高考数学立体几何向量法总结

n
2、根据n·a = 0且n·b = 0可列出方程组
xx21xx
y1y y2y
z1z 0 z2z 0
ab
3、取某一个变量为常数(当然取得越简单越好),
便得到平面法向量n的坐标.
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例、已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-te1ac)he.rm求yh@1平63.com 面ABC的法向量
x y 2z 0 x y 2z 0
解得
x y
2z 0
A1 z B1
D1 C1
取z =1得平面OA1D1的法向 量的坐标n=(2,0,1)
AA Bx
y
O
D
C 学海无涯
5、两法向量所成的角与二面角的关tea系chermyh@163.com
n1 n2
l
n1 n2
l
设n1 、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，
d | PM n | |n|
（PM为平面 的斜线, n 为平面 的法向量）
12、异面直线的距离公式
d | AB n | |n|
（A,B为异面直线上两点, n 为公垂线的方向向量）
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三、基本应用
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利
用
直线与直线所成的角
向 量
直线与平面所成的角
求 角
平面与平面所成的角（二面角）
例、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中te,aOch是ermy面h@163.com AC的中心,求面OA1D1的法向量.
解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图），
则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2）， 设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 由 O A 1 =（-1，-1，2），O D 1 =（-1，1，2）得
高考数学立体几何向量法总结
空间 向量
空间 向量 的运
算
知识结构
加减 和数 乘运
算
共线 向量 共面 向量
空间 向量 基本 定理
空间 向量 的数 量积
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空间 向量 的坐 标运
算
夹角和距离 平行和垂直
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一、基本概念
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1、空间直角坐标系
标轴的平面叫坐标平面
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空间直角坐标系 —Oxyz
z
竖轴
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1
纵轴
o
1
1
y
x
右手直角坐标系
横轴
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2、空间直角坐标系中点的坐标
有序实数组（x,y,z）叫做点M在此空间 直角坐标系中的坐标，记作M（x,y,z） 其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的 纵坐标, z叫做点M的竖坐标
利
点到直线的距离
用 向
点到平面的距离
量
直线到直线的距离
求 距
直线到平面的距离
离
平行到平面的距离
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利
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2、向量的长度公式（向量的模）
a
2wk.baidu.com
a
x2y2z2
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3、向量的坐标运算公式
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若 a ( x 1 , y 1 , z 1 ) b ( x 2 , y 2 , z 2 ) 那 么
a b ( x 1 x 2 ,y 1 y 2 ,z 1 z 2 )
a(x 1 ,y 1 ,z1)
以单位正方体 OA D B A B C C z
的顶点O为原点，分别以射线
D'
OA，OC，OD 的方向 为正方
A'
向，以线段OA，OC，OD 的
O
长为单位长，建立三条数轴：
x轴,y轴,z轴,这时我们建立了一 x A
个空间直角坐标系 Oxyz
C' B'
Cy B
O为坐标原点， x轴,y轴,z轴叫坐标轴，通过每两个坐
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sin | PMn|
| PM||n|
( PM l M n 为 的法向量)
10、平面与平面所成角公式
cos n1 n2
| n1 | | n2 |
( n 1 n 2 为二面角两个半平面的法向量）
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11、点到平面的距离公式
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a b x 1 x 2 y 1 y 2 z 1 z2
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4、两个向量平行的条件
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a | |b x 1 x 2 ,y 1 y 2 ,z 1 z 2 ( R )
或 a||bx1 y1 z1 x2 y2 z2
5、两个向量垂直的条件
a b x 1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 0
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设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共 线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若 n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a = 0且n·b = 0, 则n⊥α.可按如下步骤求出平面的法向量的坐标
1、假设平面法向量的坐标为n=(x,y,z).
点M
（X，Y，Z）
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3、直线的方向向量
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若 a / / l , 则 称 a 是 直 线 l 的 方 向 向 量
4、平面的法向量
如果表示向量n的有向线段所在的直线垂 直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α, 这时向量n叫做平面α的法向量.
n
α
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5、平面法向量的求法
由几何知识可知，二面角α-L-β的大小与法向量n1 、
n2夹角相等或互补，于是求二面角的大小可转化为
求两个平面法向量的夹角.
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二、基本公式：
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1、两点间的距离公式（线段的长度）
A B A B x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2
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6、中点坐标公式 7、重心坐标公式
x
y
z
x1 x2 2
y1 y2 2
z1 z2 2
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x
x1
x2 3
x3
y
y1
y2 3
y3
z
z1
z2 3
z3
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8、直线与直线所成角公式 cos | ABCD|
| AB||CD|
9、直线与平面所成角公式
解：平面ABC的法向量为: n(x,y,z)
A B ( 4 ,6 , 1 ) ,A C ( 4 ,3 , 2 )
4x 6y z 0 4x 3y 2z 0
得
z 4x
z
3
y
令z 12 得n(3,4,12)
平 面 A B C 的 法 向 量 n ( 3 , 4 , 1 2 ) 学海无涯