数值计算方法及算法PPT课件

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计算方法第一章数值计算方法.ppt

计算方法第一章数值计算方法.ppt

x1
a22b1
a12b2 D
S4 输出计算的结果 x1, x2
x2
a11b2
a21b1 D
开始
输入
a11, a12 , a21, a22 ,b1,b2
D=a11a22-a12a21
Yes D=0
No
x1 (b1a22 b2a12 ) / D x2 (b2a11 b1a21) / D
输出无解信息


第一章计算方法与误差
本章内容
§1 引言 §2 误差的来源及分类 §3 误差的度量 §4 误差的传播 §5 减少运算误差的原则
小结
第一章计算方法与误差
要求掌握的内容
概念 包括有效数字、绝对误差、绝对误差限、 相对误差、相对误差限等
误差 截断误差、舍入误差的详细内容,误差种 类等
分析运算误差的方法和减少运算误差的若 干原则
常用的两种复杂性有:计算时间复杂性和空间复杂性。
二、算法的优劣
➢ 计算量小 例:用行列式解法求解线性方程组:
n阶方程组,要计算n + 1个n阶行列式的值,
总共需要做n! (n - 1) (n + 1) 次乘法运算。
n=20 需要运 算多少次?
n=100?
计算量大小是衡量算法优劣的一项重要标准。
在估计计算量时,我们将区分主次抓住计算过程中费时较多的 环节。比如,由于加减操作的机器时间比乘除少得多,对和式
例:求解二元一次联立方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
用行列式解法:首先判别
D a11a22 a21a12
是否为零,存在两种可能:
(1)如果 D 0,则令计算机计算

数值计算方法ppt

数值计算方法ppt

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Ax b 第一章 引论i 2 ,3, , n
§ 1.1 数值计算的研究对象与特点
§ 1.2 数值问题与数值方法
a11
A
a21
an
1
华长生制作
a12 a22
an2
§
aa121nn.3
误差
ann
i1
bi lij x j
xi
j1
lii
1
本章要点:
绝对误差(限)和相对误差(限) 有效数字位数及其与误差的关系
1 2!
2 f x12
*
( x1
x1* )2
2 f x1x2
*
( x1
x1* )(x2
x2* )
2 f x22
*
( x2
x2* )2
华长生制作
f (x1* , x2* )
f x1
*
E1
f x2
*
E2
22
y*的绝对误差为
E( y* )

数值计算PPT课件

数值计算PPT课件
x1=(-b+math.sqrt(d))/(2*a) x2=(-b-math.sqrt(d))/(2*a) print("方程有两个不同的解",x1,x2) elif d==0: x1=-b/(2*a) print("方程有两个相同的解",x1) else: print("方程无解")
用辗转相除法求解两个正整数的最大公约数
在Python中,绘制函数图像一般要用到numpy和matplotlib两个模块,这 两个模块需要另外安装。
Numpy模块简介 numpy是一个科学计算包,其中包括很多数学函数,如三角函数、矩阵计算方法等
import numpy as np
#加载numpy模块并取一个简洁的别名为np
x=np.arrange(0,2*np.pi,0.01) # x在0到2π之间,每隔0.01取一个点
表4.2.1 函数计算
x
1
0
2
30
3
60


14 360
sin(x) 0 0.5
0.866025404

0
sin(-x) 0
-0.5 -0.866025404

0
sin(2x)/2 0 0.5
0.866025404

0
利用wps绘制的函数图像
利用WPS表格画图
2x2+x-6=0
利用python绘制正弦曲线
参考答案: num1=int(input('请输入第一个正整数:')) num2=int(input('请输入第二个正整数:')) m=max(num1,num2) n=min(num1,num2) r=m % n while r!=0:

《数值计算方法》课件1绪论

《数值计算方法》课件1绪论

x
y
(
f
(
x,
y))
|
f
(x, x
y)
|
(x)
|
f
(x, y
y)
|
(
y)
r
(
f
(x,
y))
( f (x, y)) f (x, y)
(1 6)
x
1.2 误差分析
1.2.2 绝对误差与相对误差
误差分析---- 数值计算的的误差
(a b) (a) (b)
r
(a
b)
(a) a
b
(b)
(ab) b (a) a (b)
两个例子 模型误差 方法误差
h 1 gt 2 2
sin x x x3 x5 x7 3! 5! 7!
x x* x
1.2 误差分析
1.2.2 绝对误差与相对误差
➢设x是某个精确值x*的近似值,则称 x* x 为近似值x的 绝对误差,简称误差。如果能找到绝对误差值的一个上
界 ,使得 x* x ,称 是近似值x的绝对误差界,
f
f
x1 x2
x1 x2
x1 x2
x1 x2
1.2 误差分析
1.2.2 绝对误差与相对误差
➢有效数字
• 若近似值的绝对误差界是某一数位上的半个单位,则称精
确到该位,若从该位到的左起第一位非零数字一共有n位, 则称近似值有n位有效数字。
• 从定义可以看出,通常的“四舍五入”后得到的数字都是
1.2 误差分析
1.2.1 误差的来源
• 通常,解决一个实际问题需经过以下几个步骤。
实际问题
数学模型
数值算法
计算结果

《数值计算》课件

《数值计算》课件
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CATALOGUE
目录
引言数值计算基础线性方程组求解插值与拟合数值积分与微分优化算法数值计算的实践应用
01
引言
数值计算是计算机科学和数学的一个重要交叉领域,主要研究如何利用数学方法解决各种实际问题,特别是在处理大规模、复杂数据时。
本课程将介绍数值计算的基本原理和方法,包括线性代数、微积分、插值、拟合、数值积分、微分方程等。
多项式拟合是一种通过已知数据点来构造一个多项式,使得该多项式能够尽可能地逼近真实函数的方法。
多项式拟合的原理是利用最小二乘法或其他优化算法来求解多项式的系数,使得多项式与真实函数的误差最小。
多项式拟合的优点是适应性强、应用广泛,但缺点是当数据点较多时,多项式的次数较高,可能导致计算量大、精度降低。
梯形法
辛普森法
复合梯形法和复合辛普森法
ห้องสมุดไป่ตู้
复合差分法
复合差分法是通过将函数定义域分成若干个子区间,并在每个子区间上分别使用差商法或中心差分法进行计算,然后求和得到函数导数的近似值。
数值微分的基本概念
数值微分是一种近似计算函数导数的方法,通过选取适当的离散点,利用差分公式来逼近函数导数的值。
差商法
差商法是一种简单的数值微分方法,通过计算函数在相邻离散点之间的差商来逼近函数导数的值。
数据拟合
THANKS
感谢观看
矩阵分解法是一种将系数矩阵分解为易于处理的形式的方法,常见的有LU分解、QR分解等。
04
插值与拟合
拉格朗日插值的原理是利用已知数据点构造一个插值多项式,然后通过该多项式在未知点的取值来估计该点的数值。
拉格朗日插值法的优点是简单易懂,易于实现,但缺点是当数据点较多时,插值多项式的次数较高,可能导致计算量大、精度降低。

数值计算方法1_ppt [兼容模式]

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5
输出的数据是解向量x , 和方程的解x1 , x2
求解微分方程
y′ = 2 x + 3 y( 0 ) = 0
不是数值问题
输入的虽是数据, 但输出的不是数据而是函数y = x 2 + 3 x
将其变成数值问题,即将其“离散化”
即将求函数 y = x 2 + 3 x
改变成求函数值 y( x1 ), y( x2 ),L , y( xn ), x1 < x2 < L < xn “离散化”是将非数值问题的数学模型化为数值问题 的主要方法,这也是计算方法的任务之一
*
E( x ) = x − x 为近似值 x *的绝对误差 , 简称误差 , 可简记为 E .
* *
15
因为准确值 x 往往是未知甚至是无法 知道的
因此 E ( x ) = x − x 往往也无法求出
* *
而只能知道 E ( x * ) = x * − x 绝对值的某个上界 , 即
| E ( x )|= | x − x|≤ ε ( x )
21
考察 y 的误差与 x , x 的误差的关系
* * 函数 f ( x1 , x 2 ) 在点 ( x1 , x2 )处的 Taylor 展开式为
*
* 1
* 2
∂f * * f ( x 1 , x 2 ) = f ( x 1 , x 2 ) + ∂x 1
1 ∂ 2 f + 2 2! ∂ x 1 ∂ f + ∂x 2 2
*
ε( y ) = 5
*
x * = 15吗?
定义2. 设 x为准确值 , x *为 x的一个近似值 , 称
* * ( ) E x x −x * Er ( x ) = = x x 为近似值 x *的相对误差 , 可简记为 E r .

数值计算方法与算法-45页PPT文档资料

数值计算方法与算法-45页PPT文档资料
条件:A 行列式非零。 运算量:O(n3)
第5章 解线性方程组的直接法
• 全主元消元法
原理:在Gauss消元过程中,先选取所有元素模最大者, 将其换行至左上角位置,再作消元。由此得到分解 A = P L U Q,P和Q为置换方阵,L中各元素的模都 ≤1, U中各元素的模都≤同行对角元素的模。
条件:A 行列式非零。 运算量:O(n3)
yix (ix 1 i 1 xix)yix 1 i (1 x xx ii), xi xxi 1
第1章 插值
2(h0 h1 )
h1
M1 d1 d0 h1M 0
h1
2(h1 h2 )
hn2
S(x) a ixi a 3 im0 a ,(x x x (i)3)
i 0
i 1
• M关系式
Si(x)M 6i (x xii 1 1 x x)i3(xi 1xi)x (i 1x) M 6 i 1 (x x i 1 xix )i3(xi 1xi)x (xi)
R i,02i个分点的 R i,j R 梯 i,j 1R 形 i,j 1 4 j R 积 1 i 1 ,j 1, 分 1j , i
例题 4

构造积分 I(f)
2h
f
(x)d
x的数值积分公式
h
I ( f ) = a0 f (-h) + a1 f (0) + a2 f (2h)。
yi (xixj)
ji
• Newton插值
n
pn(x) ai (xxj), aii阶差 f[x0, 商 ,xi] i 0 j i
第1章 插值
• 差商
f[ x 0 ] f( x 0 ) , f[ x 0 , ,x k ] f[ x 1 , ,x k x ] k fx [ 0 x 0 , ,x k 1 ]

4.2 数值计算(第1课时)课件-2023—2024学年高中信息技术教科版(2019)必修1

4.2 数值计算(第1课时)课件-2023—2024学年高中信息技术教科版(2019)必修1
用WPS表格绘制函数图像还是不太方便,我们还可以用什么样的方法实现函数的绘制呢?
可以借助计算机程序描点绘制函数来达到速度快且精度高的效果。
任务:绘制数学函数曲线
➢ 活动2 利用Python绘制正弦曲线
• 4.2 数值计算
借助计算机程序描点,可以达到速度快且精确度 高的效果。下面我们尝试利用Python编写程序绘 制正弦曲线。
课堂小结
• 4.2 数值计算
绘制 数学 函数 曲线
wps绘制 Python绘制
numpy模块
matplotlib 模块
课后作业
• 4.2 数值计算
➢ 利用Python绘制x5+x4+x-3=0在区 间【-1,2】的函数图像。
感谢观看
学无பைடு நூலகம்境 永攀高峰
① 利用课本上间隔30的数据; ② 利用间隔1度的数据,绘制正弦函数图像。
任务:绘制数学函数曲线
➢ 活动1 用WPS表格绘制正弦曲线
• 4.2 数值计算
仔细观察图像,会发现图像的关键点太少,精度不够,图像不光滑。要想提高图像的光滑 程度,就要减小角度间隔,但间隔增加,工作量也会随之增加:每隔1°画一个点,数据 表上就会增加300多行新数据;如果以0.1°为间隔,将有3000多行数据。
上机实践4
课堂小测
• 4.2 数值计算
填空题
1.numpy是一个科学计算包,其中包括很多________,如________、矩 阵计算方法、________、线性代数等。通过numpy模块中的________函数 可以创建一个等差数列。 如在0-2π之间每隔0.01取个值,则可以用_ _______表示,其中numpy.pi表示________。 2.matplotlib模块是一个________。matplotlib的绘图原理很简单,利 用________画线函数就可以在直角平面内轻松地将________坐标点对连接 成平滑曲线。

数值计算方法与算法(第三版)(张韵华等)PPT模板

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09
第8章计算矩阵的 特征值和特征向量
第8章计算矩阵的特征值和特征向量
01 8.1幂法
8.1.1幂法计算 8.1.2幂法的规范运算
02 8.2反幂法
*8.3实对称矩阵
03 的Jacobi方法
04 *8.4QR方法简介
8.4.1QR方法初步 8.4.2矩阵的QR分解
05 习题8
10
参考文献
参考文献
5.3松弛迭代
5.3.1松弛 迭代计算 公式
5.3.2松弛 迭代矩阵
07
第6章数值积分和 数值微分
第6章数值积 分和数值微

0 1
6.1牛顿-柯
特斯数值积分
0 2
6.2复化数值
积分
0 4
*6.4高斯(Gauss)
型积分
0 5
6.5数值微分
0 3
*6.3重积分计 算.
0 6
习题6
第6章数值积 分和数值微分
3.4求解非线性方程组的Newton方法
习题3
05
第4章求解线性方 程组的直接法
第4章求解线性方程组的直接法
01
4.1Gauss消元法
4.1.1Gauss顺序消元法 4.1.2Gauss列主元消元 法
02
4.2直接分解法
4.2.1Doolittle分解 4.2.2Crout分解 4.2.3特殊线性方程组
数值计算方法与算法(第三版)(张韵华等)
演讲人
202X-11-11
01
绪论
绪论
0.1数值计算方法与算法
1
0.3矩阵和向量范数
0.3.1向量范数
3
0.3.2矩阵范数 0.3.3矩阵的条件数

《数值计算方法》课件 (2)

《数值计算方法》课件 (2)

模拟仿真
应用数值计算方法进行仿真和实 验,验证理论和验证结果。
数值计算方法的发展
历史演变
回顾数值计算方法的发展历程和重要里程碑。
未来趋势
展望数值计算方法在人工智能和大数据时代的 应用前景。
数值计算方法与其他学科的关联
1
数学
数值计算方法是数学在计算科学中的具体应用。
2
计算机科学
数值计算方法依赖于计算机科学的算法和数据结构。
2
优化算法
探讨数值计算方法的优化法,如梯度下降和共轭梯度法。
3
实际应用
展示数值计算方法在实际问题中的应用,如最优化和插值。
数值计算方法的误差分析
1 精度和稳定性
解释数值计算方法的精度 和稳定性以及其对计算结 果的影响。
2 截断误差
讨论数值计算方法中的截 断误差产生原因和如何减 小误差。
3 舍入误差
3
工程学
数值计算方法在工程学中的应用广泛,如结构分析和流体力学。
结语
数值计算方法是计算科学和工程学中的基础领域,掌握数值计算方法对于解决实际问题具有重要意义。
解释数值计算方法中的舍 入误差,以及浮点数表示 和运算的限制。
数值计算
数值计算是利用计算机进行数值计算的过程,通过数值计算方法解决实际问题,如方程求解和函数逼近。
数值计算方法的选择
决策方面
评估不同数值计算方法在特定问 题上的可行性和效果。
数据分析
比较数值计算方法在数据处理和 模型拟合中的效率和准确性。
《数值计算方法》PPT课件 (2)
数值计算方法的介绍 - 什么是数值计算方法 - 数值计算方法的应用领域 - 数值计算方法的重要性 数值计算方法的基本原理 - 数值计算方法的概念 - 常用的数值计算方法 - 数值计算方法的数学原理

《数值计算方法》课件

《数值计算方法》课件

分类
分为单目标最优化和多目标最优化问题。
应用领域
广泛应用于经济、工程、科学计算等领域。
一维搜索算法
01
黄金分割法
通过不断将搜索区间一分为二,寻 找最优解。
牛顿法
利用目标函数的导数信息,通过迭 代逼近最优解。
03
02
二分法
在闭区间上,通过不断缩小搜索区 间来寻找最优解。
插值法
利用已知点构造插值函数,求解目 标函数的最优解。
04
插值与拟合
插值法
线性插值
通过已知的两点,利用线性函数进行插值。
样条插值
通过构造样条曲线,在已知数据点之间进行 插值。
二次插值
利用三个已知点,通过二次函数进行插值。
立方插值
利用四个已知点,通过立方函数进行插值。
最小二乘法拟合
线性最小二乘拟合
通过最小化误差平方和,找到最佳的线性拟合直线。
多项式最小二乘拟合
该课程是计算机科学与技术、数学与 应用数学等专业的重要基础课程之一 ,旨在培养学生掌握基本的数值计算 方法和技能,能够解决实际问题。
课程目标
01
掌握数值计算的基本原理和方法,包括迭代法、数值积分、数值微分 、线性方程组求解等。
02
理解误差分析和数值稳定性的概念,能够分析算法的精度和稳定性。
03
学会使用常用的数值计算软件包,如 MATLAB、Python 等,进行数 值实验和编程实践。
数值微分方法
介绍常用的数值微分方法,如差分法、中心差分法、有限元法等。
误差分析
分析各种数值微分方法的误差,以及如何选择合适的微分方法。
应用实例
通过具体实例展示如何使用数值微分方法解决实际问题。

《数值计算方法总结》课件

《数值计算方法总结》课件
《数值计算方法总结》ppt课件
$number {01}
目录
• 引言 • 数值计算的基本概念 • 数值计算方法 • 数值计算的误差分析 • 数值计算的软件实现 • 总结与展望
01 引言
数值计算的重要性
1 2
3
解决实际问题
数值计算是解决实际问题的重要手段,如科学计算、工程计 算、金融计算等。
推动科技进步
共轭梯度法
结合了直接法和迭代法的优点,适用于大规模稀疏线性方程组求解。
多项式插值与拟合方法
拉格朗日插值法
基于拉格朗日多项式的 插值方法,适用于已知 离散数据点的插值。
牛顿插值法
基于牛顿多项式的插值 方法,具有较好的数值
稳定性和效率。
最小二乘法
通过最小化误差平方和 来拟合数据,适用于已 知数据点的函数拟合。
提高数值计算精度的策略
01
02
03
算法改进
开发更精确的算法或改进现有 算法。
使用自适应算法,根据问题特 性调整计算过程。
提高数值计算精度的策略
01
并行计算和分布式计算
02
利用多核或多处理器系统并行处理,加快计算速度 并减少舍入误差。
03
使用分布式计算资源进行大规模数值模拟。
提高数值计算精度的策略
金融计算
数值计算在金融领域中广泛应用 ,如风险评估、投资组合优化、
期权定价等。
数据分析与挖掘
数值计算在数据分析和挖掘领域 中广泛应用,如统计分析、机器
学习等。
02
数值计算的基本概念
数值计算的定义
数值计算是研究用计算机进行数值计 算的方法和理论的一门学科,主要涉 及数学模型、算法设计、数据分析等 方面。

数值计算方法和算法.ppt

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1 N1(xn) Nn(xn)cn yn
(x)((cn(xxn1)cn1)(xxn1))(xx0)c0
k阶差商
f[x 0 , ,x k] f[x 1 , ,x k 1 ,x x k k ] x f0 [x 0 ,x 1 ,x k 1 ]
差商表
0 1 2 … n
0
1
x0
x1
y0
y1
y1 y0 x1 x0
bi
( xi
x0 ) (xi
yi xi1 )( xi
xi1 ) ( xi
xn )
(x)
(x
x0 ) (x
xn )
x
b0 x0
x
bn xn
Newton 插值
(x)c0c1N1(x) cnNn(x),
Ni(x)(xx0)x(x1) (xxi1)
1
c0 y0
1 N1(x1)
c1
y1
多项式插值
给定平面上n+1个插值点(xi,yi), 构造n次多 项式φ(x), 满足φ(xi)=yi, i=0,1,…,n.
单项式 插值
(x)a0a1xanxn,或
(x)a0
a1
x
h
an(xh)n
1 x0 x0n a0 y0
1 1
x1
xn
x1n
xnn
a1
an
y1
数值计算方法与算法
第0章 绪论
• 什么是数值计算方法?
数学建模
数值计算
实际问题
数学问题
近似解
• 什么是“好的”数值计算方法? ✓ 误差小 ─ 误差分析 ✓ 耗时少 ─ 复杂度分析 ✓ 抗干扰 ─ 稳定性分析
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Nn(xn)cc 1nyy 1n
(x)((cn(xxn1)cn1)(xxn1))(xx0)c0
13
k阶差商
f[x 0 , ,x k] f[x 1 , ,x k 1 ,x x k k ] x f0 [x 0 ,x 1 ,x k 1 ]
差商表
0 1 2 … n
0
1
x0
x1

y1
y1 y0 x1 x0
9
多项式插值 给定平面上n+1个插值点(xi,yi), 构造n次多 项式φ(x), 满足φ(xi)=yi, i=0,1,…,n.
10
单项式 插值
(x)a0a1xanxn,或
(x)a0
a1
x
h
an(xh)n
1 x0
1
x1
1 xn
x0n a0 y0
xx1nnn
a1 an
y1 yn
y0
yn
m0 mn
n
(x) bi(xxi)ci Li2(x) i0
bi
miLi (xi )2yi Li3(xi )
,
ci
yi Li2(xi )
18
误差估计:
R (x )f(x )(x )f(2 (2 n n 2 )2 ())( !x x 0 )2 (x x n )2
证明:设 R (x ) K (x )x ( x 0 )2 (x x n )2 ,则
y1 yn
bi
( xi
x0 )
( xi
yi xi1 )( xi
xi1 )
(xi xn )
(x) (x x0)
(
x
xn
)
x
b0 x0
bn x xn
12
Newton 插值
(x)c0c1N1(x)cnNn(x),
Ni(x)(xx0)x(x1)(xxi1)
1
c0 y0
1 N1(x1) 1N1( xn)
4
• 误差的类型
绝对误差=真实值-近似值
相对误差=绝对误差/真实值
• 误差的来源
原始误差、截断误差、舍入误差
真实值 近似值
输入 计算 输出
x
f
y f(x)
~ xxx ~f f f ~ y~ f(~ x)y
5
• 一些例子:
计算地球的体积 V 4 π R3
3
计算 π1111
4 357
计算 f( x ,y ) ( x y ) 3 x 3 3 x 2 y 3 x2 y y 3 • 如何减小计算误差?
首项系数等于f[x0,…,xn]。
证明:分别以x0,…,xn-1和x1,…,xn为节点构
造n-1次插值多项式φ1(x)和 φ2(x),则有
(x)x x0 x xn n1(x)x xn x x0 02(x)
对n用归纳法。
• f[x0,…,xn]与x0,…,xn的顺序无关。
15
误差估计:
R (x )f(x )(x )f(( n n 1 )1 ())! (x x 0 ) (x x n)
选择好的算法、提高计算精度
• 范数的定义 满足非负性,齐次性,三角不等式的实函数
6
• 常用的向量范数
1
xpx1pxnpp, 1p
• 常用的矩阵范数
Ax
A sup p,1 p
p
x
p
• 矩阵的谱半径
(A ) m 1 a , x ,n

例:计算矩阵
A
1 3
2 4
的范数和谱半径。
• 例:范数在误差估计中的应用
数值计算方法与算法
1
整体概况
概况一
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01
概况二
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02
概况三
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03
2
第0章 绪论
3
• 什么是数值计算方法?
数学建模
数值计算
实际问题
数学问题
近似解
• 什么是“好的”数值计算方法? ✓ 误差小 ─ 误差分析 ✓ 耗时少 ─ 复杂度分析 ✓ 抗干扰 ─ 稳定性分析
17
单项式 基函数
Lagrange 基函数
(x) a0 a1x an1x2n1
1 x0 x02
1
xn
xn 2
0
1
2x0
0 1 2xn
x 2n1 0
x 2n1 n
(2n 1)x0
(2n 1)xn
2 2
n n
a0 a1 a2
a2n1
g ( t) f( t) K ( x )t ( x 0 ) 2 ( t x n ) 2
有2n+3个零点。根据中值定理,存在
g(2n2)()0 , ab
于是 K(x) f ( (2n2) ) 。
(2n2)!
19
Runge现象:并非插值点取得越多越好。
2 1.5
1 0.5
-1
-0.5
解决办法:分段插值
(x) (((anx an1)x )x a1)x a0
11
Lagrange (x)b 0L 0(x)b 1L 1(x)b nL n(x),
插值
L i(x)(xx0)x (x1)(xxn)(xxi)
L0 ( x0 )
L1 ( x1 )
b0 y0
Ln
(
xn
)
b1 bn
0.5
1
20
三次样条插值 给定平面上n+1个插值点(xi,yi), 构造分段 三次多项式φ(x), 满足φ(xi)=yi, φ’(x)可微, φ”(x)连续。
21
第2章 数值微分和数值积分
22
数值微分
• 差商法 f(x)f(x2)f(x1)
证明:设 R (x ) K (x )x ( x 0 ) (x x n ),则
g ( t) f( t) K ( x )t ( x 0 ) ( t x n )
有n+2个零点。根据中值定理,存在
g(n 1)()0, ab
于是 K(x) f (n1)() 。
(n1)!
16
Hermite插值 给定平面上n+1个插值点(xi,yi,mi), 构造 2n+1次多项式φ(x), 满足φ(xi)=yi, φ’(xi)=mi, i=0,1,…,n.
ijf[xji,,xj]
2
x2
y2
y2 y1 x2 x1 1,2 1,1 x2 x0

n

xn

yn
… …
y n y n1 x n x n1
1,n 1,n1 xn xn2
...
...
n1,n n1,n1 xn x0 14
差商的性质
• 以x0,…,xn为节点的n次插值多项式φ(x)的
7
第1章 插值
8
函数逼近 用未知函数f(x)的值构造近似函数φ(x)。 要求误差小、形式简单、容易计算。
常用的函数逼近方法 • 插值:φ(xi)=yi, i=0,1,…,n. • 拟合:||φ(x)-f(x)||尽可能小 通常取 φ(x) = a0φ0(x) + … + anφn(x),其中 {φi(x)}为一组基函数。
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