三维简单正交晶格伊辛(Ising)模型精确解猜想

三维简单正交晶格伊辛(Ising)模型精确解的猜想
伊辛(Ising)模型是一个最简单的模型可以提供非常丰富的物理内容，可以被用来帮助我们发现物理世界的原则。

它不仅可以用来描述晶体的磁性，还可以用来描述非常广泛的现象，如合金中的有序-无序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结和蒸发、晶格气体、玻璃物质的性质、森林火灾、城市交通、蛋白质分子进入它们的活性形式的折叠等。

科学家对伊辛模型的广泛兴趣还源于它是描述相互作用的粒子(或原子或自旋)最简单的模型。

它可以用来测试研究相互作用的粒子在多体系统(特别是理解在临界点及其附近的合作现象和临界行为)任何近似方法的理想工具。

进一步说，三维伊辛模型可以研究从无限大温度到绝对零度相互作用的粒子(或原子或自旋) 系统的演变过程，如果将热力学中的温度作为动力学中时间来考量，它不仅可以理解热力学平衡的无限系统，如一个磁铁，还可以帮助理解我们的宇宙。

另外，平衡相变的理论可以用来研究连续的量子相变、基本粒子的超弦理论、在动力学系统到混沌的转变、系统偏离平衡的长时间行为和动力学临界行为等。

由于伊辛模型中的粒子(或原子或自旋)具有两种可能的状态(自旋向上或向下)，它实际上可以对应黑白、上下、左右、前后、是非、正负……原则上，伊辛模型可以描述所有具有两种可能的状态的多体系统，描述两种极端条件间的相互竞争。

尽管伊辛模型是一个最简单的物理模型，目前仅有一维和二维的精确解。

Ising 在1925年解出的精确解表明一维伊辛模型中没有相变发生。

Onsager 于1944年获得二维伊辛模型的配分函数和比热的精确解，为统计物理领域的一个重大进展。

杨振宁于1952年求出二维伊辛模型的自发磁化强度。

二维正方伊辛模型的居里温度精确地存在于122−==−c K c e x 即1/K c = 2.26918531……。

二维伊辛模型的临界指数为α = 0, β = 1/8, γ = 7/4, δ = 15, η = 1/4 和 ν = 1。

杨振宁和李政道合作于1952年提出了杨-李相变理论，严格证明了解的存在性。

但至今没有被学术界公认的三维伊辛模型的精确解。

甚至有人发表论文证明因为三维伊辛模型存在拓扑学的结的问题无法解出三维伊辛模型的精确解。

无法精确地理解三维世界的自然奥秘，这对于生活在三维世界的人们不能不说是个遗憾。

人们通常用分子场理论及其改进理论、高温级数展开、低温级数展开、重整化群理论、蒙特-卡罗模拟等近似计算
三维伊辛模型的居里温度和临界指数。

Wilson 于1971年发展的重整化群理论可以较高的精度计算三维伊辛模型的近似结果，也是统计物理领域的一个重大进展。

根据三维伊辛模型的级数展开的近似结果，人们通常接受的临界指数为α = 1/8, β = 5/16, γ = 5/4, δ = 5, η = 0和ν = 5/8。

根据重整化群理论、蒙特-卡罗模拟等数值计算的三维伊辛模型的临界指数为α = 0.110, β = 0.3265, γ = 1.2372, δ = 4.789, η = 0.0364 和 ν = 0.6301, 居里温度近似为1/K c = 4.511505。

当然，寻找三维伊辛模型的精确解是物理学家近一个世纪的梦想。

出于对自然奥秘的探求，沈阳材料科学国家（联合）实验室（SYNL ）磁性材料与磁学研究部张志东研究员对这个问题进行了多年的思索和研究，近期取得一些研究进展。

他报导了对三维简单正交晶格伊辛模型的猜想以及对推定的精确解的详细计算过程。

通过引入第四卷曲起来的维和本征矢量上的权重这两个猜想作为处理三维伊辛模型的拓扑学问题的边界条件。

通过应用这些猜想用自旋算符分析法评估了三维简单正交晶格伊辛模型的配分函数。

建立在这些猜想的基础上，发现三维简单正交晶格伊辛模型的居里温度由条件''''''*K K KK KK KK ++=或1)''''''(2sinh 2sinh =++⋅K
K K K K K 确定。

其中变量K ≡ J/k B T, K’ ≡ J’/k B T 和 K’’ ≡ J’’/k B T ，J , J’ 和 J’’沿三个坐标轴方向自旋间的交换作用常数。

K*由*tanh 2K e K ≡−定义。

对于一个简单立方伊辛模型(K=K’=K’’)，从条件K K 3*=或16sinh 2sinh =⋅K K 推定其居里温度精确地存在于黄金点......6180339887.02
152=−==−c K c e x ，即1/K c = 4.15617384……。

这可以与二维正方伊辛模型的居里温度122−==−c K c e x 为数学上的白银解比较。

黄金解和白银解分别为x 2 + x –1 = 0和x 2 + 2 x –1 = 0两个方程的解，都可以写成具有分形和自相似的特性的形式。

这启示我们，在二维和三维伊辛模型之间存在着一些紧密的数学上的联络。

并发现系统的对称性越高，居里温度越高。

简单立方伊辛模型在三维系统具有最高的对称性，所以黄金解是三维伊辛模型中最高的居里温度。

正方伊辛模型在二维系统具有最高的对称性，所以白银解是二维伊辛模型中最高的居里温度。

如果猜想是正确的，三维简单正交晶格伊辛模型的比热在相变的临界点具有对数发散的奇异性，这与二维伊辛模型的比热的奇异性一致。

跟随猜想，
用微扰技术严格推导了三维简单正交晶格伊辛模型的自发磁化强度。

并用与二维伊辛模型类似的方法计算了三维简单正交晶格伊辛模型的自旋关联函数、关联长度、磁化率。

由此推定的三维简单正交晶格伊辛模型的临界指数为α = 0, β = 3/8, γ= 5/4, δ = 13/3, η = 1/8 和ν = 2/3，满足普适律和标度律。

三维伊辛模型的临界指数与一维及二维伊辛模型的临界指数间也存在很好的数学上的对应关系。

研究了在临界点附近的临界现象，并将获得的结果与其它近似结果和实验结果进行了比较。

用一些判据评估了推定的精确解。

解释了其它近似结果和实验结果与解的偏差。

发现三维到二维的转变现象不同于二维到一维的转变现象。

当系统具有等于或小于白银解的居里温度时，具有二维的临界指数。

高于白银解的区域，有一个从三维到二维的临界指数的逐渐变化的转变过程。

还特别注意到由于引入第四卷曲起来的维导致的能量增加和由本征矢量上的权重揭示的在无限大温度和其附近的状态的不同。

讨论了猜想和存在多一维度的背后可能的物理内涵。

获得的结果具有一定的对称性和美学价值，并可以在极限条件下自动返回到二维和一维的结果。

需要强调的是，推定的精确解的正确性取决于这两个猜想的正确性。

当然，引入第四卷曲起来的维的想法并不是一个全新的思想。

它与科学家们在相对论、结合电磁力和重力的理论、超弦理论、量子重力理论中采取的思路不谋而合。

对三维物理世界的理解可能需要引入第四维的帮助。

通过引入第四卷曲起来的维在(3+1) 维打开三维伊辛模型存在拓扑学的结具有一定的合理性，因为在低维空间的拓扑学的结可以被在高一维空间的旋转来打开。

权重的引入是数学中通常使用的一个手段，也具有一定物理思想。

另外，推定得的精确解与目前学术界通常接受的评价标准仍不完全吻合。

学术界对伊辛模型的精确解的评价标准为：精确解的能量、比热、磁化强度等函数在低温和高温的级数展开项应与用低温级数展开、高温级数展开技术获得的结果完全一致。

这是由于二维伊辛模型的精确解与低温级数展开、高温级数展开的结果完全一致。

在猜想的基础上推定的三维伊辛模型的精确解可以与高温级数展开在无限大温度及其附近一致，但在有限温度不符。

与低温级数展开的结果不符合。

这种不吻合的可能原因：1）三维伊辛模型的低温级数展开是一个发散的级数，导致了一个非物理奇点的出现。

并且其收敛半径可能为零，从而也使高温级数展开的收敛半径趋于零；2）根据李-杨相变理论，在无限大温度也可能会存在一个相变，导致无限大温度和有限温度系统的物理性质发生变化。

如果这两个原因合理，则原来学术界公认的评价标准可能不能作为三维伊辛模型的精确解的评价标准。

这主要是由于对三维伊辛模型的级数展开仅考虑三维的局域的环境，而没有考虑三维伊辛模型可能存在的拓扑学的结实际上已将所有的参加相互作用的粒子(或原子或自旋)紧密地联系在一起，系统中存在很强的非局域效应，需要引入新的一维空间(或类时空间)来进行讨论。

这意味着，对于三维多体相互作用的粒子系统，即使系统是非相对论的，可能也要放在四维时空世界里来讨论其平衡的热力学性质。

也就是说，推定的精确解与级数展开的结果不符合的根本原因可能来自量子力学本身与相对论的不相容性。

从另一个角度说，本项工作可能对建立一个与相对论相容的新量子力学的形式有一定的启示。

对本问题的探讨不仅涉及凝聚态物理和统计物理，可能还与量子场论、宇宙理论、高能粒子物理、图论和计算机科学有一定的关联。

今后有待完成的工作重点有两点：1）从数学上严格证明猜想的严格性；2）从数学上严格证明三维伊辛模型的低温级数展开的收敛半径为零。

研究结果已于11月1日发表在Philosophical Magazine, 87(34), 5309 – 5419 (2007)。

见Z.D. Zhang, Conjectures on the exact solution of three - dimensional (3D) simple orthorhombic Ising lattices, /10.1080/14786430701646325
三维简单正交晶格伊辛模型的比热随交换作用参数的变化，红线为简单立方伊辛模型的结果，从右到左K' = K'' = K, 0.5 K, 0.1 K 和 0.0001 K，随交换作用常数J和J''的减少，系统向二维和一维方向逐渐过渡。

三维简单正交晶格伊辛模型的交换作用参数的相图。

五角星为黄金点，蓝线上的点为白银解。

当系统具有等于或小于白银解的居里温度时，具有二维的临界指数。

高于白银解的区域，有一个从三维到二维的临界指数的逐渐变化的转变过程。

（SYNL磁性材料与磁学研究部供稿）。