关于一个猜想的证明
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即 １
１＋ １
．
故ｄｒ ＿ 貉糍 一 一
以 ｂｋ － ２ ｂ 一６ ０ － ａ 。
盘
（ｉ 必 要性 ． ｉ ） 设 Ａ（ ，） 直 斜 率 为 志 是 ０ ，ａ ： ｏ６ ， （＞ ） ｌ Ｙ ｂ ＝ｋ ＋６ 由 ＡＢ与 圆相切 ， ｘ ， 得
ｋ２ ｂ ２
． 一
等 和 子 弦 所 在 直 线 分 别 过 定 点
２ 号 棚点倾角 点蓉 ， 一蜂姚 的斜 点定 顶点定值倾斜角等和子弦所 錾 蒙 墨 ， 个别情况下
，（ ｏ ） ＇ ， 。 ） ； 铷
．
（ 一
碱髓・
（ 收稿日 ０２ ５１ 期 ２１ ０— ） — ２
３ 詈 ７ 誓时 左 右 ［ 质Ｊ数邢 辉，０ １（Ｏ（ 定 子 的 ） ≠ ， ｃ ≠ ， 、 顶 越 ， ・锥 线 点 值．弦 性 当 ≠且 ］夏 ］ 学通讯 圆 曲 顶 Ｅ ２１ ，１）下半月） 春
２ ｂ Ｉ， ａ０ ｋ
Ｙ一 丽 Ｂ
同理
十Ｄ 。
ｃ。ｎ。０ ２＋） ｌ 点６ 正。． （ 。， 口０６ ’ ６ ＋ ＋ ’ ／
故ｌｙ 车箸 ６ Ｂ一 学 ＋ ｃ ． 一
则圆心到 的距离为：
—
（） ＜． ｏ
实际价值 ， 是对 教 师来 说 ， 一 些特 殊 的可 但 对
得
（ 。 。 。 。 ２ 。 ｋ ６ ＋ｎ ｋ ） ＋ ａ ｂ ｘ＝ ０ ，
２ ｂ ａＺ ｋ
“
＼ 、
＝
／
１
广
ｚＢ ｂ ＿ ａ ｋ ’ ＝ ｚ｛ Ｚ ｚ ＿
代人 ：一愚 ＋６得 ，
－
２ ０ ｋ ｌｌ ａｂ
如一 丽
同理
先 引入一 个定理 ：
十Ｄ ・
代入 ｌ ： ＝ｋ ＋ｂ 得 ａ ｙ ｘ ， ｂ
一
由（ｉ ， ｉ 可知 ， Ａ在短轴顶点处 ） （ｉ ） 点 满足 ． 又由彭色列闭型定理可知 ： 存在特殊的 ＡＡ Ｃ满足此猜测 ， Ｂ 则必定存在任意多个这 样的ＡＡ Ｃ满 足此猜测 ， Ｂ 即点 Ａ在椭 圆的
任 意处 均满 足 ， 测证毕 ． 猜 说 明 本 问题对 高 中学 生来 说并 不具 备
得 （ ＋ｒ （ ２ 。。 ａ ｂ） ， ６ ）６ ｒ一ｎ ｂ 一日 ｒ ＋２ 。ｒ 一Ｏ
如 图 ２ Ａ（ ， ， 线 斜 率 为 ｋ 是 ， ０ ）直 （ ＞
Ｏ ， ： ＝ｋ ＋６ 由 ＡＢ与 圆相切 ， ） ｙ ｘ ， 得
是ｚ ： 一 １ ．
（＋ｒ［。 ６ ）６ 一ｎ（一ｒ。 一Ｏ ）］ ，
（ ６ ＋ｎ ｋ ） ｎ ６ 。 ０ （ ＋ ）
记分 子为 （ 式 ， ＊） 代人 （ ） ２ 式得
（）ｎ 一）２３ ＊一 （ １ 口— ｂ 一 ｂ
（） ２
：
１ ＿
－
专［ ｂ－（ ＋２ｂ＋ 口 ａ 。 ａ。 ６） ｂ ］
联且ｌ ｔ
６
ｙ ｋ ＝ ｘ
ｚ 。
４ ， － ｂ
“
＞６ ） 的点 Ａ 向圆 Ｃ ： ＋ 一 （＞ｒ ＞０上 。 。 ６ ＞０ 引两条切 线 ＡＢ， 交椭 圆 Ｃ 于点 Ｂ， ） ＡＣ，
ｃ 则直线 Ｂ ， Ｃ是 圆Ｃ 的切线的充要条件是 ｚ
１
＝
图 ２
１
十
１
．
ｒ
ａ
ｆ ，
／
—
／
联｛ 立
所 以
．— —
所 以
（＋ｒ［ ６ ） 一ｎ ６ ） ［ｒ （一ｒ］ （一ｒ］６＋ａ６ ）
一 Ｏ．
第 ３ 卷第 １ １ Ｏ期
２１ ０ ２年 １ Ｏ月
数学教 学研究
４ ５
凶 此
ｒ 一
十 ｎ Ｄ
ｎ ， Ｔ ０
ｒ ｊｒ （为 ＞ 舍 ， 一 或 ＝ Ｉ刀 ／ 管 ’ ＝ 因 ＞ ） 一 凶 ＝ Ｄ ６Ｊ
４ ４
数学教学研究
第３ １卷第 １ Ｏ期
２ １ 年 １ 月 ０２ Ｏ
关 于一个 猜 想 的证 明
沈 恒
（ 浙江省湖州市第二 中学 ３３ ０ ） １０ ０
这 是甘志 国老师 提 出的关 于一个 圆锥 曲 线 的猜测 ：
一
２
．２ ．
猜测
如 图 １ 过椭 圆 Ｃ ： ＋ 一１ ｎ ， ｌ （
彭 色 列 闭型 定 理 给 定 两 个 圆锥 曲线
Ｃ ２ ／ Ｚ Ｉ ａｂ － ２ ｋ
故 ｌ ：一 Ｂｙ ｃ
＼ ｎ。２口。６ ６ ， ０＋） 。 ｋｂ ｋ’． ＋ ’ ＋
Ａ， 并且 Ａ在 Ｂ 中， Ｂ， 若存在一个多边形既 外切于 Ａ又 内接于 Ｂ， 那么一定存在任意多
以给出具体数据椭圆， 还是可以编制一些问题 使学生证明， 给编题者带来一些思路的开拓．
（ 稿 日期 ：ｏ ２０ —５ 收 ２ １— ７ ２ ）
Ｉ
ｚ轴 ；
Ｉ ＝
，
子 弦垂直 于
子 弦
’ 左 顶点 盼倾 斜角 等和
２ｂ ２ ａ ／ 艘 ａ ｎ （ 十 ）／ 一 。 … 。 …
个这样 的多边 形 既外 切 于 Ａ 又 内接于 Ｂ． 说明 对 猜 测 只要 证 明 ， 在 一 种 特 殊 存
情形满 足直 线 Ｂ Ｃ与 圆 相 切 ， 由彭 色 列 闭 型
由于直线 Ｂ Ｃ与圆相切 ， 则
：， ３ ｖ ： 十 扫 一 ， ＋ 易 一 ｒ 一 ，
定理 可 知， 必 定 存 在 任 意 多 个 这 样 的 则 ＡＡ Ｃ 即点 Ａ在椭圆 ｃ 的任意处 ， Ｂ ， 均存在
ｖ
＋口
￣ ａｂ Ｚ ２，
得
＝
（ 。 ａ ｋ ） 。 ２ 。 ＝ ０， ６ ＋ 。 。 Ｉ ＋ ａ 志 ＝ ｚ ＝
『４ ２ ｂ 。 ａ－ａ ａ ２ ］ Ｚｂ２ ｂ ｂ２＋ ＋ （ ｃ ）
ｒ
所 以
一
一 （ ｚ ｎ ｂ ） ０ ｎ ｂ — 。４ ： ．
２ ６ ａ。 忌
ｚ — ｂ ｑ ａ ｋ‘ Ｂ ｚ ＿ ２ ： ’
直线 ＢＣ与 圆相 切．
并代人 （ ） ， １式 整理 得
６ ＋ ， － ａ ｂ － ａ 户 ＋ ｎ ６ 。 以 ｂ ｒ 。 。 。 。ｒ＋ 。
— Ｏ．
易得
６ （＋ｒ一日（。 ６ ） 。６＋ ） ＋
一 ０，
（＋ｒ ６ ）
下证点 Ａ在短轴顶点处的特殊情形 ：
证明 （ｊ 充分性 ． ）
１＋ １
．
故ｄｒ ＿ 貉糍 一 一
以 ｂｋ － ２ ｂ 一６ ０ － ａ 。
盘
（ｉ 必 要性 ． ｉ ） 设 Ａ（ ，） 直 斜 率 为 志 是 ０ ，ａ ： ｏ６ ， （＞ ） ｌ Ｙ ｂ ＝ｋ ＋６ 由 ＡＢ与 圆相切 ， ｘ ， 得
ｋ２ ｂ ２
． 一
等 和 子 弦 所 在 直 线 分 别 过 定 点
２ 号 棚点倾角 点蓉 ， 一蜂姚 的斜 点定 顶点定值倾斜角等和子弦所 錾 蒙 墨 ， 个别情况下
，（ ｏ ） ＇ ， 。 ） ； 铷
．
（ 一
碱髓・
（ 收稿日 ０２ ５１ 期 ２１ ０— ） — ２
３ 詈 ７ 誓时 左 右 ［ 质Ｊ数邢 辉，０ １（Ｏ（ 定 子 的 ） ≠ ， ｃ ≠ ， 、 顶 越 ， ・锥 线 点 值．弦 性 当 ≠且 ］夏 ］ 学通讯 圆 曲 顶 Ｅ ２１ ，１）下半月） 春
２ ｂ Ｉ， ａ０ ｋ
Ｙ一 丽 Ｂ
同理
十Ｄ 。
ｃ。ｎ。０ ２＋） ｌ 点６ 正。． （ 。， 口０６ ’ ６ ＋ ＋ ’ ／
故ｌｙ 车箸 ６ Ｂ一 学 ＋ ｃ ． 一
则圆心到 的距离为：
—
（） ＜． ｏ
实际价值 ， 是对 教 师来 说 ， 一 些特 殊 的可 但 对
得
（ 。 。 。 。 ２ 。 ｋ ６ ＋ｎ ｋ ） ＋ ａ ｂ ｘ＝ ０ ，
２ ｂ ａＺ ｋ
“
＼ 、
＝
／
１
广
ｚＢ ｂ ＿ ａ ｋ ’ ＝ ｚ｛ Ｚ ｚ ＿
代人 ：一愚 ＋６得 ，
－
２ ０ ｋ ｌｌ ａｂ
如一 丽
同理
先 引入一 个定理 ：
十Ｄ ・
代入 ｌ ： ＝ｋ ＋ｂ 得 ａ ｙ ｘ ， ｂ
一
由（ｉ ， ｉ 可知 ， Ａ在短轴顶点处 ） （ｉ ） 点 满足 ． 又由彭色列闭型定理可知 ： 存在特殊的 ＡＡ Ｃ满足此猜测 ， Ｂ 则必定存在任意多个这 样的ＡＡ Ｃ满 足此猜测 ， Ｂ 即点 Ａ在椭 圆的
任 意处 均满 足 ， 测证毕 ． 猜 说 明 本 问题对 高 中学 生来 说并 不具 备
得 （ ＋ｒ （ ２ 。。 ａ ｂ） ， ６ ）６ ｒ一ｎ ｂ 一日 ｒ ＋２ 。ｒ 一Ｏ
如 图 ２ Ａ（ ， ， 线 斜 率 为 ｋ 是 ， ０ ）直 （ ＞
Ｏ ， ： ＝ｋ ＋６ 由 ＡＢ与 圆相切 ， ） ｙ ｘ ， 得
是ｚ ： 一 １ ．
（＋ｒ［。 ６ ）６ 一ｎ（一ｒ。 一Ｏ ）］ ，
（ ６ ＋ｎ ｋ ） ｎ ６ 。 ０ （ ＋ ）
记分 子为 （ 式 ， ＊） 代人 （ ） ２ 式得
（）ｎ 一）２３ ＊一 （ １ 口— ｂ 一 ｂ
（） ２
：
１ ＿
－
专［ ｂ－（ ＋２ｂ＋ 口 ａ 。 ａ。 ６） ｂ ］
联且ｌ ｔ
６
ｙ ｋ ＝ ｘ
ｚ 。
４ ， － ｂ
“
＞６ ） 的点 Ａ 向圆 Ｃ ： ＋ 一 （＞ｒ ＞０上 。 。 ６ ＞０ 引两条切 线 ＡＢ， 交椭 圆 Ｃ 于点 Ｂ， ） ＡＣ，
ｃ 则直线 Ｂ ， Ｃ是 圆Ｃ 的切线的充要条件是 ｚ
１
＝
图 ２
１
十
１
．
ｒ
ａ
ｆ ，
／
—
／
联｛ 立
所 以
．— —
所 以
（＋ｒ［ ６ ） 一ｎ ６ ） ［ｒ （一ｒ］ （一ｒ］６＋ａ６ ）
一 Ｏ．
第 ３ 卷第 １ １ Ｏ期
２１ ０ ２年 １ Ｏ月
数学教 学研究
４ ５
凶 此
ｒ 一
十 ｎ Ｄ
ｎ ， Ｔ ０
ｒ ｊｒ （为 ＞ 舍 ， 一 或 ＝ Ｉ刀 ／ 管 ’ ＝ 因 ＞ ） 一 凶 ＝ Ｄ ６Ｊ
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数学教学研究
第３ １卷第 １ Ｏ期
２ １ 年 １ 月 ０２ Ｏ
关 于一个 猜 想 的证 明
沈 恒
（ 浙江省湖州市第二 中学 ３３ ０ ） １０ ０
这 是甘志 国老师 提 出的关 于一个 圆锥 曲 线 的猜测 ：
一
２
．２ ．
猜测
如 图 １ 过椭 圆 Ｃ ： ＋ 一１ ｎ ， ｌ （
彭 色 列 闭型 定 理 给 定 两 个 圆锥 曲线
Ｃ ２ ／ Ｚ Ｉ ａｂ － ２ ｋ
故 ｌ ：一 Ｂｙ ｃ
＼ ｎ。２口。６ ６ ， ０＋） 。 ｋｂ ｋ’． ＋ ’ ＋
Ａ， 并且 Ａ在 Ｂ 中， Ｂ， 若存在一个多边形既 外切于 Ａ又 内接于 Ｂ， 那么一定存在任意多
以给出具体数据椭圆， 还是可以编制一些问题 使学生证明， 给编题者带来一些思路的开拓．
（ 稿 日期 ：ｏ ２０ —５ 收 ２ １— ７ ２ ）
Ｉ
ｚ轴 ；
Ｉ ＝
，
子 弦垂直 于
子 弦
’ 左 顶点 盼倾 斜角 等和
２ｂ ２ ａ ／ 艘 ａ ｎ （ 十 ）／ 一 。 … 。 …
个这样 的多边 形 既外 切 于 Ａ 又 内接于 Ｂ． 说明 对 猜 测 只要 证 明 ， 在 一 种 特 殊 存
情形满 足直 线 Ｂ Ｃ与 圆 相 切 ， 由彭 色 列 闭 型
由于直线 Ｂ Ｃ与圆相切 ， 则
：， ３ ｖ ： 十 扫 一 ， ＋ 易 一 ｒ 一 ，
定理 可 知， 必 定 存 在 任 意 多 个 这 样 的 则 ＡＡ Ｃ 即点 Ａ在椭圆 ｃ 的任意处 ， Ｂ ， 均存在
ｖ
＋口
￣ ａｂ Ｚ ２，
得
＝
（ 。 ａ ｋ ） 。 ２ 。 ＝ ０， ６ ＋ 。 。 Ｉ ＋ ａ 志 ＝ ｚ ＝
『４ ２ ｂ 。 ａ－ａ ａ ２ ］ Ｚｂ２ ｂ ｂ２＋ ＋ （ ｃ ）
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所 以
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２ ６ ａ。 忌
ｚ — ｂ ｑ ａ ｋ‘ Ｂ ｚ ＿ ２ ： ’
直线 ＢＣ与 圆相 切．
并代人 （ ） ， １式 整理 得
６ ＋ ， － ａ ｂ － ａ 户 ＋ ｎ ６ 。 以 ｂ ｒ 。 。 。 。ｒ＋ 。
— Ｏ．
易得
６ （＋ｒ一日（。 ６ ） 。６＋ ） ＋
一 ０，
（＋ｒ ６ ）
下证点 Ａ在短轴顶点处的特殊情形 ：
证明 （ｊ 充分性 ． ）