自回归滑动平均模型

1
1
1
Zt = X t + q1 Zt- 1 = L = X t + q1 X t- 1 + q12 X t- 2 + L
(3.3)
如果 q1 < 1，方程(3.2)收敛而方程(3.3)发散。当我们想去解释残差{Zt}时
，处理一个收敛的表达式当然是更合意的。因此方程(3.2)更可取。在这种
情形下， MA(1) 模型{Yt}被称为是可逆的。
一般地，设{Yt}是一个 MA(q) 模型，由Yt = q(B)Zt 给出，这里 q(B) = 1+ q1B + L + qqBq 而 BZt = Zt- 1。{Yt} 可逆的条件由如下定理给出。 定理 3.1 如果方程q(B) = 0 的根全部位于单位圆之外，那么 MA(q) 模 型 {Yt } 是可逆的。 证明： MA(1) 情形说明了证明思路。 注释：假如一个常数均值 m加入到方程中，使的Yt = m+ q(B)Zt ，那么 EYt = m，但是，自协方差函数保持不变。
rY (k)
=
ìïïïïíïïïïî
1,
- q1 0,
(1+ q12 ),
k = 0,
k = 1, 其它.
考虑另一个 MA(1) 模型
1 X t = Zt - q1 Zt- 1
那么有 r X (k) = r Y (k) 。 { X t } 和 {Yt } 二者具有相同的协方差函数。那么 { X t } 和 {Yt } 二者谁
3.3 自回归模型 另一类常用的模型是自回归(AR)模型。AR 模型之所以有吸引力是因为它
很类似于传统的回归模型。当我们用时间序列的过去(滞后)值代替经典回归 模型中的预测子后，我们就得到了一个 AR 模型。因此我们有理由料想为经典 回归导出的大部分统计结果可以不做什么修改就推广到 AR 情形。情况确实 如此并且正因为这个原因，AR 模型已经成为最常用的线性时间序列模型之一.
å = s 2 qiqi+ k ,
i= 0
其中,q0 @1.
观察公式
邋 r
(k)
=
ìïïïïïíïïïïïïî
q- k i= 0
qiqi+
1, 0,
k
q
qi2 ,
i= 0
k ９q, k 0,
k = 0, 其它.
知，对于 MA(q) 模型，其 ACF 在 q 次滞后以后变为零。它显然是一个平稳模型。
例 3.1 考虑 MA(1) 模型Yt = Zt - q1Zt- 1。它的相关函数满足
更可取呢？
Fra Baidu bibliotek
为了回答这个问题，倒过头来将{Zt } 用数据来表示。对于数据集{Yt } ，残差 {Z t } 可以写为
Zt = Yt + q1Zt- 1 = Yt + q1(Yt- 1 + q1Zt- 2 )
= Yt + q1Yt- 1 + q12Yt- 2 + L
(3.2)
对于数据集 { X t } ，残差{Z t } 可以写为
3.2 滑动平均模型
设{Zt}是具有均值为零方差为s 2 的独立同分布的随机变量序列并用 Zt : i.i.d.(0,s 2 ) 表示之。假如我们只要求{Zt}是不相关的而不必是独立的， 则{Zt}有时被称为白噪音序列并用 Zt : WN(0,s 2 ) 表示之。从直观上说，这 意味着序列{Zt}是随机而且没有系统结构的。 在本书的通篇，我们都用 {Zt}表示宽意义上的白噪音序列，这就是说， Zt : WN(0,s 2 ) 或者意味着 Zt : i.i.d.(0,s 2 ) 或者意味着{Zt}是具有均值为零方差为 s 2 的不相关的随机变 量序列。用 {Z t } 做成一个加权平均，我们就完成了如下的滑动平均(MA)时 间序列模型：
形式上，AR(p)模型{Yt}可以写为f (B)Yt = Zt ，这里f (B) = (1- f 1B- L - f pBp ) ，
BYt = Yt- 1 。于是，Yt = f 1Yt- 1 + L + f pYt- p + Zt 。正式地，我们有如下定义。
定义 3.1 称{Yt}为 AR(p)过程，如果
Yt = f Yt- 1 + Zt , Zt : WN(0, s 2 )
迭代这个方程，有 Yt
=
Zt
+
f
Zt- 1 +
L
+
f
。 Y k+ 1 t- k- 1
(3.4)
问题 1. 我们可以找到满足方程(3.4)的平稳过程吗？
首先，假如这样的过程 {Yt } 的确存在，它会是怎样的呢？
·既然 {Yt } 满足方程(3.4)，它必须有如下形式：
3.1 简介
本章引入了时间序列分析常用的几个概率模型。假定所要研究的序列已 经用前两章介绍的方法剔除了趋势。粗略地说，存在三种模型：滑动平均模 型(MA)；自回归模型(AR)和自回归滑动平均模型(ARMA)。它们用来描述平稳 时间序列。此外，因一些类型的非平稳性可以用差分的手段来处理，所以 我们也研究自回归融合滑动平均模型(ARIMAs)这种类型。
Yt = Zt + q1Zt- 1 + L + qqZt- q , Zt : WN(0,s 2 )
此模型称为 q 阶滑动平均模型并记为 MA(q) 。
(3.1)
命题 3.1 设{Yt}是(3.1)式给出的 MA(q) 模型。那么
(i) EYt = 0 ； (ii) varYt = (1+ q12 + L + qq2)s 2 ；
(i) {Yt}是平稳的； (ii) 对所有的 t ，{Yt}满足f (B)Yt = Zt 。
3.3.1 因果和平稳二象性
在不同的著作中，关于 AR(一般地，ARMA)模型的平稳性和因果性的 概念似乎存在着混淆。本节我们来澄清这种模棱两可的情况。
主要问题：AR(p)总是存在的吗？
为了回答这个问题，考虑简单的 AR(1)情形：
(iii)
å cov(Yt ,Yt+ k ) =
ìïïïïíïïïïî
0,
q- k
s2
i= 0
qiqi+
k
,
k > q, k £ q.
证明： cov(Yt ,Yt+ k ) = E(YtYt+ k )
= E(Zt + L + qq Zt- q )(Zt+ k + L + qq Zt+ k- q )
q- k
k
å Yt =
f
Zi t- i
+
f
Y k+ 1 t-
k- 1
i= 0
·暂假定 f < 1。既然{Yt}是平稳的，那么对于所有的 t ， EYt2 = 常量 。