多元线性回归模型
第三章 多元线性回归模型
即
Y Xb U
X 称为数据矩阵或设计矩阵。
6
二、古典假定
假定1：零均值假定 E(ui ) 0 (i 1,2,...,n)
1 E ( 1 ) E ( ) 2 2 E (μ) E 0 n E ( n )
写成矩阵形式：
Y1 1 X 21 Y 1 X 22 2 Yn 1 X 2 n X 31 X k 1 b 1 u1 X 32 X k 2 b 2 u 2 X 3 n X kn b k un
或
ei 1 X 21 X e 1 X 22 2i i X ki ei 1 X 2 n X 31 X k 1 e1 X 32 X k 2 e2 X e 0 X 3 n X kn en
9
当总体观测值难于得到时，回归系数向 量 b 是未知的，这时可以由样本观测值进行 估计，可表示为
ˆ ˆ Xb Y
但实际观测值与计算值有偏差，记为：
ˆ e Y Y
于是
ˆ e Y Xb
称为多元样本回归函数。
10
ˆ b 1 ˆ b2 ˆ b ˆ b k
同理
ˆ x x b ˆ x 2 x3 i yi b 2 2i 3i 3 3i
x2 i yi x x3 i yi x2 i x3 i ˆ b2 2 2 2 x2 x ( x x ) i 3i 2i 3i
2 3i
x3 i yi x x2 i yi x2 i x3 i ˆ b3 2 2 2 x2 x ( x x ) i 3i 2i 3i
多元线性回归模型
Cov( X ji , i ) 0
j 1,2, k
假设4，随机项满足正态分布
i ~ N (0, 2 )
上述假设的矩阵符号表示 式：
假设1，n(k+1)维矩阵X是非随机的，且X的秩=k+1，
即X满秩。
回忆线性代数中关于满秩、线性无关!
假设2，
E (μ)
E
1
E (1 )
0
n E( n )
X ki ) ) X 1i ) X 2i
Yi Yi X 1i Yi X 2i
(ˆ0 ˆ1 X 1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ) X ki Yi X ki
解该（ k+1）个方程组成的线性代数方程组，即
可得到(k+1) 个待估参数的估计值
$ j
,
j
0,1,2, ,
k
。
□正规方程组的矩阵形式
en
二、多元线性回归模型的基本假定
假设1，解释变量是非随机的或固定的，且各X之间互不 相关（无多重共线性）。
假设2，随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关 性。
E(i ) 0
i j i, j 1,2,, n
Var
(i
)
E
(
2 i
)
2
Cov(i , j ) E(i j ) 0
假设3，解释变量与随机项不相关
这里利用了假设: E(X’)=0
等于0，因为解释变 量与随机扰动项不相 关。
3、有效性（最小方差性）
ˆ 的方差-协方差矩阵为
Co（v ˆ） E{[ˆ E（ˆ）][ˆ E（ˆ）]}
E[(ˆ )(ˆ )]
E{（[ X X）-1X ]（[ X X）-1X ]}
多元线性回归的计算模型
多元线性回归的计算模型多元线性回归模型的数学表示可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y表示因变量，Xi表示第i个自变量，βi表示第i个自变量的回归系数（即自变量对因变量的影响），ε表示误差项。
1.每个自变量与因变量之间是线性关系。
2.自变量之间相互独立，即不存在多重共线性。
3.误差项ε服从正态分布。
4.误差项ε具有同方差性，即方差相等。
5.误差项ε之间相互独立。
为了估计多元线性回归模型的回归系数，常常使用最小二乘法。
最小二乘法的目标是使得由回归方程预测的值与实际值之间的残差平方和最小化。
具体步骤如下：1.收集数据。
需要收集因变量和多个自变量的数据，并确保数据之间的正确对应关系。
2.建立模型。
根据实际问题和理论知识，确定多元线性回归模型的形式。
3.估计回归系数。
利用最小二乘法估计回归系数，使得预测值与实际值之间的残差平方和最小化。
4.假设检验。
对模型的回归系数进行假设检验，判断自变量对因变量是否显著。
5. 模型评价。
使用统计指标如决定系数（R2）、调整决定系数（adjusted R2）、标准误差（standard error）等对模型进行评价。
6.模型应用与预测。
通过多元线性回归模型，可以对新的自变量值进行预测，并进行决策和提出建议。
多元线性回归模型的计算可以利用统计软件进行，例如R、Python中的statsmodels库、scikit-learn库等。
这些软件包提供了多元线性回归模型的函数和方法，可以方便地进行模型的估计和评价。
在计算过程中，需要注意检验模型的假设前提是否满足，如果不满足可能会影响到模型的可靠性和解释性。
总而言之，多元线性回归模型是一种常用的预测模型，可以分析多个自变量对因变量的影响。
通过最小二乘法估计回归系数，并进行假设检验和模型评价，可以得到一个可靠的模型，并进行预测和决策。
计量经济学-多元线性回归模型
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y为因变 量，X1, X2,..., Xk为自变量，β0, β1,..., βk为回归 系数，ε为随机误差项。
多元线性回归模型的假设条件
包括线性关系假设、误差项独立同分布假设、无 多重共线性假设等。
研究目的与意义
研究目的
政策与其他因素的交互作用
多元线性回归模型可以引入交互项，分析政策与其他因素（如技 术进步、国际贸易等）的交互作用，更全面地评估政策效应。
实例分析：基于多元线性回归模型的实证分析
实例一
预测某国GDP增长率：收集该国历史数据，包括GDP、投资、消费、出口等变量，建立 多元线性回归模型进行预测，并根据预测结果提出政策建议。
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用 于找到最佳函数匹配数据。
残差是观测值与预测值之间的差，即 e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)e = y (beta_0 + beta_1 x_1 + cdots + beta_k x_k)e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是使残差平方和最小。
t检验
用于检验单个解释变量对被解释变量的影响 是否显著。
F检验
用于检验所有解释变量对被解释变量的联合 影响是否显著。
拟合优度检验
通过计算可决系数（R-squared）等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差诊断
检查残差是否满足独立同分布等假设，以验 证模型的合理性。
04
多元线性回归模型的检验与 诊断
多元线性回归模型检验
多元线性回归模型检验引言多元线性回归是一种常用的统计分析方法，用于研究两个或多个自变量对目标变量的影响。
在应用多元线性回归前，我们需要确保所建立的模型符合一定的假设，并进行模型检验，以保证结果的可靠性和准确性。
本文将介绍多元线性回归模型的几个常见检验方法，并通过实例进行说明。
一、多元线性回归模型多元线性回归模型的一般形式可以表示为：$$Y = \\beta_0 + \\beta_1X_1 + \\beta_2X_2 + \\ldots + \\beta_pX_p +\\varepsilon$$其中，Y为目标变量，$X_1,X_2,\\ldots,X_p$为自变量，$\\beta_0,\\beta_1,\\beta_2,\\ldots,\\beta_p$为模型的回归系数，$\\varepsilon$为误差项。
多元线性回归模型的目标是通过调整回归系数，使得模型预测值和实际观测值之间的误差最小化。
二、多元线性回归模型检验在进行多元线性回归分析时，我们需要对所建立的模型进行检验，以验证假设是否成立。
常用的多元线性回归模型检验方法包括：1. 假设检验多元线性回归模型的假设包括：线性关系假设、误差项独立同分布假设、误差项方差齐性假设和误差项正态分布假设。
我们可以通过假设检验来验证这些假设的成立情况。
•线性关系假设检验：通过F检验或t检验对回归系数的显著性进行检验，以确定自变量与目标变量之间是否存在线性关系。
•误差项独立同分布假设检验：通过Durbin-Watson检验、Ljung-Box 检验等统计检验，判断误差项是否具有自相关性。
•误差项方差齐性假设检验：通过Cochrane-Orcutt检验、White检验等统计检验，判断误差项的方差是否齐性。
•误差项正态分布假设检验：通过残差的正态概率图和Shapiro-Wilk 检验等方法，检验误差项是否满足正态分布假设。
2. 多重共线性检验多重共线性是指在多元线性回归模型中，自变量之间存在高度相关性的情况。
3多元线性回归模型参数估计
3多元线性回归模型参数估计多元线性回归是一种回归分析方法，用于建立多个自变量和一个因变量之间的关系模型。
多元线性回归模型可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+…+βnXn+ε其中，Y表示因变量，X1,X2,…,Xn表示自变量，β0,β1,β2,…,βn表示模型参数，ε表示误差项。
多元线性回归模型的目标是估计出模型参数β0,β1,β2,…,βn，使得实际观测值与模型预测值之间的误差最小化。
参数估计的方法有很多，下面介绍两种常用的方法：最小二乘法和梯度下降法。
1. 最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）：最小二乘法是最常用的多元线性回归参数估计方法。
它的基本思想是找到一组参数估计值，使得模型预测值与实际观测值之间的残差平方和最小化。
首先，我们定义残差为每个观测值的实际值与模型预测值之间的差异：εi = Yi - (β0 + β1X1i + β2X2i + … + βnXni)其中，εi表示第i个观测值的残差，Yi表示第i个观测值的实际值，X1i, X2i, …, Xni表示第i个观测值的自变量，β0, β1, β2, …,βn表示参数估计值。
然后，我们定义残差平方和为所有观测值的残差平方的总和：RSS = ∑(Yi - (β0 + β1X1i + β2X2i + … + βnXni))^2我们的目标是找到一组参数估计值β0,β1,β2,…,βn，使得残差平方和最小化。
最小二乘法通过数学推导和求导等方法，可以得到参数估计值的解析解。
2. 梯度下降法（Gradient Descent）：梯度下降法是一种迭代优化算法，可以用于估计多元线性回归模型的参数。
它的基本思想是通过迭代调整参数的值，使得目标函数逐渐收敛到最小值。
首先，我们定义目标函数为残差平方和：J(β) = 1/2m∑(Yi - (β0 + β1X1i + β2X2i + … + βnXni))^2其中，m表示样本数量。
多元线性回归模型
多元线性回归模型多元线性回归是一种用于分析多个自变量与一个因变量之间关系的统计方法。
在这种分析中，我们试图根据已知自变量的值来预测因变量的值。
该模型常用于市场研究、金融分析、生物统计和其他领域。
在本文中，我们将介绍多元线性回归的基础概念和实践应用。
一般来说，线性回归的目的是找到一个线性函数y=ax+b来描述一个因变量y与一个自变量x的关系。
但是，在现实生活中，我们通常需要考虑多个自变量对因变量的影响。
这时就需要采用多元线性回归模型来描述这种关系。
多元线性回归模型可以表示为：y=b0 + b1x1 + b2x2 + … + bnxn + ε其中，y是因变量，x1, x2, …, xn是自变量，b0, b1, b2, …, bn是回归系数，ε是误差项，反映了因变量和自变量之间未能被回归方程中的自变量解释的差异。
多元线性回归的重要性质是，每个自变量对因变量的影响是独立的。
也就是说，当我们同时考虑多个自变量时，每个自变量对因变量的解释将被考虑到。
多元线性回归模型的核心是确定回归系数。
回归系数表明了自变量单位变化时，因变量的变化量。
确定回归系数的一种方法是最小二乘法。
最小二乘法是一种通过最小化实际值与预测值之间的差值来确定回归系数的方法。
我们可以使用矩阵运算来计算回归系数。
设X为自变量矩阵，y为因变量向量，则回归系数向量b可以通过以下公式计算：b = (XTX)-1XTy其中，XT是X的转置，(XTX)-1是X的逆矩阵。
在计算回归系数之后，我们可以使用多元线性回归模型来预测因变量的值。
我们只需要将自变量的值代入回归方程中即可。
但是，我们需要记住，这种预测只是基于样本数据进行的，不能完全代表总体数据。
多元线性回归模型有很多实际应用。
一个常见的例子是用于市场营销中的顾客预测。
通过对顾客的年龄、性别、教育程度、收入等数据进行分析，可以预测他们的购买行为、购买频率和购买方式等，这些预测结果可以帮助企业做出更好的营销决策。
5、计量经济学【多元线性回归模型】
二、多元线性回归模型的参数估计
2、最小二乘估计量的性质 当 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 为表达式形式时，为随机变量， 这时最小二乘估计量 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 经过证明同样也 具有线性性、无偏性和最小方差性（有效性）。 也就是说，在模型满足那几条基本假定的前提 下，OLS估计量具有线性性、无偏性和最小方差性 （有效性）这样优良的性质， 即最小二乘估计量
用残差平方和 ei2 最小的准则： i
二、多元线性回归模型的参数估计
1、参数的普通最小二乘估计法（OLS） 即：
min ei2 min (Yi Yˆi )2 min Yi (ˆ0 ˆ1X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki )2
同样的道理，根据微积分知识，要使上式最小，只 需求上式分别对 ˆj ( j 0,1, k) 的一阶偏导数，并令 一阶偏导数为 0，就可得到一个包含 k 1 个方程的正 规方程组，这个正规方程组中有 k 1个未知参数 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk ；解这个正规方程组即可得到这 k 1 个参数 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 的表达式，即得到了参数的最小 二乘估计量；将样本数据代入到这些表达式中，即可 计算出参数的最小二乘估计值。
该样本回归模型与总体回归模型相对应，其中残差 ei Yi Yˆi 可看成是总体回归模型中随机误差项 i 的 估计值。
2、多元线性回归模型的几种形式： 上述几种形式的矩阵表达式： 将多元线性总体回归模型 (3.1) 式表示的 n 个随机方 程写成方程组的形式，有：
Y1 0 1 X11 2 X 21 .Y.2.........0.......1.X...1.2........2.X...2.2. Yn 0 1 X1n 2 X 2n
ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 是总体参数真值的最佳线性无偏估计 量（ BLUE ）；即高斯—马尔可夫定理 (GaussMarkov theorem)。
多元线性回归公式了解多元线性回归的关键公式
多元线性回归公式了解多元线性回归的关键公式多元线性回归公式是一种常用的统计学方法，用于探究多个自变量与一个连续因变量之间的关系。
在进行多元线性回归分析时，我们需要理解和掌握以下几个关键公式。
一、多元线性回归模型多元线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y代表因变量（被预测变量），X1、X2、...、Xn代表自变量（预测变量），β0、β1、β2、...、βn代表模型的参数，ε代表误差项。
二、回归系数估计公式在多元线性回归分析中，我们需要通过样本数据来估计回归模型的参数。
常用的回归系数估计公式是最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）。
对于模型中的每个参数βi，其估计值可以通过以下公式计算：βi = (Σ(xi - x i)(yi - ȳ)) / Σ(xi - x i)²其中，xi代表自变量的观测值，x i代表自变量的样本均值，yi代表因变量的观测值，ȳ代表因变量的样本均值。
三、相关系数公式在多元线性回归中，我们通常会计算各个自变量与因变量之间的相关性，可以通过采用皮尔逊相关系数（Pearson Correlation Coefficient）来衡量。
相关系数的公式如下：r(Xi, Y) = Σ((xi - x i)(yi - ȳ)) / sqrt(Σ(xi - x i)² * Σ(yi - ȳ)²)其中，r(Xi, Y)代表第i个自变量与因变量之间的相关系数。
四、R平方（R-squared）公式R平方是判断多元线性回归模型拟合程度的重要指标，表示因变量的方差能够被自变量解释的比例。
R平方的计算公式如下：R² = SSR / SST其中，SSR为回归平方和（Sum of Squares Regression），表示自变量对因变量的解释能力。
SST为总平方和（Sum of Squares Total），表示因变量的总变化。
多元线性回归模型实验报告
多元线性回归模型实验报告实验报告：多元线性回归模型1.实验目的多元线性回归模型是统计学中一种常用的分析方法，通过建立多个自变量和一个因变量之间的模型，来预测和解释因变量的变化。
本实验的目的是利用多元线性回归模型，分析多个自变量对于因变量的影响，并评估模型的准确性和可靠性。
2.实验原理多元线性回归模型的基本假设是自变量与因变量之间存在线性关系，误差项为服从正态分布的随机变量。
多元线性回归模型的表达形式为：Y=b0+b1X1+b2X2+...+bnXn+ε，其中Y表示因变量，X1、X2、..、Xn表示自变量，b0、b1、b2、..、bn表示回归系数，ε表示误差项。
3.实验步骤（1）数据收集：选择一组与研究对象相关的自变量和一个因变量，并收集相应的数据。
（2）数据预处理：对数据进行清洗和转换，排除异常值、缺失值和重复值等。
（3）模型建立：根据收集到的数据，建立多元线性回归模型，选择适当的自变量和回归系数。
（4）模型评估：通过计算回归方程的拟合优度、残差分析和回归系数的显著性等指标，评估模型的准确性和可靠性。
4.实验结果通过实验，我们建立了一个包含多个自变量的多元线性回归模型，并对该模型进行了评估。
通过计算回归方程的拟合优度，我们得到了一个较高的R方值，说明模型能够很好地拟合观测数据。
同时，通过残差分析，我们检查了模型的合理性，验证了模型中误差项的正态分布假设。
此外，我们还对回归系数进行了显著性检验，确保它们是对因变量有显著影响的。
5.实验结论多元线性回归模型可以通过引入多个自变量，来更全面地解释因变量的变化。
在实验中，我们建立了一个多元线性回归模型，并评估了模型的准确性和可靠性。
通过实验结果，我们得出结论：多元线性回归模型能够很好地解释因变量的变化，并且模型的拟合优度较高，可以用于预测和解释因变量的变异情况。
同时，我们还需注意到，多元线性回归模型的准确性和可靠性受到多个因素的影响，如样本大小、自变量的选择等，需要在实际应用中进行进一步的验证和调整。
第三章多元线性回归模型
第三章 多元线性回归模型一、名词解释1、多元线性回归模型：在现实经济活动中往往存在一个变量受到其他多个变量影响的现象，表现在线性回归模型中有多个解释变量，这样的模型被称做多元线性回归模型，多元是指多个解释变量2、调整的可决系数2R ：又叫调整的决定系数，是一个用于描述多个解释变量对被解释变量的联合影响程度的统计量，克服了2R 随解释变量的增加而增大的缺陷，与2R 的关系为2211(1)1n R R n k -=----。
3、偏回归系数：在多元回归模型中，每一个解释变量前的参数即为偏回归系数，它测度了当其他解释变量保持不变时，该变量增加1单位对被解释变量带来的平均影响程度。
4、正规方程组：采用OLS 方法估计线性回归模型时，对残差平方和关于各参数求偏导，并令偏导数为0后得到的方程组，其矩阵形式为ˆX X X Y β''=。
5、方程显著性检验：是针对所有解释变量对被解释变量的联合影响是否显著所作的检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出判断。
二、单项选择题1、C ：F 统计量的意义2、A ：F 统计量的定义3、B ：随机误差项方差的估计值1ˆ22--=∑k n e iσ4、A ：书上P92和P93公式5、C ：A 参看导论部分内容；B 在判断多重共线等问题的时候，很有必要；D 在相同解释变量情况下可以衡量6、C ：书上P99，比较F 统计量和可决系数的公式即可7、A ：书P818、D ：A 截距项可以不管它；B 不考虑beta0；C 相关关系与因果关系的辨析 9、B ：注意！只是在服从基本假设的前提下，统计量才服从相应的分布10、D ：AB 不能简单通过可决系数判断模型好坏，还要考虑样本量、异方差等问题；三、多项选择题1、ACDE ：概念性2、BD ：概念性3、BCD ：总体显著，则至少一个参数不为04、BC ：参考可决系数和F 统计量的公式5、AD ：考虑极端情况，ESS=0，可发现CE 错四、判断题、 1、√2、√3、×4、×：调整的可决系数5、√五、简答题 1、 答：多元线性回归模型与一元线性回归模型的区别表现在如下几个方面：一是解释变量的个数不同；二是模型的经典假设不同，多元线性回归模型比一元线性回归模型多了个“解释变量之间不存在线性相关关系”的假定；三是多元线性回归模型的参数估计式的表达更为复杂。
多元线性回归模型常见问题及解决方法
特点
03
04
05
适用于多个自变量对因 变量的影响研究；
适用于线性关系假设下 的数据；
可通过参数估计和模型 检验来评估模型的可靠 性和预测能力。
多元线性回归模型的应用场景
经济预测
用于预测股票价格、GDP等经济指标；
市场营销
用于分析消费者行为、预测销售额等；
医学研究
用于分析疾病风险因素、预测疾病发 病率等；
自相关问题
残差序列之间存在相关性，违 反了线性回归模型的独立性假 设。
异常值和离群点问题
异常值和离群点对回归模型的 拟合和预测精度产生影响。
解决方法的总结与评价
01
02
03
04
05
多重共线性的解 决方法
异方差性的解决 方法
自相关问题的解 决方法
解释变量的选择 异常值和离群点
方法
处理方法
如逐步回归、主成分回归 、岭回归和套索回归等。 这些方法在处理多重共线 性问题时各有优缺点，需 要根据具体问题和数据特 点选择合适的方法。
2. 稳健标准误
使用稳健标准误来纠正异方差性 对模型估计的影响。
总结词
异方差性是指模型残差在不同观 测点上的方差不相等，导致模型 估计失真。
3. 模型诊断检验
使用如White检验、BP检验等异 方差性检验方法来诊断异方差性 问题。
自相关问题
01
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03
04
05
总结词
详细描述
1. 差分法
2. 广义最小二乘 3. 自相关图和偏
详细描述
例如，在时间序列数据中，如果一个观测值的残差 与前一个观测值的残差正相关，则会导致模型的预 测精度降低。
解决方法
多元线性回归模型
多元线性回归模型多元线性回归模型是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的预测模型。
它通过使用多个自变量来建立与因变量之间的线性关系，从而进行预测和分析。
在本文中，我们将介绍多元线性回归模型的基本概念、应用场景以及建模过程。
【第一部分：多元线性回归模型的基本概念】多元线性回归模型是基于自变量与因变量之间的线性关系进行建模和预测的模型。
它假设自变量之间相互独立，并且与因变量之间存在线性关系。
多元线性回归模型的数学表达式如下：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βnXn + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、…、Xn表示自变量，β0、β1、β2、…、βn表示回归系数，ε表示误差项。
回归系数表示自变量对因变量的影响程度，误差项表示模型无法解释的部分。
【第二部分：多元线性回归模型的应用场景】多元线性回归模型可以应用于各种预测和分析场景。
以下是一些常见的应用场景：1. 经济学：多元线性回归模型可以用于预测GDP增长率、失业率等经济指标，揭示不同自变量对经济变量的影响。
2. 医学研究：多元线性回归模型可以用于预测患者的生存时间、治疗效果等医学相关指标，帮助医生做出决策。
3. 市场研究：多元线性回归模型可以用于预测产品销量、市场份额等市场相关指标，帮助企业制定营销策略。
4. 社会科学：多元线性回归模型可以用于研究教育水平对收入的影响、家庭背景对孩子成绩的影响等社会科学问题。
【第三部分：多元线性回归模型的建模过程】建立多元线性回归模型的过程包括以下几个步骤：1. 数据收集：收集自变量和因变量的数据，确保数据的准确性和完整性。
2. 数据清洗：处理缺失值、异常值和离群点，保证数据的可靠性和一致性。
3. 特征选择：根据自变量与因变量之间的相关性，选择最相关的自变量作为模型的输入特征。
4. 模型训练：使用收集到的数据，利用最小二乘法等统计方法估计回归系数。
5. 模型评估：使用误差指标（如均方误差、决定系数等）评估模型的拟合程度和预测性能。
多元线性回归模型计量经济学
多重共线性诊断
通过计算自变量之间的相关系 数、条件指数等方法诊断是否
存在多重共线性问题。
异方差性检验
通过计算异方差性统计量、图 形化方法等检验误差项是否存
在异方差性。
03
多元线性回归模型的应用
经济数据的收集与整理
原始数据收集
通过调查、统计、实验等方式获取原始数据，确保数据的真实性 和准确性。
数据清洗和整理
在实际应用中，多元线性回归模型可能无法处理 非线性关系和复杂的数据结构，需要进一步探索 其他模型和方法。
随着大数据和人工智能技术的发展，多元线性回 归模型的应用场景将更加广泛和复杂，需要进一 步探索如何利用新技术提高模型的预测能力和解 释能力。
07
参考文献
参考文献
期刊论文
学术期刊是学术研究的重要载体， 提供了大量关于多元线性回归模 型计量经济学的最新研究成果。
学位论文
学位论文是学术研究的重要组成 部分，特别是硕士和博士论文， 对多元线性回归模型计量经济学 进行了深入的研究和探讨会议论文集中反映了多元线性回 归模型计量经济学领域的最新进 展和研究成果。
THANKS
感谢观看
模型定义
多元线性回归模型是一种用于描 述因变量与一个或多个自变量之 间线性关系的统计模型。
假设条件
假设误差项独立同分布，且误差项 的均值为0，方差恒定；自变量与 误差项不相关；自变量之间不存在 完全的多重共线性。
模型参数估计
最小二乘法
01
通过最小化残差平方和来估计模型参数，是一种常用的参数估
计方法。
05
案例分析
案例选择与数据来源
案例选择
选择房地产市场作为案例，研究房价 与影响房价的因素之间的关系。
多元线性回归模型
多元线性回归模型引言：多元线性回归模型是一种常用的统计分析方法，用于确定多个自变量与一个连续型因变量之间的线性关系。
它是简单线性回归模型的扩展，可以更准确地预测因变量的值，并分析各个自变量对因变量的影响程度。
本文旨在介绍多元线性回归模型的原理、假设条件和应用。
一、多元线性回归模型的原理多元线性回归模型基于以下假设：1）自变量与因变量之间的关系是线性的；2）自变量之间相互独立；3）残差项服从正态分布。
多元线性回归模型的数学表达式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y代表因变量，X1，X2，...，Xn代表自变量，β0，β1，β2，...，βn为待估计的回归系数，ε为随机误差项。
二、多元线性回归模型的估计方法为了确定回归系数的最佳估计值，常采用最小二乘法进行估计。
最小二乘法的原理是使残差平方和最小化，从而得到回归系数的估计值。
具体求解过程包括对模型进行估计、解释回归系数、进行显著性检验和评价模型拟合度等步骤。
三、多元线性回归模型的假设条件为了保证多元线性回归模型的准确性和可靠性，需要满足一定的假设条件。
主要包括线性关系、多元正态分布、自变量之间的独立性、无多重共线性、残差项的独立性和同方差性等。
在实际应用中，我们需要对这些假设条件进行检验，并根据检验结果进行相应的修正。
四、多元线性回归模型的应用多元线性回归模型广泛应用于各个领域的研究和实践中。
在经济学中，可以用于预测国内生产总值和通货膨胀率等经济指标；在市场营销中，可以用于预测销售额和用户满意度等关键指标；在医学研究中，可以用于评估疾病风险因素和预测治疗效果等。
多元线性回归模型的应用可以为决策提供科学依据，并帮助解释变量对因变量的影响程度。
五、多元线性回归模型的优缺点多元线性回归模型具有以下优点：1）能够解释各个自变量对因变量的相对影响；2）提供了一种可靠的预测方法；3）可用于控制变量的效果。
然而，多元线性回归模型也存在一些缺点：1）对于非线性关系无法准确预测；2）对异常值和离群点敏感；3）要求满足一定的假设条件。
多元线性回归预测法
xi2 yi ˆ4
xi3 yi
(4-33) (4-34)
第二步，根据回归模型旳自由度n-p和给定旳明显性水平值
查有关系数临界表，得 R n p 值
第三步，判断。若 R R n p ，表白变量之间线性有关明显，
检验经过，这时回归模型可用来进行预测。若
，
表白R变量R之n间 线p性有关关系不明显，检验通但是，这时旳回归
二元线性回归方程为
yˆi ˆ0 ˆ1xi1 ˆ2 xi2 , ( p 2)
此时
Bˆ
ˆ0 ˆ1
,
ˆ2
X
1
1
1
x11 x21
xn1
x12
x22
xn
2
得出 ˆ0, ˆ1, ˆ2 旳计算公式如下：
A X'X
n
n
i 1 n
xi1
i1
xi 2
n
xi1
i 1 n
xi21
第三步，判断。若F F p, n p 1 ，则以为回归方
程有明显意义，也就是p1=p2=…=pp=0不成立；反之，则以 为回归方程不明显.
F统计量与可决系数，有关系数有下列关系：
F
R2 1 R2
•
n p p 1
(4-39)
R
p 1F n p p 1F
(4-40)
4. 回归系数旳明显性检验——t检验
随机误差项相互独立旳假设不能成立，回归模型存在有关。
在实际预测中，产生自有关旳原因可能是：
（i）忽视了某些主要旳影响要素。 （ii）错误地选用了回归模型旳数学形式。
（iii）随机误差项 i 本身确实是有关旳。
合适旳补救方法是：
（i）把略去旳主要影响原因引入回归模型中来。 （ii）重新选择合适旳回归模型形式。 （iii）增长样本容量，变化数据旳精确性。
多元线性回归模型
多元线性回归模型（1）模型准备多元线性回归模型是指含有多个解释变量的线性回归模型，用于解释被解释的变量与其他多个变量解释变量之间的线性关系。
其数学模型为：上式表示一种 p 元线性回归模型，可以看出里面共有 p 个解释变量。
表示被解释变量y 的变化可以由两部分组成：第一部分，是由 p 个解释变量 x 的变化引起的 y 的线性变化部分。
第二部分，是要解释由随机变量引起 y 变化的部分，可以用 \varepsilon 部分代替，可以叫随机误差，公式中的参数都是方程的未知量，可以表示为偏回归常数和回归常数，则多元线性回归模型的回归方程为：（2）模型建立首先在中国A股票市场中，根据各指标与估值标准 y 的关联度来选取变量，选取指标为：年度归母净利润 x_{1} 、年度营业收入 x_{2} 、年度单只股票交易量 x_{4} 、年度单只股票交易量金额 x_{6} 。
有如下表达式为：其中 y 是因变量， x_{1}，x_{2}，x_{4}，x_{6} 是自变量，α为误差项，b_{1},b_{2},b_{4},b_{6} 为各项系数。
（3）中国A股票市场模型求解运用SPSS软件，运用多元线性回归方程可以得出如下：下表模型有4个自变量，模型调整后的拟合度为0.976，说明模型的拟合度非常好。
下表为方差分析表，告诉我们F 的值值为1.794，显著性概率p 为0.004小于0.005，因此自变量系数统计较为显著。
下表给出模型常数项和自变量系数，并对系数统计显著性进行检验，常数项的值为2.618，显著性为0.002，统计比较显著，其它指标的显著性都小于0.005，故该模型比较准确。
故得出中国A股市场中的估值水平与这四个指标的线性关系为：（4）美国NASDAQ市场模型求解下表模型有4个自变量，模型调整后的拟合度为0.862，说明模型的拟合度非常好。
下表为方差分析表，告诉我们 F 值为15.081，显著性概率 p 为0.005等于0.005，因此自变量系数统计较为显著。
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多元线性回归模型
多元线性回归模型
1 多元线性回归模型 1.1 多元回归模型的构建名称多元线性回归模型优先级高描述由于经济现象的复杂性,一个被解释变量往往受多个解释变量的影响.多元回归模型就是在方程式中有两个或两个以上自变量的线性回归模型.多元线性回归预测是用多元线性回归模型,对具有线性趋势的税收问题,使用多个影响因素所作的预测.要求输入有指标需要进行预测的cube.该cube由实施人员在实施过程中根据客户的具体需要定制,该cube中的各个测量值是相关的,各维度是与预测分析有联系的.处理由用户选择回归模型分析角度和分析指标(包括因变量和自变量.注意:此处的分析指标是指cube中的测量值,下同),系统进行回归方程的拟合以及假设检验.展示回归方程式及假设检验的结果,并利用回归方程式进行预测.具体操作步骤如下: 分析角度的选取依照以下原则: 1. 选择分析角度和分析指标(包括因变量和自变量). 若对时间序列数据的回归分析,时间维必须在同一层次上,否则,系统给出下列提示信息:"分析角度的选择有误,时间维必须在同一层次上,请做修改!",如果用户不做相应的修改,则回归模型不进行构建.其它的维度原则上只能选取一个成员,若存在选择多个的情况,系统给出相应的警告提示:"分析角度的选择可能有误,请检查!",但允许用户在不进行任何修改的情况下继续回归模型的构建;所选中的时间维成员个数必须多于"自变量的个数+3",否则给出下列提示信息:"数据量太少,不能完成回归模型的构建"; 若进行横截面数据的回归分析,除时间维外的其它维度中必须有一个是选择所有成员的,时间
维只能选择一个维成员,否则给出下列出错信息:"不同时间点的横截面数据没有可比性,不适合进行回归分析!" 如果用户不做相应的修改,则回归模型不进行构建.对于选取的所有成员的维度,其成员个数必须多于"自变量的个数+3",否则给出下列提示信息:"数据量太少,不能完成回归模型的构建"; 分析指标(包括自变量和因变量)的选取依照下列原则. 自变量的选择.自变量可以选择了多个分析指标. 因变量的选择.因变量只能选取一个指标,在编码时必须对其进行设置. 2. 回归方程的拟合回归分析原理是利用具有因果关系的经济变量的样本观测量,按照一定的实现原理来建立能够使被解释变量的计算值与实际值误差最小的回归方程,以此作为研究对象总体模型的估计参数.多元线性回归模型的构建就是求出因变量(以y表示)自变量(以表示,其中M为自变量的个数)的线性关系式: 回归模型的拟合就是利用最小二乘法求出参数的估计值(其中i=1,2,…,M).具体求解的过程如下:假设已从cube中读入了因变量(以y表示)的N(N>3)个数据,记为,自变量的(其中i=1,2,…,M)的N(N>3)个数据,记为,(注意:此处需要用一个N×M的二维数组存放自变量的数据,数组中的每一列存放一个测量值的数据,此处与报表中所显示的格式是相同的,在报表中,一个测量值的数据也是用一个列来显示的.)参数的计算请参见下面的文档: 3. 回归结果的呈现显示回归方程式在界面上显示回归方程式4. 回归模型的假设检验构建一个经济计量模型会涉及到模型的形式,自变量的参数,模型的总体效果等的问题,因此,利用最小二乘法估计参数构成一元线性回归模型后,还需要进行拟合优度检验,t检验和F
检验等统计检验. 拟合优度检验拟合优度检验就是对样本回归模型与样本观测值之间拟合程度的检验.判断回归模型拟合度优劣的数量指标是样本决定系数,也称可决系数.可决系数的范围在0到1之间,在一般情况下,可决系数越大,表明拟合程度越好,可决系数越小,则拟合度越差.可决系数使用下面的公式计算为了克服自变量个数和样本容量的影响,对可决系数进行修正,得到调整后的可决系数的取值范围是0到,其值越大表明拟合度越好,它对于模型中自变量的个数反映灵敏. 检验回归模型的t检验就是检验每个自变量对因变量的影响是否显著的一种统计检验.就一元线性回归模型而言,t检验就是检验总体参数, i=0,1,2,…,M的估计值在一定的显著水平上是否为零的问题.其计算过程如下: 计算回归的标准误差SE 计算参数标准差的估计值,其中,其中i=0,1,2,…,M 计算参数标准差的t统计量,其中i=0,1,2,…,M 计算各统计量对应的显著水平,其中i=0,1,2,…,M.此处的自由度为N-M-1.(说明:鉴于不知道用户设定的显著性水平(即)是多少,所以在假设检验时不好求出其临界值并进行判断.此处是通过计算检验统计量所对应显著性水平来完成假设检验的.用户可以根据该显著性水平与自己设定的显著性水平进行对比,如果>= ,则说明该变量不能通过t检验,否则,说明该变量可以通过t检验(此处所做的双边的t检验)). 如果小于0.1(系统默认的显著性水平),说明自变量Xi可以通过t检验,否则,说明自变量Xi不能通过t检验. F检验回归模型的F检验就是根据样本观测值推断总体函数的线性关系是否显著成立的一种
统计检验方法.其具体实现过程如下: 计算F统计量计算检验统计量F的显著性水平,此处的第一自由度为M,第二自由度为N-M-1.(说明:鉴于不知道用户设定的显著性水平(即)是多少,所以在假设检验时不好求出其临界值并进行判断.因而,此处是通过计算检验统计量所对应显著性水平来完成假设检验的.用户可以根据该显著性水平与自己设定的显著性水平进行对比,如果>= ,则说明该变量不能通过F检验,否则,说明该变量可以通过F检验). 如果小于0.1(系统默认的显著性水平),说明回归方程可以通过F检验,否则,说明回归方程不能通过F检验.以上各检验参数的具体计算请参见文档《多元回归模型的有关计算.doc》 5. 假设检验结果的显示为了使回归模型的分析结果更为紧凑并配合回归模型的UI原型,在"多元回归分析结果"界面上只显示拟合优度检验,t检验以及F检验的结果. 拟合优度检验结果的显示:在方程式的后边显示回归的可决系数.显示方式如下: "可决系数=(上面算出的)" t检验以及F检验的结果的显示在方程式的下面,回归图形的上面显示t检验以及F检验的结果.显示方式如下: 如果所有自变量Xi, i=0,1,2,…,M可以通过t检验,显示以下信息"所有自变量对Y的影响显著,可以通过t检验";否则,显示不能通过t检验的变量信息,即假设第i个自变量不能提供t检验,则提示以下信息"第i个自变量不能通过t检验". 如果回归方程可以通过F检验,显示以下信息:"总体Y与X的线性关系显著,回归方程可以通过F检验";否则,显示以下信息:"总体Y与X的线性关系不显著,回归方程不能通过F 检验". 假设检验的详细结果的显示假设检验的详细结果在另外一个
界面中显示,在"回归分析结果的界面"中用一个按钮"详细信息"进行控制,该按钮放在t检验以及F检验的结果的后边.详细结果包含以下三个部分的内容:"回归统计","方差分析表"和"回归系数信息"(以表格的形式显示) 回归统计: 回归统计可决系数调整后的可决系数标准误差SE 观测值个数N 方差分析表: 来源自由度平方和均方和F值显著性水平回归M F 残差N-M-1 /(N-M-1)- -总体N-1 - - -(注:表中的"-"号表示该格中没有内容,为空格) 回归系数信息表系数标准差t统计量显著性水平截距X1 X2 XM 输出预测模型的分析角度(即维度信息)和分析指标(即测量值的信息),一元线性回归模型系数,假设检验结果,回归统计表,方差分析表,回归系数信息备注 1.2 多元回归模型的使用名称多元线性回归模型的使用优先级高高描述利用上一步中构建好的回归模型进行预测要求输入在上一步中构建的回归模型的系数的信息及假设检验的结果处理如果多元回归模型不能通过t检验以及F检验,则进行预测,提示下列信息:"回归模型不能提供假设检验,不能用其进行预测,请重新构建模型." 如果多元回归模型已经通过了t检验以及F检验,则可以利用回归方程进行预测,其具体操作流程如下: 提示用户输入各自变量的预测值,在界面上要有相应的提示信息及读入数据的功能用户输入数据后,把数据相应地存放在变量xpi,i=0,1,2,…,M 把各自变量的值代入回归方程进行计算,得到的结果就是预测值,即计算在界面相应的位置显示回归的预测值输出用户输入的各自变量的值以及回归方程的预测值备注 1.3 多元回归模型的分析报告名称多元线性回归
模型的分析报告优先级高高描述以分析报告的形式输出回归方程及预测的信息要求输入回归方程的系数信息,假设检验信息,用户输入的自变量的预测值,回归预测的结果处理分析报告的具体内容请参见下面的文档中的具体例子注意: 这里的分析报告只是一个系统默认的模板,用户可以修改该模板中的内容,修改后的模板可以回写到知识库中; 用户可以根据不同的需要对多元回归模型自己构建多个模板;输出分析报告以文本的格式输出到屏幕上,并可以根据用户的需要输出成WORD文档等其它格式的文档.用户在BI的界面上可以修改分析报告的内容.
一、多元线性回归 2#
多元线性回归：regress
二、多项式回归 3#
一元多项式：polyfit或者polytool
多元二项式：rstool或者rsmdemo
三、非线性回归 4#
非线性回归：nlinfit
四、逐步回归 5#
逐步回归：stepwise。