非线性目标函数的最值问题

x y 2x
2 0, y 5 0,
，
x y 4 0,
（1）求可行域内的点到直线 x 2y 4 0 的距离的 表达式。
（2）z x 2y 4 的最大值
小结：
对于形如z=| Ax+By+C| 的目标函数，
可化为z=
Ax By C A2 B2 •
形式，
A2 B2
求可行域内的点（x，y）到直线Ax+By+C =0距离的
(1)、求可行域内的点（x,y) 与原点连线的斜率z 的表达式；
(2)、求z的取值范围
y B A C x
小结：(1) 的几何意义：表示点(x，y)与点(a，b)连
线源自文库斜率.
(2)
表示(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；
所以形如
的目标函数的几何意义就是：
平面区域内的点(x,y)与点(a,b)连线的斜率
非线性目标函数 的最值问题
本节课学习目标
1、了解非线性目标函数所表示的几何意义 2、能够通过对目标函数进行变形转化进而讨
论求得目标函数的最值或范围
类型一：斜率型非线性规划问题的最值（值域）
探究1 对形如
目标函数的最值（斜率型）
x y 4 0 例1、已知变量x, y满足 x y 0 ， x 1
练习：
（2014福建高考）已知圆C：(x a)2 ( y b)2 1
平面区域
：xx
y y
7 3
0, 0,
若圆心C
y 0,
,且圆C与x
轴相切，则 a2 b2 的最大值为（ ）
A.5
B.29
C.37
D.49
探究2 对形如 z Ax By C
目标函数的最值（距离型）
例2
实数x,y满足不等式组
类型二：距离型非线性规划问题的最值（值域）
探究1 对形如 z (x a)2 ( y b)2
目标函数的最值（距离型）
例1、设变量x,y满足x 4 y 3 0 3x 5y 25 0 x 1
(1)求可行域内的点P（x,y)到原点的距离表达式；
(2)求z= x2 y2 的最小值
例1、设变量x,y满足x 4 y 3 0 3x 5y 25 0 x 1
(1)求可行域内的点P（x,y)到原点的距离表达式；
(2)求z= x2 y2 的最小值
变式：（1）Q（3,0） 求 PQ 的最小值
小结：
(1) 的几何意义：
的几何意义
表示点(x，y)与(a，b)的距离
(2)
的几何意义：
表示点(x，y)与原点(0,0)的距离
所以，形如
的目标函数的
几何意义：
表示平面区域内的点(x,y)与点(a,b)的距离的平方
x y 40,
例2：设变量x,y，满足x y 0,
x1,
求，z
2y 1 x 1
的取值范围，
y
B
A C
.
x
小结：
由于 z
ay b cx d
a c
y ( x (
b) a d)
c
所 行a 以域形内如 的点z （ caxxy,y)与db 点的(目 dc标, 函ba)数确的定几的何直意线义斜是率可的 c 倍。
z x 2 (y 5)2
x-y+2=0
Y C
M(0,5)
4
N
X
A
B
O Q
x+y-4=0 4
故 的最小值为
-5 2x-y-5=0
(2)
表示可行域内点
(x,y)与定点连线斜率的2倍
，
故 的范围是
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
A2 B2 倍的最值。
课堂小结
谈谈本节课的收获？
课后作业：
已知 (1) (2)
，求： 的最小值
的范围
解：作出可行域，如图所示
A(1,3) B(3,1) C(7,9)
(1) z x 2 (y 5)2 表示可行域 内任
一点(x,y)到点M(0,5)的距离的平方， 过M作AC的垂线交于N，易知垂足在 AC上，故
练习：（2013山东）在平面直角坐标系xoy中，
M为不等式组：2x y 2 0,
x
2
y
1
0,
,
3x y 8 0
所表示的区域上一动点， 则直线OM斜率的最小值为（ ）
A、2 B、1 C 、 1 D、 1
3
2
探究2
对形如 Z ay b (ac 0)
cx d
目标函数的最值（斜率型）