第一节 导数的概念

第二章 导数与微分 教学内容与基本要求1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，了解微分在近似计算中的应用。

3.了解高阶导数的概念，会求简单的n 阶导数。

4.会求分段函数的一阶、二阶导数。

5.会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

第一节 导数的概念 ㈠．本课的基本要求理解导数的定义、几何、物理意义及可导与连续的关系并运用，会用导数描述一些物理量 ㈡．本课的重点、难点导数的定义为重点，其几何意义为难点 ㈢．教学内容图1是某城市的一天从早晨7时到下午7时的气温变化曲线，时间单位为小时，其中0=t 表示早晨7时，温度单位是摄氏度（℃）。

从这条曲线可以看到，从早晨7时起温度逐渐上升，到下午2时（7=t ）左右达到最高温度，然后开始逐渐下降。

问题：任意时刻t 时温度关于时间的变化率。

这是客观存在的，例如，我们知道，中午时分太阳直射地面，此时气温上升最快。

问此时的温度变化率是多少？问题的解答──微分学的主要内容如果温度是直线上升（或下降）的，则问题很容易回答。

设时刻t 的温度是T ，时刻t t ≠1的温度是1T ，那么从时刻t 到时刻1t 的（平均）温度变化率是tt TT --11它是这条直线的斜率，见图2.但图1中的情形不同。

一方面，温度变化是一条曲线，显然不能用上式来计算温度的变化率；另一方面，温度的变化率又明显与时刻t 有关。

那么，如何处理这一问题呢？一个比较自然的想法是“以直代曲”。

例如考虑5=t （即中午12时）时的温度变化率。

设曲线在点)3.25,5(附近的部分是一条直线或者说用直线段去近似这段曲线弧，用这条直线的斜率作为在5=t 时的温度的变化率。

当然这只是一个近似值，但直观上可以想象到，随着曲线弧段取得越来越短，近似程度将越来越好，见图3。

可是“直”和“曲”是一对矛盾，只要曲线弧长不是零，直线永远不能代替曲线。

那么，究竟能不能得到准确值呢？这就是微分学的主要内容。

温度在某个时刻的变化率，应该只与该时刻附爱的温度有关，这是一个局部性质的问题，大家可以体会到“微分”即“细细地分”的涵义。

问题的提法是：在点)3.25,5(处寻找一条直线l ，它与曲线有相当好的“接触”，它的斜率正好等于在5=t 时的温度变化率。

实际上，直线l 就是曲线在点)3.25,5(处的切线。

一般说来，给定函数)(x f y =，它的图形是平面上的一条曲线。

微分学发展的第一步就是给出平面曲线的切线的精确的数学定义。

函数在某点的变化率或者曲线在某点处的切线的斜率称为函数的导数，计算导数的过程称为求导。

微分学的主要内容就是给出一系列规则去计算函数的导数（以及相应的微分），并利用导数来研究函数。

思考题：在学完导数后给出图1的解释。

一．导数的引进（分析几个具体实例，引出导数的概念） 1．曲线切线的斜率微分学发展的第一步是给出平面曲线切线的准确定义。

切线问题有许多实际来源。

例如作圆周运动的物体在任意时刻的运动方向，就是圆在该点处的切线方向；又例如在设计光学透镜时，必须知道光线射入透镜的角度以便应用反射定律，重要的角是光线之间的夹角，而法线垂直于切线，因此问题也归结为求曲线的法线或者切线。

前面关于温度的变化率的问题告诉我们，函数的变化率与曲线的切线是相通的。

以前我们把切线定义为“与曲线只有一个交点的直线”。

但是这个定义并不正确。

历史上，人类对切线的认识经历了漫长的岁月。

在不断修正之后，现在的定义是：切线是割线的极限位置。

定义 设点0P 是曲线L 上的一个定点，点P 是动点，当P 沿曲线L →点0P 时，如割线0PP 的极限位置T P 0存在，则称T P 0为L 在0P 处的切线。

图如何计算曲线的斜率呢？设曲线的方程为)(x f y =，在),(000y x P 处附近取一点+0(x P),0y y x ∆+∆，0PP 的斜率为xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆=)()(tan 00ϕ 即函数的增量与自变量的增量的比，也称为差商。

如当P 沿曲线→点0P 时，0PP 的极限位置存在，即点0P 处的切线存在，此刻Δx →0，αϕ→，割线斜率，即的斜率αϕtan tan 0T P →xx f x x f x x ∆-∆+==→∆→∆)()(tan tan 000limlimϕα2．变速直线运动的（瞬时）速度 再举一个运动学方面的问题，典型的例子是自由落体。

设物体以初速度零从高度h 的位置落下。

在下落过程中的任意时刻t ，物体都具有向下的速度，这是大家熟知的，而且中学物理告诉我们：gt t v =)(，其中的g 是重力加速度。

这个公式是怎么得到的呢？问题的一般提法是 一质点作变速直线运动，其位移s 与时间t 的函数关系为],[),(βα∈=t t s s ，求质点在),(0βα∈t 时的瞬时速度。

把复杂问题简单化，这是处理问题的一般手法。

首先考虑最简单的情形：如果物体作匀速运动，则答案很简单：速度＝位移÷时间：αβαβ--≡)()()(0s s t v 。

对于变速运动，这个公式显然不能应用。

这时，称上式等右边的商为物体在时间],[βα中的平均速度，记为v 。

现在，我们来体会处理这种问题的常用手法─“以直代曲”在运动问题中的形式：“以匀速代变速”。

质点从t t t ∆+00到的时间间隔内平均速度为tt s t t s t s ∆-∆+=∆∆)()(00 若质点作匀速运动，v 不变，即等于t s ∆∆为常量。

在变速运动中，当t ∆很小时，ts∆∆与0t 时刻的速度相近似，且t ∆越小，它的近似程度也越好。

如当t ∆趋近于0时，ts∆∆极限存在，我们把这个极限值叫做物体在时刻0t 时的瞬时速度，即tt s t t s v t v t t ∆-∆+==→∆→∆)()()(0000limlim上述问题归纳起来，步骤有以下4步：⑴给自变量x 一个增量x ∆，计算函数f 在x x ∆+0处的值)(0x x f ∆+。

⑵计算函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。

⑶构造函数的增量y ∆与自变量的增量x ∆的比，即差商x y ∆∆/。

⑷计算差商的极限xy x ∆∆→∆lim。

上面有关物理问题和几何问题，它们的实际意义不同，但从数量关系分析却是相同的（即解决问题的数学方法同）都是研究函数的改变量与自变量的改变量比的极限问题，这一从0≠∆x 到0→∆x 的过程使数学真正地描述了运动和变化，量虽然最终消失了，但两个变量之间的依赖关系在0→∆x 的过程中依然存在。

在没有清晰的极限概念之前，这一过程曾被称为“逝去了量的鬼魂”。

类似的问题是很多的，它们的共同本质都是求函数在一个点的变化率。

我们把它们抽象成导数的定义。

在提炼普遍适用的数学概念之前，我们再审视一下其中反映的思想：一方面，事物不是孤立的。

因此在研究函数在一个点的动态时，必须同时考虑函数在与该点相联系的周围点的状态。

平均变化率，例如割线的斜率、平均速度等就体现了这一思想。

但另一方面，它们又不能完全替代该点的状态，极限最终完成了这一过程。

从某种意义上说，人类是无法真正感知运动的。

任何测量仪器没到的都只能是平均量，甚至我们的眼睛所见到的也不是真正的运动，因为图像在视网膜上要有停留的时间。

数学用“静止”刻画“运动”。

首先给自变量以增量，最后又让增量趋于零，似乎什么也没有做，但却得到了所需要的东西，这真是奇妙。

二．导数的定义定义 设0)(x x f y 在=的某邻域内有定义，在0x 处给自变量x 一个改变量x ∆（点x x ∆+0仍在该邻域内），相应地y 有)()(00x f x x f y -∆+=∆，如极限xx f x x f xyx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(000limlim⑴存在，则称0)(x x f 在处可导，并称这个极限为函数0)(x x f 在处的导数，记为0x x y ='，也可记为0)(),(0x x x x dxdy dxx df x f =='或即 xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()()(0000lim顺便指出，当时Newton 称变化率为“流数”，采用的符号是x 和x 等，物理上现在仍在使用，但不方便。

我们现在介绍的在微积分中普遍使用的符号体系是由Leibniz 创立的。

函数)(x f 在点0x 处可导有时也说成)(x f 在点0x 具有导数或导数存在。

导数的定义式⑴也可取不同的形式，常见的有hx f h x f x f h )()()(0000lim-+='→函数y 在点0x 处的导数也称为函数y 在0x 处对自变量x 的变化率。

它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。

如极限不存在，就称0)(x x f y 在=处不可导如固定0x ，令x x x =∆+0，则当0→∆x 时，在0x x →，故函数在0x 的导数)(0x f '也可表为000)()()(limx x x f x f x f x x --='→上实际问题可表示为：⒈0)(0t t dtds t v ==，⒉0tan )(0x x dxdy x f ==='α例 求3x y =在任一点0x 处的导数解：⒈求32020303033)(,x x x x x x x x y y ∆+∆+∆=-∆+=∆∆⒉求202033,x x x x xy x y ∆+∆+=∆∆∆∆ ⒊求极限202003)(30limx x x xy x x x ='=∆∆=→∆即如),()(b a x f y 在=内每一点都可导，称),()(b a x f y 在=内可导；如),()(b a x f y 在=内可导，对应于(a,b)中的每一个确定的值x ，有一个确定的)(x f '与之对应，这样就确定了一个新的函数，称为)(x f y =的导函数，记作dxx df dx dy y x f )(,),(或''。

在不致发生混淆的情况下，导函数也简称导数。

显然，0)(x x f y 在=处导数)(0x f '就是)(x f '在0x x =处函数值，即)(0x f '=0)(x x x f ='三．求导举例（略讲，有些结论请同学们看书） 求导三步骤：⒈求y ∆，⒉求x y∆∆，⒊求极限x y x ∆∆→∆lim 0例1．y c c y '=为常数），求(。