关于三阶线性微分方程的一个求解公式
三阶常系数线性非齐次微分方程通解的降阶法
三阶常系数线性非齐次微分方程通解的降阶法降阶法是高阶线性微分方程的一种解法，它可以解决三阶常系数非齐次微分方程。
下面我们来分析一下它是如何解决三阶常系数非齐次微分方程的。
1. 定义降阶法降阶法是一种用于解决三阶常系数非齐次微分方程的算法，它将三阶常系数非齐次微分方程转化为一组互相关的线性一阶方程组。
2. 三阶常系数非齐次微分方程三阶常系数非齐次微分方程是在三阶线性常系数微分方程的基础上，涉及右端非齐次项，则称为三阶常系数非齐次微分方程，它的一般形式为：$$y^{'''}+a_2y''+a_1y'+a_0y=g(x)$$3. 降阶法的基本思想降阶法的基本思想是将三阶general equation降低到一组互相关的线性一阶方程组，通过求解这个方程组来解决三阶general equation，换言之，就是将三阶微分方程转化为三个一阶微分方程。
4. 降阶法的具体步骤（1）令$u_1=y$ 、$u_2=y'$和$u_3=y''$ ，引入三个新变量。
（2）将三阶常系数非齐次微分方程变换为三个一阶微分方程：$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad u_1'=u_2$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad u_2'=u_3$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad u_3'=g(x)-a_2u_2-a_1u_1-a_0u_0$（3）解上述方程组，即可求得三阶常系数非齐次微分方程原方程的通解。
5. 降阶法的优缺点（1）优点：相比于其他解法，降阶法计算量较小，易于推导和实现。
（2）缺点：当微分方程非常复杂时，降阶法可能会出现运算失真或者不稳定的现象，影响最终结果的准确性。
一类三阶线性非齐次微分方程的通解公式
个解 y1 ≠ 0 的情况下，利用降阶和常数变易法能求出其通 解公式 [4]。本文对其进行研究，最后验证结论的有效性。
令 t(x)=y''+a(x)y'+z(x)y
（2）
则上式可化简为 t'(x)+ar(x()At2()x)==r f((Ax))⇒ r(A) = r(A2) = r(A3) =
∫ 1
将（3）代入（2）得 y''+a(x)y'+z(x)y
∫ y1 ≠ 0是 y''+a(x)y'+z(x)y=0的一个特解，则= y三′′ +阶a线(x性) y′ + z(x) y = e∫−a(x)dx[ = f (x)e∫a(x)dxdx + c1] f *(x)
非齐次微分方程（1）的通解公式为：
*基金项目：江苏省高等学校自然科学基金项目“宿迁林业有害生物的建模防控研究”（项目编号：18KJB180027）；宿迁市产业发展 引导资金（科技创新专项）“生物数学在宿迁有害生物防控上的应用”（项目编号：S201818）研究成果。
—7—
Copyright©博看网 . All Rights Reserved.
的一个特解为 y1 ≠ 0，令 y =y1u是（5）的与 y1 线性
c3′(x) y1 + c2′(x)z1 = 0 c3′(x) y1′ + c2′(x)z1′ = f *(x) 确定，且
∫ = f * (x) e∫−a(x)dx[ f (x)e∫a(x)dxdx + c1] 。
无关的特解，则 y = y 1u，y ' = y 1u' + y 1' u，将 y ' ' = y 1u' ' +
三阶常系数线性非齐次微分方程的常数变易解法
若 方程（ ７ ） 对应 的齐次方程 有复特征根 知， 方程（ ７ ） 有特 解
， 则 由文 献【 ４ 】 可
＝ ｅ － ， （ ） ．
是方程（ ４ ） 化成 Ｃ （ ） ＝ ： ｅ ， （ ） ，
（ ４ ）
（ ２ ５ ＋ 】 ｍｌ ｈ
（ｉ）若实根 ａ是三重 特征根 ， 则Ｐ （ ） － Ｐ （ ￣ ） － － ｏ。 于
Ｄ （ ）
ｉ ｒ 恤ｌ 【 — Ｆ 一・
ｓ ｉ ｎ｜ Ｅ
ｆ 。
于是
） ｓ ｉ
，
，
， ． （ 撕 ３ 口 ｋ
（ ９ ）
积 分三 次， 即 得到ｃ （ ） ＝ Ｉ ｛ ｌ 【 Ｉ ｅ － － ｙ （ ） 出 】 ｌ ． 从而 方程
（ １ ） 的特解 为
三阶常 系数 线性非齐次微分方程 的常数变 易解法
胡 爱 莲
（ 喀什师范学院 数学系 ， 新疆 喀什 ８ ４ ４ ０ ０ ８ ）
摘 要： 将常数变 易法 应用 于三阶常系数线性非齐次微分方 程 ， 对一般 非齐次 自由项形式 ， 给 出了方 程的特解 公式 ， 进 而求得 了通解 ． 关键词 ： 常数变易法 ； 三阶常 系数线性非 齐次微分方程 ； 通解 ； 特解
ｙ ＝ ｅ ａ Ｉ ｆ ｛ ｆ ［ ｅ －
，
ｆ ‘
一
） 出 】 也 ｝ 出 ．
（ ８ ）
数变易法， 可设方程（ １ ） 有特解 ｙ ＝ ｃ （ ） ， 代人（ １ ） 得：
Ｃ 肿 （ ） ＋ （ ３ ａ ＋ 口 １ ）Ｃ （ ） ＋ （ ３ ０ ｌ ａ ＋ ａ ａ ） Ｃ （ ）
系数 法求得 （ １ ） 的特 解． 但 当方 程（ Ｉ ） 的非 齐次项是 其他 函
几类三阶常微分方程的通解公式【开题报告】
毕业论文开题报告数学与应用数学几类三阶常微分方程的通解公式一、选题的背景、意义常微分方程是指包含一个自变量和它的未知函数以及未知函数的微分的等式。
微分方程差不多是和微积分同时产生的，它的形成和发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关。
20世纪30年代中期法国数学家勒雷和绍尔建立了LeraySchauder度理论[1]。
他们的方法用于研究线性微分、积分、泛函数方程时，取得了巨大成功。
常微分方程在很多学科领域内有着重要的作用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等等，这些问题都可以归结为高阶微分方程的模型[1，2]，或者化为研究解的性质的问题。
很多物理与技术问题都可以化归为微分方程的求解问题。
牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。
后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。
这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。
微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，就会有解方程的方法[3-5]。
微分方程也就成了最有生命力的数学分支。
常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置。
有关三阶常微分方程的求解研究已经取得了较为丰富的结果，下面对研究三阶常微分方程的通解详见文献[6-10]。
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题本文主要是对三阶常微分方程通解的研究，具体研究的基本内容与拟解决的主要问题如下：问题1 如果已知三阶线性微分方程()()()()+++=y P x y Q x y R x y f x''''''的一个预解函数()1G x x=和一组预解常数a b c 、、，那么又该如何得到它的通解？ 问题2 对于一般三阶变系数非齐线性微分方程123'''()()''()()'()()()()X t a t X t a t X t a t X t f t +++= 当系数满足2'2111()()()3a t a t a t =+，3'''31111111()()()()()2733a t a t a t a t a t =++时，该方程的通解又会是什么？问题3 考虑一类三阶变系数的常微分方程0)()()(=+'+''+'''y x k y x q y x p y （1） 其中()p x 为R 上的二阶连续可微函数，()q x 与()k x 为R 上的连续函数。
方程x3＋px＋q=0唯一一个实根的求解公式
方程x3＋px＋q=0唯一一个实根的求解公式
庞勇
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】2003(000)008
【摘要】有位从事工程桥梁设计的朋友,向笔者提及他在工程桥梁设计中常常遇到三次方程x^3+px+q=0有唯一一个实根时,如何快捷求得的问题,笔者就此问题,用复数方法推导出实根的公式。
【总页数】1页(P11)
【作者】庞勇
【作者单位】广东茂名市第十中学525000
【正文语种】中文
【中图分类】G633.603
【相关文献】
1.一个求解非线性方程的√2+1阶的迭代公式 [J], 刘长安
2.关于三阶线性微分方程的一个求解公式 [J], 赵奎奇
3.求解高次实系数代数方程实根的近似公式法 [J], 曾昌禄
4.五元一次不定方程的一个求解公式 [J], 高丽;齐琼
5.n阶线性微分方程和线性方程组边值问题的一个求解公式 [J], 徐沈新
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
拉普拉斯变换微分定理三阶
拉普拉斯变换微分定理三阶（最新版）目录1.拉普拉斯变换的定义与性质2.微分定理的概念与应用3.三阶拉普拉斯变换微分定理的求解方法4.总结与展望正文一、拉普拉斯变换的定义与性质拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将一个函数从一个域（如时域）转换到另一个域（如频域）。
拉普拉斯变换的基本公式为：L{f(t)} = F(s) = ∫[e^(-st) * f(t)]dt，其中 s 为复变量，t 为自变量。
拉普拉斯变换具有以下性质：1.时域的线性变换：如果 f(t) 和 g(t) 是时域的函数，那么 L{f(t) + g(t)} = L{f(t)} + L{g(t)}。
2.时域的微分：如果 f(t) 是时域的函数，那么 L{f"(t)} = s * F(s) - f(0)。
3.时域的积分：如果 f(t) 是时域的函数，那么 L{∫f(τ)dτ} = F(s) / s。
二、微分定理的概念与应用微分定理是拉普拉斯变换中的一个重要定理，它表示拉普拉斯变换和微分运算之间的关系。
微分定理的公式为：L{f"(t)} = s * F(s) - f(0)。
微分定理在求解微分方程、优化控制问题、信号处理等领域具有广泛的应用。
三、三阶拉普拉斯变换微分定理的求解方法对于三阶拉普拉斯变换微分定理，其求解方法较为复杂。
一般采用部分分式分解法，将三阶微分方程转化为一阶微分方程，然后通过求解一阶微分方程得到三阶微分方程的解。
四、总结与展望拉普拉斯变换微分定理是信号与系统、自动控制等领域的重要工具，对于解决实际问题具有重要意义。
三阶拉普拉斯变换微分定理作为其中的一种，其求解方法的研究有助于提高解决实际问题的能力。
三阶非齐次常系数微分方程解的表达式
教学单位学生学号本科毕业论文（设计）题目学生姓名专业名称指导教师年月日三阶非齐次常系数线性微分方程解的表达式胡青（111114110）（湖北工程学院数学与统计学院湖北孝感 432000）摘要：利用常数变易法求解二阶常系数非齐次线性微分方程，这种方法被许多作者研究过。
本文利用常数变易法求出了三阶非齐次常系数微分方程解的表达式，利用解的表达式，可以很方便地求出三阶非齐次常系数微分方程的解。
关键词：常数变易法；三阶；非齐次；常系数微分方程；解的表达式The Solution of third-order Non-homogeneous Ordinary Differential Equation with Constant C oefficientHuQing (111114110)(Hubei Engineering College, Xiaogan, Hubei, 432000)Abstract:Uses the method of constant variation to second-order constant coefficient non-homogeneous linear differential equation, this method by many authors studied. In this paper, the constant variation method is used to derive the third order nonhomogeneous the expressions of the constant coefficient differential equations, using the expression of the solution can be easily calculated third-order differential equation with constant .Key words:constant variation method; The third order. Non-homogeneous; Constant coefficient differential equations; Expression of solution1. 预备知识定义1.1：方程0...)(111=++++≡--n n n n a a a F λλλλ称为常系数齐次线性方程0...)1(1)2(2)1(1)(=+++++---x a y a y a y a y n n n n n 的特征方程。
几类三阶常微分方程的通解公式【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学几类三阶常微分方程的通解公式一、前言部分数学分析中研究了变量的各种函数及函数的微分与积分。
如函数未知，但知道变量与函数的代数关系式，便组成代数方程，通过求解代数方程解出未知函数。
同样，如果知道自变量、未知函数及函数的导数组成的关系式，得到的便是微分方程。
如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程。
常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置。
塞蒙斯(Simmons)曾如此评价微分方程在数学中的地位：“300年来分析是数学里首要的分支，而微分方程又是分析的心脏．这是初等微积分的天然后继课，又是为了解物理科学的一门最重要的数学，而且在它所产生的较深的问题中，它又是高等分析里大部分思想和理论的根源．”很多物理与技术问题可以化归为常微分方程的求解问题，如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，而上述这些问题都可以化为求常微分方程的解，因此，学好微分方程的求解相当重要．微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。
微分方程也就成了最有生命力的数学分支。
又因为许多力学，电学与生物化学的模型都可以归结为高阶微分方程的模型(见文献[1，2])，因此探求高阶微分方程的求解是一项既有实际意义又有理论意义的工作。
二、主题部分有关三阶常微分方程的求解研究已经取得了较为丰富的结果，许多数学家早已经对这个课题展开过讨论，并做了很多相关的课题研究和论文。
现将已有文献的研究结果综述如下：文献[2]中讲述线性微分方程的基本理论和常微分方程的解法，也简单介绍某些高阶微分的降阶方法。
关于线性微分方程的解法，作者介绍了五种较常用的方法：（1）求常系数齐次线性微分方程的基本解组的特征根法（欧拉待定指数函数法）；（2）求常系数非齐次线性微分方程的特解的待定系数法和拉普拉斯变换法；（3）求一般非齐次线性微分方程特解的常数变异法；（4）求一般二阶齐次线性微分方程的幂级数解法。
几类三阶常微分方程的通解公式【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学几类三阶常微分方程的通解公式一、前言部分数学分析中研究了变量的各种函数及函数的微分与积分。
如函数未知，但知道变量与函数的代数关系式，便组成代数方程，通过求解代数方程解出未知函数。
同样，如果知道自变量、未知函数及函数的导数组成的关系式，得到的便是微分方程。
如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程。
常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置。
塞蒙斯(Simmons)曾如此评价微分方程在数学中的地位：“300年来分析是数学里首要的分支，而微分方程又是分析的心脏．这是初等微积分的天然后继课，又是为了解物理科学的一门最重要的数学，而且在它所产生的较深的问题中，它又是高等分析里大部分思想和理论的根源．”很多物理与技术问题可以化归为常微分方程的求解问题，如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，而上述这些问题都可以化为求常微分方程的解，因此，学好微分方程的求解相当重要．微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。
微分方程也就成了最有生命力的数学分支。
又因为许多力学，电学与生物化学的模型都可以归结为高阶微分方程的模型(见文献[1，2])，因此探求高阶微分方程的求解是一项既有实际意义又有理论意义的工作。
二、主题部分有关三阶常微分方程的求解研究已经取得了较为丰富的结果，许多数学家早已经对这个课题展开过讨论，并做了很多相关的课题研究和论文。
现将已有文献的研究结果综述如下：文献[2]中讲述线性微分方程的基本理论和常微分方程的解法，也简单介绍某些高阶微分的降阶方法。
关于线性微分方程的解法，作者介绍了五种较常用的方法：（1）求常系数齐次线性微分方程的基本解组的特征根法（欧拉待定指数函数法）；（2）求常系数非齐次线性微分方程的特解的待定系数法和拉普拉斯变换法；（3）求一般非齐次线性微分方程特解的常数变异法；（4）求一般二阶齐次线性微分方程的幂级数解法。
三阶常系数线性非齐次微分方程特解的两种解法
三阶常系数线性非齐次微分方程特解的两种解法一种解法是求解特征方程，另一种解法是采用逐步求解法。
1、求解特征方程法：设三阶常系数线性非齐次微分方程为：y'''+a2y''+a1y'+a0y=f(x)其中a2,a1,a0为常数，f(x)为右端函数。
（1）求解特征方程：设特征根为λ1,λ2,λ3，则特征方程为：λ3+a2λ2+a1λ+a0=0求解特征方程，得到特征根：λ1,λ2,λ3（2）求解特解：令特解为y=C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x代入方程，得：C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x+a2(C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x)+a1(C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x)+a0(C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x)=f(x)即：(C1λ3+C2λ2+C3λ1)eλ1x+(C1λ3+C2λ2+C3λ1)eλ2x+(C1λ3+C2λ2 +C3λ1)eλ3x=f(x)化简得：C1λ3+C2λ2+C3λ1=f(x)解得：C1=f(x)λ3/(λ3-λ2)(λ3-λ1)C2=f(x)λ2/(λ2-λ1)(λ2-λ3)C3=f(x)λ1/(λ1-λ2)(λ1-λ3)故特解为：y=f(x)λ3/(λ3-λ2)(λ3-λ1)eλ1x+f(x)λ2/(λ2-λ1)(λ2-λ3)eλ2x+f(x)λ1/(λ1-λ2)(λ1-λ3)eλ3x2、逐步求解法：设三阶常系数线性非齐次微分方程为：y'''+a2y''+a1y'+a0y=f(x)（1）求解一阶线性微分方程：设y1(x)为一阶线性微分方程的解，则有：y1'+a2y1=0解得：y1=C1e-a2x（2）求解二阶线性微分方程：设y2(x)为二阶线性微分方程。
关于三阶线性微分方程的一个求解公式
三阶微分方程的通解公式：x-y+xy=C。
根据定义：必须是3个独立的任意常数。
n阶有n个独立的任意常数。
存在性是指给定一微分方程及约束条件，判断其解是否存在。
唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。
针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理则可以判别解的存在性及唯一性。
针对偏微分方程，柯西·克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。
皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。
微分方程计算公式
微分方程计算公式咱来说说微分方程的一些计算公式哈。
一、一阶线性微分方程。
1. 标准形式。
一阶线性微分方程长这样：y'+p(x)y = q(x)。
这里y'就是y对x的导数，p(x)和q(x)都是关于x的函数。
2. 通解公式。
它的通解公式是y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。
这个公式看起来有点复杂，咱来拆拆看。
首先呢，e^-∫ p(x)dx就像是一个“调节因子”。
∫ p(x)dx就是对p(x)求不定积分啦。
然后e^∫ p(x)dx和q(x)乘起来再求不定积分∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx，最后再加上个常数C，再乘上前面那个“调节因子”e^-∫p(x)dx就得到通解啦。
二、可分离变量的微分方程。
1. 形式和解法。
如果一个微分方程能写成g(y)dy = f(x)dx的形式，那它就是可分离变量的微分方程。
解法超简单，就是两边分别积分。
对g(y)dy积分得到∫ g(y)dy，对f(x)dx积分得到∫ f(x)dx，然后这两个积分结果相等，就得到方程的解啦，不过别忘了最后可能有个常数C哦。
就好像把x和y的东西分开处理，各算各的积分，然后让它们相等就行。
三、二阶常系数线性齐次微分方程。
1. 标准形式。
二阶常系数线性齐次微分方程是y'' + ay'+by = 0，这里a和b都是常数，y''是y 对x的二阶导数。
2. 特征方程。
我们先写出它的特征方程r^2+ar + b=0。
这个特征方程就像是这个微分方程的“小密码”。
3. 通解的情况。
如果特征方程有两个不同的实根r_1和r_2，那么通解就是y =C_1e^r_1x+C_2e^r_2x，就好像是两个不同的“增长模式”e^r_1x和e^r_2x按照一定比例C_1和C_2加起来。
如果特征方程有重根r，通解就是y=(C_1+C_2x)e^rx，这里多了个x和C_2，就像是在原来e^rx的基础上有点小变化。
三阶常系数线性微分方程特解的简单求法
Ｙ ：Ｈ （ ）ｅ ＋ａＨ（ｘ）ｅ从＝（Ｈ （ ）＋Ａ （ ））
ｅｈ
（７）
Ｙ”＝（月 （ ）＋２ＡＨ （ ）＋Ａ Ｈ（ ））ｅ肛 （８）
＝ （１１＇”（ ）＋３Ａ （ ）＋３Ａ Ｈ （ ）＋Ａ Ｈ
（ ））ｅ“
（９）
把 （７）式 、（８）式、（９）式代人微分方程（１）得 ：
（ ｆｒ，，（ ）＋３３￣Ｈ＇ （ ）＋３Ａ 日 （ ）＋Ａ 日（ ））ｅ从
Ｑ （ ）是与 Ｐ （ ）同次 （ｍ次 ）的待定 多项 式 。
微 分方程 （３）和方程 （４）的特解 。
收稿 日期 ：２００７－０３－２０ 作者简 介：周 坚（１９７６一），女 ，江苏宿迁人 ，讲师 ，硕士 ，主要从事微分方程的研究。
西华大学学报 ·自然科学版
２００８薤
２ 主要结果及其证 明
定理 １ 设 有三 阶常 系数非 齐 次线 性微 分 方 程
（１），方 程 （１）对 应 的齐次方 程 的特 征方 程记 为
ｒ ＋ ＋ｑｒ＋ｄ＝０
（５）
若令 ，）＝ｒ ＋ｐｒ２＋ ＋ｄ，且 Ｙ＝ｔｔ（ｘ）ｅ３．ｘ为微
分方程（１）的解 ，其 中 Ｈ（ ）为多项式函数，则 Ｈ（ ）
需满 足下列 恒 等式
万方数据西华大学学报?自然科学版年主要结果及其证明定理设有三阶常系数非齐次线性微分方程方程对应的齐次方程的特征方程记为若令八矿且日戈舡为微分方程的解其中戈为多项式函数则石需满足下列恒等式以日石厂毒业戈证由于茗故易算得广日髫月日日把式式式代入微分方程得日日算髫即髫厂戈二当土月菇茹
第 ２７卷第 ６期
Ｖｏ１．２７，Ｎｏ．６
到删繁就简的作用 ，而且对微分方程 的自由 ） 的特解 ，其 中 Ｐ，ｑ为实常 数 ，Ｐ ｘ）是 ｍ 次实 系数 多
微分方程求特解的公式
微分方程求特解的公式微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于自然科学、工程技术和经济学等领域。
求解微分方程的特解是解决实际问题的关键步骤之一。
本文将介绍微分方程求特解的公式。
一、一阶线性常微分方程的特解公式对于一阶线性常微分方程形如：dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是已知函数，则可以得到特解公式为：y = e^(-∫P(x)dx) * [∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx + C]，其中C为任意常数。
二、二阶常系数齐次线性微分方程的特解公式对于二阶常系数齐次线性微分方程形如：ay'' + by' + cy = 0，其中a、b、c是已知常数，则可以得到特解公式为：1. 当方程的特征方程有两个不相等的实根r1和r2时，特解公式为：y = C1e^(r1x) + C2e^(r2x)，其中C1和C2为任意常数。
2. 当方程的特征方程有两个相等的实根r1=r2=r时，特解公式为：y = C1e^(rx) + C2xe^(rx)，其中C1和C2为任意常数。
3. 当方程的特征方程有两个共轭复根α±βi时，特解公式为：y = e^(αx)(C1cos(βx) + C2sin(βx))，其中C1和C2为任意常数。
三、二阶非齐次线性微分方程的特解公式对于二阶非齐次线性微分方程形如：ay'' + by' + cy = f(x)，其中a、b、c是已知常数，f(x)是已知函数，则可以得到特解公式为：1. 根据待定系数法，特解形式可以根据f(x)的类型选择。
* 当f(x)是常数时，特解形式为y = k，其中k是常数。
* 当f(x)为多项式时，特解形式为y = P(x)，其中P(x)是与f(x)次数相同的多项式。
* 当f(x)为三角函数时，特解形式为y = A sin(mx) + B cos(mx)，其中A和B 是待定常数，m是f(x)的角频率。
三阶常系数齐次线性微分方程通解结构
三阶常系数齐次线性微分方程通解结构“三阶常系数齐次线性微分方程通解结构”是一类重要的数学问题，为许多非线性科学和工程提供了解决根据基础及应用问题的有效方法。
三阶常系数齐次线性微分方程是一类常见的微分方程，其方程的系数是常数。
本文主要讨论三阶常系数齐次线性微分方程的解法结构，旨在探究三阶常系数齐次线性微分方程的通解结构规律，掌握它们的求解方法。
首先，我们介绍三阶常系数齐次线性微分方程的基本概念，它可以定义为：方程组中每个微分方程的阶数均相同，而每个微分方程各自具有相同的常系数，该类微分方程被称为三阶常系数齐次线性微分方程。
其次，我们来讨论三阶常系数齐次线性微分方程的求解结构。
一般来说，对于三阶常系数齐次线性微分方程，存在三种不同的求解结构：第一种结构指的是一般的三阶次通解，指的是可以由三个线性无关的通解构成的解；第二种结构指的是二阶重根，指的是含有重根的解，多项式特征方程的位数为2；最后一种结构指的是一阶重根，指的是存在重根的解，多项式特征方程的位数为1。
此外，我们还可以进一步研究三阶常系数齐次线性微分方程的求解方法。
根据不同的求解结构，三阶常系数齐次线性微分方程的求解方法也相应有所不同。
首先，若存在一般的三阶次解，那么此时可以采用分析解的方法求解；其次，若存在二阶重根，可以采用基本变换的方法求解；最后，若存在一阶重根，可以采用改变变量的方法求解。
最后，本文探讨了三阶常系数齐次线性微分方程的通解结构规律以及求解方法，以期为有关的研究提供基础和参考，促进科学家们对相关问题的深入研究。
三阶常系数齐次线性微分方程的研究也是相关科学的一项重要成果，它的研究将为许多非线性科学和工程提供解决问题的有效方法。
综上所述，三阶常系数齐次线性微分方程及其解法结构具有重要意义，它值得被进一步研究和深入研究，以便继续推动科学、技术发展和社会进步。
求二阶和三阶常系数非齐次线性微分方程特解的一个公式
求二阶和三阶常系数非齐次线性微分方程特解的一个公式3王 焕 (西北大学数学系 西安 710069)摘要 基于微分算子分裂的思想,受到一阶线性方程求解公式的启发,运用多重积分交换积分顺序的技巧,得到求二阶和三阶常系数非齐次线性微分方程特解的一般性公式.关键词 算子分裂 常系数非齐次线性微分方程 通解 特解 中图分类号 O175.1对于二阶常系数非齐次线性微分方程y″+py′+qy=f(x)(1)其中p,q是实的常数,f(x)在其定义域内连续,以下同此.由文献[1,2,3]可知,求解(1)归结为其对应的齐次方程y″+py′+qy=0(2)的通解和非次方程(1)本身的一个特解y3.对于三阶以及n阶常系数非齐次线性微分方程y +p1y″+p2y′+p3y=f(x)(3)和y(n)+p1y(n-1)+p2y(n-2)+…+p n-1y′+p n y=f(x)(4)其中pi=1,2,……n,是常数,有类似的结论.对于二阶非齐次方程(1),求其特解y3的方法有常数变易法,比较(待定)系数法,拉普拉斯变换法,以及算子解法等,参见[1,2,3].其中常数变易法求解过程比较繁琐,其余三种解法只针对特珠的类型,缺乏一般性.本文基于算子分裂的思想,受到一阶线性方程求解公式的启发,并运用多重积分交换积分顺序的技巧,得到二阶和三阶常系数非齐次线性微分方程求解的一般性公式.该结论可以进一步推广到对n阶常系数非齐次线性微分方程(4)的求解.定理1 对于二阶常系数非齐次方程(1),假定(1)对应的齐次方程(2)的特征方程有特征根r1,r2,则(1)的一个特解y3满足下列公式:(i)当r1,r2是两个不相等实根时,y3=e r1xr1-r2∫e-r1x f(x)d x+e r2xr1-r2∫e-r2x f(x)d x(5)(ii)当r1,r2是两个相等实根,即r1=r2=r时,y3=x e rx∫e-rx f(x)d x-e rx∫x e-rx f(x)d x(6)(iii)当r1,r2是一对共轭复根,即r1,2=α±iβ(β≠0)y3=1β[e ax sinβx∫e-ax cosβx·f(x)d x-e ax cosβx∫e-ax sinβx·f(x)d x](7)52Vol.9,No.3 May,2006 高等数学研究ST UD I ES I N C OLLEGE MATHE MATI CS3收稿日期:2005-09-05证明 将方程(1)变形为(y′-r1y)′-r2(y′-r1y)=f(x)(8)则(8)式等同于下述分解后的一阶微分系统的耦合,其中y1=y,y1′-r1y1=y2y2′-r2y2=f(x)(9)由一阶线性微分方程求解公式可得出y=y1=e r1x∫x x0e-r1s y2(s)d s y2=e r2x∫x x0e-r2t y2f(t)d t (10)其中x是函数定义域内某一点,比如初始时刻等.从而y=e r1x∫x x0e-r1s(e r2s∫s x0e-r2t f(t)d t)d s= e r1x∫x x0e(r2-r1)s∫s x0e-r2t f(t)d t d s (11)运用多重积分交换积分顺序的技巧,得到:(i)当r1≠r2时,y=e r1x∫x x0e-r2t f(t)∫x t e(r2-r1)s d s d t= 1r2-r1e r1x∫x x0[e(r2-r1)x-e(r2-r1)t]e-r2t f(t)d t= er1xr1-r2∫x xe-r1t f(t)d t+e r2xr2-r1∫x xe-r2t f(t)d t(12)从而得到(1)的一个特解y3如(5)式所示.(ii)当r1=r2=r时,y=e rx∫t x0∫s x0e-rt f(t)d t d s= e rx∫x x0e-rt f(t)d t∫x t d s= x e rx∫x x0e-rt f(t)d t-e rx∫x x0t e-rt f(t)d t(13)从而得到(1)的一个特解y3如(6)式所示.(iii)当r1,2=α±iβ(β≠0)时,不难推出(7)式成立.定理2 对于三阶常系数非齐次方程(3),假定(3)所对应齐次方程的特征方程有特征根r1, r2,r3,则(3)的一个特解y3满足下列公式:(i)当r1,r2,r3互不相等(包括有虚根)时,y3=e r1xL′(r1)∫e-r1x f(x)d x+e r2x L′(r2)∫e-r2x f(x)d x+e r3x L′(r3)∫e-r3x f(x)d x(14)此处L′(r1)=(r1-r2)(r1-r3),L′(r2)=(r2-r1)(r2-r3),L′(r3)=(r3-r1)(r3-r2),(ii)当r1=r2=r3=r时,y3=12x2e rx∫e-rx f(x)d x-x e rx∫x e-rx f(x)d x+12e rx∫x2e-rx f(x)d x(15)62高等数学研究 2006年5月(iii )当其中两根相等,且不等于第三根时,比如r 2=r 3=r ≠r 1时,有y3=e r 1x(r -r 1)2∫e-r 1xf (x )d x -erx(r -r 1)2∫e-rxf (x )d x +x e rxr -r 1∫e -rx f (x )d x -e rxr -r 1∫x e -rxf (x )d x(16)对于r 1=r 3=r ≠r 2,以及r 1=r 2=r ≠r 3,有类似的公式.(证明办法类似定理1,从略)下面举几个例子说明.例1 求y ″-2y ′+y =1xe x的通解.解 所对应齐次方程的特征方程为r 2-2r +1=0,特征根r 1=r 2=r =1.由公式(6)得到非齐次方程的一个特解为y3=x ex∫e-x1xe xd x -e x∫x e-x 1xe xd x =xe x In x -x ex从而所求通解为y =C 1e x+Cx e x+x e xIn x -x e x=C 1e x+C 2x e x+x e x In x,(此处C 2=C -1)例2 求y ″-5y ′+6y =x e 2x的一个特解.解 易知特征根r 1=i,r 2=-i,由公式(7)得y3=sin x ∫cos x (x co s2x )d x -co s x ∫sin x (x co s2x )d x = 12sin x ∫x (cos3x +cos x )d x -12co s x ∫x (sin3x -sin x )d x =49sin2x -13x co s2x例3 求y +3y ″+3y ′+y =e -x(x -5)的通解.解 易知所对应齐次方程的特征方程有三重根r 1=r 2=r 3=r =-1,由公式(15),y 3=12x 2e -x ∫(x -5)d x -x e -x ∫x (x -5)d x +12e -x ∫x 2(x -5)d x =124x 3(x -20)e-x从而通解为y =(C 1+C 2x +C 3x 2)e -x +124x 3(x -20)e -x.例4 求y -y ′=co s2x 的通解.解 所对应齐次方程的特征方程有根r 1=1,r 2=-1,r 3=0,由公式(14)得y3=e x2∫e -x cos2x d x +e -x2∫e xcos2x d x1-1∫co s2x d x =110(-co s2x +2sin2x )+110(co s2x +2sin2x )-12sin2x =-110sin2x 通解为y =C 1e x+C 2e-x+C 3-110sin2x .注 (1)对于n 阶常系数非齐次线性微分方程(4),可以做类似的讨论,只是此时特征方程的根的分类情况相当复杂,这里不做进一步讨论了.(2)和比较(待定)系数法相比,该公式对右端项f (x )的要求相当低,只要能求出不定积分,就能用此方法,所以说该公式较具一般性.(下转第34页)72第9卷第3期 王焕:求二阶和三阶常系数非齐次线性微分方程特解的一个公式又函数在x =1处连续,故展开式对x =1成立.即11+x=1+∑∞n =1(-1)n(2n -1)!!(2n )!!x n ,(-1<x ≤1).例5 将ln (x +1+x 2)展开成关于x 的幂级数,并求展开式成立的区间.解 由(3)式得(ln (x +1+x 2))′=11+x2=1+∑∞n =1(-1)n (2n -1)!!(2n )!!(2n +1)x 2n +1,(-1<x <1)在x =±1处,函数ln (x +1+x 2)是连续的,在x =-1处,级数为-1+∑∞n =1(-1)n +1(2n -1)!!(2n )!!(2n +1)=-1+∑∞n =1unu n=(2n -1)!!(2n )!!·1(2n +1)<12n +1·12n +1<1n 3/2,即级数绝对收敛.在x =1处,级数为1+∑∞n =1(-1)n(2n -1)!!(2n )!!(2n +1),同理也是收敛的.故展开式对x =±1均成立,即ln (x +1+x 2)=x +∑∞n =1(-1)n(2n -1)!!(2n )!!(2n +1)x 2n +1,(-1≤x ≤1).例6 将x1+x2展开成关于x 的幂级数,并求展开式成立的区间.解 由(3)式得x1+x2=x +∑∞n =1(-1)n(2n -1)!!(2n )!!·x 2n +1,(-1<x <1)在x =±1处,函数x1+x 2连续,对应级数为1+∑∞n =1(-1)n(2n -1)!!(2n )!!,1+∑∞n =1(-1)n +1(2n -1)!!(2n )!!与例4同理可得二交错级数收敛,故展开式对x ±1也在立,即x 1+x2=x +∑∞n =1(-1)n (2n -1)!!(2n )!!·x 2n +1,(-1≤x ≤1).从上面六个例题可以看出,不等式:对任意的正整数n 12n +1<(2n -1)!!(2n )!!=1·3……(2n -3)·(2n -1)2·4……(2n -2)·2n <12n +1,在判别级数敛散性方面起着重要的作用.(上接第27页)参考文献[1]王高雄等.常微分方程(第二版).北京:高等教育出版社,1997年重印.[2]同济大学教研室.高等数学(第三版).北京:高等数学出版社,1993年重印.[3]数学手册编写组.数学手册.北京:高等教育出版社,2004年重印.43高等数学研究 2006年5月。
拉普拉斯变换微分定理三阶推导
拉普拉斯变换微分定理三阶推导拉普拉斯变换微分定理是微分和拉普拉斯变换之间的一个重要关系。
它可以帮助我们将微分方程转换为代数方程，从而简化问题的求解。
在本文中，我将深入探讨拉普拉斯变换微分定理的三阶推导，并分享我的观点和理解。
让我们回顾一下拉普拉斯变换的基本定义和性质。
拉普拉斯变换是一种将一个函数从时间域转换到复频率域的方法。
对于一个函数f(t)在t≥0的定义域上，它的拉普拉斯变换可以表示为：F(s) = L[f(t)] = ∫ (0 to ∞) e^(-st) f(t) dt其中，s是一个复变量，被称为拉普拉斯变换域中的复频率。
函数F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。
接下来，让我们来推导拉普拉斯变换微分定理的三阶形式。
我们从拉普拉斯变换的基本定义开始：L[f'(t)] = sF(s) - f(0)这是拉普拉斯变换微分定理的一阶形式。
它告诉我们，对于一个函数f(t)的导数f'(t)，它的拉普拉斯变换等于s乘以f(t)的拉普拉斯变换减去f(t)在t=0时刻的值。
现在，让我们将这个一阶形式应用到函数的二阶导数上。
假设我们有一个函数f(t)，它的二阶导数表示为f''(t)。
我们可以首先求出f'(t)的拉普拉斯变换，然后再对结果应用一阶形式的拉普拉斯变换微分定理。
根据一阶形式的定理，f'(t)的拉普拉斯变换为：L[f''(t)] = sF'(s) - f'(0)现在，让我们对这个结果应用一阶形式的拉普拉斯变换微分定理。
我们需要求出F'(s)的拉普拉斯变换，然后再对结果应用一阶形式的定理。
我们可以使用一阶形式的定理来计算F(s)的导数：F'(s) = L[f'(t)] = sF(s) - f(0)将这个结果代入到L[f''(t)]的表达式中，我们得到：L[f''(t)] = [s(sF(s) - f(0))] - f'(0)进一步整理，我们可以得到拉普拉斯变换微分定理的二阶形式：L[f''(t)] = s^2F(s) - sf(0) - f'(0)现在，我们已经推导出了拉普拉斯变换微分定理的二阶形式。
微分方程的阶
微分方程的阶微分方程是数学中的一个重要分支，它是描述自然现象和工程问题的数学模型。
微分方程的阶是指方程中最高阶导数的阶数。
在本文中，我们将探讨微分方程的阶及其应用。
一阶微分方程一阶微分方程是指方程中最高阶导数为一阶的微分方程。
一阶微分方程的一般形式为：$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$其中，$y$是未知函数，$x$是自变量，$f(x,y)$是已知函数。
一阶微分方程可以用分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等方法求解。
二阶微分方程二阶微分方程是指方程中最高阶导数为二阶的微分方程。
二阶微分方程的一般形式为：$$\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=f(x)$$其中，$y$是未知函数，$x$是自变量，$p(x)$、$q(x)$、$f(x)$是已知函数。
二阶微分方程可以用常系数齐次线性微分方程法、常系数非齐次线性微分方程法、变系数齐次线性微分方程法、变系数非齐次线性微分方程法等方法求解。
三阶微分方程三阶微分方程是指方程中最高阶导数为三阶的微分方程。
三阶微分方程的一般形式为：$$\frac{d^3y}{dx^3}+p(x)\frac{d^2y}{dx^2}+q(x)\frac{dy}{dx}+r(x)y=f(x)$$其中，$y$是未知函数，$x$是自变量，$p(x)$、$q(x)$、$r(x)$、$f(x)$是已知函数。
三阶微分方程可以用常系数齐次线性微分方程法、常系数非齐次线性微分方程法、变系数齐次线性微分方程法、变系数非齐次线性微分方程法等方法求解。
高阶微分方程高阶微分方程是指方程中最高阶导数为高于三阶的微分方程。
高阶微分方程的求解方法比较复杂，需要根据具体情况选择不同的方法。
常见的高阶微分方程有四阶微分方程、五阶微分方程、六阶微分方程等。
微分方程的应用微分方程在自然科学和工程技术中有广泛的应用。
例如，牛顿第二定律可以用微分方程表示为：$$F=ma=m\frac{d^2x}{dt^2}$$其中，$F$是物体所受合力，$m$是物体的质量，$a$是物体的加速度，$x$是物体的位移，$t$是时间。
三阶齐次相同阶线性微分方程
三阶齐次相同阶线性微分方程
三阶齐次相同阶线性微分方程是指一类三阶线性微分方程，其中系数都是相同的常数。
三阶齐次相同阶线性微分方程在应用广泛，因此其理解和求解有着重要的现实意义。
本文将首先介绍三阶齐次相同阶线性微分方程的定义，然后介绍其特点，接着介绍求解三阶齐次相同阶线性微分方程的方法，最后通过简单实例讨论其应用。
一、定义
三阶齐次相同阶线性微分方程定义为：
其中，是恒定系数，是变量函数，是变量，是微分次数。
二、特点
三阶齐次相同阶线性微分方程有几个显著的特点：
（1）各项系数都为常数，且相同；
（2）方程的阶数为三；
（3）方程的求解具有一般性；
（4）方程的变量函数间的关系也比较简单。
三、求解方法
要求解三阶齐次相同阶线性微分方程，可以采用以下几种方法：
（1）特征方程法：将方程转化为特征方程，求解得到特征根，再根据特征根构造出通解；
（2）变量变换法：通过变量变换将方程转化为更容易求解的方程；
（3）拉普拉斯变换法：将方程通过拉普拉斯变换转化为更容易求解的方程；
（4）积分法：通过积分的方法求解三阶齐次相同阶线性微分方程。
四、实例讨论
下面我们以一个实例来讨论三阶齐次相同阶线性微分方程的应用：
求解方程：
其中，是恒定系数，是变量函数，是变量，是微分次数。
令，得到：
将方程化为特征方程：
求得特征根为：
根据特征根构造出通解：
即：
综上所述，三阶齐次相同阶线性微分方程的定义、特点、求解方法、以及相关的应用实例都有了讨论。
三阶齐次相同阶线性微分方程应用广泛，其理解和求解对于实际应用有重要意义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
摘
要 对 于 ３阶非 齐 次 线 性 微 分方 程
ｑ｜ ｒ Ｙ ｙ： ｆ，
由它 对 应 齐 次 方 程 的 ２个 线 性 无 关特 解 ｙ ，。与其 Ｗ ｒｎｋ 行 列 式 叫， 用 降 阶 法 推 导 出 一 个 求 解 公 式 为 ，ｙ ｏ ｓｉ 应
ｆＳａ ｄ］ ｅ ｄ） ， ｚｆ ｚ
这 里 “＝ “ ｚ ， ６： ６ ） ｆ ＝ － ｚ （ ） （ ， 厂 ） （
（ ２ ）
是 Ｙ ， ｚ的 朗 斯 基 （ ｏ ｓ ｉ 。Ｙ Ｗｒｎ ｋ ）行 列 式 ， 恒 不 为 它
零 ， 。Ｃ ， ３ 任意 常数 ． Ｃ ，ｚＣ 为 证 明 将变换
例 １ 求方 程
ｚｙ 一 ３ Ｗ ｚ ＋ ６ｙ ｘ 一 ６ ＝ ３ ｙ ５ ＂
对应齐 次方 程有 特解
Ｙｌ＝ ｌ， Ｙ 一 。 ２ ．
应用 如上 推论知
一
． ｆ 青 Ｆ ｅ出 出＝ 红 『 ） ： 青 ＝
Ｊ（／ ｘｄｄ ｌＩＴ ２ｚｚ ２ － ｚ）一 ｚ ｘ３：
ｚ＋ ３ ＇ ＋ ３ ｙｉ ＇ ２ ｙ 十 Ｙｌ ｚ
给 一些特 殊 ３阶线性 方 程 的求 解带 来一 定便 利．
定 理 ｌ 对于 ３阶线性 微 分方 程
＋ ｐ ＋ ｑ ｒ — ｆ。 Ｙ ＋ ｙ （ ３ 可 得
ｙ ＝ Ｗ
代 人方 程 （ ） 并 注意 到 ３，
第 ｉ ４卷 第 ３期
２ｌ Ｏ １年 ５ 月
高 等 数 学 研 究
Ｓ ＴＵＤＩ Ｎ ＯＬＬ ＥＳ Ｉ Ｃ ＥＧＥ Ｍ ＡＴＨ Ｅ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ＿ ４． ． Ｉ ｌ Ｎｏ ３
Ｍ ａｖ．２０１ ｌ
关 于 三 阶线 性 微 分 方程 的一 个 求 解 公 式
赵 奎 奇
一
的通解 ， 已知 它对应 齐 次 线 性 微 分 方 程有 ２个 线 性
无 关 解
Ｙｌ ｚ， ２ ｚ２
．
（ 一Ｘ ）ｄ （ １ ２ ｚ一 ｛ １
） ÷
解 由计算 有 是方 程 的一个特 解 ．
＋ 十 ｑ ｌ ｒ Ｙ＇ ＋ ｙｌ一 ０，
若 已 知它对 应齐 次方程 的 ２ 线性 无关 解 Ｙ 和 Ｙ ， 个 ｔ ｚ
则 它 的一个解 公式 为
ｌ
—
＋ （ ｙ。 ３ ） ＋ ｐ ＋ ｙ
（＋ ｃ十 争一 （＋ ｆ ｚ ｆ ｃ
ｗ
。
．
（ｙ 十 ２ ｑ１
＋ ３ ） ＝ ｆ ｚ ，
Ｊ。 ． ｛ ㈦㈦一
注 １ 在 使用 推论 给 出公式 并 做积分 运算 时不
必 写 出不定积 分 常数 ．
例 ２ 方 程
（ 一 Ｘ ） ＋ ｘ 一 一 （ 一 ｚ ） １ ２ ｙ １ 。｛
ｙＣ Ｉｘ ｃ ￣ｚ ｅ － （＋ｙ一 ＋ （
簪
将 上式积 分后得 到 的 ｚ代 入 （ ）可得 公式 （ ） ５ ４，
Ｙ — ｌ
为 某 区间 上 的连 续 函数 ， ｃ 为 任 意常数 ． Ｃ ，２ 使用 与文 ［ ］类 似 的 降 阶 法 ， 过 变 换 与应 用 １ 通
引 理 １ 可对 ３阶线性 微分 方 程得 到如 下 定 理 ， 能 ， 它
及其 导数
一 Ｙ ＋ Ｙ２， ａ
＝
敛ｚ ｙ ＋Ｙ 。 ＋２
０。
（十 譬 去 ） ｃ ｃ ＋ ｚ ｚ ｚ ＋ ．
推论 １ 设 ， 是方程（） ２ ３ 的 个线性无关解 ， 则
Ｊ Ｙ
ｆ ｚ（ ）ｄ） ） ｚｄ 一 』
ｊｃ 肚＇ ．ｊ ｃ － Ｊ 簧
给 出方程 （ ）的特 解 ． ３
ｚ 。Ｊ１一（十 ＋ 』ｃ （ ． ｅ ｃ 舢
＝
（＋ （＋磬－（＋鲁 ｄｄ ） Ｇ 』 ｃ ． ｅ， 』 ｚ ． ２ｆ ｆＣ ｐ ， ｔ 键 词 线 性 微 分方 程 ； 解 ； 阶 法 特 降 中图 分 类 号 Ｏ１ ５ １ ７ ． 文章 编 号 １ ０—３ ９ ２ １ ）３０ ０ —２ ０ ８１ ９ （０ １０ ．０ １０
、 关 于 ２阶线性 微分 方程 的求 解 问题 ， 由文Ｅ ｉ ｌ 给
出的结果 可写 出如 下引 理． 其 中
．厂 ｆｅ 簧』
ｐ — ｐ（ ）， ｑ — ｑ ｚ） ｚ （ ，
（ ４ ）
引理 １ 对 于 ２阶线 性微 分 方程
＋ ａ ６ — ｆ ｙ＋ ， （） １
若 已知 它对应 的齐 次方 程 的 １ 非零 解 Ｕ 则 它 的一 个 ，
个 解 公 式 为 ．
一
ｒ＝ ｒ ｚ ， ｆ＝ ｆ ｘ （ ） （）
为某 区间 Ｉ 的连续 函数 ， 上
Ｃ ＋ １－ ｃ ＋ ２ ｆ 。 ｅ （
叫 ＝ ｃ
一
ｆ２ 三 Ｊ
（ ５）
（） ６
这 是一个 关 于 的 ２阶线性 微 分方程 ．
收 稿 日期 ： ０ ９— １ ２０ Ｏ一 ０ ｌ 改 日期 ： ０ ０一 Ｏ 一 Ｏ ． ９修 ２１ ８ ９
由变 换 （ ）与 已知 条件 知 ： ５
Ｙｚ ｚ ２ （ 一
． ＿
基 金 项 目 ： 南 师 范 大学 精 品课 程 教 学 团 队 资助 项 目． 云 作 者 简 介 ： 奎 奇 （９ ８－）男 ， 南 洱 源 人 ， 授 ， 赵 １５ － ， 云 教 主要 从 事 方 程 、 数
学 教 育研 究 １ ． Ｅｍａｌ ｚ ａ ｌ５ ＠ １３ Ｃ ｒ． 作 ｉ； ｈｏ ９ ８ ６ ．Ｏ ｎ
１
业
ｙｌ
一
Ｙ
并 ）
２
高 等 数 学 研 究
２ １ 年 ５月 ０１
是如 ｈ 方程 （ ）的 １ 特解 ． 用 引理 １ 给 出 ６ 个 应 可
一
（＋ 一 ｓ ｃ Ｃ Ｊ ｆ 暑 （＋ ２ｆ （ ） 。 击