§7.4 线性变换在基下的矩阵优秀课件

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即
1 0 0
T
1
,
2
,
3
1
,
2
,
3
2
1
0
,
0 1 1
1 0 0
故T
在基
下的矩阵为
A
2
1
0
0 1 1
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（2）坐标变换法。此法是利用结论：若
与 T 在基 1,2, ,n 下的坐标分别为
x1
x2
,
xn
x1
T
A
x2
,
xn
则
T A
其中 A 为线性变换 T 在基 1,2, ,n 下的矩阵。
第七章 线性空间
§7.4 线性变换在基下的矩阵
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定义 设 T 是向量空间 Vn 中的线性变换， 在 Vn 中取定一个基 :1,2, ,n ，若基
在线性变换 T 下的像为
T 1 a111 a212
T
2
a121
a22 2
T n a1n1 a2n2
an1n , an2n ,
annn ,
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下面讨论线性变换矩阵的一些性质。
设 1,2, ,n 是 n 维线性空间 Vn 的一个基，
在这组基下，每个线性变换 T 均对应一个n
阶矩阵 A ，这个对应具有如下性质： （1）线性变换的和对应矩阵的和； （2）线性变换的乘积对应矩阵的乘积； （3）线性变换和数的乘积对应于矩阵和数的 乘积； （4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆 矩阵对应于逆变换。
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下面仅证明性质（1）。 证（1） 设 T1,T2 是 Vn 中的两个线性变换， 它们在基 1,2, ,n 下的矩阵是 A, B ，即
T1 1,2, ,n = 1,2, ,n A, T2 1,2, ,n = 1,2, ,n B,
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则
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T1 T2 1,2,
,n T1 1,2, ,n T2 1,2, ,n 1,2, ,n A 1,2, ,n B 1,2, ,n A B,
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（3）基变换法。此法是利用结论：设线性空间 Vn 中有两个基 1,2 , ,n；1, 2 , , n
由基 1,2 , ,n 到基 1, 2, , n 的过渡矩阵为 P ，Vn 中的线性变换 T 在这两个基下的矩阵 分别为 A 与 B ，则 B P1AP
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此结论证明如下：
按定理的假设，有 1, 2, , n =1,2, ,n P ,
（1）定义法。
例
在 Px 3
中取一个基
: 1 x2 , 2 x, 3 1
求线性变换 T p x px p 'x 在此基下的矩阵
A ，其中 p' x 表示对 p x 的导数。
解
T 1 T x2 x2 2x 1 22
T 2 T x x 1 2 3 T 3 T 1 1 0 3
P 可逆，及
T 1,2, ,n 1,2, ,n A， T 1, 2, , n 1, 2, , n B，
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于是 1, 2, , n B=T 1, 2, , n =T 1,2, ,n P
T 1,2, ,n P 1,2, ,n AP 1, 2, , n P1AP. 因为 1, 2, , n 线性无关，所以 B P1AP ， 证毕。 说明 此定理表明 B 与 A 相似，且两个基 之间的过渡矩阵 P 就是相似变换矩阵。
由此可知在基1,2, ,n 下，线性变换 T1 T2 的矩阵是 A B ，证毕。
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（7.6）
记 T 1,2, ,n T 1,T 2 , ,T n
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（7.6）式可表示为
T 1,2, ,n 1,2, ,n A （7.7）
其中
a11 a12
A
a21
a22
an1
an2
a1n
a2
n
ann
称 A 为线性变换 T 在基 下的矩阵。
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下面介绍求线性变换在基下矩阵的方法：