_方差分析及MATLAB实现
利用MATLAB计算随机变量的期望和方差
结果显示: -1/10*y^2-40+7*y
再对Y在区间[20,40]上求最大值，在命令窗口入
f min bnd('1/ 10* x ^ 2 7 * x 40', 20,40)
结果显示: 3.5000e+001
即当组织35吨货源时，收益最大。
(注： simplify（f）是对函数f化简； fminbnd(‘f’,a,b)是对函数f在区间[a,b]上求 极小值。要求函数的极大值时只需将‘f’变为 ‘-f’)
型随机变量且有分布律 P{X xk } pk (k 1,2,n或k 1,2)
时，随机变量 g( X ) 的数学期望为：
其MATLAB计算程序为：
E[g( X )] g( xk ) pk
k 1
E[g( X )] symsum( g( xk )* pk ,1,inf)
当 X 为连续型随机变量且有概率密度 ( x) 时，
若 X 是连续型随机变量，数学期望的计算公式为：
EX xf ( x)dx
程序如下：
EX int( x * f ( x),inf,inf)
案例7.65 用MATLAB计算案例7.47中商品的期望销售量，已
知其概率密度为：
1
(
x)
b
a
a xb
计算 E .
0
其它
解： 由E
xf x dx
公式为：
E( m( xi pi ,0,inf)
案例7.63 一批产品中有一、二、三等品、等外品及废品5种， 相应的概率分别为0.7、0.1、0.1、0.06及0.04,若其产值分别 为6元、5.4元、5元、4元及0元.求产值的平均值
即产品产值的平均值为5.48.
matlab 均差 方差
matlab 均差方差
Matlab是一款强大的数学软件，用于数据分析和建模。
在 Matlab 中，均差和方差是两个重要的统计概念。
均差是指数据集中所有数据与其均值之差的绝对值的平均值。
在Matlab 中，可以使用 mean 和 abs 函数来计算均差。
例如，如果有一个包含以下数据的向量 x：
x = [1 2 4 7 9]
则可以使用以下代码计算 x 的均差：
mean(abs(x-mean(x)))
方差是指数据集中所有数据与其均值之差的平方的平均值。
在Matlab 中，可以使用 var 函数来计算方差。
例如，如果有一个包含以下数据的向量 x：
x = [1 2 4 7 9]
则可以使用以下代码计算 x 的方差：
var(x)
使用 Matlab 中的均差和方差函数可以帮助您更好地理解和分
析数据集。
- 1 -。
_方差分析及MATLAB实现
_方差分析及MATLAB实现方差分析（ANOVA）是一种统计方法，用于比较三个或以上组之间的平均数是否有显著差异。
在实验设计和数据分析中经常用到方差分析。
它可以帮助我们确定因素之间是否存在显著差异，并确定哪些因素对于观察值的变异是显著的。
方差分析基于总体的均值之间的方差差异来判断组别之间是否存在显著差异。
方差分析采用“因子”和“水平”的概念来描述实验设计。
因子是实验中的独立变量，而水平表示因子的不同取值。
例如，一个因子可能是不同的治疗方法，而水平则是每种治疗方法的具体值。
在方差分析中，要比较的是组内差异与组间差异之间的比值。
组内差异是组内的观测值与组内平均值之间的差异，而组间差异是组间均值之间的差异。
通过计算均方（mean square），可以得到比值F，进而进行显著性检验。
以下是MATLAB实现方差分析的步骤：第一步：导入数据在MATLAB中，可以使用csvread函数导入数据，将数据保存在一个矩阵中。
例如：data = csvread('data.csv');第二步：进行方差分析可以使用MATLAB中的anova1函数进行一元方差分析，或者使用anova2函数进行双因素方差分析。
例1：一元方差分析[p, table, stats] = anova1(data);例2：双因素方差分析[p, table, stats] = anova2(data, 'model', 'interaction');在方差分析结束后，可以得到如下输出结果：-p值：用于判断组间差异是否显著。
如果p值小于设定的显著性水平（通常是0.05），则可以拒绝零假设，即认为组间平均数有显著差异。
- 方差分析表：包含SS（平方和）、df（自由度）、MS（均方）、F值等统计量。
-统计量：包括每个组的均值、标准误差和置信区间。
需要注意的是，方差分析假设数据满足正态性和方差齐次性的假设。
如果数据不符合这些假设，则需要进行数据转换或者使用非参数方法。
方差分析及MATLAB实现
方差分析及MATLAB实现方差分析是一种用于比较多个样本均值是否具有统计显著性差异的统计方法。
它适用于一个或多个因素的研究，并且可以用来确定这些因素对于研究变量的影响程度。
MATLAB是一种功能强大的数值计算和数据分析软件，可以用于实现方差分析。
方差分析的基本原理是通过计算不同组之间的方差来检验均值是否具有显著差异。
方差分析包括总体总变异的分解、组内变异的计算和组间变异的计算。
总体总变异是指所有数据点与总平均值之间的差异，组内变异是指每个组内的数据点与该组均值之间的差异，组间变异是指不同组之间的均值之间的差异。
MATLAB提供了多种函数和工具箱来实现方差分析。
首先，需要使用`anova1`函数进行一元方差分析，该函数可以计算单个因素的影响。
例如，假设有三个不同的组进行了一些实验，并且希望确定这些组之间一些变量的均值是否存在显著差异。
可以使用以下代码计算方差分析并得出结论：```matlabdata = [group1_data; group2_data; group3_data]; % 将组数据合并为一个矩阵group = [repmat('Group 1', size(group1_data, 1), 1); ... %创建一个标识每个数据点所属组的向量repmat('Group 2', size(group2_data, 1), 1); ...repmat('Group 3', size(group3_data, 1), 1)];[p, tbl, stats] = anova1(data, group); % 进行方差分析alpha = 0.05; % 显著性水平为0.05if p < alphadisp('不同组之间的均值存在显著差异');elsedisp('不同组之间的均值不存在显著差异');end```除了一元方差分析外，MATLAB还提供了适用于多个因素的方差分析函数，如`anova2`和`ranova`。
matlab方差分析
niα
2 i
i=1
当 H 0 成立时
（10） （11）
ES A = (r −1)σ 2
（12）
可知若 H 0 成立，S A 只反映随机波动，而若 H 0 不成立，那它就还反映了 A 的不同水平
的效应αi 。单从数值上看，当 H 0 成立时，由（10）、（12）对于一次试验应有
SA /(r −1) ≈ 1 SE /(n − r)
-215-
方差分析一般用的显著性水平是：取α = 0.01 ，拒绝 H 0 ，称因素 A 的影响（或 A
各水平的差异）非常显著；取α = 0.01 ，不拒绝 H 0 ，但取α = 0.05 ，拒绝 H 0 ，称因
素 A 的影响显著；取α = 0.05 ，不拒绝 H 0 ，称因素 A 无显著影响。
1.4 Matlab 实现 Matlab 统计工具箱中单因素方差分析的命令是 anoval。 若各组数据个数相等，称为均衡数据。若各组数据个数不等，称非均衡数据。 （1）均衡数据 处理均衡数据的用法为：
减少对比次数。
对于上述问题，Matlab 多重比较的程序为
x=[1620 1580 1460 1500
1670 1600 1540 1550
1700 1640 1620 1610
1750 1720 1680 1800];
x=[x(1:4),x(16),x(5:8),x(9:11),x(12:15)];
方差来源
因素 A
误差 总和
平方和
SA SE ST
表 2 单因素方差分析表
自由度
均方
1 − pr 分位数
概率
r −1
SA
=
SA r −1
F1− pr (r −1, n − r)
单因素和双因素的方差分析(matlab)
anova2(x)
如果零假设HOAB成立的概率值充分小，则 表明因素A和B之间有交叉。 概率值(p-值)的界限位由用户进行选择，它 决定了结果是否具有统计意义上的显著性。 如果概率值(p-值)小于00.05或0.01，则认 为结果是显著的。
anova2(x)
anova 2()函数还显示标准ANOVA表，表中 根据，reps值将X中数据的变化情况分为三 部分或四部分： 1)由各列均值差异而产生的变化； 2)由各行均值差异而产生的变化； 3)由列和行因素交叉作用引起的变化(如 果reps值大于其缺省的1)； 4)其它变化。
anova2(x)
当reps大于l时，annva2返回另外一个概率 值： 3)零假设HOAB成立的概率值，该假设认为 由因素A和B引起的变化是附加的(即因素A 和B之间无交叉)。
如果概率值(p-值)接近零则对应的零假设值 得怀疑。如果零假设HOA成立的概率值充 分小，则表明至少有一个列样本的均值与 其它列样木的均值显著不同，即因素A有显 著影响。 如果零假设HOB成立的概率值充分小，则 表明至少有一个行样本的均值与其它行样 本的均值显著不同，即因素B有显著影响。
anoval(X)
anoval函数显示两幅图表，第一幅为标准ANOVA表， 表中将X中数据的变化分为两部分： 由各列均值差异而产生的变化(组间差异)。 由各列的数据及均值间的差异而产生的变化(组 内差异)。
anoval(X)
ANOVA表含六列数据： 第一列显示数据源； 每二列显示各类数据源的平方和(SS); 第三列显示为各类数据源相应的自由度(df)； 第四列显示为各类的均方值，也就是比值SS/df； 第五列显示F统计量，F为均方值的比值； 第六列显示概率值(p-值)，它由F的累积分布函 数求得。当F增大时，概率值(p-值)减小。
_方差分析及MATLAB实现
_方差分析及MATLAB实现方差分析（analysis of variance, ANOVA）是一种用于比较两个以上样本均数差异的统计方法。
它旨在确定因素（自变量）是否对因变量产生显著影响。
在实践中，方差分析常被用于研究不同处理方式、不同组间的差异以及多个因素之间的相互作用。
方差分析将总体的差异分解为组内差异和组间差异两个部分。
组内差异是指组内个体之间的变异，而组间差异是指各组均值之间的差异。
方差分析的基本假设是组内个体之间的差异比组间均值之间的差异小。
在MATLAB中，方差分析可以通过使用统计工具箱中的函数来实现。
下面给出了一个简单的示例以帮助理解方差分析及其在MATLAB中的实现。
假设我们有一个实验，研究不同品牌的药物在不同剂量下对其中一种疾病的治疗效果。
我们随机分为三个组，每个组分别给予不同品牌的药物：组1使用A品牌、组2使用B品牌、组3使用C品牌。
每个组又分为三个剂量：剂量1、剂量2和剂量3、最后，我们测量每个组的治疗效果，得到如下数据：组1：[10,12,9]组2：[8,7,6]组3：[11,13,14]我们可以使用MATLAB中的anova1函数进行单因素方差分析。
代码如下：```MATLABdata = [10, 12, 9, 8, 7, 6, 11, 13, 14];group = repmat([1, 2, 3], 1, 3);anova1(data, group)```运行上述代码将得到方差分析的结果，其中包括组间均方、组内均方、F值和显著性水平等。
方差分析的结果可以帮助我们判断不同品牌的药物和不同剂量之间是否存在显著差异。
如果F值显著，则说明至少有一组的均值与其他组有显著差异。
需要注意的是，方差分析假设组内个体之间的差异服从正态分布，并且各组之间的方差相等。
依据方差分析的结果，我们可以进一步进行多重比较分析，例如使用Tukey's HSD测试来比较各组之间的差异。
总之，方差分析是一种常用的统计方法，可用于比较两个以上样本均数的差异。
方差分析及MATLAB实现演示文档
方差分析及MATLAB实现演示文档方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是统计学中的一种假设检验方法，常用于比较两个或多个样本的均值是否存在显著差异。
方差分析可以帮助我们确定因素对于一个或多个变量的影响程度，并检验组间差异的显著性。
本文将介绍方差分析的基本原理及其在MATLAB中的实现方法。
一、方差分析的基本原理在方差分析中，有三个基本概念需要了解：组（group）、处理（treatment）和观测值（observation）。
组是指不同的分类或水平，处理是对每一组所采取的操作或处理方式，观测值是指每个处理下的具体实验结果。
例如，一种药物对不同剂量（组）的疗效（处理）产生了不同的反应时间（观测值）。
二、MATLAB中的方差分析实现方法MATLAB是一款功能强大的科学计算软件，也提供了方差分析的实现方法。
在MATLAB中，可以通过调用统计工具箱中的函数进行方差分析。
1.数据准备2.方差分析模型的建立在MATLAB中，可以使用“anova1”函数进行一元方差分析，使用“anova2”函数进行二元方差分析。
这两个函数分别用于处理单因素和双因素的情况。
3.方差分析结果的解释方差分析的主要结果包括组间均方（mean square between groups）、组内均方（mean square within groups）和F值（F-statistic）。
根据F值和显著性水平，可以判断组间差异是否具有统计学意义。
4.多重比较三、使用MATLAB进行方差分析的示例程序以下是一个使用MATLAB进行方差分析的示例程序：```matlab%数据准备data = [2 4 6 8 10; 1 3 5 7 9; 0 2 4 6 8];group = [1 1 1 1 1; 2 2 2 2 2; 3 3 3 3 3];treatment = [1 2 3 4 5; 1 2 3 4 5; 1 2 3 4 5];%方差分析模型的建立p = anova2(data, group, treatment, 'off');%方差分析结果的解释disp(['F值：', num2str(p(1))]);disp(['P值：', num2str(p(2))]);```总结：方差分析是一种常用的统计方法，适用于比较两个或多个样本均值是否存在显著差异。
方差分析及MATLAB实现演示文档
方差分析及MATLAB实现演示文档方差分析（Analysis of Variance，ANOVA）是一种经典的统计方法，用于比较不同组之间的均值是否存在显著差异。
它可以帮助研究人员确定实验结论的可靠性和一致性。
MATLAB是一种强大的数值计算和数据分析工具，可以用于实现方差分析。
方差分析的基本原理是将总体的方差分解成组内与组间方差，通过比较组间方差和组内方差的大小来判断组别之间是否存在显著差异。
主要有单因素方差分析和双因素方差分析两种情况。
在MATLAB中，可以使用`anova1`函数进行单因素方差分析，使用`anova2`函数进行双因素方差分析。
下面将分别介绍这两个函数的使用方法。
首先是单因素方差分析。
假设我们有一组数据，根据一些因素将其分为多个组，我们想要判断这些组之间是否存在显著差异。
首先，我们需要创建一个数据矩阵，其中每一列代表一个组的观测值。
假设我们有3个组，每个组有10个观测值，可以使用以下代码创建数据矩阵：```matlabdata = [group1_data, group2_data, group3_data];```然后，我们可以使用`anova1`函数进行方差分析。
以下是一个示例代码：```matlab[p, tbl, stats] = anova1(data, group_names);```其中，`data`是数据矩阵，`group_names`是每个组的名称，`p`是显著性水平，`tbl`是ANOVA表格，`stats`是附加统计信息，如均值、置信区间等。
接下来是双因素方差分析。
在双因素方差分析中，我们需要创建一个数据矩阵和两个因素变量。
假设我们有3个组、2个因素，分别为因素A和因素B，可以使用以下代码创建数据矩阵和因素变量：```matlabdata = [group1_data, group2_data, group3_data]; % 数据矩阵factorA = [1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3]; % 因素AfactorB = [1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3]; % 因素B```然后，我们可以使用`anova2`函数进行方差分析。
MATLAB进行单因素方差分析——ANOVA
MATLAB进行单因素方差分析—ANOVA 方差分析的目的是确定因素的不同处理（方法、变量）下，响应变量（类别、结果）的均值是否有显著性差异。
方差分析用于两个或者两个以上因素样本均值的检验问题，如果直接使用假设检验的方法进行检验，那么需要对两两变量进行假设检验，如果有r个变量，需要进行的检验数量为r*(r-1)个，计算量相当庞大。
对此，R.A.Fisher提出一种基于总误差分解分析的方法对所有样本的误差量分解为随机误差（组内的波动误差）和条件误差（组间的、由不同因素或者不同处理造成的误差），分别表示为SSE和SSA，总误差为SST，那么，SST=SSE+SSA。
由随机误差和波动误差构造F统计量对样本均值进行检验的过程，称之为方差分析（Analysis of Variance,ANOVA）。
使用常用的统计工具可以方便的进行方差分析，并给出方差分析表。
方差分析表如有如下格式，可以一目了然的获得关于样本总误差分配情况以及所构造的统计量大小、检验显著性等。
方差分析的前提是以下两个假设：（1）正态性假设；（2）方差齐性假设；第一个假设即各变量服从正态分布，可以通过一般的正态性检验方法进行检验，这里不再赘述；主要关注一下方差齐性检验，所谓方差齐性，也即方差分析是针对方差一致的情况下，检验样本均值是否一致。
因此，所使用样本首先要通过方差齐性检验，其H0假设即为所有样本的样本方差相等。
为检验该假设，Bartlett提出了一种卡方检验方法，所构造统计量服从自由度为r-1的卡方分布，r为变量个数。
其检验的思想是，首先求出各个样本的样本方差，然后得到样本方差的算术平均值和几何平均值，那么，几何平均值<=算术平均值（GMSSE<=MSSE），当所有样本方差相等时，取等号。
因此，MSSE/GMSSE比较大时，说明H0假设不能够被接受，方差不一致。
所构造的统计量是对上述比值进行的对数变换并添加了一些新项目。
Matlab汇总-matlab-方差分析
N(2 , ) 2
…
…… …
…
Ar
xr1
…
Xr，nr
N(r , ) 2
x(ij)表示在因素A的第i个水平下的第j次试验的试验结果。
将水平Ai下的试验结果x(i1),x(i2),…,x(I,ri)看着来自第i个正态 总体Xi~N(mu(i),sigma^2),其中，mu(i),sigma^2均未知，且 X(1),X(2),…,X r相互独立。
x ij
~
N(i , 2 )
x ij ij
i ij ~ N(0, 2 )
统计模型1
Mu(i)是第 i 总体的均值，epsilon(ij)是相应的试验误差，比较A 的r个水平的差异归结为比较这r个总体地均值，即检验假设：
H0 : 1 2 r
H1
:
方差分析
概述
方差分析是研究一种或多种因素的变化对试验结果的观测 值有否显著影响，从而找出较优的试验条件或生产条件的一种 常用的数理统计方法。
人们在试验中，所考察的数量指标如产量、性能等称为观 测值，影响观测值的条件称为因素，因素的不同状态称为水平， 一个因素可以有多个水平，在一项试验中，可以得出一系列不 同的观测值。引起观测值不同的原因是多方面的，有的是处理 方式或者条件不同引起的，称为因素效应（处理效应、条件变 异），有的是试验过程中偶然因素干扰或观测误差导致的，称 为试验误差。方差分析的主要工作是将观测数据的总变异按照 变异原因的不同分解为因素效应和试验误差。并对其做出数量 分析，比较各种原因在总变异中所占的重要程度，作为统计推 断的主要依据。由此确定进一步的工作方向。
n
i
r
i1
nii
MATLAB单因素方差分析
MATLAB ：单因素方差分析重复数相同的方差分析当在因素A 的每一水平下重复试验次数相同，即当12r m m m ===时，上述一些表达式可以简化。
若记每一水平下重复次数为m ，则效应约束条件可简化为10rii a==∑SSA 的计算公式可简化为2211r i i y SSA y m n=⋅⋅=⋅-∑ i μ的置信水平为1α-的置信区间可改为 ((1122i E i E y t f y t f αα--⎛⎫⋅-⋅+ ⎝其他一切都不变。
对于重复数相同的单因素方差分析，Matlab 提供了anova1函数来处理单因素方差分析的问题。
anova1函数主要是比较多组数据的均值，然后返回这些均值相等的概率，从而判断这一因素是否对试验指标有显著影响。
其调用格式如下： p=anova1(X) p=anova1(X,group)p=anova1(X,group,’displaypot ’) [p,table]=anoval(…) [p,table,stats]=anova1(…)其中，()1p anova X =对样本X 中的两列或多列数据进行均衡的单因素方差分析，以比较各列的均值。
函数返回“零假设”（即X 中各列的均值相同）成立的概率值。
如果概率值接近于零，则零假设值得怀疑，表明各列的均值事实上是不同的。
()1,p anova X group =对样本X 中由矢量group 索引的两组或多组数据进行单因素方差分析以比较各列的均值。
输入参数group 标明矢量X 中相应元素的组别。
group中的值为整数，最大值为需要比较的不同组的数量，最小值为1.每组至少应有一个元素，但并不要求每组的元素个数相同，因此适合于数据不均衡的情况，用于决定结果是否具有统计上的显著性的概率值大小限制的选择留给用户。
[p,table,stats]=anova1(…)同时还显示一张表table和一幅图stats。
表为标准的ANOV A表，表中将X中数据的变化分别分成两部分：①各列均值的差异而产生的变化。
Matlab课件-------方差分析及MATLAB实现
设试验结果如下表:
水平
观测值
A1
x11
x12
...
x1n1
A2
x21
x22
…
x2n2
…
…
…
…
…
Ar
xr1
xr2
…
xrnr
第7页，共90页。
• 由于Xij~N(μi,σ2) ,故Xij与μi的差可以看成一个随机误差 εij~N(0,σ2) .这样一来,可以假定Xij具有下述数据结构式:
2
x21 x22 … x2n2
… …………
r
xr1 xr2 … xrnr
第20页，共90页。
• 例:为寻求适应本地区的高产油菜品种,今选了五种不同
品种进行试验,每一品种在四块试验田上得到在每一块田 上的亩产量如下:
品种
田块
A1
A2
A3
A4
A5
1 256 244 250 288 206
2 222 300 277 280 212
Xij= μi+ εij,i=1,2,...,r;j=1,2,...,ni 其中诸εij~N(0,σ2),且相互独立.要检验的假设是
H0:μ1=μ2=…=μr
• 为了今后方便起见,把参数的形式改变一下,并记
1 n
r i 1
ni i
r
n ni i 1
i i , i 1,2,...,r,
称μ为一般平均,αi为因子A的第i 个水平的效应.
由于S
反映的是因子不同水平均值之间的差
A
异程度,故当假设H0 :1 2 ... r 0为真时,
S A的值不应太大, 从而
F SA /(r 1) SE /(n r)
Matlab各类方差分析实例
读万卷书 行万里路Matlab 各类方差分析实例程述汉（山东农业大学信息科学与工程学院）本文通过3个实例说明Matlab 方差分析的具体方法及结果解释。
所使用的Matlab 版本是2016a ，多重比较结果矩阵可能与Matlab7.0有最后一列之差。
本文是为我的学生学习《数学软件》课程所写，请勿用于商业目的。
例1 一批由同种原料织成的同一种布，用不同染整工艺处理，然后进行缩水率试验，考察染整工艺对缩水率的影响，在其它条件尽可能相同时，测得缩水率（%）如表1所示．表1 缩水率试验数据本例中，试验指标为缩水率，总体是该批布中的每块布分别用5种不同的染整工艺处理后，缩水率的全体构成的集合，并假定2~(,)X N μσ．所考察的因素是染整工艺A ，5种不同的工艺A 1，A 2，…A 5为因素的5个水平，并假定各水平相互独立，且水平i A 下的样本来自等方差的正态总体2~(,)i i X N μσ(1,2,5)i ．就该批布中的任意4块分别考察5个水平上的缩水率，看作是4次重复试验．所要检验的假设是不同水平的均值间是否存在显著差异，或曰水平的变化是否对缩水率有显著影响．这是一个单因素方差分析问题．分析与求解：可将表1中数据整体复制到Excel，然后再整体复制到Matlab变量或用xlsread函数将复制到Excel中数据读入Matlab。
相应的Matlab二进制数据文件为varance_dat.mat，可以使用load命令将其中的变量调入Matlab的工作空间，相应的变量为varance1_dat。
单因素方差分析的Matlab命令序列及相关说明如下：% 单因素方差分析，使用anova1函数load varance_dat.mat % 读数据文件[P, table, stats]=anova1(varance1_dat) % 方差分析% 返回的stats为接下来进行多重比较的数据结构% multcompare函数利用stats结构中的信息进行多重比较c=multcompare(stats, 0.05)% 显著性水平为0.05，返回成对比较的结果矩阵c，也显示一个表示检验% 的交互式图表．结果矩阵c是一个6列的矩阵．第1-2列为样本序号，% 第3-5列为均值差的置信下限、估计值和置信上限，第6列为显著性% 概率。
方差分析及MATLAB实现演示文稿
方差分析及MATLAB实现演示文稿方差分析（ANOVA，Analysis of Variance）是一种统计方法，主要用于比较两个或多个组之间的平均值是否存在显著差异。
通过对数据的方差进行分析，判断组间差异的大小，进而进行统计推断。
方差分析广泛应用于实验设计、社会科学、医学研究等领域。
方差分析的基本原理是，将总方差分解为组内方差和组间方差，进而计算F统计量。
若F统计量的值超过了临界值，即拒绝原假设（组间平均值相等），则说明组间存在显著差异，反之则说明组间不存在显著差异。
下面我们以MATLAB为例进行方差分析的实现演示：1.数据准备：假设我们有三个不同处理方法的实验数据，每个处理方法分别有5个观测值，我们将这些数据存储在一个3行5列的矩阵中。
```matlabdata = [4, 6, 7, 8, 10;2,3,4,5,6;9,10,12,13,15];```2.计算组内均值：使用mean函数计算每个处理方法的观测值的均值。
```matlabmean_group = mean(data, 2);```3.计算总平均值：使用mean函数计算所有观测值的均值。
```matlabmean_total = mean(data(:));```4.计算组间平方和：将组内均值减去总平均值，再计算平方和。
```matlabSS_between = sum((mean_group - mean_total).^2);```5.计算组内平方和：将每个处理方法的观测值减去对应的组内均值，再计算平方和。
```matlabSS_within = sum((data - repelem(mean_group, 1, 5)).^2, 'all');```6.计算自由度：自由度是指用于计算方差的独立观测值的数量。
组间自由度：处理方法的数量减1```matlabdf_between = size(data, 1) - 1;```组内自由度：所有观测值的数量减处理方法的数量```matlabdf_within = numel(data) - size(data, 1);```7.计算均方差：均方差是组间平方和除以组间自由度，组内平方和除以组内自由度。
matlab 方差 曲线
如果您希望在MATLAB 中计算数据的方差并绘制曲线，您可以按照以下步骤进行操作：
1.准备数据：首先，您需要有一组数据。
这可以是一个向量或矩阵。
2.计算方差：使用MATLAB 的var函数来计算数据的方差。
3.绘制曲线：使用plot函数来绘制数据或方差的曲线。
以下是一个简单的示例，演示如何实现这些步骤：
matlab复制代码
% 1. 准备数据
data = randn(100, 1); % 随机生成100个数据点
% 2. 计算方差
variance = var(data);
% 3. 绘制曲线
figure; % 创建一个新的图形窗口
plot(data, 'o-'); % 绘制原始数据点
hold on; % 保持当前图形，以便在同一窗口中绘制其他图形
plot(variance, 'r-'); % 绘制方差曲线
hold off; % 关闭hold on状态，允许创建新的图形
% 添加标题和标签
title('原始数据与方差曲线');
xlabel('数据点');
ylabel('值');
legend('数据', '方差');
在这个示例中，我们首先生成了100个随机数作为数据，然后计算了这些数据的方差。
最后，我们在同一个图上绘制了原始数据和方差曲线。
第16讲 Matlab方差分析
本章目录
16
方差分析
1 单因素方差分析
PROC ANOVA（GLM）选择项1； 必选项 CLASS 变量表； MODEL 因变量=自变量表； MEANS 效应/选择项2； 可选项 BY 变量表； FREQ 变量表； TEST H=效应项 E=误差项；
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17
方差分析
1 单因素方差分析
PROC ANOVA（GLM）的常用选择项为： • DATA=SAS数据集 指明ANOVA（GLM）过 程要处理的数据集，缺省值为SAS最近 产生的数据集。 • OUTSTA=SAS数据集 将结果输出到指定 的数据集中。
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20
方差分析
2 两因素方差分析
设某实验影响的因素有两个 A 和 B， 并假定因素 A p 有
q B有 个水平， 因素
r y ijk 个水平，在因素 A、B 各水平的组合下均做 次实验，其数值指标
表示在 A
k 次试验指标值， j 水平下第 i（ ,j 第 i 水平 B 第 对固定的
2 立 ， 且 y ijk ~ N ( ij , ) , k 1,...,r , 同 样 令
matlab实验之求均值-方差
实验一 随机信号的数字特征分析一、 实验目的1.了解随机信号自身的特性，包括均值（数学期望）、方差、均方值等；2. 掌握随机信号的分析方法；二、实验原理1.均值测量方法均值ˆx m表示集合平均值或数学期望值。
基于随机过程的各态历经性，最常用的方法是取N 个样本数据并简单地进行平均，即101ˆ[]N x d i m X i N-==∑ 其中，样本信号的采样数据记为[](,)d X i X iT ξ=，s T 为采样间隔。
2.均方误差的测量方法随机序列的均方误差定义为： 2211()lim ()N i N i E X x n N →∞==∑ 3.方差测量方法如果信号的均值是已知的，则其方差估计设计为12201ˆ([])N x X d i X i m N σ-==-∑ 它是无偏的与渐进一致的。
三、实验内容利用MATLAB 中的伪随机序列产生函数randn()产生多段1000点的序列，编制一个程序，计算随机信号的数字特征，包括均值、方差、均方值、最后把计算结果平均，绘制数字特征图形。
源程序如下：clear all;clc;%产生50个1000以内点的伪随机序列x=randn(50,1000);%计算随机产生的50个点序列的均值，方差，均方average=zeros(1,50);variance=zeros(1,50);square=zeros(1,50);%计算均值for i=1:50for j=1:1000average(i)=average(i)+x(i,j);endaverage(i)=average(i)/1000;end%计算方差for i=1:50for j=1:1000variance(i)=variance(i)+(x(i,j)-average(i)).^2; endvariance(i)=variance(i)/1000;end%计算均方值for i=1:50for j=1:1000square(i)=square(i)+x(i,j).^2;endsquare(i)=square(i)/1000;endEX=sum(average)/50;DX=sum(variance)/50;RMS=sum(square)/50;plot(average);title('50个随机序列的均值');figure;plot(variance);title('50个随机序列的方差');figure;plot(square);title('50个随机序列的均方值');四、实验结果及分析由上结果可知：将图中的计算结果平均后，得到的结果为：产生的50个点的随机序列均值的平均值为：EX=0.0090197；产生的50个点的随机序列方差的平均值为DX=1.0078；产生的50个点的随机序列均方值的平均值为RMS=1.0087。
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§1
§1.1
单因子方差分析
基本概念与数学模型
为了考察某个因素 A 对试验指标(即随机变量 X) 的影响,在试验时,保持其他因素不变,而仅让因素 A 改变,这种试验称为单因子(单因素)试验. 设试验结 果如下表:
水平 A1 A2 … Ar源自观测值x11 x21 … xr1
x12 x22 … xr2
... … … …
检验过程：
由此可知,当H 0 : 1 2 ... n 0为真时, S A /(r 1) F ~ F (r 1, n r ) S E /(n r ) 按照显著性检验程序 对给定的显著性水平 ,当F ,
F1 (r 1, n r )时, 拒绝假设H 0 , 认为因子各水平间在显 著性水平下有显著差异否则接受H 0 , 认为因子各水平 . 间在显著性水平 下无显著差异 . • 一般,当F>F0.01时,称因子的影响高度显著,记为 “**”;当F0.01>F≥F0.05时,称因子的影响显著,记为 “*”; 当F＜F0.05时,称因子无显著影响,即认为因 子各水平间无差异.
方差分析
• 在工农业生产和科学研究中,经常遇到这样 的问题:影响产品产量、质量的因素很多,我们 需要了解在这众多的因素中,哪些因素对影响 产品产量、质量有显著影响.为此,要先做试验 ,然后对测试的结果进行分析.方差分析就是分 析测试结果的一种方法. • 在方差分析中,把在试验中变化的因素称为 因子,用A、B、C、...表示;因子在试验中所取 的不同状态称为水平,因子A的r个不同水平用 A1、A2、...、Ar表示.
• 实际上,方差分析是检验同方差的若干正态总体 均值是否相等的一种统计方法.
• 在实际问题中影响总体均值的因素可能不止一 个.我们按试验中因子的个数,可以有单因子方差 分析,双因子分析,多因子分析等.例中是一个单因 子方差分析问题. • 设在某试验中,因子A有r个不同水平 A1,A2,...,Ar,在Ai水平下的试验结果Xi服从正态 分布N(μi,σ2),i=1,2,...,r,且X1,X2,...,Xr间 相互独立.现在水平Ai下做了ni次试验,获得了ni 个试验结果Xij,j=1,2,...,ni这可以看成是取自 Xi的一个容量为ni的样本,i=1,2,...,r.
i 1 j 1 i 1 j 1
( X ij X i .)2 ( X i . X ) 2 2 ( X ij X i .)( X i . X )
i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1
r
ni
r
ni
r
ni
( X ij X i .) ni ( X i . X ) 2
2 i 1 j 1 r ni
的离差平方和, 反映了试验中的随机误差, 称为误差 偏差平方和(组内离差平方和). r S A ni ( X i . X )2表示组平均值与总平均值的离差
i 1
平方和, 反映了各总体(因子A的不同水平)均值之间的 差异程度, 称为因子偏差平方和(组间离差平方和).
2 i 1 j 1 i 1
r
ni
r
其中交叉乘积项
2 ( X ij X i .)( X i . X ) 2 ( X i . X ) ( X ij X i .)
2 ( X i . X )( X i . tX i .) 0
i 1
r
ni
r
ni
i 1 j 1 r
• 我们要研究的问题是诸不同品种的平均亩 产量是否有显著差异.
• 在本例中只考虑品种这一因子对亩产量的影响 ,五个不同品种就是该因子的五个不同水平.由于 同一品种在不同田块上的亩产量不同,我们可以认 为一个品种的亩产量就是一个总体,在方差分析中 总假定各总体独立地服从同方差正态分布,即第i 个品种的亩产量是一个随机变量,它服从分布 N(μi,σ2), i=1,2,3,4,5. • 试验的目的就是要检验假设 H0:μ1=μ2=μ3=μ4=μ5 是否成立.若是拒绝 ,那么我们就认为这五种品 种的平均亩产量之间有显著差异;反之,就认为各 品种间产量的不同是由随机因素引起的.方差分 析就是检验假设的一种方法.
§1.2 统计分析
• 平方和分解公式：引起诸Xij 波动的原因有两个 :一个是假设H0为真时,诸Xij的波动纯粹是随机性 引起的;另一个可能是假设H0不真而引起的.因而我 们就想用一个量来刻划诸Xij之间的波动,并把引起 波动的两个原因用另两个量表示出来,这就是方差 分析中常用的平方和分解法. 通常用X ij与样本总平均 之间的偏差平方和来 X
• 在这样的改变下,单因子方差分析模型中的数 据结构式可以写成:
X ij i ij , i 1,2,...,r; j 1,2,...,ni
n
i 1 i
r
i
0
所要检验的假设可以写成:
H0 : 1 2 ... r 0
• 为了导出检验假设的统计量,下面我们分析一 下什么是引起诸Xij 波动的原因.
试验计算表 试验号 水平 1 2 … r 1 x11 x21 … xr1 2 x12 x22 … xr2 … 各水平的 ni 和 xi. 和平方 x2i.
… x1n1 … x2n2 … … … xrnr
• 例:为寻求适应本地区的高产油菜品种,今选 了五种不同品种进行试验,每一品种在四块试验 田上得到在每一块田上的亩产量如下:
fr n 1 f A r 1 fE n r
,
其中n ni为试验的总次数, X i. X ij , T.. X ij .
i 1 j 1 i 1 j 1
r
ni
方差分析表(ANOVA TABLE) 方差来源 平方和 自由度 均方和 F 值 显著性 因子影响 SA r-1 SA /(r-1) 随机误差 SE n-r SE /(n-r) F 总和 ST n-1
且Q1 , Q2 ,..., Qk 相互独立.
由于
ST
2
SA
2
SE
2
及n 1 (r 1) (n r )
可知柯赫伦分解定理的 条件全部满足, 故有 SA ~ 2 (r 1) 2
且S A与S E 相互独立. 由于S A反映的是因子不同水平 均值之间的差
异程度, 故当假设H 0 : 1 2 ... r 0为真时, S A的值不应太大 从而 , S A /(r 1) F S E /(n r ) 也不应太大, 当F值过大时, 可以认为假设 0不真. H
x1n1 x2n2 … xrnr
• 例:为寻求适应本地区的高产油菜品种,今选 了五种不同品种进行试验,每一品种在四块试验 田上得到在每一块田上的亩产量如下:
品种 A1 A2 A3 A4 A5 田块 1 256 244 250 288 206 2 222 300 277 280 212 3 280 290 230 315 220 4 298 275 322 259 212
1 Xi. ni
X 是从第i个总体中抽得的样本平均值, 称
j 1 ij
ni
为组平均值.
ST ( X ij X ) 2 表示所有数据与总平均值
i 1 j 1
r
ni
的离差平方和, 是描述全部数据离散程度的一个 指标, 称为总偏差平方和(总离差平方和).
S E ( X ij X i .) 表示每个数据与其组平均值
品种 A1 A2 A3 A4 A5 田块 1 256 244 250 288 206 2 222 300 277 280 212 3 280 290 230 315 220 4 298 275 322 259 212
• 我们要研究的问题是诸不同品种的平均亩 产量是否有显著差异.
• 解:先列表计算
计算表 田块 品种 A1 A2 A3 A4 A5 1 256 244 250 288 206 2 222 300 277 280 212 3 280 290 230 315 220 4 和 各水平的 和平方 1115136 1229881 1164241 1304164 722500 298 1056 275 1109 322 1079 259 1142 212 850
2
~ 2 (n 1)
对于各组样本有
( X ij X i. ) 2 (ni 1)Si2
j 1
ni
其中ni是第i组样本的样本容量 S i 是第i组样本的样本方差
2
因此
2 2 且各组样本方差 12 , S2 ,, Sr2相互独立 S .
由n r (ni 1)及 2分布的可加性知
第1章 方差分析（analysis of variance)
§1 单因素方差分析
1.1 1.2 1.3 1.4 数学模型 统计分析 方差分析表 Matlab实现
§2 双因素方差分析
2.1 2.2 2.3 2.4 数学模型 无交互影响的双因素方差分析 有交互影响的双因素方差分析 Matlab实现
第1章
设试验结果如下表:
水平 A1 A2 … Ar
观测值 x11 x21 … xr1 x12 x22 … xr2 ... … … … x1n1 x2n2 … xrnr
• 由于Xij~N(μi,σ2) ,故Xij与μi的差可以看成一个 随机误差εij~N(0,σ2) .这样一来,可以假定Xij具有下 述数据结构式:
检验统计量的构造:
当H 0 : 1 2 ... n 0为真时, 一切X ij ~ N ( , 2 ), 且相互独立 .
ST ( X ij X ) 2 (n 1)S 2
i 1 j 1
r
ni
其中S 2是全体样本的样本方差 .