水文学与水文地质学 课件 教学配套课件 杨维 第三章 1基本概念
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总体与样本
◆
总体与样本
尚辅教
(collectivity
学配
and
套课件
sample)
:
总体
有限 无限
容量一定 容量无限
样本
容量
● 水文特征值系列的总体是无限的。 ● 样本是总体的一部分，样本的特征在一定程度上反映
出总体的特征。
6/45
2 概率与频率
2、概率与频率(Pro尚ba辅bi教lit学y a配n套d f课re件quency) (1) 概率:
2300 P(X≥xi) 累积频率曲线
1300
300
累积频率直方图
0 20 40 60 80 100
P（％）
6/45
F(x)与P(x>x)关系式
尚辅教学配套课件
x P(X≥xp)=F(xp)
∫x∞p f(x)dx
xp f(x)
x
xp
F(x)
F(xp)
0
f(x)
概率密度函数
0p
F(x)(％) 100
基本性质： 0≤P(A)≤1
(3-1)
(2) 频率：
(3) 概率与频率关系： lim W ( A ) P ( A ) 0 （3-2）
n
概率 = 频率
6/45
概率分布
尚辅教学配套课件
(4) 随机变量的概率分布：
随机变量与其概率一一对应的关系，称为随机变量 的概率分布规律，简称概率分布。
P( X xi ) Pi
第3章 水文尚统辅 计教 学基配本套原课理件与方法
Chapter 3 Basic Principles and Methods of Hydrological Statistics
§3-1 概述 §3-2 统计参数与抽样误差 §3-3 经验频率曲线与理论频率曲线 §3-4 水文频率计算方法 §3-5 相关分析
某水文站尚 2辅2年教 实学 测配 流套 量课 与件 降水量
Q
X
年份
Q
78.9 82.8 83.7 86.4 87.3 88.7 91.8 97.1 98.4 95.1 97.5
468.1
550.1 550.2
564 575.6 580.6
602 610.2 610.7 612.1
646
1982
99.6
100.0 —
6/45
组内平均频率密度 △p/△x (10-4)
0.80 1.60 2.40 5.65 10.50 14.55 12.10 1.60 0.80
—
题的图
x(mm)
x(mm)
尚辅教学配套课件
2300 1300
300 0
f(x) 频率密度曲线
频率密度直方图
5
10 15
△△PX（×10-4）
累积频率/重现期定义
尚辅教学配套课件
3、累积频率与重现期
(1) 累积频率（Accumulated frequency）：
等量或超量值的累积频数(m)与总观测次数(n)之比。
有：
P( X
xi )
m n
尚辅教学配套课件
◆ 随机变量(Random variables) ：
随机变量 离散型 连续型
相邻两个随机变量之间，不存在中间值
随机变量的一个有限区间内可以取得任何数值
6/45
例：QX数值表
年份
1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981
6/45
例题
【例题3-2】某测站尚 辅有教40学年配的套 实课 测件 枯水位记录，各种 水位出现的频率如表所示，试求确定水位H≥2.7m 的概率。
序号
水位Hi （m）
1
4.0
2
3.5
3
2.7
4
2.0
5
1.9
∑
频数 mi （年）
2 10 16
9 3 40
6/45
频率 W (Hi) （%）
5 25 40 22.5 7.5 100
1983
104
1984
115.2
1985
119.3
1986
121.3
1987
130.2
1988
141.7
1989
146
1990
152
1991
110.4
1பைடு நூலகம்92
79.8
6/45
X 648.8 697.9 735.4 750.9 792.2 829.9 855.8 874.8 943.4 705.7 503.4
6/45
相加定理
概率相加定理：
尚辅教学配套课件
互斥事件 A1，A2，…… An-1，An中，至少有一
个事件出现的概率等于各事件出现的概率之和。
即：
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
（3-5）
√ 互斥事件：不可能同时发生的事件。 √ 独立事件：彼此发生的概率相互无影响。
3）曲线两端趋于 ±∞，且以x轴为渐近 线。
6/45
其分布函数
正态分布函数： 尚 辅 教 学 配 套 课 件
F ( x) 1
x (xx)2
e 2 2 dx
2
P(x x x ) 68.3% P(x 2 x x 2) 95.4% P(x 3 x x 3) 99.7%
概率分布函数
P ( X xi ) F ( xi )
f ( x)dx
xi
6/45
（3-4）
正态分布例子
水文统计中常用的概率分尚 布辅 教—学 正配 态套 分课 布件 概率密度函数为：
f (x)
1
(x x )2
e 2 2
2
正态分布密度曲线特征：
( x )
特点：
1）单峰；
2）以均值为对称轴；
√ 对于连续性随机变量，实际工程更关注：
P ( X x i ) ? （3-3）
6/45
水专业图-工程例
尚辅教学配套课件 6/45
例题
【例题3-1】已知某站62尚年辅实教测学年配降套水课量件资料（下表）。
年雨量 / mm 组距 △x=200
2099～1900 1899～1700 1699～1500 1499～1300 1299～1100 1099～900
6/45
尚辅教学配套课件
§3-1 概 述 1 有关概念 2 概率与频率 3 累积频率与重现期 4 设计频率标准 5 收集资料要求
6/45
1、有关概念
尚辅教学配套课件
◆ 事件 (Events) ：
必然事件 不可能事件 随机事件
◆ 水文统计（Hydrologic statistics）
6/45
随机变量
899～700 699～500 499～300
总计
频数 / 年
组内
mi 1 2 3 7 13 18 15 2 1
累积 ∑mi
1 3 6 13 26 44 59 61 62
62 —
频率 / %
组内 累积 △p P
1.6 3.2 4.8 11.3 21.0 29.1 24.2 3.2 1.6
1.6 4.8 9.6 20.9 41.9 71.0 95.2 98.4 100.0
◆
总体与样本
尚辅教
(collectivity
学配
and
套课件
sample)
:
总体
有限 无限
容量一定 容量无限
样本
容量
● 水文特征值系列的总体是无限的。 ● 样本是总体的一部分，样本的特征在一定程度上反映
出总体的特征。
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2 概率与频率
2、概率与频率(Pro尚ba辅bi教lit学y a配n套d f课re件quency) (1) 概率:
2300 P(X≥xi) 累积频率曲线
1300
300
累积频率直方图
0 20 40 60 80 100
P（％）
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F(x)与P(x>x)关系式
尚辅教学配套课件
x P(X≥xp)=F(xp)
∫x∞p f(x)dx
xp f(x)
x
xp
F(x)
F(xp)
0
f(x)
概率密度函数
0p
F(x)(％) 100
基本性质： 0≤P(A)≤1
(3-1)
(2) 频率：
(3) 概率与频率关系： lim W ( A ) P ( A ) 0 （3-2）
n
概率 = 频率
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概率分布
尚辅教学配套课件
(4) 随机变量的概率分布：
随机变量与其概率一一对应的关系，称为随机变量 的概率分布规律，简称概率分布。
P( X xi ) Pi
第3章 水文尚统辅 计教 学基配本套原课理件与方法
Chapter 3 Basic Principles and Methods of Hydrological Statistics
§3-1 概述 §3-2 统计参数与抽样误差 §3-3 经验频率曲线与理论频率曲线 §3-4 水文频率计算方法 §3-5 相关分析
某水文站尚 2辅2年教 实学 测配 流套 量课 与件 降水量
Q
X
年份
Q
78.9 82.8 83.7 86.4 87.3 88.7 91.8 97.1 98.4 95.1 97.5
468.1
550.1 550.2
564 575.6 580.6
602 610.2 610.7 612.1
646
1982
99.6
100.0 —
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组内平均频率密度 △p/△x (10-4)
0.80 1.60 2.40 5.65 10.50 14.55 12.10 1.60 0.80
—
题的图
x(mm)
x(mm)
尚辅教学配套课件
2300 1300
300 0
f(x) 频率密度曲线
频率密度直方图
5
10 15
△△PX（×10-4）
累积频率/重现期定义
尚辅教学配套课件
3、累积频率与重现期
(1) 累积频率（Accumulated frequency）：
等量或超量值的累积频数(m)与总观测次数(n)之比。
有：
P( X
xi )
m n
尚辅教学配套课件
◆ 随机变量(Random variables) ：
随机变量 离散型 连续型
相邻两个随机变量之间，不存在中间值
随机变量的一个有限区间内可以取得任何数值
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例：QX数值表
年份
1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981
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例题
【例题3-2】某测站尚 辅有教40学年配的套 实课 测件 枯水位记录，各种 水位出现的频率如表所示，试求确定水位H≥2.7m 的概率。
序号
水位Hi （m）
1
4.0
2
3.5
3
2.7
4
2.0
5
1.9
∑
频数 mi （年）
2 10 16
9 3 40
6/45
频率 W (Hi) （%）
5 25 40 22.5 7.5 100
1983
104
1984
115.2
1985
119.3
1986
121.3
1987
130.2
1988
141.7
1989
146
1990
152
1991
110.4
1பைடு நூலகம்92
79.8
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X 648.8 697.9 735.4 750.9 792.2 829.9 855.8 874.8 943.4 705.7 503.4
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相加定理
概率相加定理：
尚辅教学配套课件
互斥事件 A1，A2，…… An-1，An中，至少有一
个事件出现的概率等于各事件出现的概率之和。
即：
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
（3-5）
√ 互斥事件：不可能同时发生的事件。 √ 独立事件：彼此发生的概率相互无影响。
3）曲线两端趋于 ±∞，且以x轴为渐近 线。
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其分布函数
正态分布函数： 尚 辅 教 学 配 套 课 件
F ( x) 1
x (xx)2
e 2 2 dx
2
P(x x x ) 68.3% P(x 2 x x 2) 95.4% P(x 3 x x 3) 99.7%
概率分布函数
P ( X xi ) F ( xi )
f ( x)dx
xi
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（3-4）
正态分布例子
水文统计中常用的概率分尚 布辅 教—学 正配 态套 分课 布件 概率密度函数为：
f (x)
1
(x x )2
e 2 2
2
正态分布密度曲线特征：
( x )
特点：
1）单峰；
2）以均值为对称轴；
√ 对于连续性随机变量，实际工程更关注：
P ( X x i ) ? （3-3）
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水专业图-工程例
尚辅教学配套课件 6/45
例题
【例题3-1】已知某站62尚年辅实教测学年配降套水课量件资料（下表）。
年雨量 / mm 组距 △x=200
2099～1900 1899～1700 1699～1500 1499～1300 1299～1100 1099～900
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尚辅教学配套课件
§3-1 概 述 1 有关概念 2 概率与频率 3 累积频率与重现期 4 设计频率标准 5 收集资料要求
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1、有关概念
尚辅教学配套课件
◆ 事件 (Events) ：
必然事件 不可能事件 随机事件
◆ 水文统计（Hydrologic statistics）
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随机变量
899～700 699～500 499～300
总计
频数 / 年
组内
mi 1 2 3 7 13 18 15 2 1
累积 ∑mi
1 3 6 13 26 44 59 61 62
62 —
频率 / %
组内 累积 △p P
1.6 3.2 4.8 11.3 21.0 29.1 24.2 3.2 1.6
1.6 4.8 9.6 20.9 41.9 71.0 95.2 98.4 100.0