方差分析(数学建模
数学建模优秀方法之方差分析
观察值 ( j )
1 2 : : n
水平A1
x11 x21
: : xn1
因素(A) i
水平A2
…
x12
…
x22
…
:
:
:
:
xn2
…
水平Ak
x1k x2k : : xnk
单因素方差分析的原理步骤
• 提出假设 • 构造检验统计量 • 统计决策
一、提出假设
1. 一般提法
▪ H0: 1 = 2 =…= k (因素有k个水平） ▪ H1: 1 ，2 ，… ，k不全相等
进行调整
2.同上，但通过设置每个检验的误差率来控制整个误差率
3.用t检验完成多重配对比较，为多重比较调整显著值，但
比2的界限要小
4.对所有可能的组合进行同步进入的均值配对比较
5.用F检验进行多重比较
6.在Studentized Range分布下进行多重比较
7.用Studentized Range分布进行所有各组均值间的配对比
规定显著性水平,默认为0.05
13.用Studentized最大系数进行比较检验,使用贝叶斯逼近.
14.用t检验进行配对比较.
5—3 Post Hoc对话框
规定输出的统计量: 输出描述统计量,包括观测量数
目,均值,最小值,最大值,标准差,标 准误差,各组中每个因变量的95% 的置信区间
用Levene检验进行方差一致性 检验
2. 对前面的例子
▪ H0: 1 = 2 = 3 = 4
• 颜色对销售量没有影响
▪ H0: 1 ，2 ，3， 4不全相等
• 颜色对销售量有影响
二、构造检验的统计量
1. 为检验H0是否成立，需确定检验的统计量 2. 构造统计量需要计算
方差分析 线性回归
1 线性回归1.1 原理分析要研究最大积雪深度x与灌溉面积y之间的关系，测试得到近10年的数据如下表：使用线性回归的方法可以估计x与y之间的线性关系。
线性回归方程式：对应的估计方程式为线性回归完成的任务是，依据观测数据集(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)使用线性拟合估计回归方程中的参数a和b。
a,b都为估计结果，原方程中的真实值一般用α和β表示。
为什么要做这种拟合呢？答案是：为了预测。
比如根据前期的股票数据拟合得到股票的变化趋势（当然股票的变化可就不是这么简单的线性关系了）。
线性回归的拟合过程使用最小二乘法，最小二乘法的原理是：选择a,b的值，使得残差的平方和最小。
为什么是平方和最小，不是绝对值的和？答案是，绝对值也可以，但是，绝对值进行代数运算没有平方那样的方便，4次方又显得太复杂，数学中这种“转化化归”的思路表现得是那么的优美！残差平方和Q，求最小，方法有很多。
代数方法是求导，还有一些运筹学优化的方法（梯度下降、牛顿法），这里只需要使用求导就OK了，为表示方便，引入一些符号，最终估计参数a与b的结果是：自此，针对前面的例子，只要将观测数据带入上面表达式即可计算得到拟合之后的a和b。
不妨试一试？从线性函数的角度，b表示的拟合直线的斜率，不考虑数学的严谨性，从应用的角度，结果的b可以看成是离散点的斜率，表示变化趋势，b的绝对值越大，表示数据的变化越快。
线性回归的估计方法存在误差，误差的大小通过Q衡量。
1.2 误差分析考虑获取观测数据的实验中存在其它的影响因素，将这些因素全部考虑到e~N(0,δ^2)中，回归方程重写为y = a + bx + e由此计算估计量a与b的方差结果为，a与b的方差不仅与δ和x的波动大小有关，而且还与观察数据的个数有关。
在设计观测实验时，x的取值越分散，估计ab的误差就越小，数据量越大，估计量b的效果越好。
这也许能为设计实验搜集数据提供某些指导。
1.3 拟合优度检验及统计量拟合优度检验模型对样本观测值的拟合程度，其方法是构造一个可以表征拟合程度的指标，称为统计量，统计量是样本的函数。
方差分析 数学建模
学号姓名班级学院学院编号成绩05010101郭强050101机械187 ********张旭鹏050101机械171 05010103李桂艳050101机械175 ********杨功050101机械178 ********禹善强050101机械176 ********刘达050101机械166 ********刘中晗050101机械161 05010108王振波050101机械167 05010109赵长亮050101机械182 ********石增辉050101机械174 05010111过建奇050101机械172 05010112王振春050101机械171 05010113刘旸洋050101机械179 05010114邳亚山050101机械176 ********李志敏050101机械176 ********马红梅050101机械164 05010117李新澎050101机械171 05010118靳颖050101机械173 ********刘占文050101机械170 05010120关晓月050101机械172 05010121郑元秀050101机械169 05010122李宁050101机械179 05010123张廉050101机械170 05010124朱勇050101机械177 ********李亚娟050101机械172 05010126王大成050101机械178 ********徐延050101机械186 ********徐岩050101机械173 ********刘喆050101机械184 ********魏邈050101机械166 ********汪薇050102机械182 ********刘叶050102机械161 05010203李丹霞050102机械172 05010204王璟050102机械155 ********陈兴华050102机械180 ********王倩050102机械165 05010207杨昭胜050102机械164 05010208白力坤050102机械165 05010209尹娜050102机械177 ********孙超050102机械166 ********李瑛050102机械168 05010212刘湉050102机械179 05010213苗宇050102机械173 ********闫巍050102机械184 ********崔翼050102机械159 ********王红维050102机械17105010217邱倩倩050102机械174 05010218刘瑛050102机械174 05010219张雷050102机械180 ********费腾飞050102机械163 05010221孟昭福050102机械168 05010222苏友朋050102机械148 05010223韩冬050102机械187 ********宓晓庆050102机械179 05010225谢昆050102机械178 ********高学明050102机械163 05010227金鑫050102机械169 05010228巴志堃050102机械164 05010229钟尹050102机械172 05010230刘丽050102机械180 ********杨成050103机械175 ********薛立鹏050103机械177 ********沃娜050103机械176 ********梁宪050103机械178 ********高洁050103机械182 ********吴惠青050103机械175 ********段宝龙050103机械165 05010308郭晓城050103机械174 05010309陈武050103机械164 05010310魏锋050103机械184 ********葛彦050103机械160 05010312范柏铭050103机械169 05010313李辉050103机械174 05010314刘家祺050103机械172 05010315杨爽050103机械180 ********姜斌050103机械173 ********刘宝050103机械166 ********周若璞050103机械177 ********赵婉莹050103机械164 05010320孟宪娟050103机械176 ********彭飞050103机械175 ********赵建平050103机械166 ********杨廷江050103机械165 05010324韩卓050103机械164 05010325李永录050103机械164 05010326周建国050103机械165 05010327齐静050103机械187 ********郑姣姣050103机械154 05010329李明月050103机械187 ********陈志昊050103机械156 ********杨天琦050104机械189 ********包婷婷050104机械168 05010403郝宇050104机械17305010404焦健050104机械182 ********张学敏050104机械183 ********陈小华050104机械165 05010407彭雨洪050104机械176 ********岳昂050104机械186 ********金振强050104机械189 ********刘国生050104机械162 05010411徐晶050104机械165 05010412丁亮050104机械178 ********王宏兴050104机械158 ********刘昊曦050104机械160 05010415周静050104机械172 05010416郝洁050104机械181 ********邓吉祥050104机械196 05010418杨禄建050104机械150 ********田沐青050104机械173 ********赵国伟050104机械182 ********施亚芳050104机械184 ********杨晓菲050104机械181 ********张连慧050104机械183 ********方媛050104机械178 ********单景伟050104机械162 05010426万宇050104机械173 ********郑直050104机械164 05010428栗晓琨050104机械181 ********王轩050104机械185 ********刘杨050104机械164 05010501田甜050105机械183 ********卓文龙050105机械170 05010503田学艳050105机械170 05010504李茜050105机械167 05010505高晓辉050105机械182 ********李鹏050105机械178 ********甄杨050105机械171 05010508张玉梅050105机械177 ********谢强050105机械186 ********段桐050105机械164 05010511朱家庆050105机械167 05010512刘宁050105机械176 ********戴传芳050105机械180 ********任进宇050105机械182 ********楼晓飞050105机械170 05010516赵美娜050105机械162 05010517宋帅050105机械160 05010518贾宁050105机械169 05010519杨姗050105机械181 ********刘冬050105机械16605010521谢丽雯050105机械179 05010522尚辰050105机械176 ********王卫辉050105机械156 ********刘鑫050105机械179 05010525刘冰050105机械185 ********高伯涛050105机械172 05010527朱佩佩050105机械181 ********王静050105机械163 05010529王璐050105机械179 05010530温杨050105机械185 ********杨建050106机械181 ********崔璇璇050106机械167 05010603韩文建050106机械166 ********贺晓娇050106机械173 ********张丽花050106机械170 05010606白山050106机械172 05010607李云050106机械194 05010608方健050106机械175 ********谢嵩050106机械186 ********何芬芳050106机械172 05010611吴胜利050106机械171 05010612赵晓曦050106机械179 05010613王聪050106机械178 ********张海亮050106机械171 05010615王子曦050106机械159 ********张宝蒂050106机械161 05010617杨永煌050106机械180 ********张霞050106机械176 ********程红菲050106机械157 ********项晴050106机械174 05010621刘爽050106机械177 ********张文雨050106机械162 05010623袁海涛050106机械166 ********汪霞050106机械180 ********刘程晨050106机械163 05010626杨洋050106机械183 ********左权050106机械185 ********赵宁050106机械153 ********王委南050106机械170 05010630董三旺050106机械164 05010701赵伟050107机械173 ********丁佐宏050107机械162 05010703刘静050107机械157 ********韩海明050107机械185 ********戴月康050107机械189 ********刘军050107机械169 05010707郑苹050107机械17605010708殷少皇050107机械160 05010709贾林虓050107机械166 ********孙靓050107机械157 ********范怡050107机械172 05010712王新平050107机械164 05010713王锦波050107机械193 05010714李娴050107机械171 05010715李渔050107机械187 ********胡冰050107机械178 ********姚文辉050107机械174 05010718王菲050107机械173 ********李祥寿050107机械177 ********刘新改050107机械150 ********范声朴050107机械179 05010722陈志刚050107机械185 ********高雪沾050107机械152 ********施海丽050107机械181 ********秦波050107机械179 05010726王娜050107机械196 05010727孙林建050107机械166 ********贾智帅050107机械185 ********赵杨050107机械176 ********许江鹭050107机械162 05010801孙健050108机械167 05010802刘烨050108机械179 05010803程臻050108机械180 ********刘乃菀050108机械162 05010805王秀玲050108机械172 05010806郭立明050108机械166 ********杨俊050108机械185 ********卢静050108机械168 05010809郭丽莉050108机械182 ********薛腾飞050108机械167 05010811汪源050108机械182 ********路皓晴050108机械165 05010813秦小雨050108机械179 05010814杨迪050108机械157 ********王海芹050108机械176 ********鞠知龙050108机械174 05010817李陶婷050108机械170 05010818朱国富050108机械166 ********吕神通050108机械179 05010820施超兵050108机械163 05010821方军050108机械172 05010822王婵050108机械153 ********陈晨050108机械165 05010824薛文杰050108机械17205010825拜澎050108机械181 ********黄璐050108机械163 05010827李雅哲050108机械178 ********王伟佳050108机械177 ********邓世凤050108机械157 ********于丽丽050108机械172 05010901王楚050109机械189 ********王博050109机械162 05010903陈佩珊050109机械178 ********张轶群050109机械176 ********贺嘉贝050109机械175 ********刘大宇050109机械172 05010907王宁洲050109机械174050109机械171 05010908赵征（赵唯尹05010909王伟050109机械160 05010910叶志海050109机械168 05010911孙健050109机械174 05010912赵路050109机械175 ********陈晓霞050109机械185 ********孟寒050109机械190 05010915杨磊050109机械161 05010916曹连鹏050109机械176 ********黄知军050109机械175 ********李胤050109机械172 05010919贾楠050109机械169 05010920张小康050109机械172 05010921杨俊昭050109机械176 ********宁凝050109机械187 ********包梁明050109机械161 05010924张学鹏050109机械180 ********范陶亮050109机械174 05010926于锡权050109机械184 ********白鹏050109机械162 05010928潘晶晶050109机械168 05010929孔德升050109机械158 ********何伟050109机械173 ********戴宜丰050110机械179 05011002董罗林050110机械168 05011003方励050110机械166 ********王伟佳050110机械169 05011005郭玉强050110机械171 05011006李婕050110机械178 ********王华东050110机械173 ********高达生050110机械170 05011009张国光050110机械184 ********刘博050110机械188 ********霍增辉050110机械17505011012施和滨050110机械163 05011013谭文君050110机械175 ********李昊泽050110机械170 05011015王超050110机械193 05011016董志伟050110机械168 05011017张鑫050110机械177 ********鞠正杰050110机械173 ********王海江050110机械165 05011020王清050110机械177 ********毛鑫050110机械158 ********周振国050110机械165 05011023徐文俊050110机械158 ********陶欣勇050110机械183 ********段玮骅050110机械181 ********王鹏银050110机械162 05011027邓丽萍050110机械171 05011028张蕾蕾050110机械162 05011029兰婷050110机械174 05011030潘明飞050110机械187 ********刘强050111机械167 05011102杨硕朋050111机械192 05011103袁予钊050111机械169 05011104张建050111机械166 ********王华东050111机械176 ********李志鹏050111机械189 ********鲁鹏050111机械175 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05030827孙嘉琳050308化工382 05030828袁予钊050308化工376 05030829王彬彬050308化工390 05030901苏捷050309化工374 05030902卢垚050309化工367 05030903陈旭050309化工385 05030904许国贺050309化工386 05030905杨玉美050309化工390 05030906肖迪050309化工386 05030907叶晟050309化工393 05030908周赢050309化工380 05030909徐锋050309化工394 05030910李玲050309化工396 05030911卢紫筠050309化工380 05030912王晓磊050309化工388 05030913王立利050309化工390 05030914莫小河050309化工392 05030915高雅春050309化工379 05030916焦强050309化工385 05030917肖尧050309化工392 05030918杨文凯050309化工387 05030919徐庆艳050309化工392 05030920贾梦瑶050309化工378 05030921汪培俊050309化工388 05030922徐子剑050309化工397 05030923王兵050309化工377 05030924魏学刚050309化工371 05030925许宜阳050309化工387 05030926刘博050309化工381 05030927陈京超050309化工394 05030928郝宇050309化工37905030929项立勇050309化工374 05031001陈小赛050310化工383 05031002卢珊050310化工391 05031003季浩岩050310化工382 05031004刘宇050310化工375 05031005梁冰050310化工379 05031006赵丹050310化工377 05031007陈琦全050310化工368 05031008于平平050310化工381 05031009李享050310化工389 05031010冯超050310化工381 05031011邵安琪050310化工375 05031012叶志青050310化工390 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05031128方麒麟050311化工394 05031129张瑶瑶050311化工383 05031201包婷婷050312化工382 05031202王卓然050312化工383 05031203胡力050312化工366 05031204刘燕琼050312化工392 05031205李彬050312化工390 05031206张昊050312化工384 05031207尚伟050312化工375 05031208殷虹050312化工376 05031209王欣050312化工367 05031210张洋050312化工380 05031211范加嘉050312化工382 05031212佟磊050312化工385 05031213宋澜波050312化工347 05031214毛瑾050312化工371 05031215杨正海050312化工379 05031216刘欣050312化工376 05031217幸福050312化工393 05031218焦健050312化工392 05031219陈锐昌050312化工394 05031220刘玥050312化工372 05031221王倩050312化工371 05031222易致高050312化工381 05031223尹航050312化工381 05031224江会臣050312化工384 05031225冯括050312化工375 05031226李洋050312化工377 05031227王莹鑫050312化工376 05031228张琳浩050312化工370 05031229李宁050312化工368 05031230李琳050312化工380 05040101许欢虹050401环境468 05040102凌崇050401环境492 05040103乔雪050401环境477 05040104李彤彤050401环境473 05040105王大为050401环境477。
数学建模作业
一、摘要本文根据所给出的数据，运用excel软件并采用数据分析法，制定了一个具体可行的调整方案(其可靠性为95%)。
首先，本文对题中的12组数据，进行相关性分析，求出各观测站所测的年平均降雨γ>的观测站组合。
其次，对这量间的相关系数γj i,，找出满足,0.381i j些组合进行一元线性回归，得到一元回归模型，并作F检验。
经过检验进行优化选择，可先去掉5，9，11三个观测站。
通过对一元线性回归模型分析知，观测站8的年平均降雨量可由观测站6预测得到。
因此在满足足够大的信息量下，本模型可减少5，8，9，11四个观测站，而他们的信息均可由6观测站来预测，可靠性为95%。
由于降雨量具有随机性，为更精确预测该地区未来十年的年平均降雨量，本文利用精简后的数据建立时间序列模型。
对原数据列进行一阶差分处理，得到稳定的新时间序列。
分析新时间序列的自相关函数与偏自相关函数图像，然后采用自相关函数和偏相关函数检验法对模型进行识别，确定使用ARMA（1,1）模型。
借助于SPSS软件对数据进行处理，并对理论结果进行白噪声检验，结果表明ARMA（1,1）具有可靠性与实用性。
关键字：相关性分析数据分析一元线性回归时间序列自相关函数 arma(1,1)模型白噪声检验二、问题重述问题一：某地区内有12个气象观测站，根据27年来各观测站测得的年降雨量(见附表1)，由于经费问题, 有关单位拟减少气象站数目以节约开支, 但又希望还能够尽量多地获取该地区的降水量信息。
现要求设计一个方案：尽量减少观测站，而所得到的年降水量的信息量仍足够大。
问题二：为研究该地区的降雨量特点，需要对该地区未来十年的降雨量进行预测分析。
三、模型假设1．该地区的地理特征具有一定的均匀性，而不是表现为复杂多变的地理特征。
2.不考虑其它区域及天气对本地区降雨量的影响3.该市的气候特征较稳定，不出现较大的自然灾害，27年的统计数据能够全面地反映该市的气候特征；4.该市的气候不会因环境的变化而发生较大的变化； 四、符号说明γji,为任意两个观测站间的相关系数)1(t --p n α为自由度n-p-1的t 分布双侧临界值y为欲预测值p 为p 元回归数px x x y s .....21为剩余标准差X t（,,,...12X X X n ）为平稳时间序列X表示原始序列Y表示一阶差分序列白噪声序列方差a五、问题分析5.1 问题一的分析本案例实质上是个典型的预测问题，即用较少的测站来预测12个站的年降水量，本模型的基本思想是：如果某一观测站的年降水量可用其它观测站的年降水量来线性回归的话，就可删去这一观测站。
方差分析及MATLAB实现
方差分析及MATLAB实现方差分析是一种用于比较多个样本均值是否具有统计显著性差异的统计方法。
它适用于一个或多个因素的研究，并且可以用来确定这些因素对于研究变量的影响程度。
MATLAB是一种功能强大的数值计算和数据分析软件，可以用于实现方差分析。
方差分析的基本原理是通过计算不同组之间的方差来检验均值是否具有显著差异。
方差分析包括总体总变异的分解、组内变异的计算和组间变异的计算。
总体总变异是指所有数据点与总平均值之间的差异，组内变异是指每个组内的数据点与该组均值之间的差异，组间变异是指不同组之间的均值之间的差异。
MATLAB提供了多种函数和工具箱来实现方差分析。
首先，需要使用`anova1`函数进行一元方差分析，该函数可以计算单个因素的影响。
例如，假设有三个不同的组进行了一些实验，并且希望确定这些组之间一些变量的均值是否存在显著差异。
可以使用以下代码计算方差分析并得出结论：```matlabdata = [group1_data; group2_data; group3_data]; % 将组数据合并为一个矩阵group = [repmat('Group 1', size(group1_data, 1), 1); ... %创建一个标识每个数据点所属组的向量repmat('Group 2', size(group2_data, 1), 1); ...repmat('Group 3', size(group3_data, 1), 1)];[p, tbl, stats] = anova1(data, group); % 进行方差分析alpha = 0.05; % 显著性水平为0.05if p < alphadisp('不同组之间的均值存在显著差异');elsedisp('不同组之间的均值不存在显著差异');end```除了一元方差分析外，MATLAB还提供了适用于多个因素的方差分析函数，如`anova2`和`ranova`。
数学建模之方差分析.
• 比如，每种颜色饮料的销售量必须服从正态分布
2.各个总体的方差必须相同
• 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取
的。
• 比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同。
3.不同水平下的样本相互独立
一、数学模型
1.2 单因素方差分析
设因素A有s个水平A1 , A2 ,, As , 在水平A j ( j 1,2,, s )下, 进行n j ( n j 2)次独立试验, 得到如下表 的结果. 表1 水平 A1 A2 As 观察结果 X 1s X 11 X 12 X 2s X 21 X 22 Xn 1 Xn 2 X ns s 1 2 样本总和 T1 T2 T s 样本均值 X s X 1 X 2 s 1 2 总体均值
可以控制 的试验条 件
2.水平：因子在实验中的不同状态。 如：例1中橘黄色、粉色、绿色和无色透明四 种颜色就是因素的四个水平。
3.交互影响：如果因子间存在相互作用，称之为 “交互影响”；如果因子间是相互独立的，则称 为无交互影响。 4.观察值：在每个因素不同水平下得到的样本值。 如例1中每种颜色饮料的销售量就是观察值。
因为X ij ～N ( j , 2 ), 所以X ij j～N (0, 2 ).
记X ij j ij , 表示随机误差, 那么X ij 可写成
ij～N (0, 2 ) , 各 ij 独立 , i 1, 2,, n j , j 1, 2,, s , j 与 2 均未知 . 单因素试验方差分析的数学模型 需要解决的问题 H 0 : 1 2 s , 1.检验假设 H 1 : 1 , 2 ,, s 不全相等.
数学建模中的统计分析工具
数学建模中的统计分析工具1. 比较——方差分析比较不同总体间均值有无显著差异.方差分析是处理试验数据的一种常用统计方法，其基本思想是：把指标数据的总变差（总离差平方和），分解为由所考察因素引起的变差（因素变差或组间离差平方和）和随机因素引起的变差（随机变差或组内离差平方和），然后通过比较这些变差来推断因素对指标影响是否显著．因为判定因素对指标影响是否显著时，是从指标的总变差入手，将之分解为由各因素引起的变差和随机波动引起的变差，所以称此类分析为方差分析．在方差分析中，影响指标的因素称为因子，因子的取值称为水平． 例如，考察学生性别对学习成绩的影响时，学习成绩是所考察的指标，性别是影响指标的因子，而性别的取值“男”和“女”是性别因子的水平．实质上，此处是要比较男生和女生学习成绩有无显著差异，属两组比较问题，是方差分析的特殊情况，一般的方差分析研究的是多组比较问题．试验中如果只考虑一个因子对指标的影响，这种试验称为单因子试验，相应的方差分析称为单因子方差分析．若试验中同时考虑两个因子，则称相应的试验为两因子试验，所做的方差分析称为两因子方差分析．类似地可以定义三因子、多因子试验和方差分析．① 为研究新药的降糖效果，某医院用40名病人同期随机对照实验。
实验者将病人随机等分成实验组和对照组，分别测得实验开始前和8周后空腹血糖，算得空腹血糖下降值的均数，见下表，能否认为新药对空腹血糖的降糖效果显著？(检验水平0.05α=)实验组1X -0.7 -5.6 2.0 2.8 0.7 3.5 4.0 5.8 7.1 -0.5 20人2.5 -1.6 1.73.0 0.44.5 4.6 2.5 6.0 -1.4 对照组2X3.7 6.5 5.0 5.2 0.8 0.2 0.6 3.4 6.6 -1.1 20人 6.0 3.8 2.0 1.6 2.0 2.2 1.2 3.1 1.7 -2.0② 某养鸡场为提高经济效益，研制了三种鸡饲料配方．为比较三种饲料在养鸡增肥上的效果，分别用每种饲料喂养10只小鸡，60天后测量鸡重．请通过试验数据分析，三种饲料在养鸡增肥效果上有无显著差异（检验水平皆取0.05α=）？2.相关与回归分析在生产实践中，人们关心的某项重要指标往往受一个或多个变量的影响，此时令人关注的是变量与指标之间的关系．线性回归分析研究的是一维因变量（也称响应变量）Y与回归变量（也称解释变量或自变量）之间的线性相关关系，其中回归变量是可观测或可控制的①为确定运动员耗氧量与其他因素的关系，对31个人测量了年龄age、体重weight、跑完1.5公里的时间runtime、静态心率rstpulse、跑动时心率runpulse、跑步时最大Maxpulse、每公斤体重每分钟耗氧量oxy，数据见\Sas_Ex\oxy.txt，试以oxy为因变量作回归分析。
数学建模算法方差分析
-134-第十一章 方差分析我们已经作过两个总体均值的假设检验，如两台机床生产的零件尺寸是否相等，病人和正常人的某个生理指标是否一样。
如果把这类问题推广一下，要检验两个以上总体的均值彼此是否相等，仍然用以前介绍的方法是很难做到的。
而你在实际生产和生活中可以举出许多这样的问题：从用几种不同工艺制成的灯泡中，各抽取了若干个测量其寿命，要推断这几种工艺制成的灯泡寿命是否有显著差异；用几种化肥和几个小麦品种在若干块试验田里种植小麦，要推断不同的化肥和品种对产量有无显著影响。
可以看到，为了使生产过程稳定，达到优质、高产，需要对影响产品质量的因素进行分析，找出有显著影响的那些因素，除了从机理方面进行研究外，常常要作许多试验，对结果作分析、比较，寻求规律。
用数理统计分析试验结果、鉴别各因素对结果影响程度的方法称为方差分析（Analysis Of Variance ），记作ANOV A 。
人们关心的试验结果称为指标，试验中需要考察、可以控制的条件称为因素或因子，因素所处的状态称为水平。
上面提到的灯泡寿命问题是单因素试验，小麦产量问题是双因素试验。
处理这些试验结果的统计方法就称为单因素方差分析和双因素方差分析。
§1 单因素方差分析只考虑一个因素A 对所关心的指标的影响，A 取几个水平，在每个水平上作若干个试验，试验过程中除A 外其它影响指标的因素都保持不变（只有随机因素存在），我们的任务是从试验结果推断，因素A 对指标有无显著影响，即当A 取不同水平时指标有无显著差别。
A 取某个水平下的指标视为随机变量，判断A 取不同水平时指标有无显著差别，相当于检验若干总体的均值是否相等。
1.1 数学模型设A 取r 个水平r A A A ,,,21 ，在水平i A 下总体i x 服从正态分布),(2σμi N ，r i ,,1 =，这里2,σμi 未知，i μ可以互不相同，但假定i x 有相同的方差。
又设在每个水平i A 下都作了n 次独立试验，即从中抽取容量为n 的样本，记作n j x ji ,,1, =，ji x 服从),(2σμi N ，n j r i ,,1,,,1 ==且相互独立。
(数学建模课件)4.9方差分析的应用
并设在水平配合 ( Ai , B j ) 下的数据 xij1, xij2 , , xijm 来自总体
Xij ~ N(ij , 2 ) ， (i 1,2,, r; j 1,2,, s) 。
检验如下假设：
H 0A : 1• 2• ， r• H1A : 1• , 2• ,, r• 不全相等 H 0B : •1 •2 •r ， H1B : •1, •2 ,, •r 不全相等
如果 FB F (s 1, rs(m 1)) ，则拒绝 H 0B ，即认为因 素 B 对试验指标有显著影响；
如果 FAB F ((r 1)(s 1), rs(m 1)) ，则拒绝 H 0 AB ， 即认为因素 A 与因素 B 之间的交互效应对试验指标有 显著影响。
实际计算时，可事先对原始数据作如下处理：
2
4.33
5.20
因素 B
150
2
误差 E
3.33
4
总和 161.99
8
75
90.0
0.83
2、有交互作用的双因素方差分析
在每一种水平配合 ( Ai , B j ) 下重复作 m (m 2) 次试 验，称为有交互作用的双因素试验，试验结果观测数据 xijk 列于下表：
试验
因素 B
结果
B1
B2
…
FA 2.95 F0.05 (3, 16) 3.24 ，说明拉伸倍数 A 对合成 纤维弹性无显著影响。
FB 23.22 F0.01(3, 16) 5.29 ，说明收缩率 B 对合成纤 维弹性的影响高度显著。
FAB 8.91 F0.01(9, 16) 3.78 ，说明因素 A 与因素 B 之 间的交互效应对合成纤维弹性的影响高度显著。
要解决诸如上述问题，一方面需要设计一个 试验，使其充分反映各因素的作用，并力求试验 次数尽可能少，以便节省各种资源和成本；另一 方面就是要对试验结果数据进行合理的分析，以 便确定各因素对试验指标的影响程度。
方差分析模型
试问：灯丝的寿命是否因灯丝材料的不同而有显著差异？
在因素A 的每个水平上都做了若干次观察,这些观察结果不全相同， 并且即使在 同一水平上的那些结果仍然有差异，这种差异显然只能归咎为随机因素造成的，是 随机波动。 而随机波动总是可以合理的认为其服从正态分布，只是在不同的水平下，它们 可能以不同的值为中心进行着具有同样离散性（也就是假定其方差相等，称方差齐 性）的波动。 Ai 下灯泡的寿命，则方差分析的数学模型为： 用 X i 表示水平
2
xij xi xi x 2 xij xi xi x
ni i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1
2
ST 可验证交叉项为零 , 故得分解式
其中
S E xij xi
2
2
SE SA
2
s
ni
2
X i ~ N u i ,
2
i 1,2,3,4
，
鉴别因素 A 水平的差异是否对试验结果产生显著影响的问题就转化为检验假设
H 0 : u1 u 2 u s
是否成立。
xij
i 1,2, , s, j 1,2, , n 的离散性着手 .
j
为了对H 成立与否进行检验，我们从分析试验数据
Between Groups Within Groups Total
Spss软件实现
1．灯丝材料的方差分析：spss 数据 ：灯丝材料方差分析数据 关注：数据格式、结果解读 2．工资收入的方差分析：spss 数据 ：09-03 3．不同年龄段健康状况的方差分析：spss 数据 ：13-02
i 1 j 1
n 刻画了全部 次试验中纯粹由随机因素所引起的变差
方差分析(数学建模)
第二节 双因素方差分析
•
例2（双因素方差分析）为了考察4种不同燃料与3种不同 型号的推进器对火箭射程（单位：海里）的影响，做了12次 试验，得数据如表2所示。 • 表2 燃料-推进器-射程数据表
推进器1 燃料1 燃料2 燃料3 燃料4 58.2 49.1 60.1 75.8 推进器2 56.2 54.1 70.9 58.2 推进器3 65.3 51.6 39.2 48.7
第二节 双因素方差分析
•
例3（双因素方差分析）设火箭的射程在其它条件基本 相同时与燃料种类及推进器型号有关。现在考虑4种不同的燃 料及3种不同型号的推进器，对于每种搭配个发射了火箭两次， 得数据见表3。问各自变量和自变量的交互效应是否对火箭的 射程有显著影响？
表3 燃料-推进器-射程数据表
推进器1 燃料1 燃料2 燃料3 58.2 52.6 49.1 42.8 60.1 58.3 推进器2 56.2 41.2 54.1 50.5 70.9 73.2 推进器3 65.3 60.8 51.6 48.4 39.2 40.7
H 0 : 1 2 s
是否成立
第一节 单因素方差分析
例1（单因素方差分析）一位教师想要检查3种不同的教 学方法的效果，为此随机地选取水平相当的15位学生。 把他们分为3组，每组5人，每一组用一种方法教学，一 段时间以后，这位教师给15位学生进行统考，成绩见下 表。问这3种教学方法的效果有没有显著差异。
• • • • • •
第二节 双因素方差分析
• • • • • • • disp1=[58.2 56.2 65.3;49.1 54.1 51.6;60.1 70.9 39.2;75.8 58.2 48.7]'; p=anova2(disp1,1) 输出结果：方差分析表 ANOVA Table Source SS df MS F Prob>F Columns 157.59 3 52.53 0.43059 0.73875 Rows 223.8467 2 111.9233 0.91743 0.44912 • Error 731.98 6 12 1.9967 • Total 1113.4167 11 • 由于燃料和推进器对应的p值均大于0.05，所以可以接受 零假设H0 A和H0 B，认为燃料和推进器对火箭的射程没有显著影响。
数学建模模拟题,图论,回归模型,聚类分析,因子分析等 (1)
11.1抗生素显著性检验问题摘要在已知抗生素效果情况服从正态分布，且方差相同条件下。
通过用SPSS13.0软件编写程序，进行单因素方差分析。
检验五种抗生素之间是否存在明显差异。
关键词：抗生素方差分析显著性检验一问题重述抗生素注入人体后会与人体血浆蛋白质结合，以致减少了药效。
现在将常用的抗生素注入到牛的体内，得到抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。
在总体服从正态分布，且方差相同的条件下分析五种抗生素效果是否存在显著性差异。
二问题分析题目显示各类抗生素效果情况服从正态分布，为了进一步说明抗生素使用效果的差异，需要检查不同抗生素是否有显著性差异，即对数据进行显著性检验。
首先，应该提出抗生素之间没有显著性差异的假设。
然后通过SPSS13.0版本软件进行单因素方差检验[1]。
验证假设是否成立。
三模型假设四符号说明五模型建立与求解题目显示各类抗生素与血浆蛋白质结合的百分比情况属于正态总体，要对各类抗生素是否存在显著性差异。
应用软件SPSS13.0进行单因素方差检验。
其检验步骤如下：Step1. 提出假设:H:各类抗生素之间没有显著性差异；H:各类抗生素之间有显著性差异。
1α0.05。
Step2. 选定显著性水平=Step3. 用软件SPSS13.0进行单因素方差检验用SPSS13.0编写程序得到问题的解：即不同抗生素效果明显不同。
（各抗生素之间具体分析见附录一）六模型评价与改进参考文献[1]薛薇 ,《SPSS统计分析方法及应用》，出版地：电子工业出版社，2009。
[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。
[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。
附录附录一PSS13.0编写程序得到问题的解：11.2化肥与小麦种子的不同对小麦产量的影响问题摘要化肥与小麦的品种的差异将影响小麦的产量，进而影响农民的生活水平。
本文建立数学模型，就化肥的不同，小麦品种的不同这两种因素定量分析化肥与小麦品种对小麦实际产量的影响。
数学建模-方差分析
… … … …… …
…
x1t1 x2t2 …… xrtr
2、任务：检验因素A对试验结果影响 是否显著？（A是否是重要 因素？）
二、基本原理
1、数学模型（数据结构）
（1）设 xi1,xi2,...,xiti iid. N (i, 2)i 1 ,2 ,...,r.
且 xij iij ij N(0,2)
著影响，记为 " " ；当 0.01Sig.0.05时，
称为有显著影响，记为" " 。
三、基本计算
1. 建立数据文件 a、定义试验指标变量 x 和因素变量kind； b、输入数据； c、保存数据文件。 2．选择统计方法
按Analyze→Compare means→One-Way ANOV 顺 序选择菜单或菜单项。
（显著水平 0.01）？
单因素方差分析要注意的两点：
1、模型的条件
x ij N ( i , 2 )
x ij i ij
ij N (0 , 2 )
（1）、x i j 服从正态分布；
（2）、r 个总体方差相等？（要求验证） 2、多重比较
H 0:12 r
SPSS统计软件应用基础
第七章 方差分析
• 一、什么是方差分析？
常用语言：检验一个或多个因素对试验结果 的影响是否显著。
统计语言：检验多个方差相等的正态总体的 均值是否相等。
二、几个术语
1、试验指标－－衡量试验结果的量 (定量、定性) （必须是数量）。
2、因素 －－ 影响试验指标的条件， (不)可控 记作A,B,C……
SE (nr) 称为随机均方。
５、 具体判断
利用公式（7.1.6）计算出 F 的值，记为F值，并根 据 F 分布计算出相应的显著性概率
大学生数学建模--常用模型与算法
数学建模常用模型与算法一、常用模型☐（一）、评价模型：☐AHP(层次分析法)（确定权重)、模糊评价、聚类分析、因子分析、主成份分析、回归分析、神经网络、多指标综合评价、熵值法(确定权重)等☐（二）、预测模型：☐指数平滑法、灰色预测法、回归模型、神经网络预测、时间序列模型、马尔科夫预测、差分微分方程☐（三）、统计模型：☐方差分析、均值比较的假设检验☐（四）、方程模型：☐常微分方程、差分方程、偏微分方程、以及各种方程的求解（数值解和解析解）☐（五）运筹优化类：☐线性规划、非线性规划、目标规划、整数规划、图论模型（最短路、最大流、遍历问题等）、排队论、对策论、以及各种模型的算法☐(六)其他模型：☐随机模拟模型、等二、十大算法1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法）2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现）4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理）。
SPSS与方差分析【原创】
SPSS与方差分析【原创】基本原理方差分析(Analysis Of Variance)，记作ANOVA，实质上是采用数理统计的方法对所得结果进行分析，以鉴别各种因素对研究对象的某些特性值影响大小的一种有效方法。
文章结构方差分析的相关概念相关概念定义试验指标研究对象的特性值，简称指标，常用y表示因子在试验中要通过改变状态加以考察的因素，常用A、B、C，…来表示因子的水平因子在试验中所取的不同状态，常用A₁，A₂，…，At等表示，r为因子A的水平方差分析的基本思想(以单因素为例)方差分析是基于变异分解的思想进行的，整个样本的变异可以看作:其中，随机变量是永远存在的。
在方差分析中，代表变异大小并用来进行变异分解的指标就是离均差平方和，代表总的变异程度，记为SST 。
组内变异用各组的离均差平方和之和来表示，记为SSW。
组间变异大小可以用组间平方和表示，记为SSB( Sum of Squares Between Groups ╮(￣▽￣")╭)。
单因子方差分析单因子方差分析用来研究一个因子的不同水平是否对指标产生了显著影响。
例如:研究不同种类的化肥对农作物的影响。
1. 基本假设正态性要求每个水平下的总体都服从正态分布。
方差齐性要求每个水平下总体的方差σ²都相等独立性要求因子各水平下的总体相互独立2. 模型建立因子对指标是否有影响取决于指标的正态分布是否一致。
如果有影响，则正态分布应该存在差异。
而正态分布由均值和方差决定，假设中方差相同，因此各个水平下的正态分布均值直接决定因素是否对指标有影响。
(摘自数理统计知识整理--回归分析与方差分析)所以，问题可以转化为假设检验，设:H₀:μ₁=μ₂=…=μr令则，H₀假设改写成:H₀: α₁=α₂=...=αr=03. 确定检验统计量4. SPSS应用步骤:分析->比较平均值->单因素ANOVA，选入需要分析的变量和因子，如图:单因素方差分析对话框输出结果:输出结果由上表可知，P=0.073>0.05，故不拒绝原假设，说明药物1对小白鼠激素水平不具有显著影响。
数学建模 之 统计学基本概念与方法
既然“ 三个小球中包含两个黑球 ” 是已经 发生了的随机事件，因此使得这个事件发生 概率取最大的那个值就是未知参数 p 最有 可能的取值 。
即 p 的极大似然估计就是 3/5 。
□
三. 假设检验
(一). 假设检验的思想
它是如下的一种统计推断： 对于一个统计模型，我们提出一个假设， 根据抽取到的样本，来作出是接受还是拒绝 这个假设。 小概率事件在一次试验中不应该发生。
2. 样本 (sample)
从总体中取出一个个体，称为从 总体中得到一个样本。
由于各种原因与实际条件的限制， 不可能得到一个总体中所有个体的数据。 即样本总是总体的一小部分。
但同时在直观上又认为、或者希望做到： 抽取出的每个个体 (样本) 都充分蕴涵总体信息。 统计学的目的就是从样本去得出总体的信息。
1. 如何得到样本 ？
抽样调查
不同家庭背景学生的比例应该各占多少？ 样本容量应该取多少才合适？被调查者拒绝调 查怎么办？
2. 如何确定总体的分布 ？
根据经验或者是所讨论的问题的实际背景， 总体的分布类型一般可以事先确定下来。 这里的总体是这所大学的学生月支出费用， 我们不妨认为学生月支出费用是一个服从正态 分布的随机变量。
女士品茶
有一种饮料由 Tea 和 Milk 混合而成， 按照顺序的不同，分为 TM、 MT 两种， 有位女士声称她有能力品尝出是 TM 还是MT 。 为了检验她的说法是否可信，准备 8 杯饮料， TM 和 MT 各一半，并且把这一点告诉她。 现在随机的让这位女士品尝，指出哪些是 TM ， 最终的结果是她全部说对了。
回归与相关分析
数理统计学重要应用之一
讨论数值变量之间的效应关系问题 一元线性回归 比如说，想了解儿子身高与父亲身高之间的关系。 在每个被调查的家庭中同时获得这两个变量的 观察值，分析它们是否有某种(函数)关系，… 多元线性回归 例如，钢的去碳量与不同矿石、融化时间、 炼钢重要的内容之一
方差分析(数学建模)
（12）
可知若 H 0 成立，S A 只反映随机波动，而若 H 0 不成立，那它就还反映了 A 的不同水平
S A /( r − 1) ≈1 S E /(n − r )
而当 H 0 不成立时这个比值将远大于 1。当 H 0 成立时，该比值服从自由度 n1 = r − 1 ，
n2 = (n − r ) 的 F 分布，即 S /(r − 1) F= A ~ F (r − 1, n − r ) （13） S E /(n − r ) 为检验 H 0 ，给定显著性水平 α ，记 F 分布的 1 − α 分位数为 F1−α (r − 1, (n − r )) ，检验
A4
1500 1550 1610 1680
解 编写程序如下： x=[1620 1580 1460 1500 1670 1600 1540 1550 1700 1640 1620 1610 1750 1720 1680 1800]; x=[x(1:4),x(16),x(5:8),x(9:11),x(12:15)]; g=[ones(1,5),2*ones(1,4),3*ones(1,3),4*ones(1,4)]; p=anova1(x,g) 求得 0.01<p=0.0331<0.05，所以几种工艺制成的灯泡寿命有显著差异。 1.5 多重比较 在灯泡寿命问题中， 为了确定哪几种工艺制成的灯泡寿命有显著差异， 我们先算出 各组数据的均值： 工艺 A1 A2 A3 A4 均值 1708 1635 1540 1585 虽然 A1 的均值最大，但要判断它与其它几种有显著差异，还需做多重比较。一般 多重比较要对所有 r 个总体作两两对比，分析相互间的差异。根据问题的具体情况可以 减少对比次数。 对于上述问题，Matlab 多重比较的程序为 x=[1620 1580 1460 1500 1670 1600 1540 1550 1700 1640 1620 1610 1750 1720 1680 1800]; x=[x(1:4),x(16),x(5:8),x(9:11),x(12:15)]; g=[ones(1,5),2*ones(1,4),3*ones(1,3),4*ones(1,4)]; [p,t,st]=anova1(x,g) [c,m,h,nms] = multcompare(st); [nms num2cell(m)] 双因素方差分析 如果要考虑两个因素 A, B 对指标的影响， A, B 各划分几个水平，对每一个水平组 合作若干次试验，对所得数据进行方差分析，检验两因素是否分别对指标有显著影响， 或者还要进一步检验两因素是否对指标有显著的交互影响。 2.1 数学模型 设 A 取 r 个水平 A1 , A2 ,L, Ar ， B 取 s 个水平 B1 , B2 ,L, Bs ，在水平组合 ( Ai , B j )
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试验）,且各次试验相互独立。
第二节 双因素方差分析
例2（双因素方差分析）为了考察4种不同燃料与3种不同
型号的推进器对火箭射程（单位：海里）的影响，做了12次 试验，得数据如表2所示。
表2 燃料-推进器-射程数据表
燃料1 燃料2 燃料3 燃料4
推进器1 58.2 49.1 60.1 75.8
推进器2 56.2 54.1 70.9 58.2
推进器3 65.3 51.6 39.2 48.7
第二节 双因素方差分析
在Matlab中利用函数 anova2函数进行双因素方差分析。 调用格式：p=anova2(X,reps) 含义：比较样本X中两列或两列以上和两行或两行以上数据的均值。
不同列的数据代表因素A的变化，不同行的数据代表因素B的变化。若 在每个行-列匹配点上有一个以上的观测量，则参数reps指示每个单元 中观测量的个数。 返回：当 reps=1（默认值）时，anova2将两个p值返回到向量p中。 H0 A：因素A的所有样本（X中的所有列样本）取自相同的总体； H0 B：因素B的所有样本（X中的所有行样本）取自相同的总体。 当reps>1时，anova2还返回第三个p值： H0 AB：因素A与因素B没有交互效应。 解释：如果任意一个p值接近于0，则认为相关的零假设不成立。
第一节 单因素方差分析
某个可控制因素A对结果的影响大小可通过如下实验来间 接地反映，在其它所有可控制因素都保持不变的情况下，只 让因素A变化，并观测其结果的变化，这种试验称为“单因 素试验”。
第一节 单因素方差分析
因素A的变化严格控制在几个不同的状态或等级上进行变 化，因素A的每个状态或等级成为因素A的一个水平。
第二节 双因素方差分析
例3（双因素方差分析）设火箭的射程在其它条件基本
相同时与燃料种类及推进器型号有关。现在考虑4种不同的燃
料及3种不同型号的推进器，对于每种搭配个发射了火箭两次，
得数据见表3。问各自变量和自变量的交互效应是否对火箭的
射程有显著影响？
表3 燃料-推进器-射程数据表
推进器1
推进器2
推进器3
中称为交互效应。交互效应在对因素方差分析中，通常是当成一个新
因素来处理。
设因素A 有 r 个不同的水平：A1，A2，…，Ar；因素B 有 s 个
不同的水平：B1，B2，…，Bs；现对因素A、B的每一种不同的水平
组合（Ai，Bj）（i=1,2,…,r；j=1,2,…,s）都安排t(t≥2)次试验（等重复
第一节 单因素方差分析
Matlab程序： Score=[75 62 71 58 73;81 85 68 92 90;73 79 60 75 81]'; P=anova1(Score) 输出结果：方差分析表和箱形图
ANOVA Table
Source
SS df
Columns 604.9333 0.040088
52.53 0.43059
0.73875
Rows
223.8467 2
0.44912
111.9233
0.91743
Error
731.98
6
12 1.9967
Total 1113.4167 11
由于燃料和推进器对应的p值均大于0.05，所以可以接受
零假设H0 A和H0 B，认为燃料和推进器对火箭的射程没有显著影响。
第二节 双因素方差分析
disp1=[58.2 56.2 65.3;49.1 54.1 51.6;60.1 70.9 39.2;75.8 58.2 48.7]';
p=anova2(disp1,1)
输出结果：方差分析表
ANOVA Table
Source
SS
df MS
F
Prob>F
Columns 157.59 3
方法
甲
75
乙
71
丙
73
成绩
62
71
58
73
85
68
92
90
79607581第一节 单因素方差分析
Matlab中可用函数anova1(…)函数进行单因子方 差分析。 调用格式：p=anova1(X) 含义：比较样本 m×n的矩阵X中两列或多列数据 的均值。其中，每一列表示一个具有m个相互独立 测量的独立样本。 返回：它返回X中所有样本取自同一总体（或者取 自均值相等的不同总体）的零假设成立的概率p。 解释：若p值接近0（接近程度有解释这自己设 定），则认为零假设可疑并认为至少有一个样本均 值与其它样本均值存在显著差异。
方差分析
方差分析是分析试验（或观测）数据的一 种统计方法。在工农业生产和科学研究中，经常 要分析各种因素对某些指标值的影响。在方差分 析中，把试验数据的总波动（总变差或总方差） 分解为由所考虑因素引起的波动（各因素的变差） 和随机因素引起的波动（误差的变差），然后通 过分析比较这些变差来推断哪些因素对所考察指 标的影响是显著的，哪些是不显著的。
Error
852.8 12
Total 1457.7333
14
MS F
Prob>F
2
302.4667
4.2561
71.0667
由于p值小于0.05，拒绝零假设，认为3种教学方法存在显著差异。
第二节 双因素方差分析
在两个因素的试验中，不但每一个因素单独对试验结果起作用，
往往两个因素的不同水平组合还会产生一定的合作效应，在方差分析
若因素A设定了s个水平，则分别记为 A1，A2，…，As。 显著性影响问题转化为因素A不同水平下各随机变量总体 的均值是否相等问题，即检验假设
H0 : 1 2 s
是否成立
第一节 单因素方差分析
例1（单因素方差分析）一位教师想要检查3种不同的教 学方法的效果，为此随机地选取水平相当的15位学生。 把他们分为3组，每组5人，每一组用一种方法教学，一 段时间以后，这位教师给15位学生进行统考，成绩见下 表。问这3种教学方法的效果有没有显著差异。
燃料1
58.2
56.2
65.3
52.6
41.2
60.8
燃料2
49.1
54.1
51.6
42.8
50.5
48.4
燃料3
60.1
70.9
39.2
58.3
73.2
40.7
燃料4
75.8
58.2
48.7
71.5
51.0
41.4
第二节 双因素方差分析
disp2=[58.2 52.6 49.1 42.8 60.1 58.3 75.8 71.5;56.2 41.2 54.1 50.5 70.9 73.2 58.2 51.0;65.3 60.8 51.6 48.4 39.2 40.7 48.7 41.4]';