过程控制系统 第2章 工业过程数学模型

机理建模也有两个弱点： 1）对于复杂的过程，人们对基本方程的某些参数不完全 掌握，例如，换热器的K值，由传热学书籍提供的公式可 能有±（10%-30%）的误差。又如，精馏塔这样已经研 究得比较透彻的设备，对塔板效率、塔板流体中的汽液 比值等参数，很难预先精确估计。 2）如不经过输入/输出数据的验证，则近乎之纸上谈兵， 难以判断其正确性。 经验模型的优点和弱点与机理模型正好相反，特别是现 场测试，实施中有一定难处。
2.1.2经验模型

进行测试。理论上有很多实验设计方法，如正交设计等。在实施 上可能会遇到选取变化区域困难。有一种解决办法是吸收调优操 作的经验，即逐步向更好的操作点移动，这样有可能一举两得， 既扩大了测试的区间，又改进了工艺操作。测试中要确定稳态是 否真正建立 。




把数据进行回归分析或神经网络建模。 对线性系统来说，设 y=a0+a1u1+a2u2+…+amum 由于已有很多组 y 与 (u1，u2，…，um）的数据，要设 法求取各系数 a0，a1， …，am 。不难看出，要求解这些ai 值，至少需要（m+1)组数据。因为每组测量值都含有若干 误差，所以为了提高模型的精确度，数据的组数应该多得 多。线性回归通常采用最小二乘法，其目标是使目标函数 J=∑（y-a0-a1u1-…）2为最小。 有时候，是否所有这些自变量都对y起作用，难以肯定， 此时可以用数学方法检验各个自变量对y影响的显著性，也 可以把某个或某些系数ai臵0，从结果进行比较。


这一过程的输出变量是 和 ，而输入变量有3个， 即输入变量 ，贮槽Ⅰ的流出阀开度和贮槽Ⅱ的流出 阀开度。 在上式中， 是输出变量 和 及贮槽Ⅰ流出阀开度的 函数。作为最初步近似，可以认为 与（（ ）成正比，与流出阀阻力 (它取决于流出 阀的开度）成反比。如 取合适单位，可以认为 类似的， 是输出变量 （其阻力为 ）。 可以表示为 。 和贮槽Ⅱ流出阀开度的函数
表2-2 数学模型的类型
过程类型
静态模型
动态模型
集中参数过程
代数方程
微分方程
分布参数过程
微分方程
偏微分方程
多级过程
差分方程
微分-差分方程
集中参数过程-----单个控制参数的过程控制 分布参数过程-----多个控制参数的过程控制 多级过程------控制过程有多个控制步，（相 当与离散系统） 例：单输入—单输出的过程模型数学模型



回归的结果能否另人满意，可以衡量数据的拟合误差，也可以 用一些数理统计方法，如F检验和复相关系数分析等。 对于非线性情况，模型结构需先确定，除非对过程的物理、化 e 学规律十分清晰，否则没有固定的方法，只能凭借一些技巧。 采用二次型即包括uiuj（i可以等于j，也可以不等于j）项的最常 见，考 u 虑引入lnu或 ei 的也有，这多少是参考了内在的机理规律。 作为工程处理，可以令这些非线性项作为新的变量，从而使方 程成为线性形式。例如：
6.扰动:内扰动--调节器的输出量q(t)；对质量指标起决定作用 外扰动--其余非控制的输入量； 也有很大影响
重要概念
第2章工业过程数学模型
过程特性的数学描述称为过程的数学模型。 在控制系统的分析和设计中，过程的数学模型 是极为重要的基础资料。 过程的特性可从稳态和动态两方面来考察，前 者指的是过程在输入和输出变量达到平稳状态 下的行为，后者指的是输出变量和状态变量在 输入影响下的变化过程的情况。可以认为，动 态特性是在稳态特性基础上的发展，稳态特性 是动态特性达到平稳状态的特例。

线性时间连续模型(可用微分方程或传递函数表
示)

串接液位贮槽的数学模型

线性时间离散模型(可用差分方程或脉冲传递 函数表示)
2.3 工业过程动态机理模型

2.3.1 动态数学模型的一般列写方法
从机理出发，用理论的方法得到过程动态数学模
型，其主要依据是物料平衡和能量平衡关系式 ：
单位时间内进入系统的物料量（或能量）-单位时间内
2.1.1机理建模（续）

现以两侧流体都不起相变化的换热器（见图2-1）作为 例子，讨论输入变量作小范围变化的情况。
G2,C2,θ2i G1,C,θ1i G1,C1,θ1o G2,C2,θ2o 图 2-1 无相变的换热器
2.1.1机理建模（续）
原始的基本方程式是热量平衡式（热损失忽略不计）和传热速率式， 分别是： Q=G1C1(θ1o-θ1i) =G2C2(θ2i-θ2o) （2-1） Q=KF(θ2i+θ2o-θ1i -θ1o)/2 （2-2） （为了简化，采用算术平均值） 式中Q为单位时间传热量，K为传热系数，F为传热面积，G1和G2是 流体1和2的质量流量，C1和C2为相应的热容，θ为温度，下标1、 2表示流体1和2，i和o表示流入和流出。 这里有四个输入变量，即G1、G2、θ1i和θ2i，两个输出变量，即θ1o 和θ2o。如果θ1o是被控温度，是需要研究的输出变量，则为了考 察各个输入变量对它的影响，须把式（2-1）和（2-2）联立求解， 为此，须把另一个输出变量θ2o消去。在本例中没有什么中间变量， 如有的话，也须消去。


在此求取输出变量 和 与输入变量 和 的动态方程。此时 不变，用R10表示，取增量

方程式，这时除 讨论有
项外都是线性的。依据上面的
x(t)
自衡过程和无自衡过程
从阶跃响应曲线来看，大多数被控过 程的特点是：不振荡、单调的、有滞后和 惯性的。如右图所示： 自衡过程：在扰动作用下，平衡状态被 破坏后，无需人员操作或者仪表的干预， 依靠自身能力能够达到新的平衡的过程。 （a）(b)
3.指导生产工艺设备的设计。破坏性试验 指导工艺设计
4.培训运行操作人员。安全 方便
数学模型的有关概念
x(t) + e(t) u(t) q(t)
f1(t) … fn(t) c(t)
控制器百度文库
-
执行器
被控过程
同一个系统， y(t) 过程通道不同， 测量变送 其数学模型亦 不一样 1.被控过程: 正在运行的各种被控制的生产工艺设备，
的方法； 二是依据外部输入输出数据来求取，这就是过程辨 识和参数估计的方法。 当然，也可以把两者结合起来。
解析法建模的一般步骤： 1. 明确过程的输出变量、输入变量和 其他中间变量。 2. 依据过程的内在机理和有关定理、 定律以及公式列写静态方程或动态方 程。 3. 消去中间变量，求取输入、输出变 量的关系方程。 4.将其简化成控制要求的某种形式。
2.2.1 动态数学模型的作用和要求

过程的动态数学模型，是表示输出向量（或变 量）与输入向量（或变量）间动态关系的数学 描述。从控制系统的角度来看，操纵变量和扰 动变量都属于输入变量，被控变量属于输出变 量。 过程动态数学模型的用途大体可分为两个方面：
一是用于各类自动控制系统的分析和设计；
2.2工业过程动态数学模型概论
过程的动态数学模型，对控制系统的设计和分
析有着极为重要的意义。 求取过程动态数学模型有两类途径：
一是依据过程内在机理来推导，这就是过程动态学
静态物料(或能量)平衡关系-----单位时间内进入被控过程的物料(或能 量)等于单位时间内从被控过程流出的物料(或能量)。 动态物料(或能量)平衡关系-----单位时间内进入被控过程的物料(或能 量)减去单位时间内从被控过程流出的物料(或能量)等于被控过程内物 料(或能量)贮存量的变化率。
无自衡过程：被控过程在扰动的作用下， 其平衡状态被破坏后，若无人员操作或 者仪表干预，依靠自身的能力不能重新 恢复平衡的过程。（c）
o
t y(t)
o y(t)
t (a)
o y(t) (b)
t
o
(c)
t
Q0
Q1
自衡过程
Q0
泵 Q1
无自衡过程
单容对象建模
介质经过阀门1不断流入储槽， 储槽内的介质通过 阀门2不断流出,储槽的截面积为A。工艺上要 求储槽内的液位h保持一定数值。如果阀门2 的开度不变，阀门1的开度变化就会引起液位 的波动。这时对象的输入变量是Qi，输出变量 是液位h。
《过程控制系统》
引言
在过程控制系统的分析和设计中，过程的数学模型是极其 重要的基础资料。 一个过程控制系统的优劣，主要取决于对生产工艺过程的 了解和建立过程的数学模型。
一. 研究并建立数学模型的目的
1.设计过程控制系统和整定调节器参数。
前馈控制
最优控制
参数整定
节省成本 加快进度
2.进行仿真试验研究。 计算机计算 分析



以下研究所示对象 的动特性，设各量 定义如下： Qi 输入水流量 Qi0 输入稳态水流量 △ Qi输入水流量对 它的稳态值的微小增量； Qo 输出水流量 Qo0 输出稳态水流量 △ Qo输出水流量对 它的稳态值的微小增量； h为稳态水位: △ h 水位对它稳态值的微小增量 A水槽横断面积
由系统流出的物料量（或能量）=系统内物料（或能量） 蓄藏量的变化率 为了找到输出变量y与输入变量u之间的关系，必须设法 消除原始微分方程中的中间变量，常常要用到相平衡关 系式，用到传热、传质及化学反应速率关系式等。 在建立过程动态数学模型时，输出变量y与输入变量u可 用三种不同形式，即可绝对值Y和U表示，用增量⊿Y和 ⊿U表示，用无因次形式的y和u表示。
u i

y a11u1 a12u1u2 a u
2 22 2

可改写成




机理建模也有两个弱点： 1）对于复杂的过程，人们对基本方程的某些参数不完全 掌握，例如，换热器的K值，由传热学书籍提供的公式可 能有±（10%-30%）的误差。又如，精馏塔这样已经研 究得比较透彻的设备，对塔板效率、塔板流体中的汽液 比值等参数，很难预先精确估计。 2）如不经过输入/输出数据的验证，则近乎之纸上谈兵， 难以判断其正确性。 经验模型的优点和弱点与机理模型正好相反，特别是现 场测试，实施中有一定难处。

在控制理论中，增量形式得到广泛的应用。它 不仅便于把原来非线性的系统线性化，而且通 过坐标的移动，把工作点作为原点，使输出输 入关系更加清晰，且便于运算；另外，在控制 理论中普遍应用的传递函数，就是在初始条件 为零的条件下定义的，采用增量形式可以方便 地求得传递函数。

2.3.2 串接液位贮槽的数学模型

2.1工业过程稳态数学模型

从生产控制的角度来看，在被控变量与操纵变 量的选择、检测点位臵的选择、控制算法设计、 操作优化控制的设计等方面，无不需要稳态数 学模型的知识。 在不少情况下，必须同时掌握过程的动态特性， 需要把稳态和动态的考虑结合起来，然而，象 操作优化这样一个极富有经济价值的控制命题， 主要就依靠稳态数学模型。 模型的建立途径可分机理建模与实验测试两大 类，也可将两者结合起来。
2.1.1机理建模
从机理出发，也就是从过程内在的物理和 化学规律出发，建立稳态数学模型 最常用的是解析法和仿真方法 解析法适用于原始方程比较简单的场合。 这里又分两类:

一是求输入变量作小范围变化的影响，通常采
用增量化处理方法； 二是求输入变量作大范围变化时的影响，这通 常需要逐步求解，如采用数值方法或试差方法， 则与仿真求解无甚区别了。
例如，各种加热炉、锅炉、贮罐、化学反应器等。
2.数学模型: 指过程在各输入量的作用下，其相应输出量变化
3.过程通道: 输入量与输出量间的信号联系。
4.扰动通道: 扰动作用与被控量间的信号联系。
5.控制通道：控制作用与被控量间的信号联系 的函数关系数学表达式。(或者说是反映被控过程 的输出量与输入量之间关系的数学描述。
二是用于工艺设计以及操作条件的分析和确定。
被控过程数学模型的应用与要求
被控过程数学模型的类型 非参量形式 用曲线或数据表格表示，如阶跃响 应曲线、脉冲响应曲线和频率特性曲线 参量形式 用数学方程来表示，如：微分方程、 传递函数、差分方程、状态空间表达式 等。

2.2.2 动态数学模型的类型：有过程机 理推导得到的几种数学模型如表2-2
Qi A1 h1 Q12 A2 Qo
h2
R1 图 2-7 串接液位贮槽
R2

两个串接液位贮槽依据物料平衡关系可得 到如下方程：

式中， 为流入贮槽Ⅰ的体积流量； 为流 入贮槽Ⅱ的体积流量，亦即流出贮槽Ⅰ的 体积流量； 为流出贮槽Ⅱ的体积流量； 为贮槽Ⅰ的横截面积； 为贮槽Ⅱ的横截面 积； 为贮槽Ⅰ的液位高度； 为贮槽Ⅱ的液 位高度。