图搜索算法
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2
i
终端顶点：有向图中把出度为 0的顶点称为终端顶点。
12
i1
路径：从顶点v到v´的路径是一个顶点序列 (v= vi, 0, vi, 1, …, vi, m=v´)，满足 (vi, j-1, vi, j)VR 或 <vi, j-1, vi, j >VR (1 j m)。 对于有向图，路径也是有向的。 v1 v2 v1 v2 v3 v3 v4 v4 v5 路径长度：路径上边或弧的数目。 回路(环)：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。 简单路径：序列中顶点(两端点除外)不重复出现的路径。 简单回路(简单环)：前后两端点相同的简单路径。 连通：无向图中从顶点v到v´有路径，则说v和v´是连通的。 连通图：无向图中任意两个顶点都是连通的。
15
v1
G1
v 1 v2 v3 v4
v2 v 1 0
v2 0 v3 0 v4 v4 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
v1
G2
v3
v1 v2 v3 v4 v 5 v2 v1 v2 v3 v5 v4 v5
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0
有向图中
顶点vi的入度是邻接矩阵中第i列1的个数。
16
网的邻接矩阵可定义为：
w ij ：若 ( v i , v j ) 或 v i , v j 是 VR 中的边或弧 A i, j ：若 ( v i , v j ) 或 v i , v j 不是 VR 中的边或弧
树的定义是一个递归的定义。
4
基本术语： 第 1 层
A C
T1
第3层
B
第2层
结点：数据元素+ 指向子树的分支 根结点：非空树中无前驱结点的结点 结点的度：结点拥有的子树数。 度=0 叶子 D 终端结点
度≠0 E F G H I J 分支结点 双亲 非终端 结点 兄弟 孩子 2 根结点以 第4层 K L M 3 外的分支 结点称为 树的度：树内各结点的度的最大值。 树的逻辑结构：树中任一结点都可以有零个或多个直接后继结点 内部结点 森林：是 m (m≥0) 棵互不相交的树的集合。 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点。 堂兄弟 但至多只能有一个直接前趋结点。 结点的子孙：以某结点为根的子树中的任一结点。 双亲在同一层的结点 把根结点删除树就变成了森林。 一定是 树的深度：树中结点的最大层次。 树 森林 一棵树可以看成是一个特殊的森林。 不一定是 有序树：树中结点的各子树从左至右有次序(最左边的为第一个孩子)。 无序树：树中结点的各子树无次序。 给森林中的各子树加上一个双亲结点，森林就变成了树。
v3
v4
特点：
无向图的邻接矩阵对称，可压缩存储；有n个顶点的无向图 需存储空间为 n(n-1)/2。 有向图邻接矩阵不一定对称；有n个顶点的有向图需存储空 间为n² ，空间复杂度O(n2)，用于稀疏图时空间浪费严重。 无向图中顶点vi的度 TD(vi) 是邻接矩阵中第i行1的个数。 顶点vi的出度是邻接矩阵中第i行1的个数。
11
度：无向图中顶点 v 的度是和 v 相关联的边的数目，记为TD(v)。 v1 v2 v1 v2 v3 v4 v5 v3 v4
入度：有向图中以顶点 v 为终点的弧数目称为 v 的入度，记ID(v)。
出度：有向图中以顶点 v 为起点的弧数目称为 v 的出度，记OD(v)。 度：入度和出度之和，即：TD(v) = ID(v) + OD(v)。 如果顶点 vi 的度为 TD(vi)，则一个有 n 个顶点 e 条边(弧) 1 n 的图，满足如下关系： e TD ( v )
A A B C E
B
H
D J
L
M
I
21
一般树的遍历
1、先根(次序)遍历:
若树不空，则先访问根结点，然后依次先根遍历各棵子树。
2、后根(次序)遍历: 若树不空，则先依次后根遍历各棵子树，然后访问根结点。 3、按层次遍历: 若树不空，则自上而下自左至右访问树中每个结点。 A B C D E 遍历结果： 先根遍历： A B C D E 后根遍历： B D C E A
7
基本术语： 顶点：图中的数据元素。 v1 弧：若 <v, w>∈VR，则 <v, w> 表示从 v 到 w 的 一条弧，且称 v 为弧尾，称 w 为弧头， 此时的图称 v3 为有向图。 G1 = (V1, {A1}) V1 = {v1, v2, v3, v4} v1
G1
v2
v4
有向图
A1 = {< v1, v2>, < v1, v3>, < v3, v4>, < v4, v1>} 边：若 <v, w>∈VR 必有<w, v>∈VR，则以无序
19
二叉树的遍历
目的： 方法： 根结点 左子树 右子树 依次遍历二叉树中的三个组成 得到树中所有结点的一个线性排列。
部分，从而遍历整个二叉树。
假设：L：遍历左子树 D：遍历根结点 R：遍历右子树 则遍历整个二叉树方案共有： DLR、LDR、LRD、DRL、RDL、RLD六种。
20
若规定先左后右，则只有前三种情况： DLR —— 先(根)序遍历 LDR —— 中(根)序遍历 LRD —— 后(根)序遍历 递归的定义
邻接矩阵：设 G = (V, {VR}) 是具有 n 个顶点的图，顶点 的顺序依次为 {v1, v2, …, vn}，则 G 的邻接矩阵是具有如下性 质的 n 阶方阵：
1：若 ( v i , v j ) 或 v i , v j 是 VR 中的边或弧 A i, j 0 ：若 ( v i , v j ) 或 v i , v j 不是 VR 中的边或弧
无向图中顶点 vi 的度为第 i 个单链表中的结点数。
18
v1
G1
v2
邻接表
0 1 2 3 v1 v2 ^ v3 v4 2
逆邻接表 1 ^
0 1 2 3 v1 v2 v3 v4
v3
v4
3 ^ 0 ^ 3 ^ 0 ^ 0 ^ 2 ^ 找出度易，找入度难。 找入度易，找出度难。
特点：
顶点 vi 的出度为第 i 个单链 顶点 vi 的入度为第 i 个单链 表中的结点个数。 表中的结点个数。 顶点 vi 的入度为整个单链表 顶点 vi 的出度为整个单链表 中邻接点域值是i -1的结点 中邻接点域值是i -1的结点 个数。 个数。
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v1
3 v6 1 v5
5
8 7 6 9
v2
v1 4 v3 v2
v3
v4 v5 v6
5 v4
5
8 3
5
4 5
7 5
1
9 6
简单图：没有环且每两个顶点间最多只有一条 边相连的图。
v4
v5
v2
v3
9
v4
稀疏图：含有很少条边或弧的图。 稠密图：含有很多条边或弧的接近完全图的图。 权：与图的边或弧相关的数，这些数可以表示从一个顶点到 另一个顶点的距离或耗费。 网： 带权的图。
V1
7
V2
12
V1
15
V2
10
子图：如果图 G = (V, {E}) 和 G´= (V ´, {E´})，满足： V ´ V 且 E´ E，则称 G´为G 的子图。 v1 v2 v1 v2 v1 v2 v1 v1 v1 v 1 v2 v2
T
T
5
图的定义和基本术语
定义： 图 (Graph) 是一种复杂的非线性数据结构，由顶 点集合及顶点间的关系(也称弧或边)集合组成。可 以表示为： G＝(V, {VR})
其中 V 是顶点的有穷非空集合； VR 是顶点之间关系
的有穷集合，也叫做弧或边集合。弧是顶点的有序对， 边是顶点的无序对。
6
图的意义
无向图中边的取值范围：0≤e≤n(n-1)/2。 (n 表示图中顶点数目， e 表示边的数目，且不 考虑顶点到自身的边)
完全图：有 n(n-1)/2 条边的无向图(即：无向图 中每两个顶点间都存在一条边)称为完全图。
v1
v3
v2
有向图中弧的取值范围：0≤e≤n(n-1)。 (n 表示图中顶点数目， e 表示弧的数目，且不 考虑顶点到自身的弧) 有向完全图：有 n(n-1) 条弧的有向图(即：有向 v1 图中每两个顶点间都存在着方向相反的两条弧)称 为有向完全图。
17
图的存储结构之邻接表(类似于树的孩子链表表示法)
v1 G2 v3 v4
data
v2
v5
firstarc
0 1 2 3 4
v1 v2 v3 v4 v5
3 4 4 2 2
顶点表结点
1 ^ 2 3 0 ^ 1 ^ 边表结点
nextarc
0 ^ 1 ^
adjvex
info
特点：
邻接点域，存放与 vi 邻接的 链域，指示下一条边或弧。 结点在表头数组中的位置。 若无向图中有n个顶点、e条边，则其邻接表需n个顶点表结 点和2e个边表结点。适宜存储稀疏图。
v3
v3 v4 v1 v3 v4 v1 v5 v4 v5 v4 v5
v2
v4
v2
v5 v4
v3
v5
邻接点：若 (v, v´) 是一条边，则称顶点 v 和 v´互为邻接 点， 或称 v 和 v´相邻接；称边 (v, v´) 依附于顶点 v 和 v´，或 称 (v, v´) 与顶点 v 和 v´ 相关联。 若 <v, v´> 是一条弧，则称顶点 v 邻接到 v´，顶点 v´ 邻 接自顶点 v。并称弧 <v, v´> 与顶点 v 和 v´ 相关联。
对 (v, w) 代表这两个有序对，表示 v 和 w 之间的一条 边，此时的图称为无向图。 G2 = (V2, {E2}) V2 = {v1, v2, v3, v4, v5} v4
G2
v2
v3
v5
无向图
8
E2 = {(v1, v2), (v1, v4), (v2, v3), (v2, v5) , (v3, v4), (v3, v5)}
13
v1
v3 v4
v2
v5
连通分量：无向图的极大连通子图；任何连通图的连通 分量只有一个，即其本身；非连通图有多个连通分量(非连通 图的每一个连通部分)。 v1 v3 v2 v1 v3 v2 v1 v3 v2 v4 v1 v3
v2
v4
v1 v3
v2 v4
v4
v5
v4
v5源自文库
强连通图：有向图G中，若对于V(G)中任意两个不同的 顶点vi和vj，都存在从vi到vj以及从vj到vi的路径，则称G是 强连通图。
强连通分量：有向图的极大强连通子图；任何强连通图的 强连通分量只有一个，即其本身；非强连通图有多个强连通分 量。
14
图的存储结构之数组表示法(邻接矩阵表示法)
对于一个具有n个顶点的图，可用两个数组存储。其中一 个一维数组存储数据元素(顶点)的信息，另一个二维数组(图 的邻接矩阵)存储数据元素之间的关系(边或弧)信息。
图搜索基础
1
一、图搜索概论
1 树与图的回顾 树和图的定义、基本术语 图的存储结构 树和图的遍历方法 2 显式图&隐式图 3 图搜索术语&方法分类
二、广度优先搜索 三、深度优先搜索
2
1 树与图的回顾
树型结构(非线性结构) 自然界：树 家谱 例 人类社会 行政组织机构 结点之间有分支 具有层次关系
图是一种限制最少的数据结构。 更接近现实； 实际问题中很多数据关系都可以抽象成图，相关问题则 可利用图的基本算法进行求解，很早就有专门研究图的 是一门数学学科“图论”。 图论中著名算法：求最小生成树的Kruskal算法、求最短 路径的Dijkstra算法和Floyd算法、求二分图最大匹配(指 派问题)的匈牙利算法、求一般图最大匹配的 Edmonds“花”算法、求网络最大流量和最小割集算法等。 其中一些算法在数据结构课程中已经学习过。
国务院 北京市 山东省 „ 西藏自治区 青岛市 济南市 „ 历下区 市中区 „ 威海市 历城区
树的意义？
编译：用树表示源程序的语法结构 计算机领域
数据库系统：用树组织信息 算法分析：用树描述执行过程
3
树的定义和基本术语
定义： 树 (Tree) 是 n (n≥0) 个结点的有限集。若 n = 0，称 为空树；若 n > 0，则它满足如下两个条件： (1) 有且仅有一个特定的称为根 (Root) 的结点； (2) 其余结点可分为 m (m≥0) 个互不相交的有限集 T1, T2, T3, …, Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并称为 根的子树 (SubTree)。
i
终端顶点：有向图中把出度为 0的顶点称为终端顶点。
12
i1
路径：从顶点v到v´的路径是一个顶点序列 (v= vi, 0, vi, 1, …, vi, m=v´)，满足 (vi, j-1, vi, j)VR 或 <vi, j-1, vi, j >VR (1 j m)。 对于有向图，路径也是有向的。 v1 v2 v1 v2 v3 v3 v4 v4 v5 路径长度：路径上边或弧的数目。 回路(环)：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。 简单路径：序列中顶点(两端点除外)不重复出现的路径。 简单回路(简单环)：前后两端点相同的简单路径。 连通：无向图中从顶点v到v´有路径，则说v和v´是连通的。 连通图：无向图中任意两个顶点都是连通的。
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v1
G1
v 1 v2 v3 v4
v2 v 1 0
v2 0 v3 0 v4 v4 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
v1
G2
v3
v1 v2 v3 v4 v 5 v2 v1 v2 v3 v5 v4 v5
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0
有向图中
顶点vi的入度是邻接矩阵中第i列1的个数。
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网的邻接矩阵可定义为：
w ij ：若 ( v i , v j ) 或 v i , v j 是 VR 中的边或弧 A i, j ：若 ( v i , v j ) 或 v i , v j 不是 VR 中的边或弧
树的定义是一个递归的定义。
4
基本术语： 第 1 层
A C
T1
第3层
B
第2层
结点：数据元素+ 指向子树的分支 根结点：非空树中无前驱结点的结点 结点的度：结点拥有的子树数。 度=0 叶子 D 终端结点
度≠0 E F G H I J 分支结点 双亲 非终端 结点 兄弟 孩子 2 根结点以 第4层 K L M 3 外的分支 结点称为 树的度：树内各结点的度的最大值。 树的逻辑结构：树中任一结点都可以有零个或多个直接后继结点 内部结点 森林：是 m (m≥0) 棵互不相交的树的集合。 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点。 堂兄弟 但至多只能有一个直接前趋结点。 结点的子孙：以某结点为根的子树中的任一结点。 双亲在同一层的结点 把根结点删除树就变成了森林。 一定是 树的深度：树中结点的最大层次。 树 森林 一棵树可以看成是一个特殊的森林。 不一定是 有序树：树中结点的各子树从左至右有次序(最左边的为第一个孩子)。 无序树：树中结点的各子树无次序。 给森林中的各子树加上一个双亲结点，森林就变成了树。
v3
v4
特点：
无向图的邻接矩阵对称，可压缩存储；有n个顶点的无向图 需存储空间为 n(n-1)/2。 有向图邻接矩阵不一定对称；有n个顶点的有向图需存储空 间为n² ，空间复杂度O(n2)，用于稀疏图时空间浪费严重。 无向图中顶点vi的度 TD(vi) 是邻接矩阵中第i行1的个数。 顶点vi的出度是邻接矩阵中第i行1的个数。
11
度：无向图中顶点 v 的度是和 v 相关联的边的数目，记为TD(v)。 v1 v2 v1 v2 v3 v4 v5 v3 v4
入度：有向图中以顶点 v 为终点的弧数目称为 v 的入度，记ID(v)。
出度：有向图中以顶点 v 为起点的弧数目称为 v 的出度，记OD(v)。 度：入度和出度之和，即：TD(v) = ID(v) + OD(v)。 如果顶点 vi 的度为 TD(vi)，则一个有 n 个顶点 e 条边(弧) 1 n 的图，满足如下关系： e TD ( v )
A A B C E
B
H
D J
L
M
I
21
一般树的遍历
1、先根(次序)遍历:
若树不空，则先访问根结点，然后依次先根遍历各棵子树。
2、后根(次序)遍历: 若树不空，则先依次后根遍历各棵子树，然后访问根结点。 3、按层次遍历: 若树不空，则自上而下自左至右访问树中每个结点。 A B C D E 遍历结果： 先根遍历： A B C D E 后根遍历： B D C E A
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基本术语： 顶点：图中的数据元素。 v1 弧：若 <v, w>∈VR，则 <v, w> 表示从 v 到 w 的 一条弧，且称 v 为弧尾，称 w 为弧头， 此时的图称 v3 为有向图。 G1 = (V1, {A1}) V1 = {v1, v2, v3, v4} v1
G1
v2
v4
有向图
A1 = {< v1, v2>, < v1, v3>, < v3, v4>, < v4, v1>} 边：若 <v, w>∈VR 必有<w, v>∈VR，则以无序
19
二叉树的遍历
目的： 方法： 根结点 左子树 右子树 依次遍历二叉树中的三个组成 得到树中所有结点的一个线性排列。
部分，从而遍历整个二叉树。
假设：L：遍历左子树 D：遍历根结点 R：遍历右子树 则遍历整个二叉树方案共有： DLR、LDR、LRD、DRL、RDL、RLD六种。
20
若规定先左后右，则只有前三种情况： DLR —— 先(根)序遍历 LDR —— 中(根)序遍历 LRD —— 后(根)序遍历 递归的定义
邻接矩阵：设 G = (V, {VR}) 是具有 n 个顶点的图，顶点 的顺序依次为 {v1, v2, …, vn}，则 G 的邻接矩阵是具有如下性 质的 n 阶方阵：
1：若 ( v i , v j ) 或 v i , v j 是 VR 中的边或弧 A i, j 0 ：若 ( v i , v j ) 或 v i , v j 不是 VR 中的边或弧
无向图中顶点 vi 的度为第 i 个单链表中的结点数。
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v1
G1
v2
邻接表
0 1 2 3 v1 v2 ^ v3 v4 2
逆邻接表 1 ^
0 1 2 3 v1 v2 v3 v4
v3
v4
3 ^ 0 ^ 3 ^ 0 ^ 0 ^ 2 ^ 找出度易，找入度难。 找入度易，找出度难。
特点：
顶点 vi 的出度为第 i 个单链 顶点 vi 的入度为第 i 个单链 表中的结点个数。 表中的结点个数。 顶点 vi 的入度为整个单链表 顶点 vi 的出度为整个单链表 中邻接点域值是i -1的结点 中邻接点域值是i -1的结点 个数。 个数。
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v1
3 v6 1 v5
5
8 7 6 9
v2
v1 4 v3 v2
v3
v4 v5 v6
5 v4
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8 3
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简单图：没有环且每两个顶点间最多只有一条 边相连的图。
v4
v5
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v4
稀疏图：含有很少条边或弧的图。 稠密图：含有很多条边或弧的接近完全图的图。 权：与图的边或弧相关的数，这些数可以表示从一个顶点到 另一个顶点的距离或耗费。 网： 带权的图。
V1
7
V2
12
V1
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V2
10
子图：如果图 G = (V, {E}) 和 G´= (V ´, {E´})，满足： V ´ V 且 E´ E，则称 G´为G 的子图。 v1 v2 v1 v2 v1 v2 v1 v1 v1 v 1 v2 v2
T
T
5
图的定义和基本术语
定义： 图 (Graph) 是一种复杂的非线性数据结构，由顶 点集合及顶点间的关系(也称弧或边)集合组成。可 以表示为： G＝(V, {VR})
其中 V 是顶点的有穷非空集合； VR 是顶点之间关系
的有穷集合，也叫做弧或边集合。弧是顶点的有序对， 边是顶点的无序对。
6
图的意义
无向图中边的取值范围：0≤e≤n(n-1)/2。 (n 表示图中顶点数目， e 表示边的数目，且不 考虑顶点到自身的边)
完全图：有 n(n-1)/2 条边的无向图(即：无向图 中每两个顶点间都存在一条边)称为完全图。
v1
v3
v2
有向图中弧的取值范围：0≤e≤n(n-1)。 (n 表示图中顶点数目， e 表示弧的数目，且不 考虑顶点到自身的弧) 有向完全图：有 n(n-1) 条弧的有向图(即：有向 v1 图中每两个顶点间都存在着方向相反的两条弧)称 为有向完全图。
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图的存储结构之邻接表(类似于树的孩子链表表示法)
v1 G2 v3 v4
data
v2
v5
firstarc
0 1 2 3 4
v1 v2 v3 v4 v5
3 4 4 2 2
顶点表结点
1 ^ 2 3 0 ^ 1 ^ 边表结点
nextarc
0 ^ 1 ^
adjvex
info
特点：
邻接点域，存放与 vi 邻接的 链域，指示下一条边或弧。 结点在表头数组中的位置。 若无向图中有n个顶点、e条边，则其邻接表需n个顶点表结 点和2e个边表结点。适宜存储稀疏图。
v3
v3 v4 v1 v3 v4 v1 v5 v4 v5 v4 v5
v2
v4
v2
v5 v4
v3
v5
邻接点：若 (v, v´) 是一条边，则称顶点 v 和 v´互为邻接 点， 或称 v 和 v´相邻接；称边 (v, v´) 依附于顶点 v 和 v´，或 称 (v, v´) 与顶点 v 和 v´ 相关联。 若 <v, v´> 是一条弧，则称顶点 v 邻接到 v´，顶点 v´ 邻 接自顶点 v。并称弧 <v, v´> 与顶点 v 和 v´ 相关联。
对 (v, w) 代表这两个有序对，表示 v 和 w 之间的一条 边，此时的图称为无向图。 G2 = (V2, {E2}) V2 = {v1, v2, v3, v4, v5} v4
G2
v2
v3
v5
无向图
8
E2 = {(v1, v2), (v1, v4), (v2, v3), (v2, v5) , (v3, v4), (v3, v5)}
13
v1
v3 v4
v2
v5
连通分量：无向图的极大连通子图；任何连通图的连通 分量只有一个，即其本身；非连通图有多个连通分量(非连通 图的每一个连通部分)。 v1 v3 v2 v1 v3 v2 v1 v3 v2 v4 v1 v3
v2
v4
v1 v3
v2 v4
v4
v5
v4
v5源自文库
强连通图：有向图G中，若对于V(G)中任意两个不同的 顶点vi和vj，都存在从vi到vj以及从vj到vi的路径，则称G是 强连通图。
强连通分量：有向图的极大强连通子图；任何强连通图的 强连通分量只有一个，即其本身；非强连通图有多个强连通分 量。
14
图的存储结构之数组表示法(邻接矩阵表示法)
对于一个具有n个顶点的图，可用两个数组存储。其中一 个一维数组存储数据元素(顶点)的信息，另一个二维数组(图 的邻接矩阵)存储数据元素之间的关系(边或弧)信息。
图搜索基础
1
一、图搜索概论
1 树与图的回顾 树和图的定义、基本术语 图的存储结构 树和图的遍历方法 2 显式图&隐式图 3 图搜索术语&方法分类
二、广度优先搜索 三、深度优先搜索
2
1 树与图的回顾
树型结构(非线性结构) 自然界：树 家谱 例 人类社会 行政组织机构 结点之间有分支 具有层次关系
图是一种限制最少的数据结构。 更接近现实； 实际问题中很多数据关系都可以抽象成图，相关问题则 可利用图的基本算法进行求解，很早就有专门研究图的 是一门数学学科“图论”。 图论中著名算法：求最小生成树的Kruskal算法、求最短 路径的Dijkstra算法和Floyd算法、求二分图最大匹配(指 派问题)的匈牙利算法、求一般图最大匹配的 Edmonds“花”算法、求网络最大流量和最小割集算法等。 其中一些算法在数据结构课程中已经学习过。
国务院 北京市 山东省 „ 西藏自治区 青岛市 济南市 „ 历下区 市中区 „ 威海市 历城区
树的意义？
编译：用树表示源程序的语法结构 计算机领域
数据库系统：用树组织信息 算法分析：用树描述执行过程
3
树的定义和基本术语
定义： 树 (Tree) 是 n (n≥0) 个结点的有限集。若 n = 0，称 为空树；若 n > 0，则它满足如下两个条件： (1) 有且仅有一个特定的称为根 (Root) 的结点； (2) 其余结点可分为 m (m≥0) 个互不相交的有限集 T1, T2, T3, …, Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并称为 根的子树 (SubTree)。