《事件的相互独立性》PPT课件

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(2)他们都失败即事件 A B C 同时发生． 故 P( A B C )＝P( A )P( B )P( C ) ＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝(1－15)×(1－14)×(1－13) ＝45×34×23＝25. (3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关 系可得所求事件的概率 P＝1－P( A B C )＝1－25＝35.
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(2)有三个小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形 Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)， (男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女， 女)}． 由等可能性知这 8 个样本点的概率均为18，这时 A 中含有 6 个样本点，B 中含有 4 个 样本点，AB 中含有 3 个样本点． 于是 P(A)＝68＝34，P(B)＝48＝12，P(AB)＝38， 显然有 P(AB)＝38＝P(A)P(B)成立． 从而事件 A 与事件 B 相互独立．
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课堂 • 互动探究
课后 • 素养培优
课时 • 跟踪训练
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[教材提炼] 知识点 相互独立事件 预习教材，思考问题 我们知道，积事件 AB 就是事件 A 与事件 B 同时发生．因此，积事件 AB 发生的概 率一定与事件 A，B 发生的概率有关．那么，这种关系会是怎样的呢？
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P(A·B )＋P( A ·B)＝P(A)·P( B )＋P( A )·P(B) ＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26. ∴2 人中恰有 1 人射中目标的概率是 0.26. (3)法一：2 人至少有 1 人射中包括“2 人都中”和“2 人有 1 人不中”2 种情况，其 概率为 P＝P(A·B)＋[P(A·B )＋P( A ·B)]＝0.72＋0.26＝0.98. 法二：“2 人至少有一个击中”与“2 人都未击中”为对立事件，2 个都未击中目标 的概率是 P( A ·B )＝P( A )·P( B )＝(1－0.8)(1－0.9)＝0.02， ∴“两人至少有 1 人击中目标”的概率为 P＝1－P( A ·B )＝1－0.02＝0.98.
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[解析] 令事件 A、B、C 分别表示 A、B、C 三个独立的研究机构在一定时期内成功 研制出该疫苗，依题意可知，事件 A、B、C 相互独立，且 P(A)＝15，P(B)＝14，P(C) ＝13. (1)他们都研制出疫苗，即事件 ABC 同时发生，故 P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝15×14×13＝610.
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5．甲、乙两人参加歌唱比赛，晋级概率分别为45和34，且两人是否晋级相互独立，求 两人中恰有一人晋级的概率．
解析： 甲、乙两人参加歌唱比赛，晋级概率分别为45和34，且两人是否晋级相互独立， 故有甲晋级乙不能晋级的概率分别为45，14，而甲不能晋级乙晋级的概率分别为15，34， 则两人中恰有一人晋级的概率为 45×14＋15×34＝270.
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10．2 事件的相互独立性
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内容标准
学科素养
1.结合有限样本空间及古典概型，了解事件相互独立的含义．
数学抽象
2.会利用相互独立事件的概率公式计算随机事件的概率.
数学运算
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课前 • 自主探究
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[自主检测]
1．若事件 A 与 B 相互独立，则下列不相互独立的事件为( )
A．A 与 B
B. A 与 B
C．B 与 B
D．B 与 A
解析：由相互独立性质知 A 与 B ， A 与 B ，B 与 A 也相互独立．
答案：C
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探究一 相互独立事件的判断 [例 1] 假定一个家庭中有两个或三个小孩，生男孩和生女孩是等可能的，令 A＝“一 个家庭中既有男孩又有女孩”，B＝“一个家庭中最多有一个女孩”．对下述两种情 形，判断 A 与 B 的独立性： (1)家庭中有两个小孩． (2)家庭中有三个小孩．
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本例第(3)问，将“至少”改为“至多”，又该如何求解？
解析：法一：“至多有 1 人击中目标”包括“有 1 人击中”和“2 人都未击中”，故 所求概率为： P＝P( A ·B )＋P(A·B )＋P( A ·B) ＝P( A )·P( B )＋P(A)·P( B )＋P( A )·P(B) ＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28. 法二：“至多有 1 人击中目标”的对立事件是“2 人都击中目标”，故所求概率为 P ＝1－P(A·B)＝1－P(A)·P(B)＝1－0.72＝0.28.
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1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积． 2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件——各个 事件是相互独立的，而且它们同时发生．
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探究二 相互独立事件的概率的求法 [例 2] 面对非洲埃博拉病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有 A、B、C 三 个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是15、14、13. 求：(1)他们都研制出疫苗的概率； (2)他们都失败的概率； (3)他们能够研制出疫苗的概率．
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(2)恰好有一颗骰子出现 1 点或 6 点，即 A 发生 B 不发生 C 不发生或 A 不发生 B 发 生 C 不发生或 A 不发生 B 不发生 C 发生，用符号表示为事件 A B C ＋ A B C ＋ A B C，所求概率为： P(A B C ＋ A B C ＋ A B C)＝P(A B C )＋P( A B C )＋P( A B C) ＝P(A)P( B )P( C )＋P( A )P(B)P( C )＋P( A )P( B )P(C) ＝13×23×23＋23×13×23＋23×23×13＝1227＝49.
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两个事件是否相互独立的判断 (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)定义法：如果事件 A，B 同时发生的概率等于事件 A 发生的概率与事件 B 发生的 概率的积，则事件 A，B 为相互独立事件．
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4．已知 P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件 A，B 相互独立时，P(AB)＝______，P(A∪ B)＝________.
解析：因为 A，B 相互独立，所以 P(AB)＝0.3×0.5＝0.15，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－ P(AB) ＝0.3＋0.5－0.15＝0.65. 答案：0.15 0.65
[提示] 积事件 AB 的概率 P(AB)恰好等于 P(A)与 P(B)的乘积．
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知识梳理 (1)对任意两个事件 A 与 B，如果 P(AB)＝ P(A)P(B) 成立，则称事件 A 与 事件 B 相互独立，简称为独立． (2)如果事件 A 与事件 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都 相互独立 ． (3)事件 A 与事件 B 相互独立，则 P(AB)＝ P(A)P(B) ．
1．一袋中装有 5 只白球，3 只黄球，在有放回地摸球中，设 A1＝“第一次摸得白球”，
A2＝“第二次摸得白球”，则事件 A1 与 A2 是 ( )
A．相互独立事件
B．不相互独立事件
C．互斥事件
D．对立事件
解析：由题意知 A2 ＝“第二次摸到的不是白球”，即 A2 ＝“第二次摸到的是黄球”， 由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件 A1 与 A2 是相 互独立事件． 答案：A
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探究三 相互独立事件的综合应用 [例 3] 甲、乙二射击运动员分别对一目标射击 1 次，甲射中的概率为 0.8，乙射中 的概率为 0.9，求： (1)2 人都射中目标的概率； (2)2 人中恰有 1 人射中目标的概率； (3)2 人至少有 1 人射中目标的概率．
2．若事件 E 与 F 相互独立，且 P(E)＝P(F)＝14，则 P(EF)的值等于(
)
A．0
1 B.16
1
1
C.4
D.2
解析：因为 E 与 F 相互独立，P(E)＝P(F)＝14， 所以 P(EF)＝P(E)P(F)＝116. 答案：B
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3．甲、乙两人投球命中率分别为12、23，甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率
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2．掷三颗骰子，试求： (1)没有一颗骰子出现 1 点或 6 点的概率； (2)恰好有一颗骰子出现 1 点或 6 点的概率． 解析：用 A、B、C 分别表示事件“第 1、2、3 颗骰子出现 1 点或 6 点”，由已知 A、 B、C 是相互独立事件，且 P(A)＝P(B)＝P(C)＝13. (1)没有 1 颗骰子出现 1 点或 6 点，也就是事件 A、B、C 全不发生，即事件 A B C ，所以所求概率为： P( A B C )＝P( A )P( B )P( C )＝23×23×23＝287.
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与相互独立事件有关的概率问题求解策略 (1)明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都 发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义． (2)一般地，已知两个事件 A，B，它们的概率分别为 P(A)，P(B)，那么： ①A，B 中至少有一个发生为事件 A＋B. ②A，B 都发生为事件 AB. ③A，B 都不发生为事件 A B . ④A，B 恰有一个发生为事件 A B ＋ A B. ⑤A，B 中至多有一个发生为事件 A B ＋ A B＋ A B .
为( )
1
2
A.2
B.5
C.35
D.56
解析：事件“甲投球一次命中”记为 A，“乙投球一次命中”记为 B，“甲、乙两人
各投一次恰好命中一次”记为事件 C，则 C＝A B ∪ A B 且 A B 与 A B 互斥，P(C)＝
P(A B ∪ A B)＝P(A)P( B )＋P( A )P(B)＝12×13＋12×23＝36＝12.故选 A. 答案：A
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[解析] 记“甲射击 1 次，击中目标”为事件 A，“乙射击 1 次，击中目标”为事件 B，则 A 与 B， A 与 B，A 与 B ， A 与 B 为相互独立事件， (1)2 人都射中的概率为： P(A·B)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72， ∴2 人都射中目标的概率是 0.72. (2)“2 人各射击 1 次，恰有 1 人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击 中(事件 A·B 发生)，另一种是甲未击中、乙击中(事件 A ·B 发生)．根据题意，事件 A·B 与 A ·B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求 的概率为：
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[解析] (1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形 Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女， 男)，(女，女)}，它有 4 个样本点，由等可能性知概率都为14. 这时 A＝{(男，女)，(女，男)}， B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB＝{(男，女)，(女，男)}， 于是 P(A)＝12，P(B)＝34，P(AB)＝12. 此时 P(AB)≠P(A)P(B)， 所以事件 A 与事件 B 不独立．