2020年甘肃省高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2020年甘肃省高考数学一诊试卷(理科) (含答案解析)
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2020年甘肃省高考数学一诊试卷(理科)一、单项选择题(本大题共12小题,共60.0分)1. 已知A ={x|x 2−2x ≤0},B ={x|y =lgx},则A ∪B =( )A. RB. (0,+∞)C. [0,+∞)D. [1,+∞)2. 若复数z =4−i ,则z−z=( )A. −1517+817iB. 1+817iC. 1517+817iD. 1517−817i3. 已知平面向量a ⃗ =(k,3),b ⃗ =(1,4),若a ⃗ ⊥b⃗ ,则实数k 为( ) A. −12 B. 12C. 43D. 344. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ,过点F 作斜率为k 的直线交抛物线于A ,B 两点,若|AB|=3p ,则k =( )A. √2B. −√2C. ±√2D. ±25. 函数f(x)=x4x 2−1的部分图象大致是( )A.B.C.D.6. 已知圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C :x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点,则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A. (1,√3)B. (1,2)C. (√3,+∞)D. (2,+∞)7. 具有线性相关关系的两变量x ,y 满足的一组数据如表,若y 与x 的回归直线方程为y ̂=3x −32,则m 的值为( )x0123y−11m7A. 4B. 92C. 5D. 68.若m,n是两条不同的直线,m⊥平面α,则“m⊥n”是“n//α”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知函数f(x)是定义在上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=log 2(1−x).若f(a2−1)<1,则实数a的取值范围是()A. (−√2,0)∪(0,√2)B. (−√2,√2)C. (−1,0)∪(0,1)D. (−1,1)10.将函数y=sin(2x+π3)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,再向左平移π6个单位,所得函数的一个对称中心可以是()A. (0,0)B. (π6,0) C. (π3,0) D. (π2,0)11.在(1+x)6(1−2x)展开式中,含x5的项的系数是A. 36B. 24C. −36D. −2412.已知函数f(x)=a(2a−1)e2x−(3a−1)(x+2)e x+(x+2)2有4个不同的零点,则实数a的取值范围为( )A. (12,e) B. (12,e+12)C. (12,1)∪(1,e) D. (12,1)∪(1,e+12)二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.若实数x,y满足约束条件{x+2y≥0x−y≤0x−2y+2≥0,则z=3x−y的最小值等于______.14.某班星期二的课表有6节课,其中上午4节,下午2节,要安排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理各1节,要求上午第一节课不排体育,数学必须排在上午,则共有___________种安排方法(用数字作答).15.在ΔABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,若ccosB+bcosC=2acosA,M为BC的中点,且AM=1,则b+c的最大值是________.16.类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法,可以求得棱长为a的正四面体的内切球半径为________.三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)17.若一个数列的奇数项与偶数项分别都成等比数列,则称该数列为“亚等比数列”,已知数列{a n}:a n=2 [n2],n∈N∗其中[x]为x的整数部分,如[5.9]=5,[−1.3]=−2(1)求证:{a n}为“亚等比数列”,并写出通项公式;(2)求{a n}的前2014项和S2014.18.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,E,F分别为A1B1,CD的中点.(1)求直线EC与AF所成角的余弦值.(2)求二面角E−AF−B的余弦值.19.在合作学习小组的一次活动中,甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担A,B,C,D四项不同的任务,每个同学只能承担一项任务.(1)若每项任务至少安排一位同学承担,求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率;(2)设这五位同学中承担任务A的人数为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.20.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为35.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被椭圆C所截线段的长及中点坐标21.函数f(x)=−lnx+12ax2+(a−1)x−2(a∈R).(1)求f(x)的单调区间;(2)若a>0,求证:f(x)≥−32a.22.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为{x=1+tcosα,y=tsinα(t为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5.(1)求证:直线l与圆C必有两个公共点;(2)已知点M的直角坐标为(1,0),直线l与圆C交于A,B两点,若||MA|−|MB||=1,求cosα的值.23.已知函数f(x)=|x+1|−|4−2x|.(1)求不等式f(x)≥13(x−1)的解集;(2)若函数f(x)的最大值为m,且2a+b=m(a>0,b>0),求2a +1b的最小值.【答案与解析】1.答案:C解析:解:A ={x|x 2−2x ≤0}={x|0≤x ≤2}, B ={x|y =lgx}={x|x >0}, 则A ∪B ={x|x ≥0}=[0,+∞). 故选:C .化简集合A 、B ,根据并集的定义写出A ∪B . 本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题.2.答案:C解析:解:∵z =4−i ,∴z −z =4+i4−i =(4+i)2(4−i)(4+i)=1517+817i . 故选:C .由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.3.答案:A解析:本题主要考查两个向量的数量积公式,两个向量垂直的性质,属于基础题. 由条件利用两个向量的数量积公式,两个向量垂直的性质,求得k 的值. 解:∵平面向量a ⃗ =(k,3),b ⃗ =(1,4),a ⃗ ⊥b ⃗ , ∴a ⃗ ·b⃗ =k +12=0, 解得k =−12, 故选A .4.答案:C解析:本题考查了抛物线的定义,性质,直线与抛物线的位置关系,属于中档题.依题意,设过点F 的直线方程为y =k(x −p2),与抛物线方程联立,利用韦达定理可得x 1+x 2=k 2p+2p k 2,根据|AB|=x 1+x 2+p ,即可求得结果. 解:设过点F 的直线方程为y =k(x −p2),联立方程{y =k (x −p2)y 2=2px ,消y 得k 2x 2−(k 2p +2p )x +k 2p 24=0,Δ>0恒成立,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1+x 2=k 2p+2p k 2,因为|AB|=x 1+x 2+p , 所以k 2p+2p k 2+p =3p ,解得k 2=2⇒k =±√2.故选C .5.答案:A解析:本题主要考查函数图象的识别,利用函数奇偶性和特殊值进行排除是解决本题的关键.属于基础题. 判断函数的奇偶性,判断函数的对称性,利用特殊值法进行排除判断即可. 解:由4x 2−1≠0,得x 2≠14,得x ≠±12,所以函数f(x)的定义域为{x |x ≠±12},关于原点对称,函数f(−x)=−x4(−x)2−1=−x4x 2−1=−f(x),则函数为奇函数,可排除C ,D , 当x =1时,f(1)=14−1=13>0,排除B . 故选:A .6.答案:D解析:本题考查直线与圆的位置关系,考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,属于中档题. 先求出切线的斜率,再利用圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C :x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点,可得ba >√3,即可求出双曲线C 的离心率的取值范围. 解:由题意,圆心到直线的距离d =√k 2+1=√32, ∴k =±√3,∵圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点,∴ba >√3, ∴1+b 2a 2>4, 即c 2a 2>4,∴e >2, 故选:D .7.答案:C解析:本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题,是基础题.由表中数据计算x −、y −,把样本中心点代入线性回归方程中,求得m 的值.解:由表中数据,计算x −=14×(0+1+2+3)=1.5, y −=14×(−1+1+m +7)=m+74,把样本中心点(1.5,m+74)代入线性回归方程y ̂=3x −32中,得m+74=3×1.5−32,解得m =5. 故选C .8.答案:B解析:解:∵m ,n 是两条不同的直线,m ⊥平面α, ∴“m ⊥n ”推不出“n//α”, “n//α”⇒“m ⊥n ”,∴“m⊥n”是“n//α”的必要不充分条件.故选:B.“m⊥n”推不出“n//α”,“n//α”⇒“m⊥n”.本题考查命真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用.9.答案:A解析:本题考查函数的奇偶性、函数的单调性,一元二次不等式的解法,属于中档题.当x≤0时,f(x)=log2(1−x)为减函数,结合偶函数f(x)满足f(−1)=1,可得答案.解:当x≤0时,f(x)=log2(1−x)为减函数.令f(x)=1,即log2(1−x)=1,解得x=−1.又函数f(x)是定义在上的偶函数,若f(a2−1)<1,则a2−1∈(−1,1),解得a∈(−√2,0)∪(0,√2).故选A.10.答案:D解析:解:将函数y=sin(2x+π3)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,可得y=sin(x+π3)的图象;再向左平移π6个单位,可得y=sin(x+π6+π3)=cosx的图象,故它的一个对称中心可以是(π2,0),故选:D.利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得平移后函数的解析式,再利用余弦函数的图象的对称性,得出结论.本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,余弦函数的图象的对称性,属于基础题.11.答案:D解析:本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题. 把(1+x)6按照二项式定理展开,可得(1+x)6(1−2x)展开式中,含x 5的项的系数.解:∵(1+x)6展开式中,x 4系数为C 64,x 5系数为C 65,可得(1+x)6(1−2x)展开式中,含x 5的项的系数为1×C 65+(−2)×C 64故展开式中含x 5的系数为6−30=−24, 故选D .12.答案:D解析:本题考查了函数零点与方程根的关系,利用导数求函数的最值,属于中档题. 由题意可得a =x+2e x, 2a −1=x+2e x,令g(x)=x+2e x,求导,利用导数可得g(x)max =g(−1)=e ,可得,解不等式即可. 解:由得即a =x+2e x, 2a −1=x+2e x,令g(x)=x+2e x,g′(x)=−(x+1)e x,所以g(x)在(−∞, −1)上单调递增,在(−1, +∞)上单调递减,g(−2)=0, 所以g(x)max =g(−1)=e ,当x >−2, g(x)>0.x →−∞, g(x)→−∞,x →+∞, g(x)→0+, 要使方程有4个不同的零点,则{0<a <e,0<2a −1<e, 2a −1≠a ⇒12<a <1+e2, a ≠1, 即实数a 的取值范围为(12,1)∪(1,e+12).故选D .13.答案:−72解析:作出不等式组对应的平面区域,通过目标函数的几何意义,利用数形结合即可的得到结论.本题主要考查线性规划的应用,利用z 的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键. 解:依题意,可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域,目标函数化为:y =3x −z , 则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值.通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大.因为A :{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12),所以z =3x −y 的最小值z min =3⋅(−1)−12=−72. 故答案为:−72.14.答案:408解析:本题考查排列组合的综合应用,属基础题目. 对数学是否排在上午第一节进行分类即可.解:上午第一节排数学,有A 55=5×4×3×2×1=120种排法, 上午第一节不排数学,也不排体育,数学又必须在上午,所以有A 41×A 31×A 44=4×3×4×3×2×1=288.所以共有120+288=408种方法. 故答案为408种.15.答案:4√33解析:本题考查正弦定理,余弦定理,基本不等式,属于综合题,先由正弦定理和ccosB +bcosC =2acosA ,求得,再由余弦定理a 2=b 2+c 2−bc ,b 2+c 2=2+a 22消去a 得(b +c)2=4+bc ,再利用基本不等式可得.解:∵ccosB +bcosC =2acosA ,,,解得,在ΔABC 中,由余弦定理a 2=b 2+c 2−bc ,①在ΔAMC 中,, 在ΔAMB 中,,∴b 2+c 2=2+a 22,②由①②消去a 得(b +c)2=4+bc , ∴(b +c)2=4+bc ≤4+(b+c)24,当且仅当b =c 取“=”,∴b +c ≤4√33,即b +c 的最大值是4√33. 故答案为4√33. 16.答案:√612a解析:本题考查了类比推理,平面图形类比空间图形,二维类比三维得到类比平面几何的结论,证明时连接球心与正四面体的四个顶点,把正四面体分成四个高为r 的三棱锥,正四面体的体积,就是四个三棱锥的体积的和,求解即可.解:设正四面体的内切球半径为r ,各面面积为S ,正四面体的高为h , 所以13×ℎ×S =4×13×r ×S ,.故答案为√612a .17.答案:解:(1)若n 为偶数,不妨设n =2k ,k ∈Z ,则[n2]=[k]=k =n2,此时a n =2 [n2]=2n2. 此时a n+2a n =2n+222n 2=2为常数,此时数列{a n }是公比为2,首项a 2=2的等比数列.若n 为奇数,不妨设n =2k −1,则[n 2]=[2k−12]=k −1=n+12−1=n−12,则a n =2[n2]=2n−12.此时a n+2a n=2n+2−122n−12=2为常数,此时数列{a n }是公比为2,首项a 1=1的等比数列.即{a n }为“亚等比数列,且a n ={2n−12,n =2k −1,k ∈Z2n 2,n =2k,k ∈Z.(2)∵a n ={2n−12,n =2k −1,k ∈Z2n 2,n =2k,k ∈Z,奇数项是公比为2,首项a 1=1的等比数列,偶数项是公比为2,首项a 2=2的等比数列, ∴{a n }的前2014项和S 2014=S 奇+S 偶=1×(1−21007)1−2+2×(1−21007)1−2=3⋅21007−3.解析:(1)根据条件求数列的通项公式,利用{a n }为“亚等比数列的条件分别证明奇数项和偶数项是等比数列即可得,(2)利用分组求和和将数列分为奇数项和偶数项,然后利用等比数列的求和公式即可求{a n }的前2014项和S 2014.本题主要考查等比数列的通项公式以及数列求和,根据定义求出数列的通项公式是解决本题的关键.18.答案:解:(1)如图建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),F(0,1,0),C(0,2,0),E(2,1,2), ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,2). ∴cos <AF,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CE⃗⃗⃗⃗⃗ >=22222=−√53, 故直线EC 与AF 所成角的余弦值为√53.(2)平面ABCD 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1). 设平面AEF 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z),∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2),∴{−2x +y =0y +2z =0, 令x =1,则y =2,z =−1⇒n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−1), ∴cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+4+1=−√66. 由图知二面角E −AF −B 为锐二面角,所以其余弦值为√66.解析:本题考查利用空间向量求异面直线夹角及二面角的余弦值,属于中档题.(1)通过建立空间直角坐标系,得到AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标,利用它们的夹角公式即可得到异面直线EC 与AF 所成角的余弦值;(2)利用线面垂直的性质及空间向量求出平面ABCD 与平面AEF 的一个法向量,利用法向量的数量积公式即可得到二面角的余弦值.19.答案:解:(1)设甲、乙两人同时承担同一项任务为事件M ,则P(M)=A 44C 52A 44=110,所以甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是P(M)=1−P(M)=910, 答:甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是910; (2)ξ的可能取值为ξ=0,1,2,3,4,5, P(ξ=0)=3545=(34)5, P(ξ=1)=C 51⋅3445=5⋅3445, P(ξ=2)=C 52⋅3345=10⋅3345, P(ξ=3)=C 53⋅3245=10⋅3245,P(ξ=4)=C 54⋅3145=1545,P(ξ=5)=C 55⋅3045=145,ξ的分布列为:所以E (ξ)=∑i ⋅P i 5i=0=54.解析:本题考查离散型随机变量的期望的求解及古典概型.(1)利用古典概型求出甲、乙两人同时承担同一项任务的概型,然后利用对立事件的概率公式求解即可;(2)分析ξ的取值,求出各自的概率,得出分布列,再求期望.20.答案:解:(1)由题意得:b =4,c a =35,又因为a 2=b 2+c 2,解得a =5,椭圆C 的方程为x 225+y 216=1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y =45(x −3), 设直线被椭圆C 所截线段的端点为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2), 中点为M(x 1+x 22,y 1+y 22),y =45(x −3)与x 225+y 216=1联立消元得:x 2−3x −8=0,△=41>0,x 1+x 2=3,x 1x 2=−8,x 1+x 22=32,y 1+y 22=45(32−3)=−65,所以,直线被椭圆C 所截线段中点坐标为(32,−65); |AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√(1+1625)(x 1−x 2)2=√415√(x 1+x 2)2−4x 1x 2,|AB|=√415√9+32=415,直线被椭圆C 所截线段长为415.解析:本题考查椭圆的简单性质的应用,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查转化思想以及计算能力.(1)利用椭圆的离心率以及椭圆经过的点,转化求解椭圆方程即可.(2)求出直线方程,利用椭圆方程联立通过中点坐标,弦长公式转化求解即可.21.答案:解:(1)f′(x)=−1x +ax +(a −1)=ax 2+(a−1)x−1x=(ax−1)(x+1)x(x >0).①当a ≤0时,f ′(x)<0,则f(x)在(0,+∞)上单调递减;②当a >0时,由f ′(x)>0解得x >1a ,由f ′(x)<0解得0<x <1a .即f(x)在(0 , 1a )上单调递减;f(x)在(1a ,+∞)上单调递增;综上,a ≤0时,f(x)的单调递减区间是(0,+∞),没有单调递增区间; a >0时,f(x)的单调递减区间是(0 , 1a ),f(x)的单调递增区间是(1a ,+∞). (2)由(1)知f(x)在(0 , 1a )上单调递减;f(x)在(1a ,+∞)上单调递增, 则f(x)min =f(1a )=lna −12a −1.要证f(x)≥−32a ,即证lna −12a −1≥−32a ,即lna +1a −1≥0, 构造函数μ(a)=lna +1a −1,则μ′(a)=1a −1a 2=a−1a 2,由μ′(a)>0解得a >1,由μ′(a)<0解得0<a <1, 即μ(a)在(0,1)上单调递减;μ(a)在(1,+∞)上单调递增; ∴μ(a)min =μ(1)=ln1+11−1=0, 即lna +1a −1≥0成立. 从而f(x)≥−32a 成立.解析:本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,考查不等式的证明,是一道中档题.(1)求出函数的导数,通过讨论a 的范围求出函数的单调区间即可;(2)根据函数的单调性求出f(x)的最小值,问题转化为lna +1a −1≥0,构造函数μ(a)=lna +1a −1,根据函数的单调性证明即可.22.答案:解:(1)圆C 的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5.由ρ2=x 2+y 2,ρcosθ=x ,得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x −5=0. 法一:将直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα(t 为参数).代入x 2+y 2−4x −5=0, 得t 2−2tcosα−8=0,(∗)∴Δ=4cos 2α+32>0, ∴方程(∗)有两个不等的实数解. ∴直线l 与圆C 必有两个公共点.法二:直线l 过定点(1,0),(1,0)在圆C 内, ∴直线l 与圆C 必有两个公共点.(2)记A,B两点对应的参数分别为t1,t2,由(1)可知t1+t2=2cosα,t1t2=−8<0,∴||MA|−|MB||=|t1+t2|=2|cosα|=1,∴cosα=±12.解析:(1)直接利用转换关系的应用,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果.本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,一元二次方程根和系数关系式的应用,三角函数关系式的恒等变换,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.23.答案:解:(1)f(x)=|x+1|−|4−2x|={x−5,x<−13x−3,−1≤x≤2−x+5,x>2,因为f(x)≥13(x−1),所以{x<−1x−5≥13(x−1)或{−1≤x≤23x−3≥13(x−1)或{x>2−x+5≥13(x−1),解得1≤x≤2或2<x≤4.故不等式f(x)≥13(x−1)的解集为[1,4].(2)由(1)可知f(x)的最大值m=f(2)=3.因为2a+b=3(a>0,b>0),所以2a +1b=13(2a+b)(2a+1b)=13(2ab+2ba+5)≥13×(2×2+5)=3,当且仅当a=b=1时,等号成立,故2a +1b的最小值是3.解析:(1)将函数f(x)化为分段函数的形式,再分类讨论去掉绝对值,解不等式组后取并集即可得到解集;(2)由(1)知,2a+b=3,再利用基本不等式即可求得所求式子的最小值.本题考查绝对值不等式的解法以及利用基本不等式求最值,考查计算能力,属于基础题.。
【精校】2020年甘肃省张掖市高考一模数学理
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【精校】2020年⽢肃省张掖市⾼考⼀模数学理2020年⽢肃省张掖市⾼考⼀模数学理⼀、选择题:本⼤题共12个⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合题⽬要求的.1.若集合M={x|4<x<8},N={x|x2-6x<0},则M∩N=( )A.{x|0<x<4}B.{x|6<x<8}C.{x|4<x<6}D.{x|4<x<8}解析:分别求出集合M,N,由此能法出M∩N.∵集合M={x|4<x<8},N={x|x2-6x<0}={x|0<x<6},∴M∩N={x|4<x<6}.答案:C2.若(2-i)2=a+bi3(a,b∈R),则a+b=( )A.7B.-7C.1D.-1解析:⾃⼰由复数代数形式的乘除运算化简,再由复数相等的条件求解即可.∵(2-i)2=3-4i=a+bi3=a-bi,∴a=3,b=4.∴a+b=7.答案:A3.如表是我国某城市在2020年1⽉份⾄10⽉份各⽉最低温与最⾼温(°C)的数据⼀览表.已知该城市的各⽉最低温与最⾼温具有相关关系,根据该⼀览表,则下列结论错误的是( )A.最低温与最⾼温为正相关B.每⽉最⾼温与最低温的平均值在前8个⽉逐⽉增加C.⽉温差(最⾼温减最低温)的最⼤值出现在1⽉D.1⽉⾄4⽉的⽉温差(最⾼温减最低温)相对于7⽉⾄10⽉,波动性更⼤解析:根据题意,依次分析选项:对于A,知该城市的各⽉最低温与最⾼温具有相关关系,由数据分析可得最低温与最⾼温为正相关,则A正确;对于B,由表中数据,每⽉最⾼温与最低温的平均值依次为:-3.5,3,5,4.5,12,20.5,对于D ,有C 的结论,分析可得1⽉⾄4⽉的⽉温差相对于7⽉⾄10⽉,波动性更⼤,D 正确. 答案:B4.已知tan(2π-θ)=4cos(2π-θ),|θ|<2π,则tan2θ=( )A.C.8-D.8解析:由已知利⽤诱导公式,同⾓三⾓函数基本关系式可求sin θ,进⽽可求cos θ,tan θ,根据⼆倍⾓的正切函数公式即可计算得解.∵tan(2π-θ)=4cos(2π-θ),∴cos 4cos sin θθθ=,⼜∵|θ|<2π,cos θ≠0,∴sin θ=14,cos θ==sin tan cos θθθ==∴2222tan 15tan 21tan 71θθθ==--.答案:B5.已知双曲线22211251x y m m -=+-的实轴长为8,则该双曲线的渐近线的斜率为( )A.53±B.35±C.34±D.43±解析:求出双曲线的实轴长,得到m ,然后求解双曲线的渐近线⽅程,得到渐近线的斜率即可.双曲线22211251x y m m -=+-的实轴长为8,可得:m 2+12=16,解得m=2,m=-2(舍去).所以,双曲线的渐近线⽅程为:043x y±=. 则该双曲线的渐近线的斜率:34±.答案:C6.如图所⽰的程序框图,运⾏程序后,输出的结果等于( )A.2B.3C.4D.5解析:由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利⽤循环结构计算S 的值,并输出相应的n 的值,模拟程序的运⾏过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 模拟程序的运⾏,可得:a=2,s=0,n=1,s=2,a=1满⾜条件s<3,执⾏循环体,n=2,13273s=+=,a=34,满⾜条件s<3,执⾏循环体,n=3,7334712s+==,a=47,此时,不满⾜条件s<3,退出循环,输出n的值为3. 答案:B 7.若实数x,y满⾜约束条件22026003x yx yy-+≥+-≤≤≤,则z=4x-y的最⼤值为( )A.3B.-1C.-4D.12解析:先根据约束条件画出可⾏域,再利⽤⼏何意义求最值,z=4x-y表⽰直线在y轴上的截距,只需求出可⾏域直线在y轴上的截距最⼩值即可.实数x,y满⾜约束条件22026003x yx yy-+≥+-≤≤≤表⽰的平⾯区域如图所⽰:当直线z=4x-y过点A时,⽬标函数取得最⼤值,由260yx y=+-=解得3==,即A(3,0),在y轴上截距最⼩,此时z取得最⼤值:z max=4×3-0=12. 答案:D8.设A ,B 是椭圆C :221122x y +=的两个焦点,点P 是椭圆C 与圆M :x 2+y 2=10的⼀个交点,则||PA|-|PB||=( )解析:求出椭圆的焦点坐标,利⽤已知条件列出⽅程,转化求出||PA|-|PB||即可.A ,B 是椭圆C :221122x y +=的两个焦点,可知:A(0)、0),圆M :x 2+y 2=10恰好经过AB 两点,点P 是椭圆C 与圆M :x 2+y 2=10的⼀个交点,可得PA ⊥PB ,所以()222240=32,. 答案:C9.设w >0,函数y=2cos(wx+7π)-1的图象向右平移43π个单位后与原图象重合,则w 的最⼩值是( )A.32 B.23 C.43 D.34解析:根据三⾓函数的图象重合,得到平移长度和周期关系,进⾏求解即可.∵函数y=2cos(wx+7π)-1的图象向右平移43π个单位后与原图象重合,∴423ππω=,则ω=32. 答案:A10.f(x)=()28sin2x xx x-+-的部分图象⼤致是( )A.B.C.D.解析:通过函数的解析式,利⽤函数的奇偶性的性质,函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可.∵f(-x)=-f(x)∴函数f(x)为奇函数,排除A,∵x∈(0,1)时,x>sinx,x2+x-2<0,故f(x)<0,故排除B;故结果应该选D.答案:D11.如图,⽹格纸上的⼩正⽅形的边长为,粗实线画出的某多⾯体的三视图,则该多⾯体外接球的表⾯积为( )A.52πB.45πC.41πD.34π解析:由三视图可知:该⼏何体为⼀个四棱锥,底⾯ABCD是矩形,其中AB=4,AD=6,侧⾯PBC⊥底⾯垂ABCD.设AC∩BD=O,则OP==,∴O该多⾯体外接球的球⼼,半径S=4πR2=52π.答案:A12.已知函数f(x)=e4x-1,g(x)=12+ln(2x),若f(m)=g(n)成⽴,则n-m的最⼩值为( )A.1ln24 -B.12ln23+C.2ln213-D.1ln24 +解析:根据f(m)=g(n)=t得到m,n的关系,利⽤消元法转化为关于t的函数,构造函数,求函数的导数,利⽤导数研究函数的最值即可得到结论.不妨设f(m)=g(n)=t,=12+ln(2n)=t(t >0),∴4m-1=lnt ,即m=14(1+lnt),n=1212t e -,故n-m=()1211241ln t e t --+(t >0),令h(t)=()1211241ln t e t --+(t >0),∴h ′(t)=121124t e t --,易知h ′(t)在(0,+∞)上是增函数,且h ′(1 2)=0,当t >12时,h ′(t)>0,当0<t <12时,h ′(t)<0,即当t=12时,h(t)取得极⼩值同时也是最⼩值,此时1ln 21l 11112242n 4h +=-+=,即n-m 的最⼩值为1ln 24+. 答案:D⼆、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知向量a r =(6,-2),b r =(1,m),且a b ⊥r r,则2a b -=r r .解析:∵a r =(6,-2),b r =(1,m),且a b ⊥r r,∴620a b m =-=r rg,解得m=3,∴2a b -r r=(6,-2)-2(1,3)=(4,8),∴2a b -==r r答案:14.若(1-3x)6=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a 6x 6,则32a a= .解析:若(1-3x)6=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a 6x 6,则(1-3x)6的通项公式为()163rrr T C x +=-,r=0,1,2, (6)可得2269135a C ==, 33627540a C =-=-,可得324a a=-.答案:-415.如图,E 是正⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1上的⼀点,且BD 1∥平⾯B 1CE ,则异⾯直线BD 1与CE 所成成⾓的余弦值为 .解析:连结BC 1,交B 1C 于点O ,连结OE ,∵E 是正⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1上的⼀点,∴BCC 1B 1是正⽅形,∴O 是BC 1中点,∵BD 1∥平⾯B 1CE,∴BD 1∥OE ,∴E 是正⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1的中点,以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建⽴空间直⾓坐标系,设正⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,则B(2,2,0),D1(0,0,2),C(0,2,0),E(0,1,2),1BD uuu r=(-2,-2,2),CE uur =(0,-1,2),11cos5BD CEBD CEθ===gg.∴异⾯直线BD1与CE所成成⾓的余弦值为5.答案:516.在△ABC中,AC=3,CB=4,边AB的中点为D,则sinsinACDDCB∠=∠.解析:直接利⽤三⾓形的⾯积相等转化出结论.△ABC中,AC=3,CB=4,边AB的中点为D,则:S△ACD=S△BCD,所以:sin sin1122AC DC ACD BC CD DCBg g g g,整理得:sin4sin3ACD BCDCB AC∠==∠.答案:43三、解答题(本⼤题共6⼩题,共70分.第17~21题为必考题,每⼩题12分,共60分;第22、23题为选考题,有10分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤)17.已知等⽐数列{a n}的前n项和为S n,S n=2a n-2,{b n}为等差数列,b3=a2,b2+b6=10.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式.解析:(1)在等⽐数列{a n}的递推公式S n=2a n-2中,令n=1可得S1=2a1-2=a1,解可得a1=2,当n≥2时,由a n=S n-S n-1分析可得an=2a n-1,解可得等⽐数列{a n}的公⽐,由等⽐数列的通项公式可得数列{a n}的通项公式,对于{b n},求出b3、b4的值,计算其公差,由等差数列的通项公式可得数列{b n}的通项公式.答案:(1)根据题意,等⽐数列{a n}中S n=2a n-2,当n=1时,有S1=2a1-2=a1,解可得a1=2,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(2a n-2)-(2a n-1-2),变形可得a n=2a n-1,则等⽐数列{a n}的a1=2,公⽐q=2,则数列{a n}的通项公式a n=2×2n-1=2n,对于{b n},b3=a2=4,b2+b6=2b4=10,即b4=5,则其公差d=b4-b3=1,则其通项公式b n=b3+(n-3)×d=n+1.(2)求数列{a n(2b n-3)}的前n项和T n.解析:(2)由(1)的结论可得a n(2b n-3)=(2n-1)·2n,由错位相减法计算可得答案.答案:(2)由(1)的结论:a n=2n,b n=n+1,a n (2b n -3)=(2n-1)·2n,则有T n =1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n则有2T n =1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1,②①-②可得:-T n =2+2(22+23+…+2n )-(2n-1)×2n+1,变形可得:T n =(2n-3)·2n+1+6.18.“扶贫帮困”是中华民族的传统美德,某校为帮扶困难同学,采⽤如下⽅式进⾏⼀次募捐:在不透明的箱⼦中放⼊⼤⼩均相同的⽩球七个,红球三个,每位献爱⼼的参与者投币20元有⼀次摸奖机会,⼀次性从箱中摸球三个(摸完球后将球放回),若有⼀个红球,奖⾦10元,两个红球奖⾦20元,三个全为红球奖⾦100元.(1)求献爱⼼参与者中奖的概率.解析:(1)设“献爱⼼参与者中奖”为事件A ,利⽤互斥事件概率能求出献爱⼼参与者中奖的概率.答案:(1)设“献爱⼼参与者中奖”为事件A ,则献爱⼼参与者中奖的概率()1221337373310851712024C C C C C P A C ++===.(2)若该次募捐有900位献爱⼼参与者,求此次募捐所得善款的数学期望.解析:(2)设⼀个献爱⼼参与者参加活动,学校所得善款为X ,则X=20,10,0,-80,由此能求出X 的分布列和学校所得善款的数学期望,由此能求出募捐所得善款的数学期望. 答案:(2)设⼀个献爱⼼参与者参加活动,学校所得善款为X ,则X=20,10,0,-80,则()3731072024C P X C ===,()1237310211040C C P X C ===, ()21373107040C C P X C ===, ()33310180120C P X C =-==,∴X 的分布列为:若只有⼀个参与者募捐,学校所得善款的数学期望为()72171125201008024404012012E X =?+?+?-?=所以,此次募捐所得善款的数学期望为12512×900=9375(元),答:此次募捐所得善款的数学期望是9375元.19.如图,四边形ABCD 是矩形,,BC=3,2ED EC =uu u r uu u r,PE ⊥平⾯ABCD ,.(1)证明:平⾯PAC ⊥平⾯PBE. 解析:(1)连接BE 交AC 于F ,证明△ABC ∽△BCE ,推出∠BEC=∠ACB ,证明AC ⊥BE,AC ⊥PE ,即可证明AC ⊥平⾯PBE ,进⼀步得到平⾯PAC ⊥平⾯PBE. 答案:(1)证明:连接BE 交AC 于F ,∵四边形ABCD 是矩形,,BC=1,2ED EC =uu u r uu u r,∴CE BCBC AB =,∵∠ABC=∠BCD=2π,∴△ABC ∽△BCE ,则∠BEC=∠ACB ,∵∠BEC+∠ACE=∠ACB+∠ACE=2π,∴AC ⊥BE ,∵PE ⊥平⾯ABCD ,∴AC ⊥PE ,∵PE ∩BE=E ,∴AC ⊥平⾯PBE ,∵AC ?平⾯PAC ,∴平⾯PAC ⊥平⾯PBE.(2)求⼆⾯⾓A-PB-C 的余弦值.解析:(2)取PB 中点G ,连接FG ,AG ,CG ,证明CG ⊥PB ,然后证明PB ⊥平⾯ACG ,推出AG⊥PB ,说明∠AGC 是⼆⾯⾓A-PB-C 的平⾯⾓,然后通过求解三⾓形得tan ∠AGC ,利⽤同⾓三⾓函数基本关系式得⼆⾯⾓A-PB-C 的余弦值. 答案:(2)取PB 中点G ,连接FG ,AG ,CG ,∵PE ⊥平⾯ABCD ,∴PE ⊥DC ,∵,∴PC=3=BC ,得CG ⊥PB ,∵CG ∩AC=C ,∴PB ⊥平⾯ACG ,则AG ⊥PB ,∴∠AGC 是⼆⾯⾓A-PB-C 的平⾯⾓,∵AB ∥CD ,AB=CD ,DE=2EC ,∴13CE EF CF AB FB FA ===,∵AC=6,∴CF=32,AF=92,∵BC ⊥CD ,BC ⊥PE ,∴BC ⊥平⾯PCD ,∴BC ⊥PC ,∴,则CG=2,∵FG ⊥AC ,∴FG=FC=32,在Rt △AFG 和Rt △CFG 中,求得tan ∠AGF=3,tan ∠CGF=1,∴()tan tan tan tan 21tan tan AGF CGF AGC AGF CGF AGF CGF∠+∠∠=∠+∠==--∠∠g ,∴21cos 1tan 5AGC AGC ∠=-=-+∠. ∴⼆⾯⾓A-PB-C的余弦值为20.设直线l 的⽅程为x=m(y+2)+5,该直线交抛物线C :y 2=4x 于P ,Q 两个不同的点.(1)若点A(5,-2)为线段PQ 的中点,求直线l 的⽅程. 解析:(1)联⽴⽅程组()2254x my m y x=++=??,消去x 得y 2-4my-4(2m+5)=0,设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-8m-20,利⽤韦达定理转化求解即可. 答案:(1)联⽴⽅程组()2254x my m y x=++=??,消去x 得y 2-4my-4(2m+5)=0设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-8m-20,∵A 为线段PQ 的中点,所以12222y y m +==-,解得m=-1,∴直线l 的⽅程为x+y-3=0.(2)证明:以线段PQ 为直径的圆M 恒过点B(1,2).解析:(2)通过x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2(2m+5)=4m 2+4m+10,()()2222121212254416y y y y x x m ===+g ,结合向量的数量积为0,推出结果.答案:(2)证明:∵x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2(2m+5)=4m 2+4m+10,()()2222121212254416y y y y x x m ===+g ,∴BP BQ u g u r uu u r=(x 1-1)(x 2-1)+(y 1-2)(y 2-2),即BP BQ u g u r uu u r=[x 1x 2-(x 1+x 2)+1]+[y 1y 2-2(y 1+y 2)+4],∴BP BQ u g u r uu u r =[(2m+5)2-(4m 2+4m+10)+1]+[-8m-20-2(4m)+4]=0,因此BP ⊥BQ ,即以线段PQ 为直径的圆恒过点B(1,2).21.已知函数f(x)=ax 2-e x(a ∈R).(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与y 轴垂直,求y=f ′(x)的最⼤值.解析:(1)求出导函数,求出函数值,切线的斜率,判断导函数的单调性,然后求解最值即可.答案:(1)由f ′(x)=2ax-ex ,得,f(1)=2a-e=0?a=2e ,令g(x)=f ′(x)=ex-e x,则g ′(x)=e-e x,可知函数g(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以g(x)max =g(1)=0.(2)若对任意0≤x 1<x 2都有f(x 2)+x 2(2-2ln2)<f(x 1)+x 1(2-2ln2),求a 的取值范围.解析:(2)函数h(x)=f(x)+x(2-2ln2)=ax 2+x(2-ln2)-e x在[0,+∞)上单调递减,求出导函数,构造函数,F(x)=2ax+(2-2ln2)-e x,再求解F ′(x)=2a-e x,通过当a ≤12时,当a >12时,判断导函数的符号,判断函数的单调性,然后求解实数a 的取值范围.答案:(2)由题意得可知函数h(x)=f(x)+x(2-2ln2)=ax 2+x(2-ln2)-e x在[0,+∞)上单调递减,从⽽h ′(x)=2ax+(2-2ln2)-ex ≤0在[0,+∞)上恒成⽴,令F(x)=2ax+(2-2ln2)-e x ,则F ′(x)=2a-e x,当a ≤12时,F ′(x)≤0,所以函数F(x)在[0,+∞)上单调递减,则F(x)max =F(0)=1-2ln2<0;当a >12时,F ′(x)=2a-ex=0,得x=ln2a ,所以函数F(x)在[0,ln2a)上单调递增,在[ln2a ,+∞)上单调递减,则F(x)max =F(ln2a)=2aln2a+2-2ln2-2a ≤0,即2aln2a-2a ≤2ln2-2,通过求函数y=xlnx-x 的导数可知它在[1,+∞)上单调递增,故12<a ≤1. 综上,实数a 的取值范围是(-∞,1].请考⽣在第22-23题中任选⼀题作答,如果多做,则按所做的第⼀题计分. 选修4-4:坐标系与参数⽅程22.已知曲线C 1的极坐标⽅程为ρ2cos2θ=8,曲线C 2的极坐标⽅程为θ=6π,曲线C 1、C 2相交于A 、B 两点.(p ∈R)(1)求A 、B 两点的极坐标.解析:(1)由2286cos ρθπθ?=??=得:ρ2cos 3π=8,即可得到ρ.进⽽得到点A ,B 的极坐标. 答案:(1)由2286cos ρθπθ?=??=得:ρ2cos 3π=8,∴ρ2=16,即ρ=±4.∴A 、B 两点的极坐标为:A(4,6π),B(-4,6π)或B(4,76π).(2)曲线C 1与直线2121x y t ?=+=??(t 为参数)分别相交于M ,N 两点,求线段MN 的长度. 解析:(2)由曲线C 1的极坐标⽅程ρ2 cos2θ=8化为ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=8,即可得到普通⽅程为x2-y2=8.将直线2121xy t=+代⼊x2-y2=8,整理得t2进⽽得到|MN|.答案:(2)由曲线C1的极坐标⽅程ρ2cos2θ=8化为ρ2(cos2θ-sin2θ)=8,得到普通⽅程为x2-y2=8.将直线2121xy t=+=代⼊x2-y2=8,整理得t2t-14=0.∴MN==选修4-5:不等式选讲23.已知函数f(x)=|x-a|-|x+3|,a∈R.(1)当a=-1时,解不等式f(x)≤1.解析:(1)当a=-1时,不等式为|x+1|-|x+3|≤1;去掉绝对值符号,转化求解即可. 答案:(1)当a=-1时,不等式为|x+1|-|x+3|≤1;当x≤-3时,不等式转化为-(x+1)+(x+3)≤1,不等式解集为空集;当-3<x<-1时,不等式转化为-(x+1)-(x+3)≤1,解之得-≤x<-1;当x≥-1时,不等式转化为(x+1)-(x+3)≤1,恒成⽴;综上所求不等式的解集为[52-,+∞).(2)若x∈[0,3]时,f(x)≤4,求a的取值范围.解析:(2)若x∈[0,3]时,f(x)≤4恒成⽴,即|x-a|≤x+7,即-7≤a≤2x+7恒成⽴,通过x的范围求解a的范围.答案:(2)若x∈[0,3]时,f(x)≤4恒成⽴,即|x-a|≤x+7,亦即-7≤a≤2x+7恒成⽴,⼜因为x∈[0,3],所以-7≤a≤7,所以a的取值范围为[-7,7].考试⾼分秘诀是什么?试试这四个⽅法,特别是中考和⾼考⽣谁都想在考试中取得优异的成绩,但要想取得优异的成绩,除了要掌握好相关的知识定理和⽅法技巧之外,更要学会⼀些考试技巧。
2020届甘肃省普通高中高三年级下学期第一次高考诊断性考试数学(理)试题(解析版)
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绝密★启用前甘肃省普通高中2020届高三年级下学期第一次高考诊断性考试数学(理)试题(解析版)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知{}1A x x =<,{}21x B x =<,则AB =( ) A. ()1,0-B. ()0,1C. ()1,-+∞D. (),1-∞ 【答案】D【解析】【分析】分别解出集合,A B 、然后求并集. 【详解】解:{}{}111A x x x x =<=-<<,{}{}210x B x x x =<=< A B =(),1-∞故选:D【点睛】考查集合的并集运算,基础题.2.已知()32z i i =-,则z z ⋅=( )A. 5B.C. 13D.【答案】C【解析】【分析】先化简复数()32z i i =-,再求z ,最后求z z ⋅即可.【详解】解:()3223z i i i =-=+,23z i =-222313z z ⋅=+=,故选:C【点睛】考查复数的运算,是基础题.3.已知平面向量a ,b 满足()1,2a =-,()3,b t =-,且()a a b ⊥+,则b =( )A. 3B.C.D. 5 【答案】B【解析】【分析】先求出a b +,再利用()0a a b ⋅+=求出t ,再求b .【详解】解:()()()1,23,2,2t t a b -+-=-=-+由()a a b ⊥+,所以()0a a b ⋅+= ()()()12220t ⨯-+-⨯-=,1t =,()3,1b =-,10=b故选:B【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算,是基础题.4.已知抛物线()220y px p =>经过点(M ,焦点为F ,则直线MF 的斜率为( )A. B. 4 C. 2 D. -【答案】A【解析】。
2020年甘肃省高考(理科)数学一诊测试试卷 解析版
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2020年高考(理科)数学一诊试卷一、选择题.1.已知A={x||x|<1},B={x|2x<1},则A∪B=()A.(﹣1,0)B.(0,1)C.(﹣1,+∞)D.(﹣∞,1)2.已知:z=i(3﹣2i),则z•z=()A.5B.√5C.13D.√133.已知平面向量a→,b→满足a→=(1,−2),b→=(−3,t),且a→⊥(a→+b→),则|b→|=()A.3B.√10C.2√3D.54.已知抛物线y2=2px(p>0)经过点M(2,2√2),焦点为F.则直线MF的斜率为()A.2√2B.√24C.√22D.−2√25.函数f(x)=ln|x|+cos2xx2的部分图象大致为()A.B.C.D.6.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过圆E:x2+y2+2x﹣4y=0的圆心,则双曲线的C的离心率为()A.√52B.√5C.√2D.27.5G网络是一种先进的高频传输技术,我国的5C技术发展迅速,已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G手机,现调查得到该款5G手机上市时间x和市场占有率y(单位:%)的几组相关对应数据.如图所示的折线图中,横轴1代表2019年8月,2代表2019年9月,……,5代表2019年12月,根据数据得出y关于x的线性回归方程为y=0.042x−a.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势,则最早何时该款5C 手机市场占有率能超过0.5%( )(精确到月)A .2020年6月B .2020年7月C .2020年8月D .2020年9月8.设m ,n 是空间两条不同的直线,α,β是空间两个不同的平面.给出下列四个命题: ①若m ∥α,n ∥β,α∥β,则m ∥n ; ②若α⊥β,m ⊥β,m ⊄α,则m ∥α; ③若m ⊥n ,m ⊥α,α∥β,则n ∥β;④若α⊥β,α∩β=l ,m ∥α,m ⊥l ,则m ⊥β. 其中正确的是( ) A .①②B .②③C .②④D .③④9.定义在R 上的偶函数f (x ),对∀x 1,x 2∈(﹣∞,0).且x 1≠x 2,有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1>0成立,已知a =f (ln π),b =f (e −12),c =f(log 216),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .b >a >cB .b >c >aC .c >b >aD .c >a >b10.将函数f(x)=sin(x +π6)图象上每一点的横坐标变为原来的2倍.再将图象向左平移π3个单位长度,得到函数y =g (x )的图象,则函数y =g (x )图象的一个对称中心为( ) A .(π12,0)B .(π4,0)C .(π,0)D .(4π3,0)11.若(√x 3+1x )n 的展开式中二项式系数和为256,则二项式展开式中有理项系数之和为( ) A .85B .84C .57D .5612.若函数f (x )=e |x |﹣mx 2有且只有4个不同的零点.则实数m 的取值范围是( ) A .[e 24,+∞)B .(e 24,+∞)C .(−∞,e 24)D .(−∞,e 24]二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.实数x ,y 满足约束条件{x −y +1≥0x +2y −2≤0y +2≥0,则z =x ﹣2y 的最大值为 .14.某班星期一共八节课(上午、下午各四节,其中下午最后两节为社团活动),排课要求为:语文、数学、外语、物理、化学、各排一节,从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻(上午第四节和下午第一节不算相邻),则不同的排法有种.15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若cos B+√3sin B﹣2=0,且b=1,则△ABC周长的范围为.16.1611年,约翰内斯•开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想.简单地说,开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答.2017年,由匹兹堡大学数学系教授托马斯•黑尔斯(ThomasHales)带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文,给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案.现有大小形状都相同的若干排球,按照如图中的方式摆放(底层形状为等边三角形,每边4个球,共4层),这些排球共个,最上面球的球顶距离地面的高度约为cm (排球的直径约为21cm).三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.数列{a n}满足a1=1,a n是﹣1与a n+1的等差中项.(1)证明:数列{a n+1}为等比数列,并求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n+2n}的前n项和S n.18.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,E为棱B1C1的中点.(1)画出过点E且与直线A1C垂直的平面,标出该平面与正方体各个面的交线(不必说明画法及理由);(2)求BD1与该平面所成角的正弦值.19.某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质,健全促进全民健身制度性举措”,提高广大市民对全民健身运动的参与程度,推出了健身促销活动,收费标准如下:健身时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为20元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身,设甲、乙健身时间不超过1小时的既率分别为14,16,高健身时间1小时以上且不超过2小时的概本分别为12,23,且两人健身时间都不会超过3小时.(1)设甲乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ(单位:元)求ξ的分布列与数学物望E (ξ);(2)此促销活动推出后健身馆预计每天约有300人来参与健身活动,以这两人健身费用之和的数学期望为依据,预测此次促销活动后健身馆每天的营业额. 20.椭圆C :x 2a +y 2b =1(a >b >0)的右焦点F (√2,0),过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3√2. (1)求椭圆C 的方程;(2)过点(2,0)且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ,N 两点.O 为坐标原点,A 为椭圆C 的右顶点,求四边形OMAN 面积的最大值. 21.已知函数f(x)=ax −(a +1)lnx −1x +2(a ∈R ).(1)讨论函数f (x )单调性;(2)当a =﹣2时,求证:f(x)<e x −2x −1x.(二)选考题:共10分.请考生在第22.23题中选定一题作答,并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分,不涂、多涂均按所答第-题评分;多答按所答第一题评分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy ,曲线C 1的参数方程为:{x =1+cosαy =sinα(α为参数),以O 为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2√3sinθ.(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)若直线l:y=kx(k>0)与曲线C1交于O,A两点,与曲线C2交于O,B两点,求|OA|+|OB|取得最大值时直线l的直角坐标方程.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x﹣1|,不等式f(x)+f(x﹣1)<5的解集为{x|m<x<n}.(1)求实数m,n的值;(2)若x>0,y>0,nx+y+m=0,求证:x+y≥9xy.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知A={x||x|<1},B={x|2x<1},则A∪B=()A.(﹣1,0)B.(0,1)C.(﹣1,+∞)D.(﹣∞,1)【分析】分别求出A,B即可求得结论.解:因为A={x||x|<1}=(﹣1,1),B={x|2x<1}=(﹣∞,0),则A∪B=(﹣∞,1).故选:D.2.已知:z=i(3﹣2i),则z•z=()A.5B.√5C.13D.√13【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由z⋅z=|z|2求解.解:由z=i(3﹣2i)=2+3i,得z•z=|z|2=(√13)2=13.故选:C.3.已知平面向量a→,b→满足a→=(1,−2),b→=(−3,t),且a→⊥(a→+b→),则|b→|=()A.3B.√10C.2√3D.5【分析】由题意利用两个向量坐标形式的运算,两个向量垂直的性质,求出t的值,再根据求向量的模的方法,求出|b→|.解:∵平面向量a→,b→满足a→=(1,−2),b→=(−3,t),且a→⊥(a→+b→),∴a→•(a→+b→)=(1,﹣2)•(﹣2,t﹣2)=﹣2+(﹣2)•(t﹣2)=0,求得t=1,∴b→=(﹣3,1),则|b→|=√9+1=√10,故选:B.4.已知抛物线y2=2px(p>0)经过点M(2,2√2),焦点为F.则直线MF的斜率为()A.2√2B.√24C.√22D.−2√2【分析】由点M在抛物线上,代入抛物线的方程可得p的值,进而求出焦点F的坐标,由两个点的坐标求出直线MF的斜率.解:由题意可得(2√2)2=2p•2所以p=2,所以抛物线的方程为:y2=4x,所以焦点F(1,0),所以k MF=2√22−1=2√2,故选:A.5.函数f(x)=ln|x|+cos2x2的部分图象大致为()A.B.C.D.【分析】首先判断函数的奇偶性,可知函数为偶函数,即可排除BC;再利用f(1)>0,可排除D,进而得出正确选项.解:函数的定义域为{x|x≠0},且f(−x)=ln|−x|+cos(−2x)(−x)2=ln|x|+cos2xx2=f(x),故f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,可排除BC;又f(1)=ln1+cos21=cos2<0,可排除D.故选:A.6.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过圆E:x2+y2+2x﹣4y=0的圆心,则双曲线的C的离心率为()A.√52B.√5C.√2D.2【分析】根据题意,由双曲线的标准方程可得双曲线的渐近线方程为y=±bax,求出圆E的圆心,分析可得双曲线的一条渐近线方程为y=﹣2x,则有ba=2,即b=2a,由双曲线的几何性质可得c=√5a,由离心率公式计算可得答案.解:根据题意,双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点在x轴上,则其渐近线方程为y=±bax x,圆E:x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为(﹣1,2),若双曲线的渐近线经过圆E的圆心,则双曲线的一条渐近线方程为y=﹣2x,则有ba=2,即b=2a,则c2=a2+b2=5a2,即c=√5a,则双曲线的离心率e=ca=√5.故选:B.7.5G网络是一种先进的高频传输技术,我国的5C技术发展迅速,已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G手机,现调查得到该款5G手机上市时间x和市场占有率y(单位:%)的几组相关对应数据.如图所示的折线图中,横轴1代表2019年8月,2代表2019年9月,……,5代表2019年12月,根据数据得出y关于x的线性回归方程为y=0.042x−a.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势,则最早何时该款5C手机市场占有率能超过0.5%()(精确到月)A.2020年6月B.2020年7月C.2020年8月D.2020年9月【分析】根据表中数据求出x,y,求出线性回归方程y=0.042x﹣0.026,求出x=13时,即最早在2020年8月,市场占有率能超过0.5%.解:根据表中数据,得x=1+2+3+4+55=3,y=15(0.02+0.05+0.1+0.15+0.18)=0.1,∴0.1=0.042×3﹣a,a=0.026,所以线性回归方程为y=0.042x﹣0.026,由0.042x﹣0.026>0.5,得x≥13,预计上市13个月时,即最早在2020年8月,市场占有率能超过0.5%, 故选:C .8.设m ,n 是空间两条不同的直线,α,β是空间两个不同的平面.给出下列四个命题: ①若m ∥α,n ∥β,α∥β,则m ∥n ; ②若α⊥β,m ⊥β,m ⊄α,则m ∥α; ③若m ⊥n ,m ⊥α,α∥β,则n ∥β;④若α⊥β,α∩β=l ,m ∥α,m ⊥l ,则m ⊥β. 其中正确的是( ) A .①②B .②③C .②④D .③④【分析】在①中,m 与n 相交、平行或异面;在②中,由线面垂直的性质定理得m ∥α;在③中,n 与β相交、平行或n ⊂β;在④中,由线面垂直的判定定理得m ⊥β. 解:由m ,n 是空间两条不同的直线,α,β是空间两个不同的平面.知: 在①中,若m ∥α,n ∥β,α∥β,则m 与n 相交、平行或异面,故①错误; 在②中,若α⊥β,m ⊥β,m ⊄α,则由线面垂直的性质定理得m ∥α,故②正确; 在③中,若m ⊥n ,m ⊥α,α∥β,则n 与β平行或n ⊂β,故③错误;在④中,若α⊥β,α∩β=l ,m ∥α,m ⊥l ,则由线面垂直的判定定理得m ⊥β,故④正确. 故选:C .9.定义在R 上的偶函数f (x ),对∀x 1,x 2∈(﹣∞,0).且x 1≠x 2,有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1>0成立,已知a =f (ln π),b =f (e −12),c =f(log 216),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .b >a >cB .b >c >aC .c >b >aD .c >a >b【分析】由定义在R 上的偶函数f (x ),对∀x 1,x 2∈(﹣∞,0).且x 1≠x 2,有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1>0成立可得函数f (x )在(﹣∞,0)单调递增,在(0,+∞)单调递减,再比较ln π,e−12,log 216的大小,可得a ,b ,c 的大小关系.解:定义在R 上的偶函数f (x ),对∀x 1,x 2∈(﹣∞,0).且x 1≠x 2,有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1>0成立,可得f (x )在x ∈(﹣∞,0)单调递增,所以f (x )在(0,+∞)单调递减;因为1<ln π<2,0<e−12<1,所以a =f (ln π)<b =f (e−12),∵﹣3=log 218<log 216<log 214=−2,c =f (log 216)=f (﹣log 216)∈(2,3),所以c <a ,故选:A .10.将函数f(x)=sin(x +π6)图象上每一点的横坐标变为原来的2倍.再将图象向左平移π3个单位长度,得到函数y =g (x )的图象,则函数y =g (x )图象的一个对称中心为( ) A .(π12,0)B .(π4,0)C .(π,0)D .(4π3,0)【分析】利用三角函数的伸缩和平移变换可将函数f(x)=sin(x +π6)图象上每一点的横坐标变为原来的2倍可得函数f 1(x )=sin (12x +π6).再将图象向左平移π3个单位长度,得到函数y =g (x )=sin[12(x +π3)+π6]=sin (12x +π3)的图象,令12x +π3=k π,k ∈Z ,则x =2k π−2π3,k ∈Z ,当k =1时,x =4π3,可得答案, 解:将函数f(x)=sin(x +π6)图象上每一点的横坐标变为原来的2倍可得函数f 1(x )=sin (12x +π6).再将图象向左平移π3个单位长度,得到函数y =g (x )=sin[12(x +π3)+π6]=sin (12x +π3)的图象,令12x +π3=k π,k ∈Z ,则x =2k π−2π3,k ∈Z ,当k =1时,x =4π3, 则函数y =g (x )图象的一个对称中心为(4π3,0)故选:D .11.若(√x 3+1x)n 的展开式中二项式系数和为256,则二项式展开式中有理项系数之和为( ) A .85B .84C .57D .56【分析】根据二项式系数和求出n =8,结合二项式定理求出通项公式,结合有理数项进行求解即可.解:∵二项式系数和为256,∴2n =256,得n =8,则展开式的通项公式为T k +1=C 8k (√x 3)n ﹣k (1x)k =C 8k (√x 3)8﹣k (1x)k =C 8k x8−k 3−k═C8k x 8−4k 3,当k =2时,对应的有理项为,C 82=28,当k =5时,对应的有理项为,C85x ﹣4=56x ﹣4, 当k =8时,对应的有理项为,x ﹣8,则二项式展开式中有理项系数之和为28+56+1=85, 故选:A .12.若函数f (x )=e |x |﹣mx 2有且只有4个不同的零点.则实数m 的取值范围是( ) A .[e 24,+∞)B .(e 24,+∞)C .(−∞,e 24)D .(−∞,e 24]【分析】分析可得e x =mx 2有两个不同的正根,令h (x )=e xx 2,利用导数即可求得实数m 的取值范围解:f (x )有且只有4个不同的零点等价于偶函数y =e |x |与偶函数y =mx 2的图象有且只有4个不同的交点,即e x =mx 2有两个不同的正根, 令h (x )=e x 2,则h ′(x )=e x (x−2)x 3,x ∈(0,2)时,h ′(x )<0,x ∈(2,+∞)时,h ′(x )>0,∴函数h (x )在(0,2)上单减,在(2,+∞)上单增,此时h (x )min =h (2)=e 24;又∵当x →0时,h (x )→+∞,当x →+∞时,h (x )→+∞, ∴m >e 24.故选:B .二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.实数x ,y 满足约束条件{x −y +1≥0x +2y −2≤0y +2≥0,则z =x ﹣2y 的最大值为 10 .【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,只需求出直线z =x ﹣2y 过点(6,2)时,z 最大值即可.解:实数x ,y 满足约束条件{x −y +1≥0x +2y −2≤0y +2≥0,画出可行域,如图:由z =x ﹣2y 可得y =12x −12z ,则直线在y 轴上的截距越小,z 越大然后平移直线L :0=x ﹣2y , 当直线z =x ﹣2y 过点A 时z 最大由{y +2=0x +2y −2=0可得A (6,﹣2)时,z 最大值为10 故答案为:10.14.某班星期一共八节课(上午、下午各四节,其中下午最后两节为社团活动),排课要求为:语文、数学、外语、物理、化学、各排一节,从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻(上午第四节和下午第一节不算相邻),则不同的排法有种 1344 .【分析】先排数学,然后根据不相邻问题排英语,结合排列组合的公式进行计算即可. 解:从生物、历史、地理、政治四科中选排一节,有4种方法,若数学排第一节,则英语可以排3,4,5,6节,其余全排列,此时有4×A 44,若数学排第二节,则英语可以排4,5,6节,其余全排列,此时有3×A 44, 若数学排第三节,则英语可以排1,5,6节,其余全排列,此时有3×A44, 若数学排第四节,则英语可以排1,2,5,6节,其余全排列,此时有4×A 44,则共有4(4×A 44+3×A44+3×A44+4×A44)=4×14×A 44=4×14×24=1344,故答案为:134415.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若cos B +√3sin B ﹣2=0,且b =1,则△ABC 周长的范围为 (2,3) .【分析】由已知结合辅助角公式进行化简可求B ,然后结合余弦定理及基本不等式可求a +c 的范围,再结合三角形的两边之和大于第三边可求. 解:因为cos B +√3sin B ﹣2=0,所以2sin (B +π6)=2即sin (B +π6)=1,所以B=13π,因为b=1,由余弦定理可得,1=a2+c2﹣ac=(a+c)2﹣3ac≥(a+c)2−3×(a+c2)2,解可得,a+c≤2,当且仅当a=c时取等号,所以a+b+c=1+a+c≤3,又a+c>b=1,所以a+b+c>2,故2<a+b+c≤3,故答案为:(2,3].16.1611年,约翰内斯•开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想.简单地说,开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答.2017年,由匹兹堡大学数学系教授托马斯•黑尔斯(ThomasHales)带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文,给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案.现有大小形状都相同的若干排球,按照如图中的方式摆放(底层形状为等边三角形,每边4个球,共4层),这些排球共20个,最上面球的球顶距离地面的高度约为21(√6+1) cm(排球的直径约为21cm).【分析】(1)由堆积方式可以判断球的个数,(2)由连接位于四个顶点的球的球心,得到一个棱长为63cm的正四面体O1﹣O2O3O4,求其高,再加21则为所求.解:(1)由下往上数依次有10,6,3,1,共有20个,(2)连接位于四个顶点的球的球心,得到一个棱长为63cm的正四面体O1﹣O2O3O4,如图:取O3O4的中点E,△O2O3O4的重心F,连接O1F,则O1F⊥平面O2O3O4,O2E=63√32,O2F=63√32×23=21√3,O1F=√612−(21√3)2=21√6,所以最上面球的球质距离地面的高度约为21(√6+1)故答家为:20,21(√6+1).三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.数列{a n}满足a1=1,a n是﹣1与a n+1的等差中项.(1)证明:数列{a n+1}为等比数列,并求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n+2n}的前n项和S n.【分析】(1)运用等差数列的中项性质和等比数列的定义和通项公式,即可得到所求;(2)求得a n+2n=2n+2n﹣1,由数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式,化简可得所求和.解:(1)证明:a n是﹣1与a n+1的等差中项,可得2a n=a n+1﹣1,即a n+1=2a n+1,可化为a n+1+1=2(a n+1),又a1=1,故数列{a n+1}是首项和公比均为2的等比数列,即有a n+1=2•2n﹣1=2n,所以数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1;(2)由(1)可得a n+2n=2n+2n﹣1,则S n=(2+4+8+…+2n)+(1+3+5+…+2n﹣1)=2(1−2n)1−2+12n(1+2n﹣1)=2n+1+n2﹣2.18.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,E为棱B1C1的中点.(1)画出过点E且与直线A1C垂直的平面,标出该平面与正方体各个面的交线(不必说明画法及理由);(2)求BD1与该平面所成角的正弦值.【分析】(1)截面如下图所示,其中F ,G ,H ,I ,J 为棱的中点,满足A 1C ⊥平面EFGHIJ . (2)如图所示,建立空间直角坐标系.设平面EFGHIJ 的一个法向量为n →=(x ,y ,z ).可得n →•HI →=n →•HG →=0,利用向量夹角公式即可得出. 解:(1)截面如下图所示,其中F ,G ,H ,I ,J 为棱的中点,则A 1C ⊥平面EFGHIJ . (2)如图所示,建立空间直角坐标系.则B (2,2,0),D 1(0,0,2),H (1,0,0),I (2,1,0),G (0,0,1).∴BD 1→=(﹣2,﹣2,2),HI →=(1,1,0),HG →=(﹣1,0,1).设平面EFGHIJ 的一个法向量为n →=(x ,y ,z ).则n →•HI →=n →•HG →=0,∴x +y =0,﹣x +z =0.取n →=(1,﹣1,1),则cos <BD 1→,n →>=12×3=13.∴BD 1与该平面所成角的正弦值为13.19.某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质,健全促进全民健身制度性举措”,提高广大市民对全民健身运动的参与程度,推出了健身促销活动,收费标准如下:健身时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为20元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身,设甲、乙健身时间不超过1小时的既率分别为14,16,高健身时间1小时以上且不超过2小时的概本分别为12,23,且两人健身时间都不会超过3小时.(1)设甲乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ(单位:元)求ξ的分布列与数学物望E (ξ);(2)此促销活动推出后健身馆预计每天约有300人来参与健身活动,以这两人健身费用之和的数学期望为依据,预测此次促销活动后健身馆每天的营业额.【分析】(1)易得ξ可能取值为0,20,40,60,80,求出对应的概率,进而得到分布列,由此求得期望;(2)结合(1)可知营业额预计为40×300×12=6000(元). 解:(1)由题意,ξ可能取值为0,20,40,60,80,且P(ξ=0)=14×16=124,P(ξ=20)=14×23+16×12=14,P(ξ=40)=14×16+12×23+16×14=512,P(ξ=60)=12×16+14×23=14,P(ξ=80)=14×16=124, 故ξ的分布列为ξ 02040 60 80P1241451214124∴ξ的数学期望为E(ξ)=0×124+20×14+40×512+60×14+80×124=40(元); (2)此次促销活动后健生馆每天的营业额预计为40×300×12=6000(元). 20.椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F (√2,0),过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3√2. (1)求椭圆C 的方程;(2)过点(2,0)且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ,N 两点.O 为坐标原点,A 为椭圆C 的右顶点,求四边形OMAN 面积的最大值. 【分析】(1)根据题意可求出参数,(2)设直线,联立与椭圆方程,可以知坐标的关系,转化面积,求最值.解:(1)由题意知,c =√2,a =2√2,b =√6, 所以椭圆的方程为x 28+y 26=1,(2)设直线MN 的方程为x =my +2,联立直线与椭圆得(3m 2+4)y 2+12my ﹣12=0, 所以y 1+y 2=−12m 3m 2+4,y 1y 2=−123m 2+4, 所以S四边形OMAN=S △OAM +S△OAN=12×2√2|y 1|+12×2√2|y 2|=√2|y 1−y 2|=√2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=8√3√3m 2+23m 2+4. 令t =√3m 2+2,则t ≥√2, 所以S 四边形OMAN =8√3t t 2+2=8√3t+2t, 因t ≥√2,则t +2t≥2√2, 所以S 四边形OMAN ≤2√6,当且仅当t =√2,即m =0时取等号. 即四边形OMAN 面积的最大值2√6.21.已知函数f(x)=ax −(a +1)lnx −1x +2(a ∈一、选择题).(1)讨论函数f (x )单调性;(2)当a =﹣2时,求证:f(x)<e x −2x −1x.【分析】(1)先对函数求导,然后结合导数与单调性的关系对a 进行分类讨论,确定导数的符号,进而可求函数的单调性;(2)问题可转化为要证lnx +2<e x ,结合不等式的特点,可考虑构造函数,结合导数可证.解:(1)函数的定义域(0,+∞),f′(x)=a −a+1x +1x 2=ax 2−(a+1)x+1x 2=(ax−1)(x−1)x 2, ①当a ≤0时,由f ′(x )<0可得x >1,由f ′(x )<0可得0<x <1, 所以f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,②0<a <1时,由f ′(x )<0可得1<x <1a,由f ′(x )>0可得0<x <1或x >1a, 所以f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,1a)上单调递减,(1a,+∞)上单调递增,③当a =1时,f′(x)=(x−1)2x≥0,故f (x )在(0,+∞)上单调递增,④当a >1时,由f ′(x )<0可得1a<x <1,由f ′(x )>0可得x >1或x <1a,所以f (x )在(0,1a)上单调递增,在(1a,1)上单调递减,(1,+∞)上单调递增,(2)证明:当a =﹣2时,要证:f(x)<e x −2x −1x,只要证lnx +2<e x , 令g (x )=lnx ﹣e x +2,x >0,则g′(x)=1x−e x 在(0,+∞)上单调递减,且x →0时,g (x )>0,g ′(1)=1﹣e <0 故存在x 0∈(0,1)使得1x 0=e x 0即x 0=﹣lnx 0,使得g ′(x 0)=0,当x ∈(0,x 0)时,g ′(x )>0,函数单调递增,当x ∈(x 0,+∞)时,g ′(x )<0,函数单调递减,故g (x )max =g (x 0)=lnx 0−e x 0+2=﹣x 0−1x 0+2=2﹣(x 0+1x 0),因为x 0∈(0,1),x 0+1x 0>2,所以g (x )max <﹣2+2=0,即g (x )<0 故当a =﹣2时,求证:f(x)<e x −2x −1x成立.(二)选考题:共10分.请考生在第22.23题中选定一题作答,并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分,不涂、多涂均按所答第-题评分;多答按所答第一题评分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy ,曲线C 1的参数方程为:{x =1+cosαy =sinα(α为参数),以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3sinθ. (1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程;(2)若直线l :y =kx (k >0)与曲线C 1交于O ,A 两点,与曲线C 2交于O ,B 两点,求|OA |+|OB |取得最大值时直线l 的直角坐标方程.【分析】(1)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换. (2)利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果. 解:(1)曲线C 1的参数方程为:{x =1+cosαy =sinα(α为参数),转换为直角坐标方程为(x ﹣1)2+y 2=1,转换为极坐标方程为ρ=2cos θ.曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3sinθ.转换为直角坐标方程为x 2+(y −√3)2=3. (2)直线l :y =kx (k >0)转换为极坐标方程为θ=α(0<α<π2)与曲线C 1交于O ,A 两点, 所以{ρ=2cosθθ=α,得到|OA |=2cos α,曲线C 2交于O ,B 两点,所以{ρ=2√3cosθθ=α,则|OB |=2√3sinα,所以|OA |+|OB |=2cosα+2√3sinα=4sin(α+π6),当α=π3时,|OA |+|OB 取得最大值. 此时l 的极坐标方程为θ=π3,即直角坐标方程为y =√3x . [选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f (x )=|x ﹣1|,不等式f (x )+f (x ﹣1)<5的解集为{x |m <x <n }. (1)求实数m ,n 的值;(2)若x >0,y >0,nx +y +m =0,求证:x +y ≥9xy .【分析】(1)由题意可得|x ﹣1|+|x ﹣2|<5,由绝对值的意义,去绝对值符号,解不等式,求并集,即可得到原不等式的解集,进而得到m ,n 的值; (2)由(1)可得4x +y =1,运用乘1法和基本不等式,证得1x +1y≥9,解:(1)f (x )+f (x ﹣1)<5即为|x ﹣1|+|x ﹣2|<5,等价为{x ≤11−x +2−x <5或{1<x <2x −1+2−x <5或{x ≥2x −1+x −2<5,解得﹣1<x ≤1或1<x <2或2≤x <4, 所以原不等式的解集为{x |﹣1<x <4}, 由题意可得m =﹣1,n =4; (2)证明:由(1)可得4x +y =1, 由x >0,y >0,可得1x +1y =(4x +y )(1x +1y )=5+yx +4xy ≥5+2√y x ⋅4xy =9, 当且仅当y =2x =13时等号成立, 故1x +1y≥9,即x +y ≥9xy .。
2020年兰州市数学高考一模试题(及答案)
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2020年兰州市数学高考一模试题(及答案)一、选择题1.123{3x x >>是12126{9x x x x +>>成立的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .即不充分也不必要条件2.甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游,每人只去一个景点,设事件A 为“三个人去的景点各不相同”,事件B 为“甲独自去一个景点,乙、丙去剩下的景点”,则(A |B)P 等于( ) A .49B .29C .12D .133.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a ,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b ,其中a ,b ∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( ) A .19B .29C .49D .7184.已知非零向量a b ,满足2a b =,且b a b ⊥(–),则a 与b 的夹角为 A .π6B .π3C .2π3D .5π65.某单位有职工100人,不到35岁的有45人,35岁到49岁的有25人,剩下的为50岁以上(包括50岁)的人,用分层抽样的方法从中抽取20人,各年龄段分别抽取的人数为( ) A .7,5,8B .9,5,6C .7,5,9D .8,5,76.已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数,则a 的取值范围是( )A .30a -≤<B .0a <C .2a ≤-D .32a --≤≤7.已知a 与b 均为单位向量,它们的夹角为60︒,那么3a b -等于( ) ABCD .48.设,a b R ∈,“0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件9.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A .10B .20C .40D .8010.在如图的平面图形中,已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为A .15-B .9-C .6-D .011.下列说法正确的是( ) A .22a b ac bc >⇒> B .22a b a b >⇒> C .33a b a b >⇒>D .22a b a b >⇒>12.设集合(){}2log 10M x x =-<,集合{}2N x x =≥-,则M N ⋃=( )A .{}22x x -≤<B .{}2x x ≥-C .{}2x x <D .{}12x x ≤<二、填空题13.曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为______________. 14.若x ,y 满足约束条件x y 102x y 10x 0--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩,则xz y 2=-+的最小值为______.15.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为________.16.ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2b =,3c =,2C B =,则ABC 的面积为______.17.已知样本数据,,,的均值,则样本数据,,,的均值为 .18.等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ,二面角C AB D --的余弦值为33,M N ,分别是AC BC ,的中点,则EM AN ,所成角的余弦值等于 . 19.计算:1726cos()sin 43ππ-+=_____. 20.()sin 5013tan10+=________________.三、解答题21.如图,在四面体ABCD 中,△ABC 是等边三角形,平面ABC ⊥平面ABD ,点M 为棱AB 的中点,AB =2,AD =23,∠BAD =90°. (Ⅰ)求证:AD ⊥BC ;(Ⅱ)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值; (Ⅲ)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值.22.如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形,连接BD ,其中DA DP =,BA BP =.(1)求证:PA BD ⊥;(2)若DA DP ⊥,060ABP ∠=,2BA BP BD ===,求二面角D PC B --的正弦值.23.为评估设备生产某种零件的性能,从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本,测量其直径后,整理得到下表:经计算,样本的平均值,标准差,以频率值作为概率的估计值.(I )为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为,并根据以下不等式进行判定(表示相应事件的概率):①; ②; ③.判定规则为:若同时满足上述三个式子,则设备等级为甲;若仅满足其中两个,则等级为乙,若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部都不满足,则等级为了.试判断设备的性能等级.(Ⅱ)将直径尺寸在之外的零件认定为是“次品”.①从设备的生产流水线上随机抽取2个零件,求其中次品个数的数学期望;②从样本中随意抽取2个零件,求其中次品个数的数学期望.24.如图,四边形ABCD 为矩形,平面ABEF ⊥平面ABCD ,//EF AB ,90BAF ∠=︒,2AD =,1AB AF ==,点P 在线段DF 上.(1)求证:AF ⊥平面ABCD ; (2)若二面角D AP C --6,求PF 的长度. 25.在直角坐标平面内,以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A ,B 的极坐标分别为()π42,,5π224⎛⎫ ⎪⎝⎭,,曲线C 的方程为r ρ=(0r >).(1)求直线AB 的直角坐标方程;(2)若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点,求r 的值.26.设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C 22:12x y +=上,过M 作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足2NP NM =.(1)求点P 的轨迹方程;(2)设点Q 在直线3x =-上,且1OP PQ ⋅=.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A【解析】 试题分析:因为123{3x x >>12126{9x x x x +>⇒>,所以充分性成立;1213{1x x ==满足12126{9x x x x +>>,但不满足123{3x x >>,必要性不成立,所以选A.考点:充要关系2.C解析:C 【解析】 【分析】这是求甲独自去一个景点的前提下,三个人去的景点不同的概率,求出相应的基本事件的个数,即可得出结果. 【详解】甲独自去一个景点,则有3个景点可选,乙、丙只能在剩下的两个景点选择,根据分步乘法计数原理可得,对应的基本事件有32212⨯⨯=种;另外,三个人去不同景点对应的基本事件有3216⨯⨯=种,所以61(/)122P A B ==,故选C. 【点睛】本题主要考查条件概率,确定相应的基本事件个数是解决本题的关键.3.C解析:C 【解析】试题分析:由题为古典概型,两人取数作差的绝对值的情况共有36种,满足|a-b|≤1的有(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)(1,2)(2,1)(3,2)(2,3)(3,4)(4,3)(5,4)(4,5)(5,6)(6,5)共16种情况,则概率为;164369p == 考点:古典概型的计算.4.B解析:B 【解析】 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题,渗透了转化与化归、数学计算等数学素养.先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系,再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角. 【详解】因为()a b b -⊥,所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0,所以2a b b ⋅=,所以cos θ=22||122||a bb b a b ⋅==⋅,所以a 与b 的夹角为3π,故选B . 【点睛】对向量夹角的计算,先计算出向量的数量积及各个向量的摸,在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值,再求出夹角,注意向量夹角范围为[0,]π.5.B解析:B 【解析】 【分析】分层抽样按比例分配,即可求出各年龄段分别抽取的人数. 【详解】由于样本容量与总体中的个体数的比值为2011005=,故各年龄段抽取的人数依次为14595⨯=,12555⨯=,20956--=.故选:B【点睛】本题考查分层抽样方法,关键要理解分层抽样的原则,属于基础题.6.D解析:D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性特点,两段函数在各自的定义域内均单调递增,同时要考虑端点处的函数值. 【详解】要使函数在R 上为增函数,须有()f x 在(,1]-∞上递增,在(1,)+∞上递增,所以21,20,115,1a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩,解得32a --≤≤.故选D. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围,考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用,求解时不漏掉端点处函数值的考虑.7.A解析:A 【解析】本题主要考查的是向量的求模公式.由条件可知==,所以应选A .8.B解析:B 【解析】 【分析】 【详解】当a=0时,如果b=0,此时0a bi +=是实数,不是纯虚数,因此不是充分条件;而如果a bi +已经是纯虚数,由定义实部为零,虚部不为零可以得到a=0,因此是必要条件,故选B【考点定位】本小题主要考查的是充分必要条件,但问题中又涉及到了复数问题,复数部分本题所考查的是纯虚数的定义9.C解析:C 【解析】分析:写出103152rrr r T C x -+=,然后可得结果详解:由题可得()5210315522rrr r r rr T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭令103r 4-=,则r 2= 所以22552240rr C C =⨯=故选C.点睛:本题主要考查二项式定理,属于基础题。
2020年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(理科) 含解析

2020年高考数学一诊试卷(理科)一、选择题(共12小题)1.已知集合A={1,2,3,4,5},B={x|x=2n,n∈N},则A∩B=()A.{2,3}B.{2,4}C.{3,4}D.{2,3,4,5} 2.已知复数,则|z|=()A.B.5C.13D.3.已知非零向量,给定p:∃λ∈R,使得,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若2sin,则tanα=()A.4B.3C.﹣4D.﹣35.已知双曲线的一条渐近线过点(2,﹣1),则它的离心率是()A.B.C.D.6.已知集合,从A中任选两个角,其正弦值相等的概率是()A.B.C.D.7.已知函数,且a=f(0.20.2),b=f(log34),,则a、b、c的大小关系为()A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.b>c>a8.近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示,绘制相应的散点图,如图所示:年份12345羊只数量(万只) 1.40.90.750.60.3草地植被指数 1.1 4.315.631.349.7根据表及图得到以下判断:①羊只数量与草场植被指数成减函数关系;②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1,去掉第一年数据后得到的相关系数为r2,则|r1|<|r2|;③可以利用回归直线方程,准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数;以上判断中正确的个数是()A.0B.1C.2D.39.已知圆锥的顶点为A,高和底面的半径相等,BE是底面圆的一条直径,点D为底面圆周上的一点,且∠ABD=60°,则异面直线AB与DE所成角的正弦值为()A.B.C.D.10.已知函数f(x)=sinωx(sinωx+cosωx)(ω>0),若函数f(x)的图象与直线y=1在(0,π)上有3个不同的交点,则ω的范围是A.(,]B.(,]C.(,]D.(,]11.已知点M(﹣4,﹣2),抛物线x2=4y,F为抛物线的焦点,l为抛物线的准线,P为抛物线上一点,过P做PQ⊥l,点Q为垂足,过P作抛物线的切线l1,l1与l交于点R,则|QR|+|MR|的最小值为()A.B.C.D.512.对于定义域为D的函数y=f(x),如果存在区间[a,b]⊆D(a<b)满足f(x)是[a,b]上的单调函数,且f(x)在区间[a,b]上的值域也为[a,b],小则称函数f(x)为区间[a,b]上的“保值函数”,[a,b]为“保值区间”.根据此定义给出下列命题:①函数f(x)=x2﹣2x是[0,1]上的“保值函数”;②若函数g(x)=|2x﹣1|是[a,b]上的“保值函数”,则a+b=1;③对于函数h(x)=x2e x存在区间[0,m],且m∈(,1),使函数h(x)为[0,m]上的“保值函数”.其中所有真命题的序号为()A.②B.③C.①③D.②③二、填空题13.已知函数,则=.14.已知向量,满足||=,向量,夹角为120°,且(+)⊥,则向量|+|=.15.大自然是非常奇妙的,比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的结构如图所示,开口为正六边形ABCDEF,侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直,蜂房底部由三个全等的菱形构成.瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的,因此,有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园.英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′=109°28′16''.已知一个房中BB'=5,AB=2,tan54°44′08''=,则此蠊房的表面积是.16.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,已知a=7,b=5,c=3,点I是△ABC的内心,则IB=.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在等差数列{a n}中,a1=﹣8,a2=3a4.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设(n∈N*),T n为数列{b n}的前n项和,若,求n的值.18.如图,在四棱锥P一ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点P在面ABCD内的射影为A,PA=AB=1,点A到平面PBC的距离为,且直线AC与PB垂直.(Ⅰ)在棱PD上找一点E,使直线PB与平面ACE平行,并说明理由;(Ⅱ)在(I)的条件下,求二面角B﹣AC﹣E的大小.19.甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份,一代代治沙人为了固沙、治沙,改善生态环境,不断地进行研究与实践,实现了沙退人进.2019年,古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表,被中宣部授予“时代楷模”称号.在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果,治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎,以测量风蚀值(风蚀值是测量固沙效果的指标之一,数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小,说明固沙效果越好,数值为0表示该插针处没有被风蚀)通过一段时间的观测,治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值(所测数据均不为整数),并绘制了相应的频率分布直方图.(I)根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率;(Ⅱ)若一个插钎的风蚀值小于30,则该数据要标记“*”,否则不标记.根据以上直方图,完成列联表:标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关?(Ⅲ)坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为和,若|﹣|>20cm,则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异,试根据直方图计算和(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异.附:K2=.P(K2≥k)0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828 20.已知点F为椭圆(a>b>0)的一个焦点,点A为椭圆的右顶点,点B为椭圆的下顶点,椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3,最小值为1.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)若M、N在椭圆上但不在坐标轴上,且直线AM∥直线BN,直线AN、BM的斜率分别为k1和k2,求证:k1•k2=e2﹣1(e为椭圆的离心率).21.已知函数(a∈R且a≠0).(Ⅰ)当a=时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性与单调区间;(Ⅲ)若y=f(x)有两个极值点x1,x2,证明:f(x1)+f(x2)<9﹣lna.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为,曲线C2的直角坐标方程为.(Ⅰ)若直线l与曲线C1交于M、N两点,求线段MN的长度;(Ⅱ)若直线l与x轴,y轴分别交于A、B两点,点P在曲线C2上,求的取值范围.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x﹣1|+|2x+2|,g(x)=|x+2|﹣|x﹣2a|+a.(Ⅰ)求不等式f(x)>4的解集;(Ⅱ)对∀x1∈R,∃x2∈R,使得f(x1)≥g(x2)成立,求a的取值范围.参考答案一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的1.已知集合A={1,2,3,4,5},B={x|x=2n,n∈N},则A∩B=()A.{2,3}B.{2,4}C.{3,4}D.{2,3,4,5}【分析】利用交集定义直接求解.解:∵集合A={1,2,3,4,5},B={x|x=2n,n∈N},∴A∩B={2,4}.故选:B.2.已知复数,则|z|=()A.B.5C.13D.【分析】利用复数的运算法则求出z,再求其模长即可.解:因为复数=+2=i(2+i)+2=1+2i;∴|z|==;故选:A.3.已知非零向量,给定p:∃λ∈R,使得,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】由q可得向量同向共线,进而判断出关系.解:由q可得向量同向共线,∴q⇒p,反之不成立.∴p是q的必要不充分条件.故选:B.4.若2sin,则tanα=()A.4B.3C.﹣4D.﹣3【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系,求得tanα的值.解:若2sin,即2cos•(﹣sin)=2•,即﹣sin==﹣,∴=﹣,故tanα=﹣4,故选:C.5.已知双曲线的一条渐近线过点(2,﹣1),则它的离心率是()A.B.C.D.【分析】根据题意可知(2,﹣1)在y=﹣x上,可得a2=4b2,即可得到离心率.解:由题可知(2,﹣1)在双曲线的渐近线y=﹣x上,则a=2b,即a2=4b2,所以e===,故选:A.6.已知集合,从A中任选两个角,其正弦值相等的概率是()A.B.C.D.【分析】基本事件总数n==10,利用列举法求出其正弦值相等包含的基本事件有4个,由此能求出其正弦值相等的概率.解:集合,从A中任选两个角,基本事件总数n==10,sin=sin,sin,sin,sin,∴其正弦值相等包含的基本事件有4个,∴其正弦值相等的概率为p=.故选:B.7.已知函数,且a=f(0.20.2),b=f(log34),,则a、b、c的大小关系为()A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.b>c>a【分析】推导出0<0.20.2<0.20=1,log34>1,=﹣1,由此能比较三个数的大小.解:∵函数的减区间为(﹣∞,0),增区间为(0,+∞),0<0.20.2<0.20=1,log34>1,=﹣1,∵a=f(0.20.2),b=f(log34),,∴b>c>a.故选:D.8.近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示,绘制相应的散点图,如图所示:年份12345羊只数量(万只) 1.40.90.750.60.3草地植被指数 1.1 4.315.631.349.7根据表及图得到以下判断:①羊只数量与草场植被指数成减函数关系;②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1,去掉第一年数据后得到的相关系数为r2,则|r1|<|r2|;③可以利用回归直线方程,准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数;以上判断中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3【分析】根据两组数据的相关性,对题目中的命题判断正误即可.解:对于①,羊只数量与草场植被指数成负相关关系,不是减函数关系,所以①错误;对于②,用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1,因为第一组数据(1.4,1.1)是离群值,去掉后得到的相关系数为r2,其相关性更强,所以|r1|<|r2|,②正确;对于③,利用回归直线方程,不能准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数,只是预测值,所以③错误;综上知,正确的判断序号是②,共1个.故选:B.9.已知圆锥的顶点为A,高和底面的半径相等,BE是底面圆的一条直径,点D为底面圆周上的一点,且∠ABD=60°,则异面直线AB与DE所成角的正弦值为()A.B.C.D.【分析】建立直角坐标系.不妨设OB=1.高和底面的半径相等,得OE=OB=OA,OA⊥底面DEB,利用向量夹角公式即可得出.解:如图所示,建立直角坐标系.不妨设OB=1.因为高和底面的半径相等,∴OE=OB=OA,OA⊥底面DEB.∵点D为底面圆周上的一点,且∠ABD=60°,∴AB=AD=DB;∴D为的中点则O(0,0,0),B(0,﹣1,0),D(1,0,0),A(0,0,1),E(0,1,0),∴=(0,﹣1,﹣1),=(﹣1,1,0),∴cos<,>==,∴异面直线AM与PB所成角的大小为.∴异面直线AB与DE所成角的正弦值为.故选:A.10.已知函数f(x)=sinωx(sinωx+cosωx)(ω>0),若函数f(x)的图象与直线y=1在(0,π)上有3个不同的交点,则ω的范围是A.(,]B.(,]C.(,]D.(,]【分析】先根据两角和与差的三角函数个数化简解析式,再把问题转化为sin(2)=有三个根,借助于正弦函数的性质即可求解.解:因为函数f(x)=sinωx(sinωx+cosωx)=(1﹣cos2ωx)+sin2ωx=sin (2)+(ω>0),∵函数f(x)的图象与直线y=1在(0,π)上有3个不同的交点;即sin(2)+=1有3个根;∴sin(2)=有三个根;∵x∈(0,π);∴2∈(﹣,2ωπ﹣);∵2π<2ωπ﹣≤2π+⇒<ω≤.故选:C.11.已知点M(﹣4,﹣2),抛物线x2=4y,F为抛物线的焦点,l为抛物线的准线,P为抛物线上一点,过P做PQ⊥l,点Q为垂足,过P作抛物线的切线l1,l1与l交于点R,则|QR|+|MR|的最小值为()A.B.C.D.5【分析】画出图形,设出P的坐标,结合抛物线的定义,转化说明|QR|+|MR|的最小值就是MF的距离即可.解:设P(m,),则过P的切线的斜率为:k=,Q(m,﹣1),k PQ=,k PQ >k=﹣1,根据抛物线的定义,|PF|=|PQ|.l1为FQ的垂直平分线,|RF|=|RQ|,|QR|+|MR|的最小值为|MF|==5,故选:D.12.对于定义域为D的函数y=f(x),如果存在区间[a,b]⊆D(a<b)满足f(x)是[a,b]上的单调函数,且f(x)在区间[a,b]上的值域也为[a,b],小则称函数f(x)为区间[a,b]上的“保值函数”,[a,b]为“保值区间”.根据此定义给出下列命题:①函数f(x)=x2﹣2x是[0,1]上的“保值函数”;②若函数g(x)=|2x﹣1|是[a,b]上的“保值函数”,则a+b=1;③对于函数h(x)=x2e x存在区间[0,m],且m∈(,1),使函数h(x)为[0,m]上的“保值函数”.其中所有真命题的序号为()A.②B.③C.①③D.②③【分析】①根据函数单调性的定义以及“保值函数“的定义判断即可.②由g(x)=|2x﹣1|的图象可知其为区间[0,1]上的“保值函数“,进而可得结论.③有题意可得x2e x=x解得有两个根x1=0,=e,构造函数k(x)=﹣e x,易知k()>0,k(1)<0,由零点存在定理知存在x2=m∈(,1),使x2e x=x成立,进而可得结论.解:由“保值函数”定义可知f(x)为区间[a,b]上的“保值函数“,则f(x)在[a,b]上是单调函数且在区间[a,b]时其值于也为[a,b],那么当函数f(x)为增函数时满足条件x=f(x)在[a,b]上有两个不同的实数解a,b 的函数f(x)就是“保值函数“,命题①中f(x)=x2﹣2x,虽满足在[0,1]上单调但值域为[﹣1,0],不是[0,1],故①为假命题.②中由g(x)=|2x﹣1|的图象可知其为区间[0,1]上的“保值函数“故②为真命题,③中h(x)=x2e x则由h′(x)=e x(x2+2x)≥0在[0,m]成立,所以h(x)为[0,m]上的增函数,再由x2e x=x解得有两个根x1=0,=e,构造函数k(x)=﹣e x,易知k()>0,k(1)<0,由零点存在定理知存在x2=m∈(,1),使x2e x=x成立,故③为真命题,综上所有真命题的序号为②③,故选:D.二、填空题:共4小题,每小题5分,共20分.13.已知函数,则=4.【分析】先求出f(log2)==,从而=f(),由此能求出结果.解:∵函数,∴f(log2)==,∴=f()=2×.故答案为:4.14.已知向量,满足||=,向量,夹角为120°,且(+)⊥,则向量|+|=.【分析】由题意利用两个向量垂直的性质,两个向量的数量积公式可得||•||cos<,>=﹣2,及||的值,而|+|=展开可求出其值.解:因为(+)⊥,所以(+)•=0,即+2=0,因为||=,向量,夹角为120°,整理可得﹣2=||•||cos<,>=﹣2,即﹣2=||•(),所以||=2,所以|+|====故答案为:.15.大自然是非常奇妙的,比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的结构如图所示,开口为正六边形ABCDEF,侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直,蜂房底部由三个全等的菱形构成.瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的,因此,有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园.英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′=109°28′16''.已知一个房中BB'=5,AB=2,tan54°44′08''=,则此蠊房的表面积是216.【分析】连接BD,B′D′,则由题意BD∥B′D′,BD=B′D′=6,由OB′C′D′为菱形,可求OC′=2•=6,B′C′=3,进而可求CC′,可求S梯形BB′CC′,即可计算得解S表面积的值.解:连接BD,B′D′,则由题意BD∥B′D′,BD=B′D′=6,∵OB′C′D′为菱形,∠B′C′D′=109°28′16'',tan54°44′08''=,∴OC′=2•=2×=6,B′C′=3,∴CC′=BB′﹣=4,∴S梯形BB′CC′==27,∴S表面积=6×+3×=216.故答案为:216.16.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,已知a=7,b=5,c=3,点I是△ABC的内心,则IB=.【分析】先利用正弦定理求得A以及cos C,进而得到sin,再在△BIC中,结合正弦定理即可求解结论.解:因为在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,已知a=7,b=5,c=3,∴cos A==﹣⇒A=120°;同理可得:cos C==1﹣2sin2⇒sin=;(负值舍);∵+==30°;∴∠BIC=150°;在△BIC中,=⇒IB==.故答案为:.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在等差数列{a n}中,a1=﹣8,a2=3a4.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设(n∈N*),T n为数列{b n}的前n项和,若,求n的值.【分析】(Ⅰ)等差数列{a n}的公差设为d,由等差数列的通项公式,解方程可得公差d,进而得到所求通项公式;(Ⅱ)求得===﹣,由数列的裂项相消求和,可得T n,解方程可得所求值.解:(Ⅰ)等差数列{a n}的公差设为d,a1=﹣8,a2=3a4.,可得﹣8+d=3(﹣8+3d),解得d=2,则a n=﹣8+2(n﹣1)=2n﹣10;(Ⅱ)===﹣,T n=1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣=1+﹣﹣=,化为11n2﹣27n﹣68=0,解得n=4(﹣舍去).18.如图,在四棱锥P一ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点P在面ABCD内的射影为A,PA=AB=1,点A到平面PBC的距离为,且直线AC与PB垂直.(Ⅰ)在棱PD上找一点E,使直线PB与平面ACE平行,并说明理由;(Ⅱ)在(I)的条件下,求二面角B﹣AC﹣E的大小.【分析】(Ⅰ)点E为PD中点时,连结BD,交AC于点O,则点O为BD的中点,从而OE∥PB,由此能证明PB与平面ACE平行.(Ⅱ)根据题意⊥PB,PA⊥底面ABCD,从而AC⊥PA,进而AC⊥平面PAB,由V P﹣ACB=V A﹣PBC,解得AC=1,由OE∥PB,AC⊥PB,得OE⊥AC,从而AB⊥AC,由此能求出二面角B﹣AC﹣E的大小.解:(Ⅰ)点E为PD中点时,直线PB与平面ACE平行.证明:连结BD,交AC于点O,则点O为BD的中点,∵点E为PD中点,∴OE是△PDB的中位线,则OE∥PB,∵OE⊂平面ACE,PB⊄平面ACE,∴PB与平面ACE平行.(Ⅱ)根据题意⊥PB,PA⊥底面ABCD,AC⊂底面ABCD,则有AC⊥PA,PA∩PB=P,∴AC⊥平面PAB,设AC=x,V P﹣ACB=V A﹣PBC==,解得AC=1,由(Ⅰ)知OE∥PB,AC⊥PB,∴OE⊥AC,AC⊥平面PAB,AB⊂平面PAB,∴AB⊥AC,如图,二面角为钝角,则OE,AB所成角为二面角B﹣AC﹣E的补角,∠PBA=,OE∥PB,∴OE,AB所成角为,∴二面角B﹣AC﹣E的大小为.19.甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份,一代代治沙人为了固沙、治沙,改善生态环境,不断地进行研究与实践,实现了沙退人进.2019年,古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表,被中宣部授予“时代楷模”称号.在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果,治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎,以测量风蚀值(风蚀值是测量固沙效果的指标之一,数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小,说明固沙效果越好,数值为0表示该插针处没有被风蚀)通过一段时间的观测,治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值(所测数据均不为整数),并绘制了相应的频率分布直方图.(I)根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率;(Ⅱ)若一个插钎的风蚀值小于30,则该数据要标记“*”,否则不标记.根据以上直方图,完成列联表:标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关?(Ⅲ)坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为和,若|﹣|>20cm,则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异,试根据直方图计算和(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异.附:K2=.P(K2≥k)0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【分析】(I)利用频率分布直方图计算“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的频率值;(Ⅱ)由频率分布表填写列联表,计算观测值,对照临界值得出结论;(Ⅲ)计算和,求出|﹣|,即可得出结论.解:(I)设“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的事件为C,则P(C)=0.08+0.16+0.36=0.6;(Ⅱ)由频率分布表,填写列联表如下:标记不标记合计坡腰302050坡顶203050合计5050100由表中数据,计算K2==4>3.841,所以有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关;(Ⅲ)计算=0.08×5+0.16×15+0.36×25+0.24×35+0.12×45+0.04×55=25.8(cm),=0.04×5+0.12×15+0.24×25+0.32×35+0.20×45+0.08×55=32.6(cm),且|﹣|=4.8<20,所以判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异.20.已知点F为椭圆(a>b>0)的一个焦点,点A为椭圆的右顶点,点B为椭圆的下顶点,椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3,最小值为1.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)若M、N在椭圆上但不在坐标轴上,且直线AM∥直线BN,直线AN、BM的斜率分别为k1和k2,求证:k1•k2=e2﹣1(e为椭圆的离心率).【分析】(Ⅰ)由题意可知,a+c=3,a﹣c=1,可求出a,c的值,再利用b2=a2﹣c2求出b的值,即可得到椭圆的标准方程;(Ⅱ)设直线AM的斜率为k,则直线BN的斜率也为k,所以直线AM的方程为y=k (x﹣2),直线BN的方程为y=kx﹣,联立直线AM与椭圆方程求出点M的坐标,联立直线BN与椭圆方程求出点N的坐标,再利用斜率公式分别求出k1,k2,化简k1•k2=﹣,从而得到k1•k2=e2﹣1.解:(Ⅰ)由题意可知,,解得,∴b2=a2﹣c2=3,∴椭圆的标准方程为:;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,A(2,0),B(0,﹣),设直线AM的斜率为k,则直线BN的斜率也为k,故直线AM的方程为y=k(x﹣2),直线BN的方程为y=kx﹣,由得:(3+4k2)x2﹣16k2x+16k2﹣12=0,∴,∴,,∴,由得:,∴,,∴,∴=,=,∴k1k2=•=﹣,又∵,∴k1•k2=e2﹣1.21.已知函数(a∈R且a≠0).(Ⅰ)当a=时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性与单调区间;(Ⅲ)若y=f(x)有两个极值点x1,x2,证明:f(x1)+f(x2)<9﹣lna.【分析】(Ⅰ)因为a=时,f′(x)=2﹣﹣x⇒f′(1)=﹣1,易求f(1)=2,从而可得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)由题意可知f′(x)=2﹣﹣x=(x>0),令﹣x2+2x﹣a =0,通过对△=12﹣4a符号的分析,即可求得函数f(x)的单调性与单调区间;(Ⅲ)依题意,f′(x)==0有两个正根x1,x2,则△=12﹣4a>0,x1+x2=2,x1•x2=a>0,f(x1)+f(x2)=2(x1+x2)﹣aln(x1x2)﹣(+)+1=﹣alna+a+7,利用分析法,若要f(x1)+f(x2)<9﹣lna,即要alna﹣lna﹣a+2>0,构造函数g(x)=xlnx﹣lnx﹣x+2,通过对其导数的分析,存在x0∈(1,2),使得g (x0)=0,且g(x0)为(1,2)上的最小值,g(x0)=x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2=3﹣(x0+),利用对勾函数的单调性即可证得结论成立.解:(Ⅰ)因为a=时,,所以f′(x)=2﹣﹣x,那么f′(1)=﹣1,f(1)=2,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为:y﹣2=﹣(x﹣1),即x+y ﹣2﹣1=0,(Ⅱ)由题意可知f(x)的定义域为(0,+∞),因为f′(x)=2﹣﹣x=,由﹣x2+2x﹣a=0可得:△=12﹣4a >0,即a<3时,有x1=+,x2=﹣,x1>x2,又当x∈(0,3)时,满足x1>x2>0,所以有x∈(0,x2)和(x1,+∞)时,f′(x)<0,即f(x)在区间(0,x2)和(x1,+∞)上为减函数.又x∈(x2,x1)时,f′(x)>0,即f(x)在区间(x2,x1)上为增函数.当a<0时,有x1>0,x2<0,则x∈(0,x1)时,f′(x)>0,f(x)为增函数;x∈(x1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;当a≥3时,△≤0,f′(x)≤0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)为减函数,综上所述,当a<0时,在(0,3+),f(x)为增函数;在(3+,+∞),f (x)为减函数;当0<a<3时,f(x)在区间(0,3﹣)和(3+,+∞)上为减函数,在(3﹣,3+),f(x)为增函数;当a≥3时,在(0,+∞)上,f(x)为减函数.(Ⅲ)因为y=f(x)有两个极值点x1,x2,则f′(x)==0有两个正根x1,x2,则△=12﹣4a>0,x1+x2=2,x1•x2=a>0,即a∈(0,3),所以f(x1)+f(x2)=2(x1+x2)﹣aln(x1x2)﹣(+)+1=﹣alna+a+7,若要f(x1)+f(x2)<9﹣lna,即要alna﹣lna﹣a+2>0,构造函数g(x)=xlnx﹣lnx﹣x+2,则g′(x)=1+lnx﹣﹣1=lnx﹣,且在(0,3)上为增函数,又g′(1)=﹣1<0,g′(2)=ln2﹣>0,所以存在x0∈(1,2),使得g(x0)=0,即lnx0=,且x∈(1,x0)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,x∈(x0,2)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)在(1,2)上有最小值g(x0)=x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2=3﹣(x0+),又因为x0∈(1,2),则x0+∈(2,),所以g(x0)>0在x0∈(1,2)上恒成立,即f(x1)+f(x2)<9﹣lna成立.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为,曲线C2的直角坐标方程为.(Ⅰ)若直线l与曲线C1交于M、N两点,求线段MN的长度;(Ⅱ)若直线l与x轴,y轴分别交于A、B两点,点P在曲线C2上,求的取值范围.【分析】(Ⅰ)直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果.(Ⅱ)利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系,进一步求出范围.解:(Ⅰ)直线l的参数方程为(t为参数),转换为直角坐标方程为x+y ﹣1=0,曲线C1的极坐标方程为,转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y =0,转换为标准式为(x﹣1)2+(y+1)2=2,所以圆心(1,﹣1)到直线x+y﹣1=0的距离d=,所以弦长|MN|=2.(Ⅱ)线C2的直角坐标方程为.转换为直角坐标方程为x2+y2=4,转换为参数方程为(0≤θ≤π).由于A(1,0),B(0,1),点P在曲线C2上,故P(2cosθ,2sinθ),所以,,(0≤θ≤π),所以=2,故:,所以.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x﹣1|+|2x+2|,g(x)=|x+2|﹣|x﹣2a|+a.(Ⅰ)求不等式f(x)>4的解集;(Ⅱ)对∀x1∈R,∃x2∈R,使得f(x1)≥g(x2)成立,求a的取值范围.【分析】(Ⅰ)将函数化为分段函数的形式,再分类讨论分别解不等式,最后把每种情况的解集取并集即可;(Ⅱ)易知f(x)min=2,g(x)≥|2a+2|+a,结合题意可知2≥|2a+2|+a,由此求得实数a的取值范围.解:(Ⅰ),∴f(x)>4即为或或,∴或x∈∅或x>1,∴不等式的解集为;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当x=﹣1时,f(x)min=2,g(x)=|x+2|+|x﹣2a|+a≥|(x+2)﹣(x﹣2a)|+a=|2a+2|+a,由题意,对∀x1∈一、选择题,∃x2∈R,使得f(x1)≥g(x2)成立,故f(x)min≥g(x)min,即2≥|2a+2|+a,解得﹣4≤a≤0,∴实数a的取值范围为[﹣4,0].。
甘肃省2020年高考理科数学模拟试题及答案(一)
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甘肃省2020年高考理科数学模拟试题及答案(一)(满分150分,考试时间120分钟)一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1. 已知集合2{|2}A x x =<,则R C A =( )A.{|22}x x -≤≤B.{|22}x x x ≤-≥或C.{|x x ≤≤D.{|x x x ≤≥或2. 若()12z i i +=,则z =( )A.1i --B.1i -+C.1i -D.1i +3. 已知3a e =,33log 5log 2b =-,c =a ,b ,c 的大小关系为( ) A .a c b >> B .b c a >> C .c a b >>D .c b a >>4. 已知,2sin cos 2R ααα∈-=,则tan(2)4πα-=( ) A .43 B .7- C .34- D .175. 已知某几何体的三视图如图所示,网格中小正方形的边长为1,则该几何体的表面积为( )A. 20B. 22C. 24D.6. 已知函数()f x 和(2)f x +都是定义在R 上的偶函数,当[0,2]x ∈时,()2xf x =,则20192f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A. 2B. C.27. 直线2130x ay a -+-=,当a 变动时,所有直线所过的定点为( ) A.1(,3)2-B. 1(,3)2--C. 1(,3)2D.1(,3)2- 8. 三棱锥V ABC -的底面三角形ABC 为正三角形,侧面VAC 垂直于底面,VA VC =,已知其正视图VAC ∆面积为23,则其侧视图的面积为 ( )A.2 B. 6 C. 4 D.39. 如图,已知直四棱柱中,,,且,则直线与直线所成角的余弦值为( )A.B. C. D.10. 已知中,内角所对的边分别是,若,且,则当取到最小值时,( ) A.B.C.D. 11. 定义在上的偶函数满足:当时,,.若函数有6个零点,则实数的取值范围是( )A.B.C.D.12. 已知抛物线的焦点为,且到准线的距离为2,直线与抛物线交于两点(点在轴上方),与准线交于点,若,则( ) A.B.C.D.二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分。
2020年甘肃省高考数学(理科)模拟试卷(2) 含详细答案解析

)
A .3
B .√10
C. 2 √3
D.5
4.( 5 分)已知抛物线 y2= 2px( p> 0)经过点 ??(2,2 √2) ,焦点为 F .则直线 MF 的斜率
为( )
A .2√2
√2 B.
4
√2 C.
2
5.( 5 分)函数 ??(??=) ( ????-+11)????的部分图象大致是(
)
D. -2 √2
C.(﹣ 1, +∞)
【解答】 解:因为 A= { x||x|< 1} =(﹣ 1, 1), B= { x|2x< 1} =(﹣∞, 0),
则 A∪ B=(﹣∞, 1).
故选: D .
D.(﹣∞, 1)
2.( 5 分)设??=
2+2??,?是? 1-??
z 的共轭复数 (注: a+bi
的共轭复数为
a﹣ bi),则 z???=(
( 2)设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为
x,其相应维修费用为 y 元,根据统计,
得到如下表的 y 与 x 数据:
x
10
15
20
25
30
35
40
y
10000 11761 13010 13980 14771 15440 16020
??
??= 0.1??4343 + 2
2.99
3.49
4.05
4.50
( 2)P, Q 是曲线 C 上两点,若 OP⊥OQ ,求 |????2| +|????|2的值. 五.解答题(共 1 小题)
23.已知不等式 |2x﹣ 1|<2 的解集与关于 x 的不等式﹣ x2﹣px+q> 0 的解集相同.
2020年甘肃高三一模数学试卷(理科)

代入
中 ,
, ,
上市时间每增加 个月,市场占有率平均增加
由
,
个百分点,
8
解得
,
预计上市 个月时即
故选 .
时满足条件,易知
时表示为 年 月,
8. C
解析:
对于①,若
, , ,则
对于②,若 , ,
,则
对于③,若
,
,
,则
对于④,若 ,
,
,
综上所述,②④正确.
故选: .
或 与 异面或 与 相交,故①错误;
或
可化为 或
, ,
解得:
或
或
,
所以不等式的解集为
,故
,
.
( 2 )由( )知
,即
,
由
,
得
当且仅当
,即
,
时等号成立,故
,即
, .
19
则构成如图所示的正四面体,
13
且
取面 的中心 ,联结 ,则 面
又
面,
∴
,
∵
,
,
∴
,
∴最上面球的球顶距离地面的高度约为
, ,
.
17.( 1 )证明见解析,
.
(2)
.
解析:
( 1 )由已知可得
,即
,
可化为
,
故数列
是以
为首项,2为公比的等比数列.
即
,
所以
.
( 2 )由( )知,数列
的通项为:
,
所以
.
18.( 1 )画图见解析. (2) .
令 所以函数
,
,
,
,
2020-2021学年甘肃省高三第一次模拟考试数学(理)试题及答案解析

甘肃省第一次高考模拟试卷(理)数 学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
满分150分,考试时间120分钟。
第I 卷(选择题 共60分)一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={x 丨xx 1-≥0,x ∈R },N={y 丨y=3x ²+1,x ∈R },则M ∩N 为( ) A {x 丨x >1} B {x 丨x ≥1} C {x 丨x >1或x ≤0} D {x 丨0≤x ≤1} 2.已知i 为虚数单位,图中复平面内的点A 表示复数z ,则表示复数的点是( )A MB NC PD Q(第2题图)3.已知命题P :有的三角形是等边三角形,则( ) A.P ⌝:有的三角形不是等边三角形B.P ⌝:有的三角形是不等边三角形C.P ⌝:所有的三角形都是等边三角形D.P ⌝:所有的三角形不是等边三角形4.在△ABC 中, ,则该三角形的形状是( )得分 评卷人座号县/区 考点 考场 姓名 学号密封线内不准答题A 钝角三角形B 锐角三角形C 直角三角形D 不能确定5.如图,D 、E 、F 分别是ABC ∆的边AB 、BC 、CA 的中点,则AF DB -=u u u r u u u r( )A .FD u u u rB .FC C .BED .FE6.函数y=sin(4π-2x)的单调增区间是 ( ) (第5题图) A. 3[8k ππ-,38k ππ+] (k ∈Z ) B. [8k ππ+,58k ππ+] (k ∈Z ) C. [8k ππ-,38k ππ+] (k ∈Z ) D. 3[8k ππ+,78k ππ+] (k ∈Z )7.直线y =x -4与曲线2y x =及x 轴所围成图形的面积是( )A.643 B.403 C.563 D.3838.已知某几何体的三视图如图(正视图的弧线是半圆),根据图中标出数据,这个几何体的体积是 ( )A .28836π+B .60πC .28872π+D .28818π+9.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若129288,162,S S ==则6S =( )A .18B .36C .54D .7210.若过点)0,4(A 的直线l 与曲线1y 2)-22=+x (有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为( )A .[3,3]-B .(3,3)-C .33[,]-D .33(,)- 11. △ABC 各角对应边分别为a ,b ,c ,满足b c a+c a+b+≥1,则角A 的范围是( ) A.(0,3π] B.(0,6π] C.[3π,π) D.[6π,π) 12.已知函数()1,()43,f x e g x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为( )A .[22,22]-+ B .(22,22)-+ C .[1,3] D .(1,3)二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
2020年甘肃高三一模数学试卷(理科)

在
处的切线与直线
垂直,求 的值.
(2) 若
的两个零点从小到大依次为 , ,证明:
.
四、选做题(本大题共2小题,选做1题,共10分)
22. 在平面直角坐标系 中,曲线 的参数方程为
(
, 为参数),在以
为极点, 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 是圆心在极轴上,且经过极点的圆,已知曲线
上的点
对应的参数
为平行四
12. 设函数 等式 A. B. C. D.
是定义在
上的可导函数,其导函数为 的解集为( ).
,且有
,则不
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13. 已知 为偶函数,当
时,
,则
.
14. 已知 是数列 的前 项和,且
,则数列 的通项公式为
.
15. 在直角梯形
中,
,
,
上的投影为
.
,
中,角 , , 所对的边分别为 , , ,且
的面积为
.
( 1 ) 求 的值.
(2) 若
,求
周长的最大值.
18. 如图,在四棱锥 ,
中,四边形
是直角梯形,
,
,
, 是 的中点.
,
底面
( 1 ) 求证:
平面
( 2 ) 若二面角
. 的余弦值为
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
19.
年 月 日,甘肃省人民政府办公厅发布《甘肃省关于餐饮业质量安全提升工程的实施意
在
处取得最大值,
,
,
的图象关于点
对称.
7. B
解析:
∵不等式
,
解集为 则
2020届甘肃省第一次高考诊断考试(数学理)

2020届甘肃省第一次高考诊断考试(数学理)数学理科考生注意:本试卷分第1卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分,总分值为150分,考试时刻120分钟, 所有试题均在答题卡上作答•其中,选择题用28铅笔填涂,其余题用0.5毫米黑色墨水签字笔作答,参考公式:假如事件A、B互斥,那么-假如事件A、B相互独立,那么’,假如事件.A在一次试验中发生的概率是P,那么它在n次独立重复试验中恰好发生A次的概率为'' •球的表面积公式:身亠:吭T,其中R表示球的半径,球的体积公式:,其中R表示球的半径,第1卷〔选择题,共60分〕一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1•集合心w m弘"乩用.那么ifn』¥=(A)・'3 - L (B) ' -]川川(C),-2. - 1 刖(D) |0.],2j2 •运算:2 -(=(A)I +3i (B)3+3i (C)1-3i (D)3 -3i7y£>ir) 1 * 对rt丧Kmf —-3.在△ ABC中,假设2,那么△ ABC的形状为(A)直角三角形(B)等边三角形(c)等腰三角形(D)等腰直角三角形4•以下四个数中,最大的一个是(A)卜;(B) I: ' (C) :!1 ' f;-' :(D) 1:;j_5 .某篮球运动员在三分线投篮的命准率为,他投篮5次,恰好投准3次的概率为丄T35(A)32(B)(C)(D) ' *6.在等差数列“中,假设那么它的前10项和"(A)70 (B)80 (C)90 (D)IOO斗TS' I .7•将函数'的图像按向量"‘亍’:平移,那么平移后的函数图像的解析式为9•从4名男生和3名女生中选出3人,分不参加三项不同的工作,假设这三人中至少有1女生,那么选派方案共有(A)270 种 (B)216 种 (C)186 种 (D)108 种10 .过半径为2的球0表面上一点 A ,作球0的截面,假设 OA 与该截面所成的角为30° 的面积为(A)4 n (B)3 n (C)2 n (D) n11.设a=(3. 4), a 在b 上的投影为 ,b 在j=(o , 1)上的投影为1,且|悅〔占超那么b=(B)(1,2) (C)(1,1) (D)(2,1)第二卷〔非选择题,共90分〕二、填空题:本大题共 4小题,每题5分,共20分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13.「:的展开式中常数项为 ________________ .—-= I14. 双曲线 上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比为 2,那么m=15.设随机变量 服从标准正态总体 N(O , 1),假设b"魁“° 9兀:,那么标准正态总体在区间〔-1 98.1.98〕内取值的概率为 _________________16. 以下命题中:①假设a.b.m 差不多上正数,那么 ,那么b>a ;②a 、b 差不多上实数,假设,那么ab <O;其中,正确的命题为 _____ 〔将正确的序号填在横线上〕.三、解答题:本大题共 6小题,共70分.解承诺写出文字讲明、证明过程或演算步骤. 17 .本小题总分值10分(C)&正三棱锥 为1(A)S -ABC 的各棱长均相等,D 为SC 的中点,那么SA 与BD 所成角的余弦值(B) (c) (D) ,那么该截面(A)(0,1)12 .偶函数f(x)的定义域为R ,假设’’二为奇函数,那么(A)' 1门为偶函数(c)小为奇函数(B)为奇函数(D) ;lf 谬为偶函数③假设a 、b 、c ABC 的三条边,那么a2 +b2 +C2 >2〔 ab+ bc+ ca 〕④假设a>b>c ,那么 )• 1AFR ( 2J * =(B)(1)求 的单调区间;设函数只”(1) 求f(x)的最大值及最小正周期;(2) 假设锐角厶ABC 中,角A 满足Z 亠荷,求"'的值. 18 .本小题总分值12分如图(1), AABC 是等腰直角三角形, AC =BC =4 , E 、F 分不为AC 、AB 的中点,将 AABC 沿 EF 折起,使A '在平面BCEF 上的射影0恰为EC 的中点,得到图(2). (1) 求证:EF 丄 A'C ;(2) 求二面角 A ' -BC -E 的大小; (3) 求三棱锥F-A'BC 的体积,图(1) 图(2)19. 〔本小题总分值12分〕某单位有三辆汽车参加某种事故保险,年初单位向保险公司缴纳一定数量的 保险金,对在一年内发生此种事故的每辆汽车,单位可获得9000元的赔偿〔假设每辆|_L 丄 _L 车最多只赔偿一次〕,设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分不为 b m‘ii 且各辆车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中: (1) 获赔的概率;(2) 获赔金额 的分布列与期望. 20. 本小题总分值12分在数列中,广’为其前n 项和,且满足呂■士沐 75芒“ .(1) 求数列丨歧」的通项公式;21. 本小题总分值12分 抛物线的焦点为F , M 为其准线上一点,直线 MF 与抛物线交与 A 、B 两加A y、点,人耐・(1)求证Mi 汕;(2)当A 虫时,求直线AB 的方程. 22本小题总分值12分设函数(2)证明:小,都有幻⑴"+口成立,求实数a的取值范畴.(2)假设对所有的一第一次高考诊断数学试题参奇答案及评分标准第I 卷一、迭择题;本大地兴】2小臥甸小题$分・共3分.I. U 2Jk 2.C4.B$1)6.A7.R R.C 9.C IO.B Jl.D I2.C第II 卷二、 填空也小眄剜邇§分,共20分.L3.W M. - I,吃09,24;(又)]"・T 席@321三. 解答矽;本大题求6小亟共"分・L7•衣小朋分10分耶:11»/ (.i ) - 3co$lv - \3sin 2x + 3= 2^'3«os(2.t-4- —}+3.♦ !♦•«・・♦♦・・,••••• •••・•• •・・••••・・X ・・・・・・・・・・5 2$⑵ Hi/(4) = 3-2v3.人一m 亠3 - 3-2J?・6 7;/. UO M2.A —)= l ・6X 0 < H A — — ■从"ii un — A w Gin — — ^32 12 5 3i«.右小m 濮分12分t I i i 「9•一:九丄・ EF ff :^3COl AA»C 的中处裁.••• FF 丄 AC.・•• EF 丄平面A :EC.乂川QuN 西片&•,・・・E :F 丄屮c 芥肚•::同丄EC.・・••••・・••・・・・•・・・••・・・・・・ ・*e ・0・・・0・・・・,・・《«7夕}・・・•・・・・・・•・・・I «>v .40丄EF. •・・EF丄平正.谊E?故孑芒秦ik(ll 7!i i又/f<7u 平ifcA^C •: EF 丄才G.(2) 7 A'O 丄面 BCEF.OCLKC.fk^A f C!BC•; C0平•••••••••x.•♦*••■••••••••••••••••••••・••• •又T/fo 垂 11 平分we. ^o = V-EO 2 = .oc-i. 住直fh'A'CO 中・ lan" CO "3.二10A-g-E 为丁 -(3) 庄宜角梯形EFRC 中.EC = 2. BC = A : S 沖=i-«C・£C = 4 ・X v 勿垂直 V 分 «?,• •• "0 ■ \- EO 1 = <5.•:三綾链F-XJJC 的体积为:]I4*^5二、O = 2 * 4 * 33 ・・・■••・・•■・・■ •・・•《•♦・・•■・・・•・・・■♦・・12攵宙用向呈法求解•可酌馆给分〉19・本小通满分12分氏科》解:设&祓示笔K 轲午在 年内发生此爭故.KJ2.3•则儿、仏、九相亙独立. 且P ⑷冷丿他)■占,")■右.(1)该单位一年内沃赔的口率为? 1・F (入兀A )4P (A )PC 石)丽)r 89 10 39 10 II 11(2) g 的所有可fi£«T 为 0.9000.18000.27(X )0・陀=O ) = P w 小 g )P ( “P (州X 評才亍晋 尸点■ 9000> = AjA,)+ 尸(厲 Aj Ay ) + 石心 3)・ =PS )P (石)此石H p (瓦屮(比屮(石>+巩可W (石)p (4)1 9 10 8 I 10 8 9 1 242 11=*- X — X —十—X —X 1—X — X —= =—: ...9 10 II 9 10 丄 9 10 J1 990 _ 45---- 8分・2分• •・・・・•• ••• ••• »M •■・・・■・・•・•・・••••••••••••••••• ・•・・•・・•・• ・・・0 ・・・•・ ••■•••• ••■••• ・・•・・ «••••••• • ■■••00・・・・・・・・0・・ •・•• •••・・•・ ・・・・・・・・•・ ・>«・・・・・ ••*•6夕十'尸(好=18000)二P(人比瓦)4 P(占石A J + P(\A L A,)1 1 10 1 9 1 8 1 1 27 3 B -x —x - 4- —X — X 一 4 —X — X 一 = ---- = ----- 9 10 11 9 10 II 9 10 11 990 110P(i = 27000) = F(A 入已)=)P(A 2)P(A })Q11a170900Ef = 0x2+9000x 旦斗 18000x2 十 27000乂云=^- ................................. 12 分9 11 45 110 990 11(文科)解:设儿、再表示三道工序合版则令、厶、Aj 相互独工45 7,卩(人)二亍................................... 2 分(1 )恢种零件合格的槪率为P ■ Pg・A ・厲)="叫)尸⑷ .......................... 4分 4 5 7 7 -X —X —=— 5 6 8 127(2)由于该种窶fl 3】合格辜为~...... .... —…山辿立車貝试聖的抵舉公式得於好取到-件合格詁的嘅率为 p-r «/Zi./Av: 25J 、I"V *• ••• ••»••••• ••• ••••• »••••«••••••••••••• ••••• ••<1 121257620•車小点満分12分(建科)解:(1 > 当兀=10扌,a i = S 、= 2a,-】■•••“! = 1 ■冷 S“| =2兔S" = 2a… -n,9 10 11 990的分布列为;40 9W01800027000p 8 11 3 1-■■11 45 110990.... o 分••・j =2a” -2a,~l.•・.{£ + 1}见以2为首顶.2为公比的每比数列. •••4 = 2“一1(刃€用)・n I Z1 \ . n \= -------- (1——)> ------------- ・..... ................ .. ................................................ 12分 2 3 r 2 3 " (文科)餡没帶羞数列5}的&顶为q •公羞为厶r 耳・比・®成等比数列.・•.(坷十5cf 『二(q 十衍)(耳十&/)• ................................. 4分 ・iq' + 10q 〃 +25d* = a ; +」1吗〃 +2心.-«i = d ・ .. ............................................................. . ................................. 8 分 又1為=10 = 4十4乩・ \^ = tf —2......................................................................... 「・ S 乂二 50x2 + x2 = 93O, ....................... ................. 21.本小SI 满分】2分解:⑴i 站找砂的方程为 —£).代人拟物线方稈> : = 2p.r •笑■fr\v 2 一 p{k l 4 2)才+"上二0 ........................................................................ ..4_ 丨 I 1 I"2^2(2^'^1) 2*3-2< + 2< -2 ............. 一 ........... 8分 ............. . ................................... 10 分•…川分 门分 沙-扌*仗= 1.2,3,…,心讣人(巧 t? l)» B g 1 >2 )・则M (— % — 〃A 入心亠导).>1 4 Pk =心 + pk)9曲1;达定理知 X =£•••• \(壬i 自■俘一殆Z. AE -AFB ・ ___(若用几何法证阴也町sm 钦分)(2) V AF =入就Hi 2用=才)叮•从両得X )=入'並③・疥/代人I •冯彳-才七二几(毛一牛.从而蒔心=总▼円=丸■久2读瞒致学答秦«5 5l<M7 H)即直线的方程为『=士73(*-彳)・■22•本小题满分12分(理科)#;(1)V帆和的定义域为XE(Q+oc).・・2分X出△=尸一4三0,即一20rcOH寸.^(x)>0.则XO为增函数:② 当A«fc J-4>t<-2Bj ・ x?4lr^! = OWW不尊曲实ftt.4按匚4 -R+J宀4 口°卄一-—・屯=—-—•且0 5 <心当x eCO■丙M(打>0;当K W (.r lt x;).^(.r) v0:当尤£ g—oo)■卩(x)> 0. ...4 分那上当上V-处L冲)的增区何为疋一4站—加P .丄2 2m/nz _上_、'火・_4 —k + Uk'—4减区何为-------- ------- . ------ ------ .2 2■ ■S-2<*<W. 的增区间为(0.4-OO) ............................................. . ...... ... 6分10分■ 21 xlnx1................... 8 分当I 3时•得疋二土的.乂 •・,(攵41" x —1) =1 —— >1.X・••" 扫響 >0,即 饨巧=更罕(*€&亠8»为用函数 ................. 10分(X4-1)-K 十1即“的取值范国为(^—. 〔丈和 «:< I ) v/(\x ) = r+2ar + L当A<0・即/W 耐• / *)20. /(X )在/?上为单圖増函数: ...................... 4分 当△>(!即a 、a ]时・由/ (工)二 0•得4 = 一。
2020年4月甘肃省2020届第一次高考诊断考试理科数学答案

a
a
所以 f (x) 在 (0, 1 ) 上单调递增,在 (1 ,1) 单调递减,在 (1,) 单调递增. …………6 分
a
a
(2)当 a 2 时,欲证 f (x) ex 2x 1 ,只需证 ln x 2 ex , x
第一次诊断理科数学答案 第 3 页(共 5 页)
令 g(x) ln x ex 2 , x (0,) ,则 g(x) 1 ex , x
因存在 x0 (0,1) ,使得
1 x0
ex0
成立,即有 x0
ln x0
,使得 g(x0 ) 0 成立.
当 x 变化时, g(x) , g(x) 的变化如下:
x g(x)
(0, x0 ) +
x0
( x0 , )
0
-
g(x)
单调递增
单调递减
所以
g ( x)max
故数列an 1 是以 a1 1 2 为首项,2 为公比的等比数列.
即有 an 1 (a1 1) 2n1 2n ,所以 an 2n 1.
…………………6 分
(2)由(1)知,数列an 2n 的通项为: an 2n 2n 2n 1 ,
Sn (21 22 23 2n ) (1 3 5 2n 1)
13. 10
14. 1344
15. 2,3
16. 20; 21(1 6)
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考 题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。 17.(本题满分 12 分)
解 1,可化为 an1 1 2(an 1) ,
2(1 2n ) n2 2n1 n2 2 . 1 2
2020届甘肃省第一次高考诊断考试(数学理)

2020届甘肃省第一次高考诊断考试(数学理)数学理科考生注意:本试卷分第1卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分,总分值为150分,考试时刻120分钟,所有试题均在答题卡上作答.其中,选择题用28铅笔填涂,其余题用0.5毫米黑色墨水签字笔作答,参考公式:假如事件A、B互斥,那么假如事件A、B相互独立,那么,假如事件.A在一次试验中发生的概率是P,那么它在n次独立重复试验中恰好发生A次的概率为.球的表面积公式:,其中R表示球的半径,球的体积公式:,其中R表示球的半径,第1卷〔选择题,共60分〕一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.集合.那么=(A) (B) (C) (D)2.运算:=(A)I +3i (B)3+3i (C)1-3i (D)3 -3i3.在△ABC中,假设,那么△ABC的形状为(A)直角三角形(B)等边三角形(c)等腰三角形(D)等腰直角三角形4.以下四个数中,最大的一个是(A) (B) (C) (D)5.某篮球运动员在三分线投篮的命准率为,他投篮5次,恰好投准3次的概率为(A) (B) ( C) (D)6. 在等差数列中,假设,那么它的前10项和(A)70 (B)80 (C)90 (D)IOO7.将函数的图像按向量平移,那么平移后的函数图像的解析式为(A) (B)( C) (D)8.正三棱锥S -ABC的各棱长均相等,D为SC的中点,那么SA与BD所成角的余弦值为(A) (B) (c) (D)9.从4名男生和3名女生中选出3人,分不参加三项不同的工作,假设这三人中至少有1名女生,那么选派方案共有(A)270种(B)216种(C)186种(D)108种lO.过半径为2的球O表面上一点A,作球O的截面,假设OA与该截面所成的角为30°,那么该截面的面积为(A)4π(B)3π(C)2π(D)π11.设a=(3.4),a在b上的投影为,b在j=(o,1)上的投影为1,且,那么b=(A)(O,1) (B)(1,2) (C)(1,1) (D)(2,1)12.偶函数f(x)的定义域为R,假设为奇函数,那么(A) 为偶函数(B) 为奇函数(c) 为奇函数(D) 为偶函数第二卷〔非选择题,共90分〕二、填空题:本大题共4小题,每题5分,共20分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13.的展开式中常数项为_______________.14.双曲线上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比为2,那么m=_________15.设随机变量服从标准正态总体N(O,1),假设,那么标准正态总体在区间〔-1 98.1. 98〕内取值的概率为______________.16.以下命题中:①假设a.b.m差不多上正数,那么,那么b>a;②a、b差不多上实数,假设,那么ab <O;③假设a、b、c为△ABC的三条边,那么a2 +b2 +C2 >2〔ab+ bc+ ca〕④假设a>b>c,那么.其中,正确的命题为____ 〔将正确的序号填在横线上〕.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解承诺写出文字讲明、证明过程或演算步骤.17.本小题总分值10分设函数.(1)求f(x)的最大值及最小正周期;(2)假设锐角△ABC中,角A满足,求的值.18.本小题总分值12分如图(1),AABC是等腰直角三角形,AC =BC =4,E、F分不为AC、AB的中点,将AABC沿EF折起,使A’在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点,得到图(2).(1)求证:EF⊥A'C;(2)求二面角A’-BC -E的大小;(3)求三棱锥F-A'BC的体积,图(1) 图(2)19.〔本小题总分值12分〕某单位有三辆汽车参加某种事故保险,年初单位向保险公司缴纳一定数量的保险金,对在一年内发生此种事故的每辆汽车,单位可获得9000元的赔偿〔假设每辆车最多只赔偿一次〕,设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分不为且各辆车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中:(l)获赔的概率;(2)获赔金额的分布列与期望.20.本小题总分值12分在数列中,为其前n项和,且满足.(1)求数列的通项公式;(2)证明:.21.本小题总分值12分抛物线的焦点为F,M为其准线上一点,直线MF与抛物线交与A、B两点,(1)求证;(2)当时,求直线AB的方程.22本小题总分值12分设函数(1)求的单调区间;(2)假设对所有的,都有成立,求实数a的取值范畴.。
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2020年甘肃省高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R,集合M={x|0≤x<5},N={x|x≥2},则(∁U N)∩M=()A.{x|0≤x<2}B.{x|0<x≤2}C.{x|0<x<2}D.{x|0≤x≤2}2.已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b=()A.﹣1 B.1 C.2 D.33.等比数列{a n}的各项均为正数,且a1a8=9,则log3a l+log3a2+…+log3a8=()A.10 B.9 C.8 D.74.已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是()A.∀x∈R,f(﹣x)≠f(x)B.∀x∈R,f(﹣x)≠﹣f(x)C.∃x0∈R,f(﹣x0)≠f(x0)D.∃x0∈R,f(﹣x0)≠﹣f(x0)5.若变量x,y满足约束条件,且z=x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m﹣n=()A.5 B.6 C.7 D.86.设非零向量,,满足||=||=||, +=,则向量与向量的夹角为()A.150°B.120°C.60°D.30°7.如图,网格纸上小正方形的边长为l,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几何体的各个面中最大面的面积为()A.l B.2 C.2D.48.如图表示的是求首项为2020,公差为﹣3的等差数列{a n}前n项和的最大值的程序框图,则①和②处可填写()A.①a<0?,②a=a﹣3 B.①a<0?,②a=a+3 C.①a>0?,②a=a﹣3 D.①a >0?,②a=a+39.已知A(﹣1,0)、B(2,1)、C(5,﹣8),△ABC的外接圆在点A处的切线为l,则点B到直线l的距离为()A.B.1 C.D.10.已知抛物线C:y2=16x,焦点为F,直线l:x=﹣1,点A∈l,线段AF与抛物线C的交点为B,若=5,则||=()A.6 B.35 C.4D.4011.如图,矩形ABCD中AD边的长为1,AB边的长为2,矩形ABCD位于第一象限,且顶点A,D分别在x轴y轴的正半轴上(含原点)滑动,则的最大值是()A.B.5 C.6 D.712.已知函数f(x)的导函数为f′(x),若∀x∈(0,+∞),都有xf′(x)<2f(x)成立,则()A.2f()>3f()B.2f(1)<3f()C.4f()<3f(2)D.4f (1)>f(2)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.若(a﹣)5展开式中的常数项为﹣40,则a______.14.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该球的表面积为12π,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,则此三棱柱的体积为______.15.若数列{a n}满足a1=2,a n+1=a n+log2(1﹣),则a32=______.16.若函数f(x)=x2﹣4e x﹣ax在R上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为______.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在△ABC中,a,b,c分别为角A、B、C的对边,若=(cos2,1),=(cos2(B+C),1),且∥.(I)求角A;(Ⅱ)当a=6,且△ABC的面积S满足=时,求边c的值和△ABC的面积.18.某射击训练基地教练为了对某运动员的成绩做一分析,随机抽取该名运动员的t次射击成绩作为一个样本,根据此数据做出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:分组频数频率[8.4,8.9)9 0.15[8.9,9.4)m 0.3[9.4,9.9)24 n[9.9,10.4)q p[10.4,10.9) 3 0.05合计t 1(I)求表中t,p及图中a的值;(Ⅱ)在所取的样本中,从不少于9.9环的成绩中任取3次,X表示所取成绩不少于10.4的次数,求随机变量X的分布列及数学期望.19.如图,在三棱锥P﹣ABC中,F、G、H分别是PC、AB、BC的中点,PA⊥平面ABC,PA=AB=AC=2,二面角B﹣PA﹣C为120°.(I)证明:FG⊥AH;(Ⅱ)求二面角A﹣CP﹣B的余弦值.20.已知椭圆C:=l(a>b>0),F1、F2为左右焦点,下顶点为B1,过F的直线l交椭圆于M、N两点,当直线l的倾斜角为时,F1B⊥l.(I)求椭圆C的离心率;(Ⅱ)若P为椭圆上一动点,直线PM、PN的斜率记为k PM、k PN,且不为零,当直线l垂直于x轴时,是否存在最小值?若存在,试求出该最小值;若不存在,请说明理由.21.已知函数f(x)=ln(1+x)一(a>0).(I)当f(x)在[0,+∞)内单调递增时,求实数a的取值范围;(Ⅱ)证明:.【选修4-1:几何证明选讲】22.如图所示,AB为圆D的直径,BC为圆O的切线,过A作OC的平行线交圆O于D,BD与OC相交于E.(I)求证:CD为圆O的切线;(Ⅱ)若OA=AD=4,求OC的长.【选修4-4:坐标系与参数方程】23.已知在直角坐标系xOy中,曲线C的方程是(x﹣2)2+(y﹣l)2=4,直线l经过点P (3,),倾斜角为,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)写出曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程;(Ⅱ)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求|OA|•|OB|的值.【选修4-5:不等式选讲】24.设函数f(x)=|x﹣a|(a∈R).(I)当a=3时,解不等式f(x)≥4﹣|x+l|;(Ⅱ)若不等式f(x)≤l的解集为[1,3],且(m>0,n>0),求m+2n的最小值.2020年甘肃省高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R,集合M={x|0≤x<5},N={x|x≥2},则(∁U N)∩M=()A.{x|0≤x<2}B.{x|0<x≤2}C.{x|0<x<2}D.{x|0≤x≤2}【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】根据补集的定义求出N在全集中的补集∁U N,再求(∁U N)∩M即可.【解答】解:∵全集U=R,集合M={x|0≤x<5},N={x|x≥2},∴∁U N={x|x<2}则(∁U N)∩M={x|0≤x<2}.故选:A.2.已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b=()A.﹣1 B.1 C.2 D.3【考点】复数代数形式的混合运算.【分析】先化简复数,再利用复数相等,解出a、b,可得结果.【解答】解:由得a+2i=bi﹣1,所以由复数相等的意义知a=﹣1,b=2,所以a+b=1 另解:由得﹣ai+2=b+i(a,b∈R),则﹣a=1,b=2,a+b=1.故选B.3.等比数列{a n}的各项均为正数,且a1a8=9,则log3a l+log3a2+…+log3a8=()A.10 B.9 C.8 D.7【考点】等比数列的通项公式.【分析】利用等比数列的性质和对数运算法则求解.【解答】解:∵等比数列{a n}的各项均为正数,且a1a8=9,∴log3a l+log3a2+…+log3a8==4log39=8.故选:C.4.已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是()A.∀x∈R,f(﹣x)≠f(x)B.∀x∈R,f(﹣x)≠﹣f(x)C.∃x0∈R,f(﹣x0)≠f(x0)D.∃x0∈R,f(﹣x0)≠﹣f(x0)【考点】全称命题;特称命题.【分析】根据定义域为R的函数f(x)不是偶函数,可得:∀x∈R,f(﹣x)=f(x)为假命题;则其否定形式为真命题,可得答案.【解答】解:∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数,∴∀x∈R,f(﹣x)=f(x)为假命题;∴∃x0∈R,f(﹣x0)≠f(x0)为真命题,故选:C.5.若变量x,y满足约束条件,且z=x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m﹣n=()A.5 B.6 C.7 D.8【考点】简单线性规划.【分析】作出可行域,将目标函数变形为y=﹣x+z,根据可行域找到直线截距取得最大值和最小值时的最优解.【解答】解:作出约束条件表示的可行域如图:由z=x+y得y=﹣x+z,由可行域可知当直线y=﹣x+z经过点A时,直线截距最大,即z最大,当直线y=﹣x+z经过点B时,直线截距最小,即z最小.解方程组得x=4,y=5.∴z的最大值m=4+5=9.解方程组得x=1,y=2.∴z的最小值n=1+2=3.∴m﹣n=6.故选:B.6.设非零向量,,满足||=||=||, +=,则向量与向量的夹角为()A.150°B.120°C.60°D.30°【考点】平面向量数量积的运算.【分析】作出图形,根据向量的几何意义和几何知识求出夹角.【解答】解:设,,以,为邻边作平行四边形OACB,则=.∵||=||,∴四边形OACB是菱形.设OA=AC=1,则OC=.∴cos∠AOC==.∴∠AOC=30°.故选:D.7.如图,网格纸上小正方形的边长为l,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几何体的各个面中最大面的面积为()A.l B.2 C.2D.4【考点】由三视图求面积、体积.【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为2的正方体一部分,画出直观图,由正方体的性质求出最长的棱,判断出该四面体各面中最大的面,由三角形的面积公式求出即可.【解答】解:根据三视图知几何体是:三棱锥P﹣ABC为棱长为2的正方体一部分,直观图如图所示:由正方体的性质可得,最长棱为PC=PB=BC=2,其他棱长都小于2,∴△PBC是该四面体各面中最大的面,∴△PBC的面积S==2,故选:C.8.如图表示的是求首项为2020,公差为﹣3的等差数列{a n}前n项和的最大值的程序框图,则①和②处可填写()A.①a<0?,②a=a﹣3 B.①a<0?,②a=a+3 C.①a>0?,②a=a﹣3 D.①a >0?,②a=a+3【考点】程序框图.【分析】由程序设计意图可知,②处应求通项,有a=a﹣3,又由此数列首项为正数,公差为负数,求前n项和的最小值只需累加至最后一个正项即可,从而可求①处可填写:a>0.【解答】解:由程序设计意图可知,S表示此等差数列{a n}前n项和,故②处应该填写a=a ﹣3,又因为此数列首项为正数,公差为负数,求前n项和的最大值只需累加至最后一个正项即可,故①处可填写:a>0.故选:A.9.已知A(﹣1,0)、B(2,1)、C(5,﹣8),△ABC的外接圆在点A处的切线为l,则点B到直线l的距离为()A.B.1 C.D.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】先判断出△ABC为以B为直角的直角三角形,进而求出△ABC的外接圆在点A处的切线l的方程,代入点到直线距离公式,可得答案.【解答】解:∵A(﹣1,0)、B(2,1)、C(5,﹣8),∴=(3,1),=(3,﹣9),∴•=0,故⊥,故△ABC为以B为直角的直角三角形,故AC为△ABC的外接圆的直径,∵k AC==﹣,故△ABC的外接圆在点A处的切线l的斜率为,故△ABC的外接圆在点A处的切线l的方程为y=(x+1),即3x﹣4y+3=0,故点B到直线l的距离d==1,故选:B.10.已知抛物线C:y2=16x,焦点为F,直线l:x=﹣1,点A∈l,线段AF与抛物线C的交点为B,若=5,则||=()A.6 B.35 C.4D.40【考点】抛物线的简单性质.【分析】设A(﹣1,a),B(m,n),且n2=16m,利用向量共线的坐标表示,由=5,确定A,B的坐标,即可求得||.【解答】解:由抛物线C:y2=16x,可得F(4,0),设A(﹣1,a),B(m,n),且n2=16m,∵=5,∴﹣1﹣4=5(m﹣4),∴m=3,∴n=±4,∵a=5n,∴a=±20,∴||==35.故选:B.11.如图,矩形ABCD中AD边的长为1,AB边的长为2,矩形ABCD位于第一象限,且顶点A,D分别在x轴y轴的正半轴上(含原点)滑动,则的最大值是()A.B.5 C.6 D.7【考点】平面向量数量积的运算.【分析】设A(a,0),D(0,b),∠BAX=θ,利用AD=1得出a,b之间的关系,用a,b,θ表示出B,C的坐标,代入数量积公式运算得出关于θ的三角函数,利用三角函数的性质求出最大值.【解答】解:设A(a,0),D(0,b),∠BAX=θ,则B(a+2cosθ,2sinθ),C(2cosθ,b+2sinθ).∵AD=1,∴a2+b2=1.=2cosθ(a+2cosθ)+2sinθ(b+2sinθ)=4+2acosθ+2bsinθ=4+sin(θ+φ)=4+2sin(θ+φ).∴的最大值是4+2=6.故选:C.12.已知函数f(x)的导函数为f′(x),若∀x∈(0,+∞),都有xf′(x)<2f(x)成立,则()A.2f()>3f()B.2f(1)<3f()C.4f()<3f(2)D.4f (1)>f(2)【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】通过所给关系式,构造新的函数g(x)=,对g(x)求导,得到关系.【解答】解:令g(x)=,则g′(x)=,∵xf′(x)<2f(x),∴∀x∈(0,+∞),∴g′(x)<0恒成立∴g(x)是在(0,+∞)单调递减,∴g(1)>g(2),即4f(1)>f(2)故选D二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.若(a﹣)5展开式中的常数项为﹣40,则a=±2.【考点】二项式系数的性质.【分析】根据二项式展开式的通项公式,写出常数项,由此列方程求出a的值.【解答】解:(a﹣)5展开式的通项为T r+1=C5r•(a)5﹣r•(﹣)r=(﹣1)r•C5r•a5﹣r•x,令=0,可得r=3,又r=3时,T4=(﹣1)3•C53•a2=﹣10a2,由题意得﹣10a2=﹣40,解得a=±2.故答案为:±2.14.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该球的表面积为12π,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,则此三棱柱的体积为.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】根据余弦定理计算BC,可发现BC2+AC2=AB2,即AC⊥BC.故外接球球心在上下底面斜边中点的连线中点处,根据球的面积计算半径,得出棱柱的高.【解答】解:在△ABC中,BC==.∴BC2+AC2=AB2,即AC⊥BC.∴AB为△ABC所在球的截面的直径.取AB,A1B1的中点D,D1,则棱柱外接球的球心为DD1的中点O,设外接球的半径为r,则4πr2=12π,∴r=.即OB=,∴OD=.∴棱柱的高DD1=2OD=2.∴棱柱的体积V=S△ABC•DD1==.故答案为.15.若数列{a n}满足a1=2,a n+1=a n+log2(1﹣),则a32=﹣3.【考点】数列递推式.【分析】根据累加法和对数的运算性质即可求出数列的通项公式,代值计算即可.【解答】解:∵a n+1=a n+log2(1﹣)=log2(),∴a n+1﹣a n=log2()∴a2﹣a1=log2,a3﹣a2=log2,…a n﹣a n=log2﹣1)=log2(×…×)=log2()=﹣log2n ∴(a2﹣a1)+(a3﹣a2)+…+(a n﹣a n﹣1∴a n﹣2=﹣log2n,∴a n=2﹣log2n,∴a32=2﹣log232=﹣3,故答案为:﹣3.16.若函数f(x)=x2﹣4e x﹣ax在R上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为(﹣∞,﹣2ln2﹣2] .【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】根据题意可得a<2x﹣4e x有解,转化为g(x)=2x﹣4e x,a<g(x)max,利用导数求出最值即可.【解答】解:∵函数f(x)=x2﹣4e x﹣ax,∴f′(x)=2x﹣4e x﹣a,∵函数f(x)=x2﹣4e x﹣ax在R上存在单调递增区间,∴f′(x)=2x﹣4e x﹣a≥0,即a≤2x﹣4e x有解,令g(x)=2x﹣4e x,g′(x)=2﹣4e x,g′(x)=2﹣4e x=0,x=﹣ln2,g′(x)=2﹣e x>0,x<﹣ln2,g′(x)=2﹣e x<0,x>﹣ln2∴当x=﹣ln2时,g(x)max=﹣2ln2﹣2,∴a≤﹣2ln2﹣2即可.故答案为:(﹣∞,﹣2ln2﹣2].三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在△ABC中,a,b,c分别为角A、B、C的对边,若=(cos2,1),=(cos2(B+C),1),且∥.(I)求角A;(Ⅱ)当a=6,且△ABC的面积S满足=时,求边c的值和△ABC的面积.【考点】余弦定理;平面向量数量积的运算;正弦定理.【分析】(I)由向量平行列出方程解出cosA;(II)根据余弦定理和面积公式解出tanC,使用正弦定理求出c,代入面积公式解出面积.【解答】解:(I)∵∥.∴cos2﹣cos2(B+C)=0,即(1+cosA)﹣cos2A=0,解得cosA=1(舍)或cosA=﹣.∴A=.(II)∵=,∴a2+b2﹣c2=4S=2absinC.又∵a2+b2﹣c2=2abcosC,∴tanC=.∴C=.由正弦定理得,∴c==2.sinB=sin(A+C)=sin=.∴S△ABC===3.18.某射击训练基地教练为了对某运动员的成绩做一分析,随机抽取该名运动员的t次射击成绩作为一个样本,根据此数据做出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:分组频数频率[8.4,8.9)9 0.15[8.9,9.4)m 0.3[9.4,9.9)24 n[9.9,10.4)q p[10.4,10.9) 3 0.05合计t 1(I)求表中t,p及图中a的值;(Ⅱ)在所取的样本中,从不少于9.9环的成绩中任取3次,X表示所取成绩不少于10.4的次数,求随机变量X的分布列及数学期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差;列举法计算基本事件数及事件发生的概率;离散型随机变量及其分布列.【分析】(Ⅰ)由频数与频率的统计表和频率分布直方图,能求出表中t,p及图中a的值.(Ⅱ)由题意X的可能取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量X 的分布列及数学期望.【解答】解:(Ⅰ)由频数与频率的统计表和频率分布直方图,得:,解得t=60,∴n==0.4,a==0.8.∵0.15+0.3+n+p+0.05=1,∴p=0.1.(Ⅱ)由直方图,得不少于9.9环的成绩的次数为60×0.15=9,成绩不少于10.4环的次数为3,则X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,∴随机变量X的分布列为:X 0 1 2 3PE(X)==1.19.如图,在三棱锥P﹣ABC中,F、G、H分别是PC、AB、BC的中点,PA⊥平面ABC,PA=AB=AC=2,二面角B﹣PA﹣C为120°.(I)证明:FG⊥AH;(Ⅱ)求二面角A﹣CP﹣B的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】(I)根据线面垂直的性质定理即可证明FG⊥AH;(Ⅱ)建立坐标系求出平面的法向量,利用向量法进行求解即可求二面角A﹣CP﹣B的余弦值.【解答】解:(I)设AC的中点是M,连接FM,GM,∵PF=FC,∴FM∥PA,∵PA⊥平面ABC,∴FM⊥平面ABC,∵AB=AC,H是BC的中点,∴AH⊥BC,∵GM∥BC,∴AH⊥GM,∴GF⊥AH(Ⅱ)建立以A为坐标原点的空间直角坐标系如图:则P(0,0,2),H(,,0),C(0,2,0),B(,﹣1,0),F(0,1,1),则平面PAC的法向量为=(1,0,0),设平面PBC的法向量为=(x,y,z),则,令z=1,则y=1,x=,即=(,1,1),cos<,>==,即二面角A﹣CP﹣B的余弦值是.20.已知椭圆C:=l(a>b>0),F1、F2为左右焦点,下顶点为B1,过F的直线l交椭圆于M、N两点,当直线l的倾斜角为时,F1B⊥l.(I)求椭圆C的离心率;(Ⅱ)若P为椭圆上一动点,直线PM、PN的斜率记为k PM、k PN,且不为零,当直线l垂直于x轴时,是否存在最小值?若存在,试求出该最小值;若不存在,请说明理由.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(Ⅰ)由已知得F1(﹣c,0),B1(0,﹣b),由题意知,从而b=,由此能求出椭圆C的离心率.(Ⅱ)设P(x0,y0),(x0≠±c),M(c,),N(c,﹣),则=,由此能求出存在最小值.【解答】解:(Ⅰ)∵椭圆C:=l(a>b>0),F1、F2为左右焦点,下顶点为B1,∴F1(﹣c,0),B1(0,﹣b),∵过F的直线l交椭圆于M、N两点,当直线l的倾斜角为时,F1B⊥l,∴由题知F1B1⊥l,∴,∴,∴b=,∴e====.(Ⅱ)设P(x0,y0),(x0≠±c),M(c,),N(c,﹣),则=﹣=,又P∈C,∴=1,得,∴=====,∴||=||=,又∵﹣a≤x0≤a,且x0≠±c,∴﹣1≤,且,∴||=≥=.∴存在最小值.21.已知函数f(x)=ln(1+x)一(a>0).(I)当f(x)在[0,+∞)内单调递增时,求实数a的取值范围;(Ⅱ)证明:.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【分析】(I)当f(x)在[0,+∞)内单调递增时,f′(x)=≥0,结合a>0,即可求实数a的取值范围;(Ⅱ)要证明,只要证明>e,两边取对数可得2020ln>1,只要证明ln﹣>0,构造函数f(x)=ln(1+x)﹣,其中f(0)=0,即可证明.【解答】(I)解:当f(x)在[0,+∞)内单调递增时,f′(x)=≥0,即x+1﹣a≥0在[0,+∞)内恒成立,∴a≤x+1在[0,+∞)内恒成立,又x+1的最小值为1,∴a≤1,∵a>0,∴0<a≤1;(Ⅱ)证明:要证明,只要证明>e,两边取对数可得2020ln>1,只要证明ln﹣>0,注意到2020=2020+1,所以ln﹣=ln(1+)﹣=ln(1+)﹣.构造函数f(x)=ln(1+x)﹣,其中f(0)=0,由(I)知,x≥0,f(x)=ln(1+x)﹣在[0,+∞)内是增函数,∴f()=ln﹣>f(0)=0,∴ln>,∴.【选修4-1:几何证明选讲】22.如图所示,AB为圆D的直径,BC为圆O的切线,过A作OC的平行线交圆O于D,BD与OC相交于E.(I)求证:CD为圆O的切线;(Ⅱ)若OA=AD=4,求OC的长.【考点】圆的切线的性质定理的证明.【分析】(I)连接OD,证明△OBC≌△ODC,可得∠ODC=∠OBC=90°,即可证明CD为圆O的切线;(Ⅱ)Rt△OBC中,BE⊥OC,OB2=OE•OC,即可求OC的长.【解答】(I)证明:连接OD.∵AB为圆D的直径,∴AD⊥DB,∵AD∥OC,∴BD⊥OC,∴E为BD的中点,∴CB=CD,∴△OBC≌△ODC,∴∠ODC=∠OBC=90°,∴CD为圆O的切线;(Ⅱ)解:由题意,OB=OA=4,OE=AD=2,Rt△OBC中,BE⊥OC,∴OB2=OE•OC,∴OC==8.【选修4-4:坐标系与参数方程】23.已知在直角坐标系xOy中,曲线C的方程是(x﹣2)2+(y﹣l)2=4,直线l经过点P (3,),倾斜角为,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)写出曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程;(Ⅱ)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求|OA|•|OB|的值.【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.【分析】(I)曲线C的方程是(x﹣2)2+(y﹣l)2=4,展开把ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ代入可得极坐标方程.由于直线l经过点P(3,),倾斜角为,可得参数方程:(t为参数).(II)直线l的极坐标方程为:,代入曲线C的极坐标方程可得:+1=0,利用|OA||OB|=|ρ1ρ2|即可得出.【解答】解(I)曲线C的方程是(x﹣2)2+(y﹣l)2=4,展开可得:x2+y2﹣4x﹣2y+1=0,把ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ代入可得极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣2ρsinθ+1=0.由于直线l经过点P(3,),倾斜角为,可得参数方程:(t为参数).(II)直线l的极坐标方程为:,代入曲线C的极坐标方程可得: +1=0,∴ρ1ρ2=1.∴|OA||OB|=|ρ1ρ2|=1.【选修4-5:不等式选讲】24.设函数f(x)=|x﹣a|(a∈R).(I)当a=3时,解不等式f(x)≥4﹣|x+l|;(Ⅱ)若不等式f(x)≤l的解集为[1,3],且(m>0,n>0),求m+2n的最小值.【考点】绝对值不等式的解法;函数恒成立问题.【分析】(Ⅰ)当a=3,不等式即|x﹣3|+|x﹣1|≥4,不等式恒成立,从而求得|x﹣2|+|x﹣1|≥5的解集.(Ⅱ)由f(x)≤1求得a﹣1≤x≤a+1,再根据f(x)≤1的解集为[1,3],可得a=2,再利用基本不等式的性质求出最小值即可.【解答】解:(Ⅰ)当a=3,不等式f(x)≥4﹣|x﹣1|,即|x﹣3|+|x﹣1|≥|x﹣3﹣x+1|=4.由绝对值的意义可得;不等式恒成立,故|x﹣3|+|x﹣1|≥4的解集为R.(Ⅱ)由f(x)≤1 可得﹣1≤x﹣a≤1,求得a﹣1≤x≤a+1,再根据f(x)≤1的解集为[1,3],可得a=2.故有+=2(m>0,n>0),即+=1,∴m+2n=(m+2n)(+)=1++≥2,当且仅当=时,等号成立,故m+2n的最小值是2.2020年9月17日第21页(共21页)。