第8章 信号信号去噪

参考文献:
Nason, G.P.; B.W. Silverman (1995), "The stationary wavelet transform and some statistical applications," Lecture Notes in Statistics, 103, pp. 281-299.
阈值的选取方法，这里介绍最常用的VisuShrink，这种方法采用全局
统一阈值 2log N
含噪信号的标准差
算法描述
1）计算含噪信号的正交小波变换。常采用周期延拓方法。
vL,k , k 1, , 2L
wj,k , j L, L 1, , J 1, k 1, , 2 j
2）对小波系数进行非线性阈值处理 为保持信号的整体形状不变，保留所有的低频变换系数
对每个小波系数，采用软阈值和硬阈值方法进行处理
软阈值方法：
wj,k
wjk


wj,k wj,k wj,k
2log N
特点: 软阈值法获得的重构信号具有更好的光滑性,但误差相对较大.
• Donoho D L, Johnstone I M. Ideal spatial adaptation via wavelet shrinkage. Biometrica,1994,81(12): 425-455
• Donoho D L. Denoising by soft-Thresholding. IEEE Transactions on Information Theory,1995, 41(3): 613~627.
Coifman, R.R.; Donoho, D.L. (1995), "Translation invariant denoising," Lecture Notes in Statistics, 103, pp. 125-150.
Pesquet, J.C.; H. Krim, H. Carfatan (1996), “Time-invariant orthonormal wavelet representations,” IEEE Trans. Sign. Proc., vol. 44, 8, pp. 1964-1970。
• 通常,变换域表示的稀疏性由所采用的变换以及真实信号 的性质共同决定
小波阈值去噪和小波收缩去噪
• 基于变换域的方法中,多分辨率变换能够对空间局域性的 细节特征,如边缘、奇异点等进行很好的稀疏表示。自然 图像中通常包含很多这种细节结构,并且这些结构表达了 图像的重要信息。因此,基于多分辨率变换的方法在图像 去噪领域得到了广泛应用,最具有代表性的是基于小波变 换的阈值收缩方法。
具体快速算法见教材(P162)中的详细介绍。
Matlab中函数swt() 之处的References 。平稳小波变换
平稳小波变换（P177）
• 应用Mallat算法分析信号时存在的不足
问题:由于二抽样的缘故, 信号低频分量的数据量随 小波分解次数的增大而不 断减少,以致难以看清原波 形变化的全貌.
小波去噪方法有效的内在原因
小波变换具有良好的时频局部化性质，它具有随时间变化的频率。
根据小波变换的线性性:
WX Wf We
保留主要由实际信号控制的小波系数; 发现并去掉由噪声控制的小波系数。 由剩余的小波系数做逆向小波变换得到 去噪信号。
去噪问题的描述
设长度为 N 的信号 f 被噪声 e 所污染，所测得的含噪数据为：
• 边界延拓与截取方法[P179-180]
• References： • Nason, G.P.; B.W. Silverman (1995), "The stationary
wavelet transform and some statistical applications," Lecture Notes in Statistics, 103, pp. 281-299. • Coifman, R.R.; Donoho D.L. (1995), "Translation invariant de-noising," Lecture Notes in Statistics, 103, pp. 125-150.
具体处理过程为：将含噪信号在各尺度上进行(正交) 小波分解，保留大尺度低分辨率下的全部小波系数； 对于各尺度高分辨率下的小波系数，可以设定一个 阈值，幅值低于该阈值的小波系数置为零，高于该 阈值的小波系数或者完整保留，或者做相应的“收 缩（shrinkage）” 处理。最后将处理后获得的小 波系数利用逆小波变换进行重构，恢复出有效的信 号。
为了改进去噪效果，一个自然的想法就是通过平移含噪声信号来改变 不连续点的位置，对平移后的信号进行阈值法去噪处理，然后把去噪 后的信号再进行相反的平移，便可以得到原信号的去噪信号。
通常采用n次循环平移，并将每次平移去噪后的结果再进行平均， 即所谓“平移----去噪-----平均”的平移不变量（Translation-invariant， 简称TI）小波去噪法。
第 8章 小波信号去噪
孙延奎 清华大学计算机科学与技术系
内容提要
• 小波变换域去噪
– 小波阈值法去噪 – 平移不变性去噪 – 小波收缩去噪
• 非局部均值去噪
– 非局部均值图像去噪 – ECG信号的非局部均值去噪
基于变换域的去噪方法
• 是将图像从空域经由某种变换方法转换到变换域进行表示 ,然后在变换域对信号与噪声进行分离。
已知:
X f e
目标: 求f的最优逼近. 去除噪声且保持边缘sharp, not blur(局部特性)
假设条件: 高斯噪声 基本策略: 变换到频域(如小波域), 将信号的小波变换系数与噪声的小波
变换系数分离。丢弃噪声的变换系数,由剩余的变换系数做逆 变换 得到去噪信号。
加法噪声与乘法噪声： 噪声的种类？
d j1

x
j
1

x x
j j
Gj Fj
Fj
x j1
xj
Gj
d j1
Fj
2
F j 1
Gj
2
G j1
平稳小波变换的二通道滤波器组
重构算法:
x 1 x h d g j
j1
Jj
j1
Jj
2
j 1, 2, J 1, J
平稳小波变换的特点
基于小波域的统计模型降噪
• 这类算法的基本思想是把统计模型作为小 波系数的先验概率模型，然后利用这个先 验信息，在贝叶斯框架下对原始图像进行 估计。
小波域去噪模型
小波去噪的有效性
根据噪声能量一般集中于高频,而信号频谱分布于一个有限区间的特点, 用傅里叶变换将含噪信号变换到频域，然后采用低通滤波器进行滤波。 基于傅里叶变换的去噪方法存在着保护信号局部性和抑制噪声之间的 矛盾。
小波变换 去噪可以 很好地保 存有用信 号的尖峰 和突变部 分。
傅里叶变 换去噪不 能将有用 信号的高 频部分和 由噪声引 起的高频 干扰加以 有效地区 分。
• 所采用的滤波器为正交小波或双正交小波滤波器
• 每次小波变换时，输入信号的长度不变，但所采用的低通 与高通滤波器的长度都增加一倍
• 任意分辨率j下对应的低频信号与高频信号的长度都等于原
始输入信号的长度。如何保证这一点？
• 计算复杂度为O(NlogN)
平稳小波变换的实现
• 在Matlab小波工具箱中对应的函数: swt() , iswt()。
T x; Sh hHn AvehHn Sh T Sh x
Hn h | 0 h n
平移不变量小波去噪方法可有效地去除伪吉布斯现象，表现出更好的视觉效果。
软阈值(Sym8)
软阈值(Haar)
TI(Sym8)
TI(Haar)
阈值加细
• “阈值”的选取是小波阈值去噪算法的关键。阈值 2log N 在N过大时存在“过扼杀”真实小波系数的倾向，因此， 人们纷纷提出了多种不同阈值的确定方法。比如基于 Stein 无风险估计的SureShrink 方法和Chang 等人提出一 种基于Bayes 准则的BayesShrink 方法[50]。
估计噪声标准差，如取
median k 1, ,2J 1
wJ 1,k
/ 0.6745
原信号
含噪信号
软域值法(Sym8) 软域值法(Haar)
优缺点
• 用阈值法去噪不仅能够几乎完全抑制噪声，而且可很好地 保留反映原始信号的特征尖峰点，因而具有好的去噪效果 。事实上，人们已证明在均方误差意义上阈值法能得到原 信号的近似最优估计，且采用软阈值法所得到的估计信号 至少与原始信号同样光滑。因此，在众多小波去噪方法中 ，阈值法得到了广泛的应用。
• 但在有些情况下，阈值法去噪后的信号会在信号的某些不 连续点附近和快速变化的点处，表现出视觉上的干扰（ visual artifacts），如伪吉布斯现象，即去噪信号在这些 点会在一个特定的目标水平上下跳变，因此需要采取适当 的方法，消除这种振荡现象。
• 产生伪吉布斯现象的原因是，正交小波变换不具有平移 不变性。平移不变量小波变换、平稳小波变换是具有平移 不变性的两种变换，可更好地用于信号去噪。
• 一般来讲,这类方法通常假设真实的信号可以由几个基函 数的线性组合来很好的逼近。也就是说,信号可以在变换 域进行稀疏表示,而白噪声经过变换之后仍然表现为白噪 声。
• 这样,信号的大部分能量都集中在少数具有较大幅度的变 换系数上,而噪声则对应于很小幅值的变换系数。因此,只 要保留具有较大幅值的少数系数而舍弃其余的系数,就可 以对真实的信号进行有效的估计。
硬阈值方法：
wj,k

wj,k
0
wj,k wj,k
2log N
特点: 硬阈值法获得的重构信号具有更好的逼近性,但有附加振荡。
3）进行小波逆变换。
在实际应用中，噪声方差一般是未知的，通常需要进行估值。由于噪声
主要集中在最高分辨级J-1，所以可以利用小波系数 wJ1,k , k 1, 2, , 2J1
• 小波阈值去噪容易推广到图像去噪，是一种有效 的变换滤波方法。
• 图像噪声标准差的如何估计？
小波阈值去噪法:平移不变量小波阈值去噪法
平移不变量小波去噪方法不仅能有效的抑制伪吉布斯现象，而且能减小原始 信号和估计信号之间的均方根误差，是一种比阈值法更好的去噪方法。
Pseudo-Gibbs现象 产生的原因及解决方法: Pseudo-Gibbs现象和信号不连续点的位置有关，确切地说，是和信号的 特征（如不连续点）和小波基元素的特征之间的精确对准有关。
一种解决方法:
非抽样小波变换(平稳小 波变换): 在任一分辨率下 计算每个采样点的小波系 数. 采用的实现技术是多 孔算法.
记
Fj h J j ,Gj g J j , j J , J 1,..., 2,1
FJ h 0 h,GJ g 0 g, j J , J 1,..., 2,1
• 对小波变换系数进行多尺度统计建模来进行去噪。典型的 建模方式有高斯混合模型、广义高斯分布模型、隐马尔可 夫模型，以及高斯尺度混合模型等。基于这些模型以及过 完备的变换（比如,平稳小波变换,双树复小波变换,非抽取 小波变换等）表示,研究者提出了一系列更为先进的去噪 方法。尤其是基于高斯尺度混合模型的方法,取得了标志 性的去噪结果。
小波收缩法
• 阈值收缩法
通过选取适当的阈值，采用阈值函数压制绝对值小于阈值 的小波系数达到滤噪的目的。
– 阈值：全局阈值、局部阈值 – 阈值函数：硬阈值、软阈值
• 比例收缩
– 通过度量小波系数被噪声污染的程度，来确定系数的收缩比例
小波阈值收缩法
基本原理
小波阈值收缩法去噪的主要理论依据是，小波变换特别 是正交小波变换具有很强的去数据相关性，它能够使信 号的能量在小波域集中在一些大的小波系数中；而噪声 的能量却分布于整个小波域内，因此，经小波分解后， 信号的小波系数幅值要大于噪声的系数幅值，也即可以 认为，幅值比较大的小波系数一般以信号为主，而比较 小的系数在很大程度上是噪声。于是，采用阈值的办法 可把信号系数保留，而使大部分噪声系数减少至零。