量方程两边乘以 r r r r D v2 r Dv ρv = ρ f ⋅ v − v ⋅∇p = ρ Dt Dt 2 因此有： Di 1 Dp = qR + Dt ρ Dt
§4-9 理想流体动力学的定解条件
3、自由面：流体质点的光滑面
r v∞ 2、无穷远或管道进口处的边界条件：一般给定管道进口及
p = const
τ τ τ τ
§4-7 理想流体动力学的基本方程
若积分号内均为连续函数，又因为积分区域的随意性： r r D v2 r ρ e + = ρ f ⋅ v + ∇ ( Pv ) + ρ qR + ∇ ⋅ ( λ∇T ) Dt 2 由于是理想流体： µ = 0 , λ = 0 . 因此 ∇ ⋅ ( λ∇T ) = 0 又在理想流体中： P = − pδ r r r r r ∇ ⋅ ( Pv ) = ∇ ⋅ ( − pδ v ) = ∇ ⋅ ( − pv ) = − p∇ ⋅ v − v ⋅∇p 因为： 1 Dρ r + ∇⋅v = 0 ρ Dt
二、边界条件： 1、固体壁面：渗透、介质交换 无分离条件：理想流体，不可以渗透时法向速度为零。 r r (v 若物面静止不动： b ) ⋅ n = 0 设物面方程为 F ( x, y, z, t ) = 0 ，则物面上组成光滑流体面， DF =0 则 Dt 无滑移条件：粘性流体，沿壁面切向、法向速度均为零。
Dp ∂p r = + v ⋅∇p Dt ∂t
1 Dρ r ∇⋅v = − ρ Dt
Dp ∂p r v ⋅∇p = − Dt ∂t
§4-7 理想流体动力学的基本方程
D p ∂p r 所以： ∇ ⋅ ( Pv ) = − ρ + Dt ρ ∂t 代入能量方程中得：
r r D p v2 ∂p ρ e + + = ρ f ⋅ v + ρ qR + ρ 2 Dt ∂t r ρv ： 将动量方程两边乘以 r r r r D v2 r Dv ρv = ρ f ⋅ v − v ⋅∇p = ρ Dt Dt 2 因此有： Di 1 Dp = qR + Dt ρ Dt
§4-9 理想流体动力学的定解条件
3、自由面：流体质点的光滑面
r v∞ 2、无穷远或管道进口处的边界条件：一般给定管道进口及
p = const
τ τ τ τ
§4-7 理想流体动力学的基本方程
若积分号内均为连续函数，又因为积分区域的随意性： r r D v2 r ρ e + = ρ f ⋅ v + ∇ ( Pv ) + ρ qR + ∇ ⋅ ( λ∇T ) Dt 2 由于是理想流体： µ = 0 , λ = 0 . 因此 ∇ ⋅ ( λ∇T ) = 0 又在理想流体中： P = − pδ r r r r r ∇ ⋅ ( Pv ) = ∇ ⋅ ( − pδ v ) = ∇ ⋅ ( − pv ) = − p∇ ⋅ v − v ⋅∇p 因为： 1 Dρ r + ∇⋅v = 0 ρ Dt
3章1理想流体动力学基本方程
一、Lagrange法（拉格朗日法）
“跟踪”的方法
基本思想：跟踪每个流体质点的运动全过程，记录它 们在运动过程中的各物理量及其变化规律。
x x(a，b，c，t ) y y(a，b，c，t ) 流体质点的位置坐标： z z (a，b，c，t )
基本参数： 位移
独立变量：（a,b,c,t）——区分流体质点的标志 几点说明：
欧拉(Euler)：
瑞士数学家及自然科学家。1707年4月15日出生於瑞士的 巴塞尔，1783年9月18日於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师 家庭，自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学 毕业，16岁获硕士学位。 欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界 作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是数学史上 最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量 的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引 论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经 典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支 中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。
2. 速度：
x ( a，b，c，t ) t y( a，b，c，t ) v v ( a，b，c，t ) t z ( a，b，c，t ) w w ( a，b，c，t ) t u u( a，b，c，t )＝
u(a，b，c，t ) 2 x (a，b，c，t ) a x a x ( a，b，c，t )＝ t t 2 2 3. 流体质点的加速度：a a (a，b，c，t ) v (a，b，c，t ) y(a，b，c，t ) y y t t 2 2 w (a，b，c，t ) z (a，b，c，t ) a y a y ( a，b，c，t ) t t 2
理想流体动力学复习题
第四章 理想流体动力学一、思考题1．实际运动流体的动压强和流体静压强有何不同？2．理想流体运动微分方程的应用条件是什么？3．理想流体关于流线的伯努利方程应用时应注意满足什么条件？4．理想流体关于任意两点间的伯努利方程有何差异？应用时应注意满足什么条件？5．总流伯努利万程hw g V p z g V p z +++=++222222221111αγαγ各项的物理意义和几何意义是什么？应用条件是什么？6．动能修正系数α的物理本质是什么？如何定义的？其物理意义是什么?7．什么是水头线、总水头线和测压管水头线？总水头线、测压管水头线和位置水头线三者之间有什么关系？沿程是如何变化的？8什么是水力坡度和测压管坡度？二者在什么情况下相等？9在应用总流动量方程解决实际流动问题时，如何表示前后的动量变化？什么是控制体？如何正确选取控制体？10．总流的动量方程为()12V V Q F -=∑ρ ，∑F 中都包括哪些力？在计算表面力时，如果采用不同的压强标准其结果是否一样？怎样解决？二、单项选择题1．在总流伯努利方程中．速度V 是( )速度。
(A)某点 (B)断面形心处 (C)断面上最大 (D)断面平均2．在( )流动中，伯努利方程不成立。
(A)恒定 (B)可压缩 (C)不可压缩 (D)理想流林3．在( )流动中，伯努利方程不成立。
（A ）恒定 （B ）理想流体 （C ）不可压缩 （D ）可压缩4．文丘里管用于测量( )。
（A ）点流速 （B ）压强 （C ）密度 （D ）流量5．毕托管用于测量( )。
（A ）点流速 （B ）压强 （C ）密度 （D ）流量6．应用总流的伯努利方程时，两断面间( )。
（A ）必须是缓变流 （B ）必须是急变流（C ）不能出现急变流 （D ）可以出现急变流7．应用总流伯努利方程时，两断面上的流速分布应满足( )。
(A)必须是渐变流 (B)必须是急变流(C)不能出现急变流 (D)允许出现急变流8．伯努利方程中gV g p z 22αρ++表示( )。
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特性1
证明：在流场中任取一流线
s
， y
则流线上任一点的速度与流
线相切。微元线段 矢量 d s 与
对应的速度矢量 v 之间的关系
式为
dx dy vx vy
流线微分方程
o
v s
ds dy
vy
dx
vx
x
v ydx vxdy 0 d 0
流函数值相等的点 可连成一条流线
证明了沿一条流线各点的流函数值相等。
q 2 1
特性3
证明：对于平面势流，有
z
1 ( v y 2 x
v x y
)
0
代入
x
v y
,
y
vx
得到 即
( ) ( ) 0
x x y y
2 2
x2 y2 0
例 3. 一平面恒定流动的流函数为 (x, y) 3x y
试求速度分布，写出通过 A（1，0）和 B（2， 3 ） 两点的流线方程，和两点之间连线的通过流量。
(
z
)
z
(
y
)]
0
类似可推出 y z 0
因此，存在速度势函数的流动必定无旋。
流动无旋的充分必要条件是流场有速度势函数存在。
特性3
等势面：速度势函数取相同值的点构成空间曲面， 即 Φ(x, y, z)=C
证明：在等势面上取一点O，并在该面上过O任
取一微元线段矢量 d L dxi dy j dz，k该点
特性2
设ψ1、ψ2是两条相邻流线，作其间一曲线AB，要 求证明通过AB两点间单位厚度的流量q=ψ2-ψ1。
证明： 取微元线段 d s ，过微元线段的速度为 v ， 则单位厚度的微元流量dq的表达式为
dq v d s vxdy vydx d
通过线段AB的流量为
B
B
q
dq
A
d
A
B
A
s x
y
z
vx cos(s, x) v y cos(s, y) vz cos(s, z)
vs
势函数沿任意方向的导数值 等于该方向上的速度分量
特性2
证明：设对某一流动，存在势函数Φ(x, y, z)，流动的
角速度分量
x
1 (vz 2 y
v y z
)
代入Φ(x, y, z)，有
x
1[ 2 y
数Ψ(x, y)全微分的充分必要条件。
即 d v ydx vxdy
函数ψ的全微分为
d dx dy
x
y
比较两式，得到
x v y , y vx
函数Ψ(x, y)称为流函数。
流函数的特性
1. 沿同一流线流函数值为常数 2. 通过两条流线间单位厚度的流量等于两条流
线上的流函数的差值。 3. 在有势流动中流函数也是一调和函数
vx v y vz 0 x y z
对于有势流动
x v x , y v y , z v z
得到
2 2 2
x2 y 2 z 2 0
例1. 有一个速度大小为v(定值)，沿x轴方向的均匀流动， 求它的速度势函数。
解： vx v v y vz 0
判断流动是否有势
x
1 ( vz 2 y
即 0
或 vz v y , vx vz , vx v y
y z z x y x
由数学分析知，上面三个微分方程式的存在正是
vxdx v ydy vzdz 成为某一函数Φ(x, y, z)
全微分的充分必要条件。
即 d v xdx v ydy v zdz
函数Φ的全微分为
d dx dy dz
解：
vx
y
1
vy 3
x
将A点坐标代入 (x, y) 3x y
得到 A 3 因此通过A点的流线方程为 3x y 3
同理得到 B 3
B点的流线方程依然为 3x y 3
y2
dx
x2
y
y2
dy
q
2
1 2
d(x2 y 2 x2 y2
)
q
2
ln
x2 y2
二、流函数
连续的平面流动存在流函数。应说明，空间三 维流动没有流函数
平面流动中，不可压缩流体的连续性方程为
vx v y 0 x y
或
vx v y x y
由数学分析知，上式正是 v ydx vxdy 成为某一函
速度势函数的特性
1. 势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影 2. 存在势函数的流动一定是无旋流动 3. 等势面与流线正交 4. 不可压缩流体中势函数是调和函数
特性1
证明：任意曲线s上一点M(x, y, z)处速度分量分别
为vx、 vy 、 vz 。取势函数的方向导数
cos(s, x) cos(s, y) cos(s, z)
处速度 v vx i vy j vz k
v dL v xdx v ydy v zdz
dx dy dz
x
y
z
d
等势面上dΦ=0，得证。
特性4
调和函数: 满足拉普拉斯（ Laplace ）方程的函数。
Laplace
方程： 2 x2
2 y2
2 z 2
0
证明：不可压缩流体的连续性方程为
r：v q / 2 r （q 是正常数）。证明这一流动是有势
的，并求解势函数。
解：
vx
q cos 2 r
qx
2 r2
q
2
x x2 y2
vy
q sin 2 r
q
2
y r2
q
2
x2
y y2
z
1 ( v y 2 x
v x y
)
0
因此，流动无旋，即有势。
d
v xdx
v ydy
q
2
x2
x
v y z
)
0
z
1 ( v y 2 x
v x y
)
0 x
)
0
流动无旋，即有势, 有 d v xdx v ydy v zdz vdx
积分，得到 vx C
因常数C对Φ所代表的流场无影响，令C=0，
最后速度势函数为 vx
虚 线 为 等 势 线
例 2. 一平面恒定不可压缩流动的流线为通过原点的 向外发射的射线，速度大小 v 反比于这点到原心距离
x
y
z
比较两式，得到
x v x , y v y , z v z
函数Φ(x, y, z)称为速度势函数，无旋流动又称为有
势流动 。
当流动有势时，流体力学的问题将得到很大的简
化。不必直接求解三个速度分量，而只需要先求
出一个速度势函数Φ，从而可以得到速度分布vx、
vy 、 vz ，继而再 依据伯努利方程得到压强分布。
第七章 理想流体动力学
实际流体都粘性，在流体力学研究中，为 了简化问题，引进了理想流体这一假设的流体 模型，理想流体的粘度为0。
在实际分析中，如果流体粘度很小，且质点 间的相对速度又不大时，把这类流体看成是理 想流体。
第一节 速度势函数和流函数
一、速度势函数
在无旋流动中，每一点处的旋转角速度都为零，