八年级数学竞赛例题专题讲解13：三角形的基本知识 含答案
八年级上册数学直角三角形全等判定(基础)知识讲解+巩固练习
直角三角形全等判定（基础）【学习目标】1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL ”）.2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.【要点梳理】要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS ”，“ASA ”或“SAS ”判定定理. 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL ”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt ”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、 已知：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ．求证：（1）AB ＝CD ：（2）AD ∥BC ．【思路点拨】先由“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △CDB ，再由内错角相等证两直线平行.【答案与解析】证明：（1）∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠ABD ＝∠CDB ＝90°在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，AD BC BD DB ⎧⎨=⎩＝ ∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB ＝∠CBD∴AD ∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.举一反三：【变式】已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．【答案】证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，∴∠DAE＝∠CBA＝90°在Rt△DAE 与Rt△CBA中，ED ACAE AB⎧⎨⎩＝＝，∴Rt△DAE≌Rt△CBA （HL）∴∠E＝∠CAB∵∠CAB＋∠EAF＝90°，∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90°即ED⊥AC．2、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等．（）【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”. 【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.举一反三：【变式】下列说法正确的有（）（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等；（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等；（4）有两条边相等的两个直角三角形全等；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】C ．解：（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等，根据AAS 可判定两个直角三角形全等；（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据AAS 或ASA 可判定两个直角三角形全等；（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等，缺少“边”这个条件，故不可判定两个直角三角形全等；（4）有两条边相等的两个直角三角形全等，根据SAS 或HL 可判定两个直角三角形全等；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据HL 可判定两个直角三角形全等．所以说法正确的有4个．故选C ．3、（2016春•深圳校级月考）如图，AB ⊥AC 于A ，BD ⊥CD 于D ，若AC=DB ，则下列结论中不正确的是（ ）O B C DAA ．∠A=∠DB ．∠ABC=∠DCBC ．OB=OD D ．OA=OD【思路点拨】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．【答案与解析】解：∵AB ⊥AC 于A ，BD ⊥CD 于D∴∠A=∠D=90°（A 正确）又∵AC=DB ，BC=BC∴△ABC ≌△DCB(HL)∴∠ABC=∠DCB （B 正确）∴AB=CD又∵∠AOB=∠C∴△AOB ≌△DOC(AAS)∴OA=OD （D 正确）C 中OD 、OB 不是对应边，不相等．故选C ．【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4、已知：如图1，在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，C=∠C′=90° 求证：Rt△ABC 和Rt△A′B′C′全等．（1）请你用“如果…，那么…”的形式叙述上述命题；（2）将△ABC 和△A′B′C′拼在一起，请你画出两种拼接图形；例如图2：（即使点A 与点A′重合，点C 与点C′重合．）（3）请你选择你拼成的其中一种图形，证明该命题．【答案与解析】解：（1）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等．（2）如图：图②使点A与点A′重合，点B与点B′重合图③使点A与B′重合，B与点A′重合．（3）在图②中，∵A和A′重合，B和B′重合，连接CC′．∵∠ACB=∠A′C′B′=90°，∠ACB﹣∠ACC′=∠A′C′B′﹣∠AC′C，即∠BCC′=∠BCC′，∴BC=B′C′．在直角△ABC和直角△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．【总结升华】本题考查了直角三角形的全等中HL定理的证明，正确利用等腰三角形的性质是关键．【巩固练习】一、选择题1．（2015春•深圳校级期中）下列语句中不正确的是（）A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等B．有两边对应相等的两个直角三角形全等C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等2．如图，AB＝AC，AD⊥ BC于D，E、F为AD上的点，则图中共有（）对全等三角形．A．3 B．4 C．5 D．63. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A.斜边相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.两直角边对应相等4. 在Rt △ABC 与Rt △'''A B C 中, ∠C ＝ ∠'C ＝ 90︒, ∠A ＝ ∠'B , AB ＝''A B , 那么下列结论中正确的是( )A. AC ＝ ''A CB.BC ＝ ''B CC. AC ＝ ''B CD. ∠A ＝ ∠'A5. （2016春•蓝田县期末）如图，∠B=∠D=90°，BC=CD ，∠1=40°，则∠2=（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．75°6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（ ）A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二、填空题7．如图，BE ，CD 是△ABC 的高，且BD ＝EC ，判定△BCD ≌△CBE 的依据是“______”．8. 已知，如图，∠A ＝∠D ＝90°，BE ＝CF ，AC ＝DE ，则△ABC ≌_______.9. 如图，BA ∥DC ，∠A ＝90°，AB ＝CE ，BC ＝ED ，则AC ＝_________.10.（2016春•普宁市期末）如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE,若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是．11．有两个长度相同的滑梯，即BC＝EF，左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，则∠ABC＋∠DFE＝________．12. 如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，FD＝CD.则∠BAD＝_______.三、解答题13. 如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B点处打开，墙壁厚是35cm，B点与O点的铅直距离AB长是20cm，工人师傅在旁边墙上与AO水平的线上截取OC＝35cm，画CD⊥OC，使CD＝20cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从B点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．14.（2014秋•黄石港区校级月考）如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在∠AOB的两边上分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则得到OP平分∠AOB．请用你所学的知识说明其中的道理．15. 如图，已知AB＝AC，AE＝AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F.求证：∠1＝∠2.【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C；【解析】解：A、∵直角三角形的斜边和一锐角对应相等，所以另一锐角必然相等，∴符合ASA定理，故本选项正确；B、两边对应相等的两个直角三角形全等，若是两条直角边，可以根据SAS判定全等，若是直角边与斜边，可根据HL判定全等．故本选项正确；C、有两个锐角相等的两个直角三角形相似，故本选项错误；D、有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形符合ASA定理，可判定相等，故本选项正确．故选C．2. 【答案】D；【解析】△ABD≌△ACD；△ABF≌△ACF；△ABE≌△ACE；△EBF≌△ECF；△EBD≌△ECD；△FBD≌△FCD.3. 【答案】D；4. 【答案】C；【解析】注意看清对应顶点，A对应'B，B对应'A.5. 【答案】B；【解析】解：∵∠B=∠D=90°,在Rt△ABC和Rt△ADC中∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）∴∠2=∠ACB=90°﹣∠1=50°．故选B．6. 【答案】C；【解析】如果这对角不是直角，那么全等，如果这对角是直角，那么不全等.二、填空题7. 【答案】HL ；8. 【答案】△DFE9. 【答案】CD ；【解析】通过HL 证Rt △ABC ≌Rt △CDE.10.【答案】AC=DE ；【解析】解∵AB ⊥DC ，∴∠ABC=∠DBE=90°，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，AC DE BE BC=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △DBE （HL ），故答案为：AC=DE ．11.【答案】90°；【解析】通过HL 证Rt △ABC ≌Rt △DEF ，∠BCA ＝∠DFE.12.【答案】45°；【解析】证△ADC 与△BDF 全等，AD ＝BD ，△ABD 为等腰直角三角形.三、解答题13.【解析】解：在Rt △AOB 与Rt △COD 中，(3590AOB COD AO CO A C ∠=∠⎧⎪==⎨⎪∠=∠=︒⎩对顶角相等）∴Rt △AOB ≌Rt △COD （ASA ）∴AB ＝CD ＝20cm .14.【解析】解：在Rt △OPM 和Rt △OPN 中，，所以Rt △OPM ≌Rt △OPN （HL ），所以∠POM=∠PON ，即OP 平分∠AOB ．15.【解析】证明：∵AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，∴△AEC 、△AFB 为直角三角形，在Rt △AEC 与Rt △AFB 中，AB AC AE AF⎧⎨⎩＝＝∴Rt △AEC ≌Rt △AFB （HL ），∴∠EAC＝∠FAB，∴∠EAC－∠BAC＝∠FAB－∠BAC，即∠1＝∠2.。
初中数学竞赛专题：三角形
初中数学竞赛专题：三角形§9. 1全等三角形1. 1. 1★已知等腰直角三角形A8C,8C是斜边.々的角平分线交AC于。
，过C作CE与a）垂直且交8。
延长线于邑求证：BD = 2CE.解析如图，延长CE、B4,设交于b・则NF3E = NAb,A8 = AC,得△AB£>gA4b,CF = 8O.乂BE 1.CF, BE 平分/FBC,故BE 平分CF, E为CF 中点、，所以2CE = FC = BD .9. 1. 2★在△ABC中，已知乙4 = 60。
,£、F、G分别为/W、AC、8C的中点,P、Q为AABC形外两点，使总_14从尸£ = ¥，°尸_14。
,0尸=卓,若6尸=1,求尸0的长.解析如图，连结EG、FG ,则EG//AC , FG//AB，故/PEG = 150。
= NQFG . 又QF = -AC = EG , PE 4AB = FG , 故APEG 9AGFQ , 所以2 2PG = GQ , AEGP + ZFGQ = ZFQG + ZFGQ = 30°, 乂ZEGF = 60°,所以NPG0 = 9O。
，于是PQ = 0PG = y/2 .10.1. 3★在梯形A8C0的底边AD上有一点心若八钻石、ABCEx △（7£）七的周长相等，求竺L AD 解析作平行四边形EC8A,则△AB石口\。
£»,若H与A不重合，则H在£4 （或延长线）上，但由三角形不等式易知,A，在E4上时,AABE的周长〉/XAZE的周长；A，在E4延长线上时,AABE的周长<AA f BE周长,均与题设矛盾，故A与H重合,A£〃8C ,同理ED//BC ,£ = =.= = AD 2AA f E11.1.4★★△ABC 内,44。
= 60。
,/4(78 = 40。
部编数学八年级上册专题13一线三等角模型证全等(解析版)含答案
专题13一线三等角模型证全等1．如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，试回答下列问题：（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠2＝ 45 度；（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若AM＝6，BN＝2，求MN．（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN 与MN之间有什么关系？请说明理由．【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝90°，∴∠B＝∠A＝45°，∵AB∥MB，∴∠2＝∠B＝45°，故答案为45；（2）∵AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，∴∠AMC＝90°，∠BNC＝90°．∴∠1+∠CAM＝90°，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠CAM，同理：∠1＝∠CBN，在△AMC和△CNB中，，∴△AMC≌△CNB（ASA），∴AM＝CN，MC＝BN，∴MN＝MC+CN＝AM+BN＝2+6＝8；（3）MN＝BN﹣AM，理由：同（2）的方法得，△AMC≌△CNB（ASA），∴AM＝CN，MC＝BN，∴MN＝MC﹣CN＝BN﹣AM．2．【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90o，点D为AB中点，则△AED∽ △BDF ；②如图2，△ABC为正三角形，BD＝CF，∠EDF＝60°，则△BDE≌ △CFD ；③如图3，正方形ABCD的顶点B在直线l上，分别过点A、C作AE⊥l于E，CF⊥l于F．若AE＝1，CF＝2，则EF的长为 3 ．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标为 （﹣，1） ．【模型变式】（3）如图5所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于D，DE＝4cm，AD＝6cm，求BE的长．【解答】解：（1）①如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，∵∠EDB＝∠A+∠AED＝∠EDF+∠FDB，∴∠AED＝∠EDB，∴△AED∽△BDF，故答案为△BDF；②∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵∠EDC＝∠B+∠BED＝∠EDF+∠FDC，∴∠BED＝∠FDC，又∵BD＝CF，∴△BDE≌△CFD（AAS），故答案为：△CFD；③∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEB＝∠CFB＝90°＝∠ABC，∴∠ABE+∠BAE＝90°＝∠ABE+∠CBF，∴∠BAE＝∠CBF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF＝1，BE＝CF＝2，∴EF＝3，故答案为：3；（2）如图④，过点A作AF⊥x轴于F，过点C作CE⊥x轴于E，∵点A的坐标为（1，），∴AF＝，OF＝1，∵四边形ABCO是正方形，∴AO＝OC，∠AOC＝90°，∵AF⊥EF，CE⊥EF，∴∠AFO＝∠CEO＝90°＝∠AOC，∴∠AOF+∠FAO＝90°＝∠AOF+∠COE，∴∠COE＝∠FAO，∴△AOF≌△OCE（SAS），∴CE＝OF＝1，OE＝AF＝，∴点C坐标为：（﹣，1），故答案为：（﹣，1）；（3）如图⑤，∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠DCA+∠BCE＝90°，∠DCA+∠DAC＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，又∵AC＝BC，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CE＝AD＝6cm，CD＝BE，∴BE＝CD＝CE﹣DE＝6﹣4＝2cm．3．直线l经过点A，△ABC在直线l上方，AB＝AC．（1）如图1，∠BAC＝90°，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2，D，A，E三点在直线l上，若∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α（α为任意锐角或钝角），猜想线段DE、BD、CE有何数量关系？并给出证明；（3）如图3，∠BAC＝90°过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是BF延长线上的一个动点，连结AD，作∠DAE＝90°，使得AE＝AD，连结DE，CE．直线l与CE交于点G．求证：G是CE的中点．【解答】（1）证明：∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∴∠ABD+∠DAB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE+∠DAB＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）解：猜想：DE＝BD+CE，∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠ABD+∠DAB＝180°﹣∠BDA＝180°﹣α，∠CAE+∠DAB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，DA＝EC，∴DE＝AE+DA＝BD+CE；（3）证明：分别过点C、E作CM⊥l，EN⊥l，由（1）可知△ABF≌△CAM，△ADF≌△EAN，∴AF＝CM，AF＝EN，∴CM＝EN，∵CM⊥l，EN⊥l，∴∠CMG＝∠ENG＝90°，在△CMG与△ENG中，，∴△CMG≌△ENG（AAS），∴CG＝EG，∴G为CE的中点．4．已知：在△ABC中，AB＝AC，直线l过点A．（1）如图1，∠BAC＝90°，分别过点B，C作直线l的垂线段BD，CE，垂足分别为D，E．①依题意补全图1；②用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当∠BAC≠90°时，设∠BAC＝α（0°＜α＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝α，点D，E在直线l上，直接用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系为 DE＝BD+CE ．【解答】解：（1）①依题意补全图形如图1所示．②用等式表示DE，BD，CE之间的数量关系为DE＝BD+CE．证明：∵CE⊥l，BD⊥l，∴∠CEA＝∠ADB＝90°．∴∠ECA+∠CAE＝90°．∵∠BAC＝90°，直线l过点A，∴∠CAE+∠BAD＝180°﹣∠BAC＝90°．∴∠ECA＝∠BAD．又∵AC＝AB，∴△CEA≌△ADB（AAS），∴CE＝AD，AE＝BD．∴DE＝AE+AD＝BD+CE．（2）用等式表示DE，BD，CE之间的数量关系为DE＝BD+CE，理由如下：∵∠BAE是△ABD的一个外角，∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD，∵∠BDA＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE．故答案为：DE＝BD+CE．5．如图，CD∥AB，CD＝CB，点E在BC上，∠D＝∠ACB．（1）求证：CE＝AB．（2）若∠A＝125°，则∠BED的度数是 55° ．【解答】证明：（1）∵CD∥AB，∴∠B＝∠DCE，在△DEC与△CAB中，，∴△DEC≌△CAB（ASA），∴CE＝AB；解：（2）∵△DEC≌△CAB，∴∠CED＝∠A＝125°，∴∠BED＝180°﹣125°＝55°，故答案为：55°．6．直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．（1）当AC＝BC时，如图①，分别过点A，B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．试说明AD＝CE；（2）当AC＝8，BC＝6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M，N到达相应的终点时停止运动，过点M 作MD⊥l于点D，过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．①CM＝ 8﹣t ，当N在F→C路径上时，CN＝ 6﹣3t ；（用含t的代数式表示）②当△MDC与△CEN全等时，求t的值．【解答】解：（1）△ACD与△CBE全等．理由如下：∵AD⊥直线l，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE；（2）①由题意得，AM＝t，FN＝3t，则CM＝8﹣t，由折叠的性质可知，CF＝CB＝6，∴CN＝6﹣3t．故答案为：8﹣t；6﹣3t；②由折叠的性质可知，∠BCE＝∠FCE，∵∠MCD+∠CMD＝90°，∠MCD+∠BCE＝90°，∴∠NCE＝∠CMD，∴当CM＝CN时，△MDC与△CEN全等，当点N沿F→C路径运动时，8﹣t＝6﹣3t，解得，t＝﹣1（不合题意），当点N沿C→B路径运动时，8﹣t＝3t﹣6，解得，t＝3.5，当点N沿B→C路径运动时，由题意得，8﹣t＝18﹣3t，解得，t＝5，当点N沿C→F路径运动时，由题意得，8﹣t＝3t﹣18，解得，t＝6.5，综上所述，当t＝3.5秒或5秒或6.5秒时，△MDC与△CEN全等．7．点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度．【解答】（1）①证明：∵△OBC和△ABD是等腰直角三角形，∴OB＝CB，BD＝AB，∠ABD＝∠OBC＝90°，∴∠ABD+ABO＝∠OBC+∠A∠O，∴∠OBD＝∠CBA，∴△OBD≌△CBA（SAS），∴AC＝OD；②如图一、∵A（4，0），B（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，过点D作DF⊥y轴于F，∴∠BOA＝∠DFB＝90°，∴∠ABO+∠OAB＝90°，∵∠ABD＝90°，∴∠ABO+∠FBD＝90°，∴∠OAB＝∠FBD，∵AB＝BD，∴△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB＝3，BF＝OA＝4，∴OF＝OB+BF＝7，∴D（3，﹣7）；（2）如图二、过点D作DF⊥y轴于F，则∠DFB＝90°＝∠CBF，同（1）②的方法得，△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB，BF＝OA＝4，∵OB＝BC，∴BC＝DF，∵∠DEF＝∠CEB，∴△DEF≌△CEB（AAS），∴BE＝EF，∴BF＝BE+EF＝2BE＝4，∴BE＝2．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，垂足分别为E，F．（1）如图所示，当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE+BF．（2）当直线l绕点C旋转到图（b）的位置时，猜想EF、AE、BF之间的关系，并证明．（3）当直线l绕点C旋转到图（c）的位置时，猜想EF、AE、BF之间的关系，直接写出结论．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ECA+∠FCB＝90°，又∵AE⊥l，BF⊥l，∴∠AEF＝∠BFC＝90°，∴∠ECA+∠EAC＝90°，∴∠FCB＝∠EAC，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF，CE＝BF，∵EF＝EC+CF，∴EF＝AE+BF；（2）解：EF＝AE﹣BF，理由如下：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠FCB＝90°，又∵AE⊥l，BF⊥l，∴∠AEF＝∠BFC＝90°，∴∠CAE+∠ACE＝90°，∴∠CAE＝∠FCB，又∵AC＝BC，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF，CE＝BF，∴EF＝CF﹣CE＝AE﹣BF；（3）解：EF＝BF﹣AE，理由如下：∵∠AEC＝∠CFB＝90°，∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠CAE＝∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠CAE＝∠BCF，∵AC＝BC，∴△CAE≌△BCF（AAS），∴CE＝BF，AE＝CF，∴EF＝CE﹣CF＝BF﹣AE，即EF＝BF﹣AE．9．如图，已知l1∥l2，射线MN分别和直线l1，l2交于A、B，射线ME分别和直线l1，l2交于C、D，点P在A、B间运动（P与A、B两点不重合）（1）如图①，如果∠PDB＝50°，∠PCA＝20°，∠CPD＝ 70° ．若∠PDB＝α，∠PCA＝β，∠CPD＝γ，请直接写出α，β，γ之间的数量关系 γ＝α+β ．（2）如图②，若MN⊥l1于点A，BD＝2，AB＝6，AC＝4，当AP为多少时，△ACP≌△BPD，请判断此时PC与PD的数量与位置关系，并说明理由．（3）请用尺规作图作出∠BDC的角平分线DP，其中P为角平分线与AB的交点，若此时点P为线段AB的中点，请你在备用图中再画出合适的辅助线以能展现你的做题思路，并直接写出线段AC、BD、CD的数量关系，不用再说明理由．【解答】解：（1）过点P作PQ∥l1，交ME于点Q，如图①，∵l1∥l2，PQ∥l1，∴PQ∥l2，∴∠BDP＝∠DPQ＝50°，∵PQ∥l1，∴∠QPC＝∠PCA＝20°，∴∠DPC＝∠DPQ+∠CPQ＝70°，∵∠PDB＝α，∠PCA＝β，∠CPD＝γ，同理可得：∠CPD＝∠PDB+∠PCA，∴γ＝α+β，故答案为：70°．γ＝α+β．（2）CP＝PD，CP⊥PD．理由如下：如图②，若△ACP≌△BPD，则AP＝BD＝2，∠CPA＝∠PDB，CP＝PD，∵MN⊥l1，∴∠DBM＝90°，∴∠DPB+∠PDB＝90°，∴∠CPA+∠BPD＝90°，∴∠CPD＝90°，∴CP⊥PD．（3）CD＝CA+BD．理由如下：以点D为圆心，以任意长度为半径画弧，交l1，ME于F、H，分别以H、F为圆心，以大于EF 的长为半径画弧，相交于Q、T两点，连接DQ，即为∠CDF的角平分线，设DQ交AB于P，交l1于G，如图③，在△DPB和△GPA中，，∴△DPB≌△GPA（AAS），∴BD＝AG，∵DG是∠CDF的角平分线，∴∠CDG＝∠FDG，∵l1∥l2，∴∠FDG＝∠CGD，∴∠CDG＝∠CGD，∴CD＝CG，∵CG＝CA+AG＝CA+BD，∴CD＝CA+BD．10．已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 BD＝AE ，CE与AD的数量关系为 CE＝AD ；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD，∴∠CAE＝∠ABD，∵∠BDA＝∠AEC，BA＝CA，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，故答案为：BD＝AE，CE＝AD；（2）DE＝BD+CE，由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝BD+CE；（3）存在，当△DAB≌△ECA时，∴AD＝CE＝2cm，BD＝AE＝7cm，∴t＝1，此时x＝2；当△DAB≌△EAC时，∴AD＝AE＝4.5cm，DB＝EC＝7cm，∴t＝，x＝7÷＝，综上：t＝1，x＝2或t＝，x＝．11．已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．连接BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F．（1）如图1，当AB＝AD时①请直接写出BF与DF的数量关系：BF ＝ DF（填“＞”、“＜”、“＝”）②求证：CE＝2AF（2）如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，AB＝AD，∴AC＝AE，∵AH⊥CE，∴∠CAH＝∠EAH，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠CAH+∠BAF＝90°，∠EAH+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAF，在△BAF和△DAF中，，∴△BAF≌△DAF（SAS），∴BF＝DF，故答案为：＝；②∵AC＝AE，AH⊥CE，∴CH＝EH＝CE，∴CE＝2CH，∵∠BAC＝∠AHC＝90°，∴∠BAF+∠CAH＝90°，∠ACH+∠CAH＝90°，∴∠BAF＝∠ACH，∵△BAF≌△DAF，∴∠AFB＝∠AFD＝90°，∴∠AFB＝∠CHA，在△AFB和△CHA中，，∴△AFB≌△CHA（AAS），∴AF＝CH，∴CE＝2AF；（2）成立，证明如下：作BM⊥AF于点M，作DN⊥AF交AF的延长线于点N，∴∠BMA＝∠N＝90°，∴∠BAM+∠ABM＝90°，∠DAN+∠ADN＝90°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAM+∠CAH＝90°，∠DAN+∠EAH＝90°，∴∠ABM＝∠CAH，∠ADN＝∠EAH，∵AH⊥CE，∴∠AMB＝∠CHA＝∠N＝∠EHA＝90°，在△AMB和△CHA中，，∴△AMB≌△CHA（AAS），∴MB＝AH，同理可证△AND≌△EHA（AAS），∴DN＝AH，∴BM＝DN，在△BMF和△DNF中，，∴△BMF≌△DNF（AAS），∴BF＝DF，MF＝NF，∴AM＝AF﹣MF，AN＝AF+NF＝AF+MF，∴AM+AN＝AF﹣MF+AF+MF＝2AF，∵△AMB≌△CHA，△AND≌△EHA，∴AM＝CH，AN＝EH，∴CH+EH＝AM+AN＝2AF，∵CE＝CH+EH，∴CH＝2AF，即BF＝DF，CE＝2AF．12．从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法．例如，我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．（1）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，且MN＝DM．设OM＝a，请你利用基本活动经验直接写出点N的坐标 （2+a，a） （用含a的代数式表示）；（2）基本经验有利有弊，当基本经验有利于新问题解决的时候，这是基本经验的正迁移；当基本经验所形成的思维定势局限了新问题的思考，让新问题解决不出来的时候，这是基本经验的负迁移．例如，如果（1）的条件去掉“且MN＝DM”，加上“交∠CBE的平分线与点N”，如图2，求证：MD＝MN．如何突破这种定势，获得问题的解决，请你写出你的证明过程．（3）如图3，请你继续探索：连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：①FM的长度不变；②MN平分∠FMB，请你指出正确的结论，并给出证明．【解答】（1）解：如图1中，作NE⊥OB于E，∵∠DMN＝90°，∴∠DMO+∠NME＝90°，∠NME+∠MNE＝90°，∴∠DMO＝∠MNE，在△DMO和△MNE中，，∴△DMO≌△MNE，∴ME＝DO＝2，NE＝OM＝a，∴OE＝OM+ME＝2+a，∴点N坐标（2+a，a），故答案为N（2+a，a）．（2）证明：如图2中，在OD上取OH＝OM，连接HM，∵OD＝OB，OH＝OM，∴HD＝MB，∠OHM＝∠OMH，∴∠DHM＝180°﹣45°＝135°，∵NB平分∠CBE，∴∠NBE＝45°，∴∠NBM＝180°﹣45°＝135°，∴∠DHM＝∠NBM，∵∠DMN＝90°，∴∠DMO+∠NMB＝90°，∵∠HDM+∠DMO＝90°，∴∠HDM＝∠NMB，在△DHM和△MBN中，，∴△DHM≌△MBN（ASA），∴DM＝MN．（3）结论：MN平分∠FMB成立．证明：如图3中，在BO延长线上取OA＝CF，在△AOD和△FCD中，∴△DOA≌△DCF，∴AD＝DF，∠ADO＝∠CDF，∵∠MDN＝45°，∴∠CDF+∠ODM＝45°，∴∠ADO+∠ODM＝45°，∴∠ADM＝∠FDM，在△DMA和△DMF中，，∴△DMA≌△DMF，∴∠DFM＝∠DAM＝∠DFC，过M作MP⊥DN于P，则∠FMP＝∠CDF，由（2）可知∠NMF+∠FMP＝∠PMN＝45°，∵∠NMB＝∠MDO，∠MDO+∠CDF＝45°，∴∠NMB＝∠NMF，即MN平分∠FMB．（在旋转过程中，FM＝AM，显然AM的长度是变化的，故FM的长度是变化的或取两个特殊位置，比较AM的值即可发现结论）．。
八年级数学竞赛专题训练13 三角形的基本知识(附答案)
八年级数学竞赛专题训练13 三角形的基本知识阅读与思考三角形是最基本的几何图形，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.解与三角形的基本知识相关的问题时，常用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法解几何计算题及简单的证明题，对三角形按边或按角进行恰当分类.应熟悉以下基本图形：图4图3图2图1CDBAD CBADCBA DCOBA例题与求解【例1】 在△ABC 中，∠A =50°，高BE ，CF 交于O ，则∠BOC =________.（“东方航空杯”——上海市竞赛试题）解题思路：因三角形的高不一定在三角形内部，故应注意符合题设条件的图形多样性.【例2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形底边的长为（ ）A .17cmB .5cmC .5cm 或17cmD .无法确定（北京市竞赛试题）解题思路：中线所分两部分不等的原因在于等腰三角形的腰与底的不等，应分情况讨论.【例3】 如图，BE 是∠ABD 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，BE 与CF 交于G ，若∠BDC =140°，∠BGC =110°，求∠A 的大小.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：运用凹四边形的性质计算.GC DBEF A【例4】 在△ABC 中，三个内角的度数均为正数，且∠A ＜∠B ＜∠C ，4∠C ＝7∠A ，求∠B 的度数.（北京市竞赛试题）解题思路：把∠A ，∠C 用∠B 的代数式表示，建立关于∠B 的不等式组，这是解本题的突破口.【例5】 （1）周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？（2）现有长为150cm 的铁丝，要截成)2(>n n 小段，每段的长不小于1cm 的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n 的最大值.此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n 段.（江苏省竞赛试题）解题思路：对于（1），不妨设三角形三边为a ，b ，c ，且c b a <<，由条件及三角形三边关系定理可确定c 的取值范围，从而可以确定整数c 的值. 对于（2），因n 段之和为定值150cm ，故欲使n 尽可能的大，必须使每段的长度尽可能的小.这样依题意可构造一个数列.【例6】 在三角形纸片内有2 008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2 011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上.问：以这2 011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？（天津市竞赛试题）解题思路：本题的解题关键是找到规律：三角形内角每增加1个内点，就增加了2个三角形和3条边.能力训练A 级1.设a ，b ，c 是△ABC 的三边，化简c b a c b a --+++=____________.2.三角形的三边分别为3，a 21-，8，则a 的取值范围是__________.3.已知一个三角形三个外角度数比为2:3:4，这个三角形是_______（按角分类)三角形.4.如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数为____________. （“缙云杯“试题）EDCBAHDCMG BAEC BA（第4题） （第5题） （第6题）5.如图，已知AB ∥CD ，GM ，HM 分别是∠AGH ，∠CHG 的角平分线，那么∠GMH =_________.T ED GHCBA F21AC EDB（第7题） （第9题） 6.如图，△ABC 中，两外角平分线交于点E ，则∠BEC 等于（ ）A .)90(21A ∠-︒ B .A ∠+︒2190 C .)180(21A ∠-︒ D .A ∠-︒21180 7.如图，在△ABC 中，BD ，BE 分别是高和角平分线，点F 在CA 的延长线上，FH ⊥BE 交BD 于G ，交BC 于H .下列结论：①∠DBE =∠F ；②2∠BEF =∠BAF +∠C ；③∠F =21（∠BAC -∠C ）；④∠BGH =∠ABE +∠C . 其中正确的是（ ）A .①②③B .①③④C .①②③D .①②③④8.已知三角形的每条边长的数值都是2 001的质因数，那么这样的不同的三角形共有（ ） A .6个 B .7个 C .8个 D .9个 9.如图，将纸片△ABC 沿着DE 折叠压平，则（ ） A .∠A =∠1+∠2 B .∠A =21（∠1+∠2）C .∠A =31（∠1+∠2） D .∠A =41（∠1+∠2）（北京市竞赛试题）10.一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是4和1 997，则满足上述条件的三角形的个数是（ ） A .1个 B .3个 C .5个 D .7个（北京市竞赛试题）11.如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A +∠B +∠C +∠D =180°.（河南省竞赛试题）321EG FDCBA12.平面内，四条线段AB ，BC ，CD ，DA 首尾顺次连接，∠ABC =24°，∠ADC =42°. （1）∠BAD 和∠BCD 的角平分线交于点M （如图1），求∠AMC 的大小.（2）点E 在BA 的延长线上，∠DAE 的平分线和∠BCD 平分线交于点N （如图2），求∠ANC .CDBAEND CBA图1 图213.三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度.在下图中，E 位于线段CA 上，D 位于线段BE 上.（1）证明：AB +AE ＞DB +DE ； （2）证明：AB +AC ＞DB +DC ；（3）AB +BC +CA 与2（DA +DB +DC ）哪一个更大？证明你的结论； （4）AB +BC +CA 与DA +DB +DC 哪一个更大？证明你的结论.（加拿大埃蒙德顿市竞赛试题）E DCBAB 级1.已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但不是最短边，这样的三角形的 个数有_______个.（“祖冲之杯”邀请赛试题）2.以三角形的3个顶点和它内部的9个点共12个点为顶点能把原三角形分割成______个没有公共部分的小三角形.3.△ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，且有2∠B =5∠A ，若∠B 的最大值是m ，最小值是n ，则=+n m ___________.（上海市竞赛试题）4.如图，若∠CGE =α，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =_______.（山东省竞赛试题）αGFEDCBADA 2A 1CBA（第4题） （第5题）5.如图，在△ABC 中，∠A =96°，延长BC 到D ，∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于1A 点，BC A 1∠与CD A 1∠的平分线相交于2A 点，依此类推，BC A 4∠与CD A 4∠的平分线相交于5A 点，则5A ∠的大小是（ ）A .3°B .5°C .8°D .19.2°6.四边形ABCD 两组对边AD ，BC 与AB ，DC 延长线分别交于点E ，F ，∠AEB ，∠AFD 的平分线交于点P .∠A =64°，∠BCD =136°，则下列结论中正确的是（ ）①∠EPF =100°； ②∠ADC +∠ABC =160°； ③∠PEB +∠PFC +∠EPF =136°； ④∠PEB +∠PFC =136°.A .①②③B .②③④C .①③④D .①②③④FEDPCBA7.三角形的三角内角分别为α，β，γ，且γβα≥≥，βα2=，则β的取值范围是（ ） A .4536≤≤β B .6045≤≤β C .9060≤≤β D .3245≤≤β（重庆市竞赛试题）8.已知周长小于15的三角形三边的长都是质数，且其中一边的长为3，这样的三角形有（ ） A .4个 B .5个 C .6个 D .7个（山东省竞赛试题）9.不等边△ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长.（第三十二届美国邀请赛试题）10.设m ，n ，p 均为自然数，满足p n m ≤≤且15=++p n m ，试问以m ，n ，p 为三边长的三角形有多少个？11.锐角三角形用度数来表示时，所有角的度数为正整数，最小角的度数是最大角的度数的41，求满足此条件的所有锐角三角形的度数.（汉城国际数学邀请赛试题）12.如图1，A 为x 轴负半轴上一点，B 为x 轴正半轴上一点，C （0，-2），D （-2，-2）. （1）求△BCD 的面积；（2）如图2，若∠BCO =∠BAC ，作AQ 平分∠BAC 交y 轴于P ，交BC 于Q .求证：∠CPQ =∠CQP ；（3）如图3，若∠ADC =∠DAC ，点B 在x 轴正半轴上运动，∠ACB 的平分线交直线AD 于E ，DF ∥AC交y 轴于F ，FM 平分∠DFC 交DE 于M ，EDMFBCF ∠∠-∠2的值是否发生变化？证明你的结论.x图313.如图1，),0(m A ，)0,(n B .且m ，n 满足0)42(32≤-+-n m.图1 图2（1）求A ，B 的坐标；（2）C 为y 轴正半轴上一动点，D 为△BCO 中∠BCO 的外角平分线与∠COB 的平分线的交点，问是否存在点C ，使∠D =41∠COB .若存在，求C 点坐标； （3）如图2，C 为y 轴正半轴上A 的上方一动点，P 为线段AB 上一动点，连CP 延长交x 轴于E ，∠CAB 和∠CEB 平分线交于F ，点C 在运动过程中FECOABO ∠∠+∠的值是否发生变化？若不变求其值；若变化，求其范围.专题13 三角形的基本知识例1130°或50°例2 B 例380°提示：∠A＝2∠BGC－∠BDC例4设∠C＝x°，则∠A＝(47 x)°，∠B＝180°－∠C－∠A＝180°－117x°由∠A＜∠B＜∠C，得47x＜180－117x＜x．解得70＜x＜84．∵47x是整数，∴x＝77．故∠C＝77°，则∠A＝44°，∠B＝180°－77°－44°＝59°．例5（1）不妨设a＜b＜c，则由30a b ca b c+=-⎧⎨+>⎩，得10＜c＜15．∵c是整数，∴c＝11，12，13，14．当c＝11时，b＝10，a＝9．当c＝12时，b＝11，a＝7；b＝10，a＝8．当c＝13时，b＝12，a＝5；b＝11，a＝6；b＝10，a＝7；b＝19，a＝8．当c＝14时，b＝13，a＝3；b＝12，a＝4；b＝11，a＝5；b＝10，a＝6；b＝9，a＝7．（2）这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…但1＋1＋2＋5＋8＋13＋21＋34＋55＝143＜150，1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＋34＋55＋89＞150，故n的最大值为10.共有以下7种方式：（1，1，2，3，5，8，13，21，34，62）；（1，1，2，3，5，8，13，21，35，61）；（1，1，2，3，5，8，13，21，36，60）；（1，1，2，3，5，8，13，21，37，59）；（1，1，2，3，5，8，13，22，35，60）；（1，1，2，3，5，8，13，22，36，59）；（1，1，2，3，5，8，14，22，36，58）.例6 解法1一个小三角形内，它与该三角形的三个顶点可得到三个小三角形，从而增加了两个小三角形，于是可以推出，当三角形内有2008个点是，连线可得到小三角形的个数为：3＋2×（2008－1）＝4017（个）.解法2 整体核算法设连线后把原三角形分割成n个小三角形，则它们的内角和为180°·n，又因为原三角形内每一个点为小三角形顶点时，能为小三角形提供360°的内角，2008个点共提供内角2008×360°，于是得方程180n＝360×2008＋180，解得n＝4017，即这2008个点能将原三角形纸片分割成4017个小三角形.A 级1. 2（b ＋c ）2. －5＜a ＜－23. 钝角4. 180°5. 90°6. C7. D8. B9. B 10. B 11. 提示：过G 作GH ∥EB ，可推得BE ∥CF . 12. （1）∠AMC ＝12（∠ABC ＋∠ADC ）＝12×（24°＋42°）＝33° （2）∵AN 、CN 分别平分∠DAE ，∠BCD ，∴可设∠EAN ＝∠DAB ＝x ，∠BCN ＝∠DCN ＝y ，∴∠BAN ＝180°－x ，设BC 与AN 交于S ，∴∠BSA ＝∠CSN ，∴180°－x ＋∠B ＝y ＋∠ANC ，① 同理：180°－2x ＋∠B ＝2y ＋∠D ，②由①×2－②得：2∠ANC ＝180°＋∠B ＋∠D . ∴∠ANC ＝12（180°＋24°＋42°）＝123°. 13. （1）（2）略 提示：（3）DA ＋DB ＞AB ，DB ＋DC ＞DC ，DC ＋DA ＞CA ，将三个不等式相加，得2（DA ＋DB ＋DC ）＞AB ＋CB ＋CA .（4）由（2）知AB ＋AC ＞DB ＋DC ，同理BC ＋BA ＞DC ＋DA ，CA ＋CB ＞DA ＋DB ， 故AB ＋BC ＋CA ＞DA ＋DB ＋DCB 级1. 82. 193. 175 提示：设∠A ＝（2x ）°，∠B ＝（5x ）°，则∠C ＝180°－（7x ）°，由∠A ≤∠C ≤∠B 得15≤x ≤204. 2a5. A6. D7. D8. B9. 提示：设长度为4和12的高分别是边a ，b 上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积为S ， 则24S a =，212S b =，2S c h =，由22222412412S S S S S h -<<+得36h <<，故5h =. 10. 711. 设锐角三角形最小角的度数为x ，最大角的度数为4x ，另一角为y ，则41804490x x y x y xx ++=︒⎧⎪⎨⎪<︒⎩，解得20≤x ≤22.5，故x ＝20或21或22. 所有锐角三角形的度数为：(20°，80°，80°)，(21°，75°，84°)，(22°，70°，88°). 12. （1）S △BCD ＝2 （2）略（3）设∠ABC ＝x ，则∠BCF ＝90°＋x ，可证：∠E ＝12x ，∠DMF ＝45°. ∴2(90)245212BCF DMF x E x ∠-∠︒+-⨯︒==∠。
人教版八年级数学-三角形-知识点+考点+典型例题(含答案)
人教版八年级数学-三角形-知识点+考点+典型例题(含答案)【知识要点】一．认识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。
2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间；线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边。
三角形任意两边之差小于第三边。
3．与三角形有关的线段．．：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段；三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线；这条垂线段叫做三角形的高。
注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段；不是直线；也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线；三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。
但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部；另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部；另两条高在三角形的外部。
④一个三角形中；三条中线交于一点；三条角平分线交于一点；三条高所在的直线交于一点。
（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点；锐角三角形高的交点在三角形的内部；直角三角形高的交点是直角顶点；钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。
）4．三角形的内角与外角（1）三角形的内角和：180°引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。
（2）三角形的外角和：360°（3）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
初中数学八年级第13章全等三角形知识点应用例题解讲练习答案.doc
初中数学八年级第13章全等三角形知识点
应用例题解讲练习答案
【知识精读】
1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。
互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；
4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。
通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
（2）根据已知的对应元素寻找
全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成
的。
八年级数学竞赛专题训练13 三角形的基本知识(附答案)
八年级数学竞赛专题训练13 三角形的基本知识阅读与思考三角形是最基本的几何图形，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.解与三角形的基本知识相关的问题时，常用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法解几何计算题及简单的证明题，对三角形按边或按角进行恰当分类.应熟悉以下基本图形：图4图3图2图1CDBAD CBADCBA DCOBA例题与求解【例1】 在△ABC 中，∠A =50°，高BE ，CF 交于O ，则∠BOC =________.（“东方航空杯”——上海市竞赛试题）解题思路：因三角形的高不一定在三角形内部，故应注意符合题设条件的图形多样性.【例2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形底边的长为（ ）A .17cmB .5cmC .5cm 或17cmD .无法确定（北京市竞赛试题）解题思路：中线所分两部分不等的原因在于等腰三角形的腰与底的不等，应分情况讨论.【例3】 如图，BE 是∠ABD 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，BE 与CF 交于G ，若∠BDC =140°，∠BGC =110°，求∠A 的大小.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：运用凹四边形的性质计算.GC DBEF A【例4】 在△ABC 中，三个内角的度数均为正数，且∠A ＜∠B ＜∠C ，4∠C ＝7∠A ，求∠B 的度数.（北京市竞赛试题）解题思路：把∠A ，∠C 用∠B 的代数式表示，建立关于∠B 的不等式组，这是解本题的突破口.【例5】 （1）周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？（2）现有长为150cm 的铁丝，要截成)2(>n n 小段，每段的长不小于1cm 的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n 的最大值.此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n 段.（江苏省竞赛试题）解题思路：对于（1），不妨设三角形三边为a ，b ，c ，且c b a <<，由条件及三角形三边关系定理可确定c 的取值范围，从而可以确定整数c 的值. 对于（2），因n 段之和为定值150cm ，故欲使n 尽可能的大，必须使每段的长度尽可能的小.这样依题意可构造一个数列.【例6】 在三角形纸片内有2 008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2 011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上.问：以这2 011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？（天津市竞赛试题）解题思路：本题的解题关键是找到规律：三角形内角每增加1个内点，就增加了2个三角形和3条边.能力训练A 级1.设a ，b ，c 是△ABC 的三边，化简c b a c b a --+++=____________.2.三角形的三边分别为3，a 21-，8，则a 的取值范围是__________.3.已知一个三角形三个外角度数比为2:3:4，这个三角形是_______（按角分类)三角形.4.如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数为____________. （“缙云杯“试题）EDCBAHDCMG BAEC BA（第4题） （第5题） （第6题）5.如图，已知AB ∥CD ，GM ，HM 分别是∠AGH ，∠CHG 的角平分线，那么∠GMH =_________.T ED GHCBA F21AC EDB（第7题） （第9题） 6.如图，△ABC 中，两外角平分线交于点E ，则∠BEC 等于（ ）A .)90(21A ∠-︒ B .A ∠+︒2190 C .)180(21A ∠-︒ D .A ∠-︒21180 7.如图，在△ABC 中，BD ，BE 分别是高和角平分线，点F 在CA 的延长线上，FH ⊥BE 交BD 于G ，交BC 于H .下列结论：①∠DBE =∠F ；②2∠BEF =∠BAF +∠C ；③∠F =21（∠BAC -∠C ）；④∠BGH =∠ABE +∠C . 其中正确的是（ ）A .①②③B .①③④C .①②③D .①②③④8.已知三角形的每条边长的数值都是2 001的质因数，那么这样的不同的三角形共有（ ） A .6个 B .7个 C .8个 D .9个 9.如图，将纸片△ABC 沿着DE 折叠压平，则（ ） A .∠A =∠1+∠2 B .∠A =21（∠1+∠2）C .∠A =31（∠1+∠2） D .∠A =41（∠1+∠2）（北京市竞赛试题）10.一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是4和1 997，则满足上述条件的三角形的个数是（ ） A .1个 B .3个 C .5个 D .7个（北京市竞赛试题）11.如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A +∠B +∠C +∠D =180°.（河南省竞赛试题）321EG FDCBA12.平面内，四条线段AB ，BC ，CD ，DA 首尾顺次连接，∠ABC =24°，∠ADC =42°. （1）∠BAD 和∠BCD 的角平分线交于点M （如图1），求∠AMC 的大小.（2）点E 在BA 的延长线上，∠DAE 的平分线和∠BCD 平分线交于点N （如图2），求∠ANC .CDBAEND CBA图1 图213.三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度.在下图中，E 位于线段CA 上，D 位于线段BE 上.（1）证明：AB +AE ＞DB +DE ； （2）证明：AB +AC ＞DB +DC ；（3）AB +BC +CA 与2（DA +DB +DC ）哪一个更大？证明你的结论； （4）AB +BC +CA 与DA +DB +DC 哪一个更大？证明你的结论.（加拿大埃蒙德顿市竞赛试题）E DCBAB 级1.已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但不是最短边，这样的三角形的 个数有_______个.（“祖冲之杯”邀请赛试题）2.以三角形的3个顶点和它内部的9个点共12个点为顶点能把原三角形分割成______个没有公共部分的小三角形.3.△ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，且有2∠B =5∠A ，若∠B 的最大值是m ，最小值是n ，则=+n m ___________.（上海市竞赛试题）4.如图，若∠CGE =α，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =_______.（山东省竞赛试题）αGFEDCBADA 2A 1CBA（第4题） （第5题）5.如图，在△ABC 中，∠A =96°，延长BC 到D ，∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于1A 点，BC A 1∠与CD A 1∠的平分线相交于2A 点，依此类推，BC A 4∠与CD A 4∠的平分线相交于5A 点，则5A ∠的大小是（ ）A .3°B .5°C .8°D .19.2°6.四边形ABCD 两组对边AD ，BC 与AB ，DC 延长线分别交于点E ，F ，∠AEB ，∠AFD 的平分线交于点P .∠A =64°，∠BCD =136°，则下列结论中正确的是（ ）①∠EPF =100°； ②∠ADC +∠ABC =160°； ③∠PEB +∠PFC +∠EPF =136°； ④∠PEB +∠PFC =136°.A .①②③B .②③④C .①③④D .①②③④FEDPCBA7.三角形的三角内角分别为α，β，γ，且γβα≥≥，βα2=，则β的取值范围是（ ） A .4536≤≤β B .6045≤≤β C .9060≤≤β D .3245≤≤β（重庆市竞赛试题）8.已知周长小于15的三角形三边的长都是质数，且其中一边的长为3，这样的三角形有（ ） A .4个 B .5个 C .6个 D .7个（山东省竞赛试题）9.不等边△ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长.（第三十二届美国邀请赛试题）10.设m ，n ，p 均为自然数，满足p n m ≤≤且15=++p n m ，试问以m ，n ，p 为三边长的三角形有多少个？11.锐角三角形用度数来表示时，所有角的度数为正整数，最小角的度数是最大角的度数的41，求满足此条件的所有锐角三角形的度数.（汉城国际数学邀请赛试题）12.如图1，A 为x 轴负半轴上一点，B 为x 轴正半轴上一点，C （0，-2），D （-2，-2）. （1）求△BCD 的面积；（2）如图2，若∠BCO =∠BAC ，作AQ 平分∠BAC 交y 轴于P ，交BC 于Q .求证：∠CPQ =∠CQP ；（3）如图3，若∠ADC =∠DAC ，点B 在x 轴正半轴上运动，∠ACB 的平分线交直线AD 于E ，DF ∥AC交y 轴于F ，FM 平分∠DFC 交DE 于M ，EDMFBCF ∠∠-∠2的值是否发生变化？证明你的结论.x图313.如图1，),0(m A ，)0,(n B .且m ，n 满足0)42(32≤-+-n m.图1 图2（1）求A ，B 的坐标；（2）C 为y 轴正半轴上一动点，D 为△BCO 中∠BCO 的外角平分线与∠COB 的平分线的交点，问是否存在点C ，使∠D =41∠COB .若存在，求C 点坐标； （3）如图2，C 为y 轴正半轴上A 的上方一动点，P 为线段AB 上一动点，连CP 延长交x 轴于E ，∠CAB 和∠CEB 平分线交于F ，点C 在运动过程中FECOABO ∠∠+∠的值是否发生变化？若不变求其值；若变化，求其范围.专题13 三角形的基本知识例1130°或50°例2 B 例380°提示：∠A＝2∠BGC－∠BDC例4设∠C＝x°，则∠A＝(47 x)°，∠B＝180°－∠C－∠A＝180°－117x°由∠A＜∠B＜∠C，得47x＜180－117x＜x．解得70＜x＜84．∵47x是整数，∴x＝77．故∠C＝77°，则∠A＝44°，∠B＝180°－77°－44°＝59°．例5（1）不妨设a＜b＜c，则由30a b ca b c+=-⎧⎨+>⎩，得10＜c＜15．∵c是整数，∴c＝11，12，13，14．当c＝11时，b＝10，a＝9．当c＝12时，b＝11，a＝7；b＝10，a＝8．当c＝13时，b＝12，a＝5；b＝11，a＝6；b＝10，a＝7；b＝19，a＝8．当c＝14时，b＝13，a＝3；b＝12，a＝4；b＝11，a＝5；b＝10，a＝6；b＝9，a＝7．（2）这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…但1＋1＋2＋5＋8＋13＋21＋34＋55＝143＜150，1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＋34＋55＋89＞150，故n的最大值为10.共有以下7种方式：（1，1，2，3，5，8，13，21，34，62）；（1，1，2，3，5，8，13，21，35，61）；（1，1，2，3，5，8，13，21，36，60）；（1，1，2，3，5，8，13，21，37，59）；（1，1，2，3，5，8，13，22，35，60）；（1，1，2，3，5，8，13，22，36，59）；（1，1，2，3，5，8，14，22，36，58）.例6 解法1一个小三角形内，它与该三角形的三个顶点可得到三个小三角形，从而增加了两个小三角形，于是可以推出，当三角形内有2008个点是，连线可得到小三角形的个数为：3＋2×（2008－1）＝4017（个）.解法2 整体核算法设连线后把原三角形分割成n个小三角形，则它们的内角和为180°·n，又因为原三角形内每一个点为小三角形顶点时，能为小三角形提供360°的内角，2008个点共提供内角2008×360°，于是得方程180n＝360×2008＋180，解得n＝4017，即这2008个点能将原三角形纸片分割成4017个小三角形.A 级1. 2（b ＋c ）2. －5＜a ＜－23. 钝角4. 180°5. 90°6. C7. D8. B9. B 10. B 11. 提示：过G 作GH ∥EB ，可推得BE ∥CF . 12. （1）∠AMC ＝12（∠ABC ＋∠ADC ）＝12×（24°＋42°）＝33° （2）∵AN 、CN 分别平分∠DAE ，∠BCD ，∴可设∠EAN ＝∠DAB ＝x ，∠BCN ＝∠DCN ＝y ，∴∠BAN ＝180°－x ，设BC 与AN 交于S ，∴∠BSA ＝∠CSN ，∴180°－x ＋∠B ＝y ＋∠ANC ，① 同理：180°－2x ＋∠B ＝2y ＋∠D ，②由①×2－②得：2∠ANC ＝180°＋∠B ＋∠D . ∴∠ANC ＝12（180°＋24°＋42°）＝123°. 13. （1）（2）略 提示：（3）DA ＋DB ＞AB ，DB ＋DC ＞DC ，DC ＋DA ＞CA ，将三个不等式相加，得2（DA ＋DB ＋DC ）＞AB ＋CB ＋CA .（4）由（2）知AB ＋AC ＞DB ＋DC ，同理BC ＋BA ＞DC ＋DA ，CA ＋CB ＞DA ＋DB ， 故AB ＋BC ＋CA ＞DA ＋DB ＋DCB 级1. 82. 193. 175 提示：设∠A ＝（2x ）°，∠B ＝（5x ）°，则∠C ＝180°－（7x ）°，由∠A ≤∠C ≤∠B 得15≤x ≤204. 2a5. A6. D7. D8. B9. 提示：设长度为4和12的高分别是边a ，b 上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积为S ， 则24S a =，212S b =，2S c h =，由22222412412S S S S S h -<<+得36h <<，故5h =. 10. 711. 设锐角三角形最小角的度数为x ，最大角的度数为4x ，另一角为y ，则41804490x x y x y xx ++=︒⎧⎪⎨⎪<︒⎩，解得20≤x ≤22.5，故x ＝20或21或22. 所有锐角三角形的度数为：(20°，80°，80°)，(21°，75°，84°)，(22°，70°，88°). 12. （1）S △BCD ＝2 （2）略（3）设∠ABC ＝x ，则∠BCF ＝90°＋x ，可证：∠E ＝12x ，∠DMF ＝45°. ∴2(90)245212BCF DMF x E x ∠-∠︒+-⨯︒==∠。
初中数学竞赛三角形的四心(含答案)
三角形的四心三角形的四心，指的是三角形的垂心。
重心、内心、外心，它们的性质在几何证明与计算中具有重要的作用。
（1）三角形的垂心是指三条高线的交点。
垂心常用字母H来表示。
（2）三角形的垂心是指三条中线的交点。
重心常用字母G来表示。
重心到顶点的距离是它到对边中点距离的二倍。
（3）三角形的内心是指三条内角平分线的交点。
内心常用字母I来表示。
内心到三边的距离相等。
（4）三角形的外心是指三边的中垂线的交点外心常用字母O来表示。
外心到三角形三个顶点的距离相等。
例1已知G为△ABC的重心，不过三角形顶点的直线L过G点，从A、B、C三点向直线L引垂线AO， BE，CF，O，E，F为垂足。
求证：AO=BE+CF。
思路直接证AO=BE+CF比较困难。
可考虑连AG延长交BC于D，过D作于H，则可知DH为梯形BCFE的中位线，问题即可得证。
证明如图3-15-1所示，连AG并延长交BC于D。
∵G是重心，BD=DC。
过D点作于H，又∴DH为梯形BCFE的中位线，又∵△AOG∽△DHG,即因此，AO=BE+CF。
例2如图3-15-2， I 为△ABC的内心，且I，D，C，E在同一圆周上，若DE=1，试求ID和IE之长。
思路分析由I，D，C，E四点共圆可知，又由Ｉ为△ABC的内心知故可求得这时问题即可解决。
解∵I， D， C， E共圆，又∵I为△ABC的内心。
从而知连CI则∵I, D, C, E 共圆。
因而ID=IE。
在△DIE中，即由余弦定理解得例3已知△ABC的重心G和内心O的连线GO//BC，求证AB+CA=2BC。
思路1 由于题设中有内心O的条件，所以可考虑利用三角形内角平分线定理证之。
证明1 如图3-15-3，连AG， AO并延长交BC于M，T，连CO，则AG为中线，AO和CO分别为的平分线。
又∵CO是∠ACB的平分线，得CA=2CT。
同理可证AB=2BT。
∴AB+CA=2（BT+CT）=2BC。
思路2 也可以考虑利用面积公式证明。
华师大版八年级上册数学第13章 全等三角形含答案(全国通用)
华师大版八年级上册数学第13章全等三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、有4张牌，每张牌的一面都写上一个英文字母，另一面都写上一个数字．规定：当牌的一面为字母R时，它的另一面必须写数字2．你的任务是：为了检验如图的4张牌是否有违反规定的写法，你翻看哪几张牌就够了？你的选择是（）A.（a）B.（a）、（c）C.（a）、（d）D.非以上答案2、如图，已知AB∥CD ， AE=CF ，则下列条件中不一定能使△ABE≌△CDF的是（）A. AB= CDB. BE∥ DFC.∠ B=∠ DD. BE= DF3、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边距离相等，其理论依据是全等三角形判定定理（）A.SASB.HLC.AASD.ASA4、2011•沈阳）如图，矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（）A.2个B.4个C.6个D.8个5、某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人” ；乙说：“两项都参加的人数小于5人” .对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是（）A.若甲对，则乙对B..若乙对，则甲对C.若乙错，则甲错D.若甲错，则乙对6、如图，已知AB＝AC，AD⊥BC，AE＝AF，图中共有（）对全等三角形.A.5B.6C.7D.87、如图，点是的外角平分线上一点，且满足，过点作于点，交的延长线于点，则下列结论：①；② ；③ ；④.其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个8、把边长相等的正五边形ABCDE和正方形ABFG，按照如图所示的方式叠合在一起，连结AD，则∠DAG＝（）A.18°B.20°C.28°D.30°9、一个等腰三角形的两边分别为2，3，则这个三角形的周长为（）A.3+4B.6+2C.6+4D.3+4或6+210、下列语句不正确的是( )A.能够完全重合的两个图形全等B.两边和一角对应相等的两个三角形全等C.三角形的外角等于不相邻两个内角的和D.全等三角形对应边相等11、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H，AD平分∠BAC，与CH相交于点D，过点D作DE∥BC，与边AB相交于点E，那么下列结论中一定正确的是（）A.DA=DEB.AC=ECC.AH＝EHD.CD＝ED12、已知一个等腰三角形顶角与底角度数之比为1:4，则这个等腰三角形底角的度数为( )A.20°B.120°C.80°D.36°13、在△ABC中，∠B，∠C平分线的交点P恰好在BC边的高AD上，则△ABC 一定是（）A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形14、如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D的度数为（）A.50°B.30°C.80°D.100°15、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且不与A、B两点重合，过点C的切线交AB的延长线于点D，连接AC，BC，若∠ABC＝53°，则∠D的度数是（）A.16°B.18°C.26.5°D.37.5°二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，⊙O的半径为2，点A、C在⊙O上，线段BD经过圆心O，∠ABD=∠CDB=90° ，AB=1，CD= ，则图中阴影部分的面积为________．17、如图，已知∠BAC=∠DAE=90°，AB=AD，要使△ABC≌△ADE，还需要添加的条件是________（只需添加一个条件即可）18、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝3，P为AB上一动点，则PD的最小值为________．19、如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是________（添加一个条件即可）．20、在中，的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，已知的周长为30，则BC=________．21、一个等腰三角形的两条边分别是6厘米和8厘米，那么它的周长是________厘米．22、在中，平分交点E，平分交于点F，且，则的长为________.23、下列四个命题中：①对顶角相等；②同旁内角互补；③全等三角形的对应角相等；④两直线平行，同位角相等，其中假命题的有________（填序号）24、如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD的度数为________.25、等腰三角形的底角为15°，腰长为3a，则等腰三角形腰上的高是________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，CD⊥AE，BE⊥AE，若BE=2，CD=6，求DE的长度．27、如图，已知AB＝AD，∠ABC＝∠ADC．试判断AC与BD的位置关系，并说明理由．28、如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作两条射线OM、ON，且∠AOM=∠CON=90°。
初二数学三角形试题答案及解析
初二数学三角形试题答案及解析1.已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交于BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF.（1）求证：D是BC的中点；（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ADCF是矩形，证明见解析.【解析】（1）可证△AFE≌△DBE，得出AF=BD，进而根据AF=DC，得出D是BC中点的结论.（2）若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知AD⊥BC；而AF与DC平行且相等，故四边形ADCF是平行四边形，又AD⊥BC，则四边形ADCF是矩形．试题解析：（1）∵E是AD的中点，∴AE=DE．∵AF∥BC，∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE．在△AFE和△DBE中，∵∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE，AE=DE，∴△AFE≌△DBE（AAS）．∴AF=BD．∵AF=DC，∴BD=DC，即：D是BC的中点．（2）四边形ADCF是矩形，证明如下：∵AF=DC，AF∥DC，∴四边形ADCF是平行四边形．∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC即∠ADC=90°．∴平行四边形ADCF是矩形．【考点】1.矩形的判定；2.全等三角形的判定和性质；3.等腰三角形的性质；4.平行四边形的性质．2.若一等腰三角形的腰长为4cm，腰上的高为2cm，则等腰三角形的顶角为（）A．30°B．150°C．30°或150°D．以上都不对【答案】C．【解析】由于题中只说明是等腰三角形没有指明是锐角三角形还是钝角三角形，所以应该分两情况进行分析：如图①，△ABC中，AB=AC=3cm，CD⊥AB且CD=3cm，∵△ABC中，CD⊥AB且CD=AB=3cm，AB=AC=6cm，∴CD=AC.∴∠A=30°．如图②，△ABC中，AB=AC=6cm，CD⊥BA的延长线于点D，且CD=3cm，∵∠CDA=90°，AB=AC=6cm，CD⊥BA的延长线于点D，且CD=3cm，∴CD=AC. ∴∠DAC=30°.∴∠A=150°．故选C．【考点】1.含30度角的直角三角形；2.等腰三角形的性质；3. 分类思想的应用．3.如图，D为AB的中点，点E在AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．求证：EF=EC．【答案】证明见解析.【解析】根据折叠的性质得到DA=DF，AE=FE，∠ADE=∠FDE，根据等腰三角形性质得∠B=∠DFB，再根据三角形外角性质得到∠ADE+∠FDE=∠B+∠DFB，则∠ADE=∠B，所以DE∥BC，易得DE为△ABC的中位线，得到AE=EC，于是EF=EC．试题解析：∵△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，∴DA=DF，AE=FE，∠ADE=∠FDE，∴∠B=∠DFB，∵∠ADF=∠B+∠DFB，即∠ADE+∠FDE=∠B+∠DFB，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，而D为AB的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴AE=EC，∴EF=EC．考点: 翻折变换（折叠问题）4.在平面直角坐标系xoy中，等腰三角形ABC的三个顶点A(0，1)，点B在x轴的正半轴上，∠ABO=30°，点C在y轴上．（1）直接写出点C的坐标为；（2）点P关于直线AB的对称点P′在x轴上，AP=1，在图中标出点P的位置并说明理由；（3）在（2）的条件下，在y轴上找到一点M，使PM+BM的值最小，则这个最小值为．【答案】(1)（0，3）或（0，-1）；（2）理由见解析；（3）.【解析】（1）先确定A的位置，再作出△AOB，就可以求出AB=2，OB=，在y轴上符合条件的有两点C1和C2，求出即可；（2）根据AP=AO=1，得出P的对称点是O点，求出OC，即可得出OP，解直角三角形求出PQ和OQ即可；（3）作出B关于y轴的对称点，连接PB′即可得出M点的位置，求出PB′长即可．试题解析:（1）符合条件的有两点，以A为圆心，以AB为半径画弧，交y轴于C1、C2点，∵A（0，1），∴OA=1，∵在Rt△AOB中，OA=1，∠ABO=30°，∴AB=2OA=2，OB=，即AC1=AC2=2，∴OC1=1+2=3，OC2=2-1=2，∴C的坐标是（0，3）或（0，-1），（2）P的坐标是（，），理由是：过P作PQ⊥x轴于Q，∵OA=1，AP=1，AO⊥x轴，∴x轴和以A为圆心，以1为半径的圆相切，∵AP=1，∴P在圆上，∵点P关于直线AB的对称点P′在x轴上，AP=1，∴P′点和O重合，如图：∵P和P′关于直线AB对称，∴PP′⊥AB，PC=P′C，由三角形面积公式得：S△AOB=AO×OB=AB×CO，∴×1=2OC，∴OC=，∴PP′=2OC=，∵∠ABO=30°，∠OCB=90°，∴∠POB=60°，∴PQ=OP×sin60°=，OQ=OP×cos60°=，即P的坐标是（，）；（3）作B关于y轴的对称点B′，连接PB′交y轴于M，则M为所求，∵OB=，∴OB′=，即BB′=2，∵PQ=，∴由勾股定理得：PB′=，∴PM+BM=PM+B′M=PB′=．考点: 1.轴对称-最短路线问题；2.坐标与图形性质；3.等腰三角形的性质.5.有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8，则第三个数是 .【答案】15【解析】设第三个数是，①若为最长边，则，不是整数，不符合题意；②若17为最长边，则，三边是整数，能构成勾股数，符合题意，故答案为：15．6.在△ABC中，AB=9,AC=12,BC=15,则△ABC的中线AD=【答案】7.5．【解析】∵AB=9，AC=12，BC=15，∴92+122=152，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的中线AD=BC=7.5，【考点】1.勾股定理的逆定理；2. 直角三角形斜边上的中线.7.如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC=125°，则∠ABC= __________.【答案】70°【解析】先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OB=OC，根据等边对等角的性质求出∠OBC=∠C，然后根据角平分线的定义解答即可．∵AD⊥BC，∠AOC=125°，∴∠C=∠AOC-∠ADC=125°-90°=35°，∵D为BC的中点，AD⊥BC，∴OB=OC，∴∠OBC=∠C=35°，∵OB平分∠ABC，∴∠ABC=2∠OBC=2×35°=70°．【考点】1.垂直平分线的性质；2.等腰三角形的性质；3.角平分线的性质8.在边长为2的正三角形ABC中，已知点P是三角形内任意一点，则点P到三角形的三边距离之和PD＋PE＋PF等于（）A．B．2C．4D．无法确定【答案】A.【解析】此题考查了等边三角形的性质.易利用三角形的面积求解.如图，连接AP、BP、CP，则、、；设等边三角形的高为h，由勾股定理可得：，.而，根据等边三角形三边相等，可得：，即：由此等量关系可得到三角形的三边距离之和.故选A.【考点】等边三角形的性质.9.如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA=BC，EB=AC，FC=AB，∠AFB=51°,则∠DFE= ．【答案】390.【解析】连接BD、AE，∵DA⊥AB，FC⊥AB，∴∠DAB=∠BCF=90°，又∵DA=BC，FC=AB，∴△DAB≌△BCF（SAS），∴BD=BF，∴∠BDF=∠BFD，又∵AD∥CF，∴∠ADF=∠CFD，∴∠ABF=∠DFB+∠ADF=∠BFC+2∠CFD，同理可得，∠BAF=∠AFC+2∠CFE，又∵∠AFB=51°，∴∠ABF+∠BAF=129°，∴∠BFC+2∠CFD+∠AFC+2∠CFE=51°+2∠DFE=129°，∴∠DFE=39°．【考点】①全等三角形的性质与判定；②平行线的性质；③三角形内角和定理.10.如图,在中,, ，则点到直线的距是 .【答案】4【解析】如图，求点到的距离，故过点作交于点，由，，,可证，，即点到直线的距离是4.【考点】1、三角形全等的判定；2、三角形全等的性质；3、角平分线的性质.11.已知：多边形的每一个外角都等于40度，则这个多边形是边形，共有条对角线，其内角和为度。
初中数学竞赛指导：《三角形》竞赛专题训练(含答案)
《三角形》竞赛专题训练1 与三角形有关的线段我们来看这样一个问题:如图1所示，AD 是BC 边上的高，若点P 在BC 边上移动，你能判断线段AP 与边AB 或边AC 的大小吗?从直观上我们可以看出，若点P 在线段BD 上移动，则AP AB <，若点P 在线段CD 上移动，则AP AC <.可是遇到这样判断三角形中边与边的大小的问题，我们会想到哪些定理呢?下面我们就通过例题来看看这些定理的运用.经典例题(1)在ABC ∆内，AB AC =，AD 是边BC 上的高，若点P 在ABD ∆内，证明: APB APC ∠>∠.( 2) ABC ∆是等边三角形，P 是ABC ∆内或边上任意一点(不包含端点)，证明:PA PB PC <+. 解题策略(1)如图2，设PC 与AD 交于点E ，连结BE ，延长AP 交BC 于点F ，因为AB AC =，所以ACB ABC ∠=∠，CAD BAD ∠=∠，CE BE =，ECB EBC ∠=∠(由等腰三角形性 质)，则ACE ACB ECB ABC CBP ABP ∠=∠-∠>∠-∠=∠，CAP BAP ∠>∠ 所以180APB ABP BAP ∠=︒-∠-∠ 180ACE CAP >︒-∠-∠ APC =∠(2)直接找PA 与PB PC +的关系并不容易，因为它们不在一个三角形中，这时我们要想办法找个中间量，使得PA 小于这条边，而PB PC +大于这条边，由两边之和大于第三边可知PB PC BC +>，我们很自然地想到把BC 作为中间量来证明.如图3，延长AP 交边BC 于点F ，则AP AF ≤，因为AFC B ∠>∠，B C ∠=∠，所以AC AF >，而PB PC BC +≥ (等号成立条件是点P 在边BC 上)，所以AP PB PC <+.画龙点睛判断三角形边与边的大小，我们常用的定理有:(1)在同一个三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边; (2)在同一个三角形中，大角对大边，小角对小边，等角对等边. 举一反三1. 如图，ABC ∆中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 上的点，证明: DEF ∆的周长小于ABC ∆的周长.2. 如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 是高，P 是线段AD 上任意一点，证明:PB PC BD CD -<-3. 如图，在ABC ∆中有D 、E 两点，求证:BD DE EC AB AC ++<+.融会贯通4. 已知点O 在ABC ∆内部，连结OA ，OB ，OC ，说明:1()2AB AC BC OA OB OC AB AC BC ++<++<++2 与三角形有关的角三角形内角和是180度，这条看似简单的定理在我们求三角形中的角的度数甚至是其他多边形的内角的度数时，却起着不可缺少的作用，这一讲我们就来看几道利用内角和定理的有趣的问题. 经典例题如图所示.平面上六个点A B C D E F 、、、、、构成一个封闭折线图形.求+A B C D E F ∠∠+∠+∠+∠+∠的度数.解题策略所求的六个角中任意三个都不在同一个三角形中，两两成对地分布在三个三角形中，且这三个三角形中第三个角的对顶角在同一个三角形中，于是，我们反复利用内角和定理可求得结果.因为+180A B APB ∠∠+∠=︒ +180E F FRE ∠∠+∠=︒+180C D DQC ∠∠+∠=︒ 且 +180PRQ PQR QPR ∠∠+∠=︒ 即 +180FRE DQC APB ∠∠+∠=︒故 +360A B C D E F ∠∠+∠+∠+∠+∠=︒ 画龙点睛三角形内角和等于180度，在涉及求角度的时候，总要直接或间接地用到这条定理，当然，更多时候，它要结合其他知识，如外角和定理、对顶角相等，平行线性质定理才能使它的作用更大的发挥出来，希望同学们能熟练应用. 举一反三1. 如图，求+A B C D E ∠∠+∠+∠+∠的度数.2. 如图，求+A B C D E ∠∠+∠+∠+∠的度数.3. 如图，BE 平分ABD ∠，CF 平分ACD ∠，BE 与CF 相交于G ，若140BDC ∠=︒，100BGC ∠=︒，求A ∠的度数.融会贯通4. 如图，在ABC ∆中，延长BC 到D ，ABC ∠与ACD ∠的平分线交于1A ，1A CD∠与1A BC ∠的平分线交于2A ，2A BC ∠与2A CD ∠的平分线交于3A ，3A BC ∠与3A CD ∠的平分线交于4A ，若450A ∠=︒，求A ∠的度数.3 多边形的边和角在平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.多边形的内角和公式: (2)180n -⨯︒.多边形的外角和等于360︒.经典例题如图1，在六边形ABCDEF 中，=A B C D E F ∠∠=∠=∠=∠=∠，1AB =cm ，3BC CD ==cm ，2DE =cm.求六边形ABCDEF 的周长.解题策略如图2，将BC 、DE 、AF 分别向两边延长交于L 、M 、N 三点.由六边形内角和公式可知=A B C D E F ∠∠=∠=∠=∠=∠(2)1806n =-⨯︒÷120=︒所以=N L M NCD NDC FEM EFM LBA ∠∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠LAB =∠60=︒，所以LMN ∆、ALB ∆、CDN ∆、EFM ∆都是等边三角形；所以LN MN LM ==，AB LB AL ==，EM MF FE ==，CD DN CN ==因为1AB =cm ，3BC CD ==cm ，2DE =cm ，所以1AB LB AL ===cm ，3CD DN CN ===cm.因为LN CN BC LB =++，所以3317LN =++=(cm)，所以7LN MN LM === cm.因为EM MN DE DN =--，所以7232ME =--=(cm)，所以2EM MF FE ===cm.因为AF LM LA FM =--，所以7124AF =--=(cm)，因为六边形ABCDEF 的周长AB BC CD DE EF FA =+++++，所以六边形ABCDEF 的周长13322415=+++++=cm.画龙点睛因为每个内角都是120°，所以多边形的每个外角也都相等，且为60°，从而可以通过延长线段构造等边三角形，利用等边三角形的特殊性质解题. 举一反三1. 如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为( ).(A)13 (B)14 (C)15 (D)162. 一块正六边形硬纸片，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面，见图b)，需在每一个顶点处剪去一个四边形，如图a 中的四边形'AGA H ，那么'GA H ∠的大小是 度.3. 如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的大理石地砖密铺，从里向外共铺了10层(不包括中央的正六边形地砖)，每一层的外边界都围成一个多边形，若中央正六边形的地砖的边长为0.5m ，则第10层的外边界所围成的多边形的周长是多少?融会贯通4. 在一个多边形中，除了两个内角外，其余的内角和为2002°，求这个多边形的边数.4 图形面积——等积变换对于三角形的面积有以下两个重要性质:1. 两个三角形的面积之比等于它们的底、高乘积的比;2. 等底(高)的两个三角形面积之比等于它们的高(底)之比.作为以上两个性质的一个特例，等底等高的两个三角形面积相等. 经典例题如图，已知P 为ABC ∆内一点，AP 、BP 、CP 分别与对边相交于点D 、E 、F .把ABC ∆分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已经给出.求ABC ∆的面积.解题策略设BPF S x ∆=，APE S y ∆=，由题设404303PBD PCD S BD DC S ∆∆=== 所以8440435303ABD ACD S x S y ∆∆++==++ 化简得34112x y -=- ①又30402351BPC EPC S BP PE S ∆∆+===所以8421ABP APE S x S y ∆∆+== 化简得284x y =- ② 由①、②可得56,70x y == 所以315ABC S ∆=画龙点睛底边相等的两个三角形面积之比等于它们的高之比，高相等的两个三角形面积之比等于它们的底之比，灵活利用这个性质可以帮助我们解决许多问题. 举一反三1. 如图，平行四边形ABCD 中，//EF AC 分别交CD 、AD 于E 、F .连结AE 、BE 、BF 、CF ，问与BCE ∆面积相等的三角形还有几个?分别是哪几个？2. 在ABC ∆中，E 为AC 中点，D 在BC 上，2DC BD =，AD 交BE 于F ，求证::1:5BDF FDCE S S ∆=四边形3. 在ABC ∆内任取一点P ，连结AP 、BP 、CP ，并分别延长交BC 、CA 、AB 于D 、E 、F .求证:1AF BD CEBF CD AE=.融会贯通4. 设P 是ABC ∆内任一点，AD 、BE 、CF 过点P 且分别交边BC 、CA 、AB 于D 、E 、F .求证:1PD PE PFAD BE CF++=.参考答案1 与三角形有关的线段1. 因为,,AE AF EF BD BF DF CE CD DE +>+>+>所以AE AF BD BF CD CE DE EF DF +++++>++ 所以DEF ∆的周长小于ABC ∆的周长.2. 如图，在BD 上取一点E ，使得DE CD =，则BD CD BE -=，PD 既是PEC ∆的高，又是中线，则PEC ∆是等腰三角形，所以PE PC =，因为PB PE BE -<，故PB PC BD CD -<-.3. 延长BD 交AC 于M 点，延长CE 交BD 的延长线于点N .在ABM ∆中AB AM BM +>，在CNM ∆中，NM MC NC +> 所以AB AM NM MC BM NC +++>+ 因为AM MC AC +=，BM BN NM =+ 所以AB AC NM BN NM NC ++>++ 所以AB AC BN NC +>+……①在BNC ∆中，BN NC BD DN NE EC +=+++……② 在DNE ∆中，DN NE DE +>……③由②、③得BN NC BD DE EC +>++……④由①、④得AB AC BN NC BD DE EC +>+>++4. 根据两边之和大于第三边，对于OAB ∆、OBC ∆、OAC ∆，有： OA OB AB +>，OA OC AC +>，OB OC BC +> 因此OA OB OA OC OB OC AB AC BC +++++>++所以1()2AB AC BC OA OB OC ++<++ 延长BO 交AC 于D ，则AB AC AB AD DC BD DC BO OD DC BO OC +=++>+=++>+， 即AB AC OB OC +>+同理可得：AB BC OA OC +>+，AC BC OA OB +>+三式相加得：2()2()AB AC BC OA OB OC ++>++ 即AB AC BC OA OB OC ++>++2 与三角形有关的角1. 将CD 延长，交AB 于点F ，AE 于点G ，则AFG B C ∠=∠+∠，AGF D E ∠=∠+∠ 因为180A AFG AGF ∠+∠+∠=︒所以+180A B C D E ∠∠+∠+∠+∠=︒2. 如图，因为CIH D E ∠=∠+∠，CHI A B ∠=∠+∠，180CHI CIH C ∠+∠+∠=︒所以+180A B C D E ∠∠+∠+∠+∠=︒3. 延长CD 交AB 于H ，212123CDB DHB A ∠=∠+∠=∠+∠+∠，224CGB CFB A ∠=∠+∠=∠+∠+∠因为12∠=∠，34∠=∠，且140BDC ∠=︒，100BGC ∠=︒ 所以1340∠+∠=︒，60A ∠=︒4. 因为ACD A ABC ∠=∠+∠（外角和定理）所以111222ACD ABC A ∠-∠=∠ 即112A A ∠=∠以此类推2112A A ∠=∠，3212A A ∠=∠，4312A A ∠=∠所以41680A A ∠=∠=︒3 多边形的边和角1. B2. 60°3. 根据题意分析可得:从里向外的第1层是61612⨯+=边形;第2层是62618⨯+= 边形;此后，每层都比前一层多6条边.依此递推，第10层是610666⨯+=边形，因为边 长为0.5m ，所以第10层的外边界所围成的多边形的周长是660.533⨯=(m).4. 设这个多边形的边数为n ，两个内角的和为x ︒.则(2)1802002n x --=解得1802362x n =-因为0360x <<所以01802362360n <-< 解得118113619090n << 所以14n =或15，则多边形的边数是14或15.4 图形面积——等积变换1. BCE CEA S S ∆∆=，ACE AFC S S ∆∆=，AFC ABF S S ∆∆=，，，所以与BCE ∆面积相等的有3个三角形，分别是CEA ∆、AFC ∆、ABF ∆2. 设BDF S a ∆=.连结DE ，取DC 中点G ，连结EG ，由中位线性质可知//EG AD ，所以F 是BE 的中点，于是有BDF EDF S S a ∆∆==，又2GCE DEG BDE S S S a ∆∆∆===， 所以225FDE DEG GCE FDCE S S S S a a a a ∆∆∆=++=++=四边形.因此:1:5BDF FDCE S S ∆=四边形3. 因为ACF APF BPF BCFS S AF BF S S ∆∆∆∆== 所以ACF APF ACP BCF BPF BCP S S S AF BF S S S ∆∆∆∆∆∆-==-同理可得APB APC S BD CD S ∆∆=，BCP APB S CE AE S ∆∆= 三式相乘可得1AF BD CE BF CD AE= 4. 设P 到BC 、CA 、AB 的距离分别为a t 、b t 、c t ，BC 、CA 、AB 边上的高分别为a h 、b h 、c h ，因为PDC a PBC ADC a ABCS t S PD AD S h S ∆∆∆∆=== 所以PBC ABCS PD AD S ∆∆= 同理PAC ABC S PE BE S ∆∆=，PAB ABC S PF CF S ∆∆= 三式相加即得1PD PE PF AD BE CF ++=。
初二三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习含答案解析
初二三角形所有知识点总结和常考题知识点：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)n-·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)n-条对角线，把多边形分成(2)n-个三角形.②n边形共有(3)2n n-条对角线.常考题：一．选择题（共13小题）1．已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm2．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130° D．180°3．已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．315°B．270°C．180° D．135°4．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．5．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A．40°B．30°C．20°D．10°7．如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC=（）A．150°B．130°C．120° D．100°8．如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是（）A．20米B．15米C．10米D．5米9．将一个n边形变成n+1边形，内角和将（）A．减少180°B．增加90°C．增加180°D．增加360°10．一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A．27 B．35 C．44 D．5411．一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（）A．内角和增加360°B．外角和增加360°C．对角线增加一条 D．内角和增加180°12．一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形13．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（）A．13 B．14 C．15 D．16二．填空题（共13小题）14．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是．15．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了米．16．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．17．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．18．若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是．19．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=．20．一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是．21．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．22．在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，则∠B=度．23．如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC 和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013=度．24．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=度．25．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC=度．26．平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=．三．解答题（共14小题）27．如图，直线DE交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC延长线于F，若∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，求∠BDF的度数．28．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，∠D=42°，求∠ACD的度数．29．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC 于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．30．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，（1）若∠ABE=25°，∠BAD=50°，则∠BED的度数是度．（2）在△ADC中过点C作AD边上的高CH．（3）若△ABC的面积为60，BD=5，求点E到BC边的距离．31．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．32．如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，∠AFD=158°，求∠EDF的度数．33．如图，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA．（1）∠EAC与∠B相等吗？为什么？（2）若∠B=50°，∠CAD：∠E=1：3，求∠E的度数．34．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=，∠XBC+∠XCB=．（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．35．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是；②当∠BAD=∠ABD时，x=；当∠BAD=∠BDA时，x=．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．36．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD 的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．37．如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E．（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化说明你的结论的正确性．（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时（1）如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化说明你的结论的正确性．38．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2=°；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：．39．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．40．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是．（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．初二三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2008?福州）已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm【分析】此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小于两边之和，即9﹣4=5，9+4=13．∴第三边取值范围应该为：5＜第三边长度＜13，故只有B选项符合条件．故选：B．【点评】本题考查了三角形三边关系，一定要注意构成三角形的条件：两边之和＞第三边，两边之差＜第三边．2．（2013?河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130° D．180°【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．【解答】解：如图，∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1，∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，∴∠1+∠2=150°﹣∠3，∵∠3=50°，∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角是解题的关键，也是本题的难点．3．（2010?西藏）已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．315°B．270°C．180° D．135°【分析】利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答．【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=2∠C+（∠3+∠4），∵∠3+∠4=180°﹣∠C=90°，∴∠1+∠2=2×90°+90°=270°．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．4．（2015?长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．故选A．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．5．（2014?达州）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α【分析】先求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解∠P的度数．【解答】解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α，∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠BCD）=（360°﹣α）=180°﹣α，则∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣α）=α．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理，属于基础题．6．（2009?荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A．40°B．30°C．20°D．10°【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠A′DB=∠CA'D﹣∠B，又折叠前后图形的形状和大小不变，∠CA'D=∠A=50°，易求∠B=90°﹣∠A=40°，从而求出∠A′DB的度数．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=90°﹣50°=40°，∵将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠CA'D=∠A，∵∠CA'D是△A'BD的外角，∴∠A′DB=∠CA'D﹣∠B=50°﹣40°=10°．故选：D．【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等．7．（2004?陕西）如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC=（）A．150°B．130°C．120° D．100°【分析】根据垂直的定义和四边形的内角和是360°求得．【解答】解：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC=∠AEB=90°，∴∠BPC=∠DPE=180°﹣50°=130°．故选B．【点评】主要考查了垂直的定义以及四边形内角和是360度．注意∠BPC与∠DPE互为对顶角．8．（2009?黑河）如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是（）A．20米B．15米C．10米D．5米【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和，求得相应范围，看哪个数值不在范围即可．【解答】解：∵15﹣10＜AB＜10+15，∴5＜AB＜25．∴所以不可能是5米．【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：＞已知的两边的差，而＜两边的和．9．（2014?临沂）将一个n边形变成n+1边形，内角和将（）A．减少180°B．增加90°C．增加180°D．增加360°【分析】利用多边形的内角和公式即可求出答案．【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）?180°，n+1边形的内角和是（n﹣1）?180°，因而（n+1）边形的内角和比n边形的内角和大（n﹣1）?180°﹣（n﹣2）?180=180°．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容．10．（2015?莱芜）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A．27 B．35 C．44 D．54【分析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答．【解答】解：设这个内角度数为x°，边数为n，∴（n﹣2）×180﹣x=1510，180n=1870+x=1800+（70+x），∵n为正整数，∴n=11，∴=44，故选：C．【点评】此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识．11．（2011春?滨城区期末）一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（）A．内角和增加360°B．外角和增加360°C．对角线增加一条 D．内角和增加180°【分析】利用多边形的内角和定理和外角和特征即可解决问题．【解答】解：因为n边形的内角和是（n﹣2）?180°，当边数增加一条就变成n+1，则内角和是（n﹣1）?180°，内角和增加：（n﹣1）?180°﹣（n﹣2）?180°=180°；根据多边形的外角和特征，边数变化外角和不变．故选：D．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和特征．先设这是一个n边形是解题的关键．12．（2012?滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【分析】已知三角形三个内角的度数之比，根据三角形内角和定理，可求得三角的度数，由此判断三角形的类型．【解答】解：三角形的三个角依次为180°×=30°，180°×=45°，180°×=105°，所以这个三角形是钝角三角形．【点评】本题考查三角形的分类，这个三角形最大角为180°×＞90°．本题也可以利用方程思想来解答，即2x+3x+7x=180，解得x=15，所以最大角为7×15°=105°．13．（2014?毕节市）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（）A．13 B．14 C．15 D．16【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案．【解答】解：设新多边形是n边形，由多边形内角和公式得（n﹣2）180°=2340°，解得n=15，原多边形是15﹣1=14，故选：B．【点评】本题考查了多边形内角与外角，多边形的内角和公式是解题关键．二．填空题（共13小题）14．（2015?资阳）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是8．【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．n边形的内角和是（n﹣2）?180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得（n﹣2）?180=3×360，解得n=8．则这个多边形的边数是8．【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．15．（2006?镇江）如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了120米．【分析】由题意可知小亮所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案．【解答】解：∵360÷30=12，∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120米．故答案为：120．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°．16．（2014?随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为75度．【分析】根据三角形三内角之和等于180°求解．【解答】解：如图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．故答案为：75．【点评】考查三角形内角之和等于180°．17．（2013?上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°．【分析】根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．【解答】解：由题意得：α=2β，α=100°，则β=50°，180°﹣100°﹣50°=30°，故答案为：30°．【点评】此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键．18．（2013?遂宁）若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是9．【分析】根据多边形内角和定理及其公式，即可解答；【解答】解：∵一个多边形内角和等于1260°，∴（n﹣2）×180°=1260°，解得，n=9．故答案为9．【点评】本题考查了多边形的内角定理及其公式，关键是记住多边形内角和的计算公式．19．（2015?北京）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°．【分析】首先根据图示，可得∠1=180°﹣∠BAE，∠2=180°﹣∠ABC，∠3=180°﹣∠BCD，∠4=180°﹣∠CDE，∠5=180°﹣∠DEA，然后根据三角形的内角和定理，求出五边形ABCDE 的内角和是多少，再用180°×5减去五边形ABCDE的内角和，求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于多少即可．【解答】解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=（180°﹣∠BAE）+（180°﹣∠ABC）+（180°﹣∠BCD）+（180°﹣∠CDE）+（180°﹣∠DEA）=180°×5﹣（∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA）=900°﹣（5﹣2）×180°=900°﹣540°=360°．故答案为：360°．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n﹣2）?180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．20．（2014?自贡）一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是9．【分析】多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是3×360°+180°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°，设这个多边形的边数是n，得到方程，从而求出边数．【解答】解：根据题意，得（n﹣2）?180°=3×360°+180°，解得：n=9．则这个多边形的边数是9．故答案为：9．【点评】考查了多边形内角与外角，此题只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．21．（2015?徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是9．【分析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．【解答】解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°=40°，360°÷40°=9．故答案为：9．【点评】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．22．（2013?黔东南州）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，则∠B=60度．【分析】先整理得到∠A+∠C=2∠B，再利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．【解答】解：∵∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，∴∠A+∠C=2∠B，又∵∠A+∠C+∠B=180°，∴3∠B=180°，∴∠B=60°．故答案为：60．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，求出∠A+∠C=2∠B是解题的关键．23．（2013?达州）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013=度．【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A1=∠A，进而可求∠A1，由于∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，…，以此类推可知∠A2013=∠A=°．【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CA=∠ACD，∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，即∠ACD=∠A1+∠ABC，∴∠A1=（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC=∠ACD，∴∠A=∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1=∠A，∴∠A1=m°，∵∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，…以此类推∠A2013=∠A=°．故答案为：．【点评】本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A1=∠A，并能找出规律．24．（2012春?金台区期末）如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD ⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=74度．【分析】利用三角形的内角和外角之间的关系计算．【解答】解：∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=68°，∵CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，∴∠BCE=34°，∠BCD=90﹣72=18°，∵DF⊥CE，∴∠CDF=90°﹣（34°﹣18°）=74°．故答案为：74．【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；（3）三角形的一个外角＞任何一个和它不相邻的内角．注意：垂直和直角总是联系在一起．25．（2006?临安市）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC=36度．【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】解：∵∠ABC==108°，△ABC是等腰三角形，∴∠BAC=∠BCA=36度．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．n边形的内角和为：180°（n﹣2）．26．（2015?河北）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=24°．【分析】首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出∠3、∠1、∠2的度数是多少，进而求出∠3+∠1﹣∠2的度数即可．【解答】解：正三角形的每个内角是：180°÷3=60°，正方形的每个内角是：360°÷4=90°，正五边形的每个内角是：（5﹣2）×180°÷5=3×180°÷5=540°÷5=108°，正六边形的每个内角是：（6﹣2）×180°÷6=4×180°÷6=720°÷6=120°，则∠3+∠1﹣∠2=（90°﹣60°）+（120°﹣108°）﹣（108°﹣90°）=30°+12°﹣18°=24°．故答案为：24°．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n﹣2）?180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．三．解答题（共14小题）27．（2013春?临清市期末）如图，直线DE交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC延长线于F，若∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，求∠BDF的度数．【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠A的度数，再根据三角形外角的性质求出∠BDF的度数．【解答】解：因为∠A+∠B+∠ACB=180°，所以∠A=180°﹣67°﹣74°=39°，所以∠BDF=∠A+∠AED=39°+48°=87°．【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是外角和内角的关系．28．（2013?湖州校级模拟）如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F 交AC于E，∠A=35°，∠D=42°，求∠ACD的度数．【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．【解答】解：∵∠AFE=90°，∴∠AEF=90°﹣∠A=90°﹣35°=55°，∴∠CED=∠AEF=55°，∴∠ACD=180°﹣∠CED﹣∠D=180°﹣55°﹣42°=83°．答：∠ACD的度数为83°．【点评】三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180°．29．（2015秋?全椒县期中）已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．【分析】题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案．【解答】证明：∵∠ACB=90°，∴∠1+∠3=90°，∵CD⊥AB，∴∠2+∠4=90°，又∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，即∠CFE=∠CEF．【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高的有关知识；正确利用角的等量代换是解答本题的关键．30．（2010春?横峰县校级期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，（1）若∠ABE=25°，∠BAD=50°，则∠BED的度数是度．（2）在△ADC中过点C作AD边上的高CH．（3）若△ABC的面积为60，BD=5，求点E到BC边的距离．【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，∠BED=∠ABE+∠BAE=75°；（2）三角形高的基本作法：用圆规以一边两端点为圆心，任意长为半径作两段弧，交于角的两边，再以交点为圆心，用交轨法作两段弧，找到两段弧的交点，连接两个交点，并过另一端点作所成直线的平行线，叫该边所在直线一点，连接该点和另一端点，则为高线；（3）我们通过证明不难得出三角形中线将三角形分成面积相等的两个三角形，那么可依据D是BC中点，E是AD中点，求出三角形BED的面积．三角形BDE中，E到BD的距离就是BD边上的高，有了三角形BDE的面积，BD的长也容易求得．那么高就求出来了．【解答】解：（1）∠BED=∠ABE+∠BAE=75°；（2）CH为所求的高．（3）解：如图，过点E作EF⊥BD于点F，∵AD是BC的中线∴BD=CD=S△ACD==×60=30∴S△ABD同理S=S△ABE==×30=15△BED=BD?EF=×5EF=15又∵S△BED∴EF=6即点E到BC边的距离为6．【点评】本题主要考查了基本作图中，三角形高的作法，三角形的内角和外角等知识点．31．（2015春?单县期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．【分析】（1）中，首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；（2）中，根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．【解答】解：（1）∵∠B=35°，∠ACB=85°，∴∠BAC=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=30°，∴∠ADC=65°，∴∠E=25°；（2）．设∠B=n°，∠ACB=m°，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2=∠BAC，∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∵∠B=n°，∠ACB=m°，∴∠CAB=（180﹣n﹣m）°，∴∠BAD=（180﹣n﹣m）°，∴∠3=∠B+∠1=n°+（180﹣n﹣m）°=90°+n°﹣m°，∵PE⊥AD，∴∠DPE=90°，∴∠E=90°﹣（90°+n°﹣m°）=（m﹣n）°=（∠ACB﹣∠B）．【点评】运用了三角形的内角和定理以及角平分线的定义．特别注意第（2）小题，由于∠B和∠ACB的大小不确定，故表达式应写为两种情况．32．（2010春?朝阳区期末）如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，∠AFD=158°，求∠EDF的度数．【分析】要求∠EDF的度数，只需求出∠BDE和∠FDC的度数即可，由FD⊥BC，得∠FDC=90°；而∠BDE在Rt△BDE中，故只需求出∠B的度数．因∠B=∠C，只需求出∠C 的度数即可．因∠AFD是△CDF的外角，∠AFD=158°∴∠C=∠AFD﹣∠FDC=158°﹣90°=68°．【解答】解：∵FD⊥BC，所以∠FDC=90°，∵∠AFD=∠C+∠FDC，∴∠C=∠AFD﹣∠FDC=158°﹣90°=68°，∴∠B=∠C=68°．∵DE⊥AB，∵∠DEB=90°，∴∠BDE=90°﹣∠B=22°．又∵∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠EDF=180°﹣∠BDE﹣∠FDC=180°﹣22°﹣90°=68°．【点评】考查三角形内角和定理，外角性质，垂直定义等知识．33．（2014春?岱岳区期末）如图，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA．（1）∠EAC与∠B相等吗？为什么？（2）若∠B=50°，∠CAD：∠E=1：3，求∠E的度数．【分析】（1）由于AD平分∠BAC，根据角平分线的概念可得∠BAD=∠CAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，结合已知条件可得∠EAC与∠B相等；（2）若设∠CAD=x°，则∠E=3x°．根据（1）中的结论以及三角形的内角和定理及其推论列方程进行求解即可．【解答】解：（1）相等．理由如下：。
人教版八年级数学-三角形-知识点+考点+典型例题(含答案)
人教版八年级数学-三角形-知识点+考点+典型例题(含答案)第七章三角形知识要点】一。
认识三角形1.三角形的定义和按角度分类三条不在同一直线上的线段首尾相接组成的图形称为三角形。
2.三角形的分类：按角度大小分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
按边长分为等腰三角形和不等边三角形。
3.三角形三边关系（判断构成三角形的方法、比较线段长度）根据公理“两点之间，线段最短”，可以得出：任意两边之和大于第三边。
任意两边之差小于第三边。
4.与三角形有关的线段：角平分线、中线和高三角形的角平分线：一个角的平分线与对边相交形成的线段。
三角形的中线：连接一个顶点与对边中点的线段，将三角形分成面积相等的两个部分。
三角形的高：过一个顶点做对边的垂线，这条垂线段称为三角形的高。
注意：三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线或射线。
任意一个三角形都有三条角平分线、三条中线和三条高。
任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。
但是三角形的高有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。
一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。
锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高的交点在三角形的外部。
4.三角形的内角和外角1) 三角形的内角和为180°。
引申：直角三角形的两个锐角互余。
一个三角形中至多有一个直角或一个钝角。
一个三角形中至少有两个内角是锐角。
2) 三角形的外角和为360°。
3) 三角形外角的性质：一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，常用来求角度。
一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，常用来比较角的大小。
5.多边形的内角和外角多边形的内角和与外角和（识记）正n边形内角和外角和每一个内角3 180° 360° 60°4 360° 360° 90°5 540° 360° 108°6 720° 360° 120°8 1080° 360° 135°10 1440° 360°3.一个多边形的边数增加一倍，它的内角和增加了（A）。
初二三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析).
初二三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析).初二三角形知识点那可不少呢。
先来说说三角形的定义哈，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形就叫三角形。
三角形有三条边、三个角。
三角形按边分类，可以分为等边三角形、等腰三角形和不等边三角形。
等边三角形三条边都相等，三个角也都相等，都是60 度。
等腰三角形有两条边相等，相等的两条边叫腰，另外一条边叫底。
等腰三角形的两个底角相等。
不等边三角形就是三条边都不相等的三角形。
按角分类呢，有锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。
有一个角是直角的三角形是直角三角形。
有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。
三角形的内角和是180 度。
这个知识点很重要哦。
比如咱随便画一个三角形ABC，然后用量角器量一下角A、角 B 和角 C 的度数，加起来肯定是180 度。
为啥是180 度呢？咱可以做个实验，把三角形的三个角剪下来，然后拼在一起，就会发现能拼成一个平角，平角就是180 度嘛。
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和。
比如说三角形ABC 的外角角ACD，它就等于角 A 加角B。
这个也很好理解，咱看外角ACD 是三角形ABC 外面的角，它和角A、角 B 有一定的关系。
三角形的三边关系也很重要。
任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
比如说有三条边a、b、c，那么a+b>c，a+c>b，b+c>a，同时a-b<c，a-c<b，b-c<a。
这个在判断三条线段能不能组成三角形的时候很有用。
如果给你三条线段的长度，你就可以用这个关系来判断能不能组成三角形。
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
啥是中位线呢？就是连接三角形两边中点的线段。
比如说在三角形ABC 中，D、E 分别是AB、AC的中点，那么DE 就是三角形ABC 的中位线，DE 平行于BC，并且DE 等于BC 的一半。
初中数学培优专题学习专题13 三角形的基本知识
专题13 三角形的基本知识阅读与思考三角形是最基本的几何图形，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.解与三角形的基本知识相关的问题时，常用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法解几何计算题及简单的证明题，对三角形按边或按角进行恰当分类.应熟悉以下基本图形：图4图3图2图1CDBAD CBADCBA DCOBA例题与求解【例1】 在△ABC 中，∠A =50°，高BE ，CF 交于O ，则∠BOC =________.（“东方航空杯”——上海市竞赛试题）解题思路：因三角形的高不一定在三角形内部，故应注意符合题设条件的图形多样性.【例2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形底边的长为（ ）A .17cmB .5cmC .5cm 或17cmD .无法确定（北京市竞赛试题）解题思路：中线所分两部分不等的原因在于等腰三角形的腰与底的不等，应分情况讨论.【例3】 如图，BE 是∠ABD 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，BE 与CF 交于G ，若∠BDC =140°，∠BGC =110°，求∠A 的大小.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：运用凹四边形的性质计算.GC DBEF A【例4】 在△ABC 中，三个内角的度数均为正数，且∠A ＜∠B ＜∠C ，4∠C ＝7∠A ，求∠B 的度数.（北京市竞赛试题）解题思路：把∠A ，∠C 用∠B 的代数式表示，建立关于∠B 的不等式组，这是解本题的突破口.【例5】 （1）周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？（2）现有长为150cm 的铁丝，要截成)2(>n n 小段，每段的长不小于1cm 的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n 的最大值.此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n 段.（江苏省竞赛试题）解题思路：对于（1），不妨设三角形三边为a ，b ，c ，且c b a <<，由条件及三角形三边关系定理可确定c 的取值范围，从而可以确定整数c 的值. 对于（2），因n 段之和为定值150cm ，故欲使n 尽可能的大，必须使每段的长度尽可能的小.这样依题意可构造一个数列.【例6】 在三角形纸片内有2 008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2 011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上.问：以这2 011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？（天津市竞赛试题）解题思路：本题的解题关键是找到规律：三角形内角每增加1个内点，就增加了2个三角形和3条边.能力训练A 级1.设a ，b ，c 是△ABC 的三边，化简c b a c b a --+++=____________.2.三角形的三边分别为3，a 21-，8，则a 的取值范围是__________.3.已知一个三角形三个外角度数比为2:3:4，这个三角形是_______（按角分类)三角形.4.如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数为____________. （“缙云杯“试题）EDCBAHDCMG BAEC BA（第4题） （第5题） （第6题）5.如图，已知AB ∥CD ，GM ，HM 分别是∠AGH ，∠CHG 的角平分线，那么∠GMH =_________.T ED GHCBA F21AC EDB（第7题） （第9题） 6.如图，△ABC 中，两外角平分线交于点E ，则∠BEC 等于（ ）A .)90(21A ∠-︒ B .A ∠+︒2190 C .)180(21A ∠-︒ D .A ∠-︒21180 7.如图，在△ABC 中，BD ，BE 分别是高和角平分线，点F 在CA 的延长线上，FH ⊥BE 交BD 于G ，交BC 于H .下列结论：①∠DBE =∠F ；②2∠BEF =∠BAF +∠C ；③∠F =21（∠BAC -∠C ）；④∠BGH =∠ABE +∠C . 其中正确的是（ ）A .①②③B .①③④C .①②③D .①②③④8.已知三角形的每条边长的数值都是2 001的质因数，那么这样的不同的三角形共有（ ） A .6个 B .7个 C .8个 D .9个 9.如图，将纸片△ABC 沿着DE 折叠压平，则（ ） A .∠A =∠1+∠2 B .∠A =21（∠1+∠2）C .∠A =31（∠1+∠2） D .∠A =41（∠1+∠2）（北京市竞赛试题）10.一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是4和1 997，则满足上述条件的三角形的个数是（ ） A .1个 B .3个 C .5个 D .7个（北京市竞赛试题）11.如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A +∠B +∠C +∠D =180°.（河南省竞赛试题）321EG FDCBA12.平面内，四条线段AB ，BC ，CD ，DA 首尾顺次连接，∠ABC =24°，∠ADC =42°. （1）∠BAD 和∠BCD 的角平分线交于点M （如图1），求∠AMC 的大小.（2）点E 在BA 的延长线上，∠DAE 的平分线和∠BCD 平分线交于点N （如图2），求∠ANC .CDBAEND CBA图1 图213.三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度.在下图中，E 位于线段CA 上，D 位于线段BE 上.（1）证明：AB +AE ＞DB +DE ； （2）证明：AB +AC ＞DB +DC ；（3）AB +BC +CA 与2（DA +DB +DC ）哪一个更大？证明你的结论； （4）AB +BC +CA 与DA +DB +DC 哪一个更大？证明你的结论.（加拿大埃蒙德顿市竞赛试题）E DCBAB 级1.已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但不是最短边，这样的三角形的 个数有_______个.（“祖冲之杯”邀请赛试题）2.以三角形的3个顶点和它内部的9个点共12个点为顶点能把原三角形分割成______个没有公共部分的小三角形.3.△ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，且有2∠B =5∠A ，若∠B 的最大值是m ，最小值是n ，则=+n m ___________.（上海市竞赛试题）4.如图，若∠CGE =α，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =_______.（山东省竞赛试题）αGFEDCBADA 2A 1CBA（第4题） （第5题）5.如图，在△ABC 中，∠A =96°，延长BC 到D ，∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于1A 点，BC A 1∠与CD A 1∠的平分线相交于2A 点，依此类推，BC A 4∠与CD A 4∠的平分线相交于5A 点，则5A ∠的大小是（ ）A .3°B .5°C .8°D .19.2°6.四边形ABCD 两组对边AD ，BC 与AB ，DC 延长线分别交于点E ，F ，∠AEB ，∠AFD 的平分线交于点P .∠A =64°，∠BCD =136°，则下列结论中正确的是（ ）①∠EPF =100°； ②∠ADC +∠ABC =160°； ③∠PEB +∠PFC +∠EPF =136°； ④∠PEB +∠PFC =136°.A .①②③B .②③④C .①③④D .①②③④FEDPCBA7.三角形的三角内角分别为α，β，γ，且γβα≥≥，βα2=，则β的取值范围是（ ） A .4536≤≤β B .6045≤≤β C .9060≤≤β D .3245≤≤β（重庆市竞赛试题）8.已知周长小于15的三角形三边的长都是质数，且其中一边的长为3，这样的三角形有（ ） A .4个 B .5个 C .6个 D .7个（山东省竞赛试题）9.不等边△ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长.（第三十二届美国邀请赛试题）10.设m ，n ，p 均为自然数，满足p n m ≤≤且15=++p n m ，试问以m ，n ，p 为三边长的三角形有多少个？11.锐角三角形用度数来表示时，所有角的度数为正整数，最小角的度数是最大角的度数的41，求满足此条件的所有锐角三角形的度数.（汉城国际数学邀请赛试题）12.如图1，A 为x 轴负半轴上一点，B 为x 轴正半轴上一点，C （0，-2），D （-2，-2）. （1）求△BCD 的面积；（2）如图2，若∠BCO =∠BAC ，作AQ 平分∠BAC 交y 轴于P ，交BC 于Q .求证：∠CPQ =∠CQP ；（3）如图3，若∠ADC =∠DAC ，点B 在x 轴正半轴上运动，∠ACB 的平分线交直线AD 于E ，DF ∥AC交y 轴于F ，FM 平分∠DFC 交DE 于M ，EDMFBCF ∠∠-∠2的值是否发生变化？证明你的结论.x图313.如图1，),0(m A ，)0,(n B .且m ，n 满足0)42(32≤-+-n m.图1 图2（1）求A ，B 的坐标；（2）C 为y 轴正半轴上一动点，D 为△BCO 中∠BCO 的外角平分线与∠COB 的平分线的交点，问是否存在点C ，使∠D =41∠COB .若存在，求C 点坐标； （3）如图2，C 为y 轴正半轴上A 的上方一动点，P 为线段AB 上一动点，连CP 延长交x 轴于E ，∠CAB 和∠CEB 平分线交于F ，点C 在运动过程中FECOABO ∠∠+∠的值是否发生变化？若不变求其值；若变化，求其范围.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题13 三角形的基本知识阅读与思考三角形是最基本的几何图形，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.解与三角形的基本知识相关的问题时，常用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法解几何计算题及简单的证明题，对三角形按边或按角进行恰当分类.应熟悉以下基本图形：图4图3图2图1CDBAD CBADCBA DCOBA例题与求解【例1】 在△ABC 中，∠A =50°，高BE ，CF 交于O ，则∠BOC =________.（“东方航空杯”——上海市竞赛试题）解题思路：因三角形的高不一定在三角形内部，故应注意符合题设条件的图形多样性.【例2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形底边的长为（ ）A .17cmB .5cmC .5cm 或17cmD .无法确定（北京市竞赛试题）解题思路：中线所分两部分不等的原因在于等腰三角形的腰与底的不等，应分情况讨论.【例3】 如图，BE 是∠ABD 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，BE 与CF 交于G ，若∠BDC =140°，∠BGC =110°，求∠A 的大小.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：运用凹四边形的性质计算.GC DBEF A【例4】 在△ABC 中，三个内角的度数均为正数，且∠A ＜∠B ＜∠C ，4∠C ＝7∠A ，求∠B 的度数.（北京市竞赛试题）解题思路：把∠A ，∠C 用∠B 的代数式表示，建立关于∠B 的不等式组，这是解本题的突破口.【例5】 （1）周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？（2）现有长为150cm 的铁丝，要截成)2(>n n 小段，每段的长不小于1cm 的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n 的最大值.此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n 段.（江苏省竞赛试题）解题思路：对于（1），不妨设三角形三边为a ，b ，c，且c b a <<，由条件及三角形三边关系定理可确定c 的取值范围，从而可以确定整数c 的值.对于（2），因n 段之和为定值150cm ，故欲使n 尽可能的大，必须使每段的长度尽可能的小.这样依题意可构造一个数列.【例6】 在三角形纸片内有2 008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2 011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上.问：以这2 011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？（天津市竞赛试题）解题思路：本题的解题关键是找到规律：三角形内角每增加1个内点，就增加了2个三角形和3条边. 能力训练A 级1.设a ，b ，c是△ABC 的三边，化简c b a c b a --+++=____________.2.三角形的三边分别为3，a 21-，8，则a 的取值范围是__________.3.已知一个三角形三个外角度数比为2:3:4，这个三角形是_______（按角分类)三角形.4.如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数为____________. （“缙云杯“试题）EDCBAHDCMG BAECBA（第4题） （第5题） （第6题）5.如图，已知AB ∥CD ，GM ，HM 分别是∠AGH ，∠CHG 的角平分线，那么∠GMH =_________.T ED GHCBA F21ACEDB（第7题） （第9题） 6.如图，△ABC 中，两外角平分线交于点E ，则∠BEC 等于（ ） A .)90(21A ∠-︒ B .A ∠+︒2190 C .)180(21A ∠-︒ D .A ∠-︒21180 7.如图，在△ABC 中，BD ，BE 分别是高和角平分线，点F 在CA 的延长线上，FH ⊥BE 交BD 于G ，交BC 于H .下列结论：①∠DBE =∠F ；②2∠BEF =∠BAF +∠C ；③∠F =21（∠BAC -∠C ）；④∠BGH =∠ABE +∠C .其中正确的是（ ）A .①②③B .①③④C .①②③D .①②③④ 8.已知三角形的每条边长的数值都是2 001的质因数，那么这样的不同的三角形共有（ ） A .6个 B .7个 C .8个 D .9个 9.如图，将纸片△ABC 沿着DE 折叠压平，则（ ） A .∠A =∠1+∠2 B .∠A =21（∠1+∠2） C .∠A =31（∠1+∠2） D .∠A =41（∠1+∠2）（北京市竞赛试题）10.一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是4和1 997，则满足上述条件的三角形的个数是（ ）A .1个B .3个C .5个D .7个（北京市竞赛试题）11.如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A +∠B +∠C +∠D =180°.（河南省竞赛试题）321EGFDC BA12.平面内，四条线段AB ，BC ，CD ，DA 首尾顺次连接，∠ABC =24°，∠ADC =42°. （1）∠BAD 和∠BCD 的角平分线交于点M （如图1），求∠AMC 的大小.（2）点E 在BA 的延长线上，∠DAE 的平分线和∠BCD 平分线交于点N （如图2），求∠ANC .CDMBAEND CBA图1 图213.三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度.在下图中，E 位于线段CA 上，D 位于线段BE 上.（1）证明：AB +AE ＞DB +DE ； （2）证明：AB +AC ＞DB +DC ；（3）AB +BC +CA 与2（DA +DB +DC ）哪一个更大？证明你的结论； （4）AB +BC +CA 与DA +DB +DC 哪一个更大？证明你的结论.（加拿大埃蒙德顿市竞赛试题）E DCBAB 级1.已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但不是最短边，这样的三角形的 个数有_______个.（“祖冲之杯”邀请赛试题）2.以三角形的3个顶点和它内部的9个点共12个点为顶点能把原三角形分割成______个没有公共部分的小三角形.3.△ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，且有2∠B =5∠A ，若∠B 的最大值是m ，最小值是n ，则=+n m ___________.（上海市竞赛试题）4.如图，若∠CGE =α，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =_______.（山东省竞赛试题）αGFEDCBADA 2A 1CBA（第4题） （第5题）5.如图，在△ABC 中，∠A =96°，延长BC 到D ，∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于1A 点，BC A 1∠与CD A 1∠的平分线相交于2A 点，依此类推，BC A 4∠与CD A 4∠的平分线相交于5A 点，则5A ∠的大小是（ ）A .3°B .5°C .8°D .19.2°6.四边形ABCD 两组对边AD ，BC 与AB ，DC 延长线分别交于点E ，F ，∠AEB ，∠AFD 的平分线交于点P .∠A =64°，∠BCD =136°，则下列结论中正确的是（ ）①∠EPF =100°； ②∠ADC +∠ABC =160°； ③∠PEB +∠PFC +∠EPF =136°； ④∠PEB +∠PFC =136°.A .①②③B .②③④C .①③④D .①②③④FEDPCBA7.三角形的三角内角分别为α，β，γ，且γβα≥≥，βα2=，则β的取值范围是（ ） A .4536≤≤β B .6045≤≤β C .9060≤≤β D .3245≤≤β（重庆市竞赛试题）8.已知周长小于15的三角形三边的长都是质数，且其中一边的长为3，这样的三角形有（ ） A .4个 B .5个 C .6个 D .7个（山东省竞赛试题）9.不等边△ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长.（第三十二届美国邀请赛试题）10.设m ，n ，p 均为自然数，满足p n m ≤≤且15=++p n m ，试问以m ，n ，p 为三边长的三角形有多少个？11.锐角三角形用度数来表示时，所有角的度数为正整数，最小角的度数是最大角的度数的41，求满足此条件的所有锐角三角形的度数.（汉城国际数学邀请赛试题）12.如图1，A 为x 轴负半轴上一点，B 为x 轴正半轴上一点，C （0，-2），D （-2，-2）. （1）求△BCD 的面积；（2）如图2，若∠BCO =∠BAC ，作AQ 平分∠BAC 交y 轴于P ，交BC 于Q . 求证：∠CPQ =∠CQP ；（3）如图3，若∠ADC =∠DAC ，点B 在x 轴正半轴上运动，∠ACB 的平分线交直线AD 于E ，DF∥AC 交y 轴于F ，FM 平分∠DFC 交DE 于M ，EDMFBCF ∠∠-∠2的值是否发生变化？证明你的结论.yxACDBOxyQ CPDO BA图1 图2xyOBFCDM A E图313.如图1，),0(m A ，)0,(n B .且m ，n 满足0)42(32≤-+-n m .O B A x y C AP FB E O xy图1 图2（1）求A ，B 的坐标；（2）C 为y 轴正半轴上一动点，D 为△BCO 中∠BCO 的外角平分线与∠COB 的平分线的交点，问是否存在点C ，使∠D =41∠COB .若存在，求C 点坐标； （3）如图2，C 为y 轴正半轴上A 的上方一动点，P 为线段AB 上一动点，连CP 延长交x 轴于E ，∠CAB 和∠CEB 平分线交于F ，点C 在运动过程中FECO ABO ∠∠+∠ 的值是否发生变化？若不变求其值；若变化，求其范围.。