《概率论与数理统计》模拟试卷2参考答案

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《概率论与数理统计》期末测试卷(二)(答案解析版)

《概率论与数理统计》期末测试件（二）（答案解析版）一、（12分）一学生接连参加同一课程的两次考试。

第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为P 2。

（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。

（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。

解：A i ={他第i 次及格}，i=1,2已知P (A 1)=P (A 2|A 1)=P ，21P P(A /A )2= （1）B ={至少有一次及格}所以21}{A A B ==两次均不及格∴ )|()(1)(1)(1)(12121A A P A P A A P B P B P -=-=-= )]|(1)][(1[1121A A P A P ---=22123)21)(1(1P P P P -=---= （2）由乘法公式，有P (A 1 A 2)= P (A 1) P (A 2| A 1) = P 2 由全概率公式，有)|()()|()()(1211212A A P A P A A P A P A P +=222)1(2P P PP P P +=⋅-+⋅=得1222)|(2221+=+=P PP P P A A P .二、（14分）设随机变量~,22X U ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭,求（1）随机变量X 的分布函数()F x ；（2） cos Y X =的密度函数 . 解：X 的密度函数为()1,220,x f x πππ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他cos Y X= 的可取值范围是()0,1当01y <<时，()()Y F y P Y y =≤arccos 2arccos 2arccos arccos 2211y yP Y y P y Y dx dxππππππ--⎛⎫⎛⎫=-≤≤-+≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎰⎰因此，cos Y X = 的密度函数()(),01Y Y f y F y y '===<<故，,01()0,Y y f y <<=⎩其他三、（16分）设随机向量（X , Y ）的联合密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,10 ,2),(其他y x x y x f(1) 计算P (Y > X )；(2) 求X , Y 的概率密度f X (x )，f Y (y );(3) 判断X 与Y 是否相互独立，说明理由； (4) 求Z = X+Y 的概率密度f Z (z ). 解：（1）.312),()(110===>⎰⎰⎰⎰>x xy xdy dx dxdy y x f X Y P（2）dyy x f x f X ⎰∞∞-=),()(.2x 2)(101x dy x f x X ==<<⎰时，当⎩⎨⎧<<=.,0,10,2)(其他x x x f Xdxy x f y f Y ⎰∞∞-=),()(.10,1 2)(10<<==⎰y dx x y f Y⎩⎨⎧<<=.,0,10,1)(其他y y f Y（3）因为，..),()(),(e a y f x f y x f Y X =所以X 与Y 相互独立. （4）.),()(dx x z x f z f Z ⎰∞∞--=.22)(21,2)(1021120z z dx x z f z z dx x z f z z Z zZ -==<<==<<⎰⎰-时，当时，当⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<=. ,0,2z 1 ,2,10 ,)(22其他z z z z z f Z四、（18分）设二维连续型随机变量(X ,Y )在区域D 上服从均匀分布。

概率论与数理统计-模拟题 2

《概率论与数理统计》模拟题一.单选题1.对于事件A,B,下列命题正确的是().A.若A,B 互不相容,则A 与B̅也互不相容. B.若A,B 相容,那么A 与B̅也相容. C.若A,B 互不相容,且概率都大于零,则A,B 也相互独立.D.若A,B 相互独立,那么A 与B̅也相互独立. [答案]:D2.在一次假设检验中,下列说法正确的是(). A.既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误B.如果备择假设是正确的,但作出的决策是拒绝备择假设,则犯了第一类错误C.增大样本容量,则犯两类错误的概率都不变D.如果原假设是错误的,但作出的决策是接受备择假设,则犯了第二类错误 [答案]:A3.对总体X~N(μ,σ²)的均值和作区间估计,得到置信度为95%的置信区间,意义是指这个区间().A.平均含总体95%的值B.平均含样本95%的值C.有95%的机会含样本的值D.有95%的机会的机会含μ的值 [答案]:D4.在假设检验问题中,犯第一类错误的概率α的意义是(). A.在H 0不成立的条件下,经检验H 0被拒绝的概率 B.在H 0不成立的条件下,经检验H 0被接受的概率 C.在H 0成立的条件下,经检验H 0被拒绝的概率 D.在H 0成立的条件下,经检验H 0被接受的概率 [答案]:C5.在一次假设检验中,下列说法正确的是(). A.第一类错误和第二类错误同时都要犯B.如果备择假设是正确的,但作出的决策是拒绝备择假设,则犯了第一类错误C.增大样本容量,则犯两类错误的概率都要变小D.如果原假设是错误的,但作出的决策是接受备择假设,则犯了第二类错误 [答案]:C6.设θ 是未知参数θ的一个估计量,若θθ≠ E 则θ是θ的(). A.极大似然估计 B.矩法估计 C.相合估计D.有偏估计[答案]:B7.在对单个正态总体均值的假设检验中,当总体方差已知时,选用().A.t检验法B.u检验法C.F检验法D.σ2检验法[答案]:B8.在一个确定的假设检验中,与判断结果相关的因素有().A.样本值与样本容量B.显著性水平C.检验统计量D.A,B,C同时成立[答案]:D9.对正态总体的数学期望进行假设检验,如果在显著水平0.05下接受H0:μ=μ0,那么在显著水平0.01下,下列结论中正确的是().A.必须接受H0B.可能接受,也可能拒绝H0C.必拒绝H0D.不接受,也不拒绝H0[答案]:A10.设A和B为两个任意事件,且A⊂B,P(Ｂ)>0,则必有().A.P(A)<P(A|B)B.P(A)≤P(A|B)C.P(A)>(A|B)D.P(A)≥P(A|B)[答案]:B11.已知P(A)=0.4,P(B)=0.6,P(B|A)=0.5,则P(A|B)=().A.1/2B.1/3C.10/3D.1/5[答案]:B12.甲.乙两人独立的对同一目标各射击一次,其中命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是乙命中的概率是().A.3/5B.5/11C.5/8B.6/11 [答案]:C13.设A 和B 为两个任意事件,则下列关系成立的是(). A.(A ∪B )−B =A B.(A ∪B )−B ⊃A C.(A ∪B )−B ⊂A D.(A −B )∪B =A [答案]:C14.设A 和B 为两个任意事件,且A ⊂B ,则必有(). A.P (A )<P(AB) B.P (A )≤P(AB) C.P (A )>P(AB) D.P (A )≥P(AB) [答案]:D15.设每次实验成功的概率为p(0<p<1)则在三次独立重复试验中至少一次成功的概率为(). A.p 3 B.1-p 3 C.(1-p)3 D.1-(1-p)3 [答案]:B16.某人射击时,中靶的概率为2/3,如果射击直到中靶子为止,则射击次数为3的概率(). A. 2/27 B.2/9 C.8/27 D.1/27 [答案]:A17.设随机事件A 和B 满足P (B |A )=1,则(). A.为必然事件 B.P (B |A )=0 C.B ⊂A D.B ⊃A [答案]:C18.设一随机变量X 的密度函数φ(−x )=φ(x ),F(x)是Ｘ的分布函数,则对任意实数a 有(). A.F (−a )=1−∫φ(x )a0dx B.F (−a )=12−∫φ(x )a 0dx C.F (−a )=1−F(a)D.F (−a )=2F (a )−1 [答案]:B19.变量X 的密度函数为f (x )={Cx 30<x <10其它,则常数C=().A.3B.4C.1/4D.1/3 [答案]:B20.设X 和Y 相互独立,且分别服从N(0,1)和N(1,1)则(). A.P {X +Y ≤0}=12 B.P {X +Y ≤1}=12C.P {X −Y ≤0}=12D.P {X −Y ≤1}=12[答案]:B21.设Ｘ和Ｙ独立同分布,且P {X =1}=P {Y =1}=12,P {X =−1}=P {Y =−1}=12,则下列各式成立的是(). A.P {X =Y }=12 B.P {X =Y }=1 C.P {X +Y =0}=14D.P {XY =1}=14 [答案]:A22.总体方差D 等于(). A.1n ∑(X i −X ̅)2n i=1B.1n−1∑(X i −X ̅)2n i=1 C.1n ∑X i 2−(EX)2n i=1 D.1n−1∑(X i −EX)2n i=1 [答案]:C23.设随机变量X～N(μ,σ²),则随着σ的增大,概率P{|X−μ|<σ}为().A.单调增加B.单调减少C.保持不变D.增减不定[答案]:C24.设随机变量X和Y均服从正态分布X～N(μ,4²),Y～N(μ,5²),记p1=P{X<μ−4},p2= P{Y≥μ+5},则().A.对任何实数μ都有p1=p2B.对任何实数μ都有p1<p2C.仅对个别值有p1=p2D.对任何实数μ都有p1>p2[答案]:A25.设X1,X2,…,X n为来自总体的一个样本,X̅为样本均值,EX未知,则总体方差DX的无偏估计量为().A.1n ∑(X i−X̅)2 ni=1B.1n−1∑(X i−X̅)2 ni=1C.1n ∑(X i−EX)2 ni=1D.1n−1∑(X i−EX)2 ni=1[答案]:B26.设总体X～f(x,θ),θ为未知参数,X1,X2,…,X n为X的一个样本,θ1(X1,X2,…,X n).θ2(X1,X2,…,X n)为两个通缉量(θ1,θ2)为θ的置信度为1-α的置信区间,则应有().A.P{θ1<θ<θ2}=αB.P{θ<θ2}=1-αC.P{θ1<θ<θ2}=1-αD.P{θ<θ1}=α[答案]:C27.在假设建设检验中,记H0为检验假设,则所谓犯第一类错误的是().A.H0为真时,接受H0B.H0不真时,接受H0C.H0不真时,拒绝H0D.H0为真时,拒绝H0[答案]:D28.袋中有50个乒乓球,其中20个黄的,30个白的,现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球.则第二人取到黄球的概率是().A.1/5B.2/5C.3/5D.4/5[答案]:B29.事件”甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A为().A.”甲种产品滞销,乙种产品畅销”B.”甲.乙两种产品均畅销”C.”甲种产品滞销”D.”甲种产品滞销或乙种产品畅销”[答案]:D30.设A,B,C表示三个随机事件,则A⋃B⋃C表示A.A,B,C中至少有一个发生;B.A,B,C都同时发生;C.A,B,C中至少有两个发生;D.A,B,C都不发生.[答案]:A31.已知事件A,B相互独立,且P(A)=0.5,P(B)=0.8,则P（A⋃B）＝()A.0.65;B.1.3;C.0.9;D.0.3.[答案]:C32.设X～B（n,p）,则有()A.E（2X－1）＝2np;B.E（2X＋1）＝4np＋1;C.D（2X＋1）＝4np（1－p）＋1A.;D.D（2X－1）＝4np（1－p）.[答案]:D33.X则a＝()A.1/3;B.0;C.5/12;D.1/4.[答案]:A34.常见随机变量的分布中,数学期望和方差一定相等的分布是() A.二项分布; B.标准正态分布; C.指数分布; D.泊松分布. [答案]:D35.在n 次独立重复的贝努利试验中,设P （A ）＝p,那么A 事件恰好发生k 次的概率为(). A.p k ;B.(nk )p k (1－p)n-k ;C.p n-k (1－p)k ;D.p k (1－p)n-k . [答案]:B36.设X则它的数学期望E(X)和方差D(X ）分别是 A.1/4,1/16; B.1/2,3/4; C.1/4,11/16; D.1/2,11/16. [答案]:C37.设随机变量X 的密度函数f (x )={2x x ∈[0,A]0 其他，则常数A=().A.1;B.1/2;C.1/2;D.2.[答案]:A38.若T ～t(n),下列等式中错误的是(). A.P{T>0}=P{T ≤0}; B.P{T ≥1}=P{T>1}; C.P{T=0}=0.5;D.P{T>t α}=P{T<－t α}. [答案]:C39.设X ～N(μ1,σ12),它有容量为n 1的样本X i ,i=1,2,…n 1;Y ～N(μ2,σ22),它有容量为n 2的样本Y j ,j=1,2,…n 2.它们均相互独立,X 和Y 分别是它们样本平均值,s 12和s 22分别是它们样本方差,σ12,σ22未知但是相等.则统计量212121221121)2()()(n n n n n n s n s n Y X +-++---μμ应该服从的分布是().A.t(n 1＋n 2);B.t(n 1＋n 2－1);C.t(n 1＋n 2－2);D.F(n 1－1,n 2－1). [答案]:C40.设X ～N(μ1,σ2),它有容量为n 1的样本X i i=1,2,…n 1;Y ～N(μ2,σ2),它有容量为n 2的样本Y j j=1,2,…n 2.均相互独立,s 12和s 22分别是它们样本方差.则统计量1122221211--n s n n s n 应该服从的分布是().A.χ2(n 1＋n 2－2);B.F(n 2－1,n 1－1);C.t(n 1＋n 2－2);D.F(n 1－1,n 2－1). [答案]:D41.若μˆ1和μˆ2同是总体平均数μ的无偏估计,则下面叙述中,不正确的是(). A.2μˆ1－μˆ2仍是总体平均数μ的无偏估计; B.21μˆ1－21μˆ2仍是总体平均数μ的无偏估计; C.21μˆ1＋21μˆ2仍是总体平均数μ的无偏估计 D.32μˆ1＋31μˆ2仍是总体平均数μ的无偏估计. [答案]:B42.假设检验时,当样本容量n 固定时,缩小犯第Ⅰ类错误的概率α,则犯第Ⅱ类错误的概率β().A.一般要变小;B.一般要变大;C.可能变大也可能变小;D.肯定不变. [答案]:B43.设X ～N(μ,σ2),μ和σ2均未知,X 是样本平均值,s 2是样本方差,则（X －t 0.051-n s ,X ＋t 0.051-n s ）作为的置信区间时,其置信水平为().A.0．1;B.0.2;C.0.9;D.0.8. [答案]:C44.已知一元线性回归直线方程为yˆ＝a +4x,且x ＝3,y ＝6.则a＝(). A.0;B.6;C.2;D.－6. [答案]:D45.设（x 1,y 1）,（x 2,y 2）,...（x n ,y n ）是对总体(X,Y)的n 次观测值,l YY =∑=-ni iy y12)(,l XX =∑=-ni ix x12)(分别是关于Y,关于X 的校正平方和及l XY =∑=--ni i i y y x x 1))((是关于X 和Y的校正交叉乘积和,则它们的一元回归直线的回归系数b＝().A.XX XYl l ; B.XXXYl l ; C.YYXX XY l l l 2; D.YYXX XY l l l .[答案]:A46.设A,B为两个事件,则AB＝().A.A B;B.A B;C.A B;D.A⋃B.[答案]:D47.若X～N(0,1),ϕ(x)是它的密度函数,Φ(x)是它的分布函数,则下面叙述中不正确的是().A.Φ(－x)＝－Φ(x);B.ϕ(x)关于纵轴对称;C.Φ(0)＝0.5;D.Φ(－x)＝1－Φ(x).[答案]:A48.对单个总体X～N(μ,σ2)假设检验,σ2未知,H0：μ≥μ0.在显著水平α下,应该选（）.A.t检验;B.F检验;C.χ2检验;D.u检验.[答案]:A49.甲乙两人各自同时向敌机射击,已知甲击中敌机的概率为0.8,乙击中敌机的概率为0.5,则恰有一人击中敌机的概率().A.0.8B.0.5C.0.4D.0.6[答案]:B=,则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是.(查表50.设X~N(μ,0.3²),容量n=9,均值X5Z0.025=1.96)A.(4.808,6.96)B.(3.04,5.19)C.(4.808,5.19)D.(3.04,6.96)[答案]:C二.填空题1.设X 1,X 2,…,X 16是来自总体X~(4,σ2)的简单随机样本,2σ已知,令1611X 16i i X==∑则统计量4X-16σ服从分布###(必须写出分布的参数). [答案]:Ｎ(0,1)2.设2X~μσ（，）,而1.70,1.75,1.70,1.65,1.75是从总体X 中抽取的样本,则μ的矩估计值为###. [答案]:71.111=∑=ni i X n3.设X~U[a,1],X 1,…,X n 是从总体X 中抽取的样本,求a 的矩估计为###.[答案]:121-∑=ni i X n4.已知F 0.1(8,20)=2,则F 0.9(20,8)=###.[答案]:0.55.设某个假设检验问题的拒绝域为W,且当原假设H 0成立时,样本值(x 1,x 2,…,x n )落入W 的概率为0.15,则犯第一类错误的概率为###.[答案]:0.156.设样本的频数分布为X0 1 2 3 4 频数 1 3 2 1 2则样本方差s 2=###.[答案]:27.设X1,X2,,Xn 为来自正态总体N(μ,σ²)的一个简单随机样本,其中参数μ和σ²均未知,记,221Q )n i i X X ==-∑（,则假设H 0:μ＝0的t 检验使用的统计量是###.(用X 和Q 表示)[答案]:Xt (1)n n Q =-8.设总体X~N(μ,σ²),X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的样本,则样本均值X ＝###.[答案]:n 2σ9.设总体X ～b,(np),0<p<1,X 1,X 2,…,X n 为其样本,则n 的矩估计是###.[答案]:X n p =10.设总体X ～[U,θ],(X 1,X 2,…,X n )是来自X 的样本,则θ的最大似然估计量是###.[答案]:{}12max X X X n θ=，，11.测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差(微米)如下:+2,+1,-2,+3,+2,+4,-2,+5,+3,+4.则零件尺寸偏差的数学期望的无偏估计量###.[答案]:212.设X 1,X 2,X 3,X 4是来自正态总体N(0,2)2的样本,令Y=(X 1+X 2)2+(X 3-X 4)2,则当C=###时CY ～x 2(2).[答案]:1/813.设容量n=10的样本的观察值为(8,7,6,9,8,7,5,9,6),则样本均值样本方差###.[答案]:s 2=214.设A.B 为随机事件,P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8则P(B|A)＝###.[答案]:0.715.若事件A 和事件B 相互独立,P(A)=α,P(B)=0.3,P (A⋃B )=0.7,则α=###.[答案]:3/716.设X ～N(2,σ²),且P{2<x<4}=0.3,则P{x<0}=###.[答案]:217.一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为80/81,则该射手的命中率为###.[答案]:2/318.三个人独立地解答一道难题,他们能单独正确解答的概率分别为1/5.1/3.1/4,则此难题被正确解答的概率为###.[答案]:3/519.设有一箱产品由三家工厂生产的其中1/2是第一加工厂生产的,其余两家工厂各生产1/4,又知第一.第二工厂生产的产品有2%的次品,第三工厂生产的产品有4%的次品,现从箱中任取一只,则取到的次品的概率为###.[答案]:2.5%20.一个盒子中有10个球,其中有3个红球,2个黑球,5个白球,从中取球两次,每次取一个(有放回)则:第二次取到黑球的概率为###.[答案]:0.221.由长期统计资料得知,某一地区在4月下雨(记事件A)的概率为4/15,刮风(记作事件B)概率为7/15,刮风又下雨(记作事件C)概率为1/10则:p(B|A)=###.[答案]:3/822.一盒子中黑球.红球.白球各占50%,30%,20%,从中任取一球,结果不是红球,则取到的是白球的概率为###.[答案]:2/723.某公共汽车站甲.乙丙动人分别独立地等1.2.3路汽车,设每个人等车时间(单位分钟)均服从[0,5]上的均匀分布,则三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率为###.[答案]:0.35224.若随机变量X ～(2,σ²)且p{2<X<4}=0.3,则p{X<2}=###.[答案]:0.525.若随机变量X ～N(-1,1),Y ～N(3,1)且X 和Y 相互独立,设随机变量Z=X-2Y+7,则Z ～###.[答案]:N(0,5)26.设随机变量X ～N(1,22),则EX 2=###.[答案]:5三.计算题1.已知100个产品中有5个次品,现从中有放回地取3次,每次任取1个,求在所取的3个中恰有2个次品的概率.[答案]:.007125.0)95.0()05.0(}2{223===C X P2.某人进行射击,设每次射击的命中率为0.02,独立射击400次,试求至少击中两次的概率.[答案]:).02.0,400(~b XX 的分布律为,)98.0()02.0(400}{400k k k k X P -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==0,1,,400.k = 于是所求概率为}1{}0{1}2{=-=-=≥X P X P X P 399400)98.0)(02.0(400)98.0(1--=.9972.0=3.已知100个产品中有5个次品,现从中无放回地取3次,每次任取1个,求在所取的3个中恰有2个次品的概率.[答案]:.00618.0}2{310025195≈==C C C X P4.某一城市每天发生火灾的次数X 服从参数8.0=λ的泊松分布,求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率.[答案]:由概率的性质,得}3{1}3{<-=≥X P X P }2{}1{}0{1=-=-=-=X P X P X P⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-!28.0!18.0!08.012108.0e .0474.0≈5.某公共汽车站从上午7时起,每15分钟来一班车,即7:00,7:15,7:30,7:45等时刻有汽车到达此站,如果乘客到达此站时间X 是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.[答案]:以7:00为起点0,以分为单位,依题意~X ),30,0(U ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,0300,301)(x x f 为使候车时间X 少于5分钟,乘客必须在7:10到7:15之间,或在7:25到7:30之间到达车站,故所求概率为}3025{}1510{<<+<<X P X P 3130130130251510=+=⎰⎰dx dx6.某元件的寿命X 服从指数分布,已知其平均寿命为1000小时,求3个这样的元件使用1000小时,至少已有一个损坏的概率.[答案]:由题设知,X 的分布函数为.0,00,1)(1000⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-x x ex F x 由此得到}1000{1}1000{≤-=>X P X P .)1000(11-=-=e F各元件的寿命是否超过1000小时是独立的,用Y 表示三个元件中使用1000小时损坏的元件数,则).1,3(~1--e b Y所求概率为}0{1}1{=-=≥Y P Y P .1)()1(13310103----=--=e e e C7.设某项竞赛成绩N X ~(65,100),若按参赛人数的10%发奖,问获奖分数线应定为多少?[答案]:设获奖分数线为,0x 则求使1.0}{0=≥x X P 成立的.0x)(1}{1}{000x F x X P x X P -=<-=≥,1.0106510=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=x 即,9.010650=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φx 查表得,29.110650=-x 解得,9.770=x 故分数线可定为78.8.设随机变量X 具有以下的分布律,试求2)1(-=X Y 的分布律. 4.01.03.02.02101i p X-[答案]:Y 所有可能的取值0,1,4,由,2.0}1{}4{,7.0}2{}0{}1{,1.0}1{}0)1{(}0{2=-=====+=======-==X P Y P X P X P Y P X P X P Y P即得Y 的分布律为9.已知随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=4,140,4/0,0)(x x x x x F ,求).(X E[答案]:随机变量X 的分布密度为,,040,4/1)()(⎩⎨⎧≤<='=其它x x F x f故.2841)()(40240==⋅==⎰⎰∞+∞-x dx x dx x xf X E 10.设05.0=α,求标准正态分布的水平0.05的上侧分位数和双侧分位数.[答案]:由于,95.005.01)(05.0=-=Φu 查标准正态分布函数值表可得,645.105.0=u 而水平0.05的双侧分位数为,025.0u 它满足:,975.0025.01)(025.0=-=Φu 查标准正态分布函数值表可得.96.1025.0=u 2χ分布.11.设),2,21(~2N X 2521,,,X X X 为X 的一个样本,求:(1)样本均值X 的数学期望与方差;(2)}.24.0|21{|≤-X P[答案]:)1(由于),2,21(~2N X 样本容量,25=n 所以,252,21~2⎪⎪⎭⎫⎝⎛N X 于是,21)(=X E .4.0252)(22==X D)2(由),4.0,21(~2N X 得),1,0(~4.021N X - 故⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-=≤-6.04.021}24.0|21{|X P X P .4514.01)6.0(2=-Φ=12.⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤--+=其它100101)(x x x A x x f ,则求常数A.期望EX 及方差DX. [答案]:011(1)x dx -=++⎰10()A x dx -⎰,得A=1 ()EX xf x dx +∞-∞==⎰01(1)x x dx -++⎰10(1)0x x dx -=⎰ 22()EX x f x dx +∞-∞==⎰021(1)x x dx -++⎰120(1)1/6x x dx -=⎰ 61)D(x)22=-=EX EX （。

概率论与数理统计2.第二章练习题(答案)

第二章练习题（答案）一、单项选择题1．已知连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=ππx x b kx x x F ,10,0,0)( 则常数k 和b 分别为（ A ）（A ）0,1==b k π （B ）π1,0b k = （C ）0,21==b k π （D ）π21,0==b k ． 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数（ A ）A. f （x ）={xa e −x 22a,x ≥01, x <0(a ＞0); B. f （x ）={12cosx, 0< x <π0, 其他C. f （x ）={cosx, −π2< x <π20, 其他D. f （x ）={sinx, −π2< x <π20, 其他3.若函数()f x 是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是（ C ） A. ()f x 的定义域是[0,1] B. ()f x 的值域为[0,1] C. ()f x 非负 D. ()f x 在(,)-∞+∞内连续4. 设)1,1(~N X ，密度函数为)(x f ，则有（ C ） A.{}{}00>=≤X P X P B. )()(x f x f -= C. {}{}11>=≤X P X P D. )(1)(x F x F --=5. 设随机变量()16,~μN X ，()25,~μN Y ，记()41-<=μX P p ，()52+>=μY P p ，则正确的是（ A ）.（A ）对任意μ，均有21p p = （B ）对任意μ，均有21p p < （C ）对任意μ，均有21p p > （D ）只对μ的个别值有21p p = 6. 设随机变量2~(10,)X N ，则随着的增加{10}P X （ C ）A.递增B.递减C.不变D.不能确定7.设F 1(x )与F 2(x )分别为随机变量X 1、X 2的分布函数,为使F (x )=aF 1(x )-bF 2(x )是某一随机变量的分布函数,在下列给定的多组数值中应取 ( A )A . a =53, b =52-; B . a =32, b =32;C . 21-=a ， 23=b ; D . 21=a , 23-=b .8.设X 1与X 2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为f 1(x )和f 2(x )，分布函数分别为F 1(x )和F 2(x )，则 ( D ) (A) f 1(x )+f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度；（B ）f 1(x )•f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度；（C ）F 1(x )+F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数； (D) F 1(x ) •F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数。

概率论与数理统计2含答案

一.填空题（共10分）已知P(A)=12，P BA c h=34，P(B) =58，则P( A ∣B ) =______ 。

设随机变量X 服从参数为 λ 的泊松分布，且已知P{ X= 7 } =P{ X= 9 }，则 λ =___________。

3、样本(,,,)X X X n 12 来自总体2~(, )X N μσ，则22(1)~n n S σ- ______________；()~n X S μ- ____________。

其中X 为样本均值，S n X X n i n 22111=--=∑()。

4、设X X X n 12,, 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，记1nn i ii Y a X ==∑，若n Y 为μ的无偏估计，则12,,...n a a a 满足的等式为。

5、设总体~(1,)X B p ，其中未知参数01<<p , X X X n 12,, 是X 的样本，则p的矩估计为________，样本的似然函数为_________。

(f x p p p x x(;)()=-1 为 X的概率密度函数 ) 二、选择题（共10分）6、4, 1, 0.6XY DX DY ρ===，则(32)D X Y -=( )。

( A ) 40 ( B ) 34 ( C ) 25.6( D ) 17.67、样本(,,,)X X X n 12 来自总体X ，已知X 服从参数λ=1的指数分布，则Max X X X n {,,,}12 的分布函数为( )。

( A )F z z e z z()=<-≥R S T - 0010 ( B ) F z z e z z n()()=<-≥R S T - 0010 ( C ) F z z e z z ()=<≥R S T - 000 ( D )0 0()n 0nzz F Z e z -<⎧=⎨≥⎩ 8、随机变量~(1,1)X N ，记X 的概率密度为f(x)，分布函数为F( x )，则有( )。

概率论与数理统计模拟试卷和答案

北京语言大学网络教育学院《概率论与数理统计》模拟试卷一注意：1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。

请监考老师负责监督。

2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。

3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。

4.本试卷分为试题卷和答题卷，所有答案必须答在答题卷上，答在试题卷上不给分。

一、【单项选择题】(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。

1、设A,B是两个互不相容的事件，P（A）>0 ，P（B）>0，则（）一定成立。

[A]P（A)＝1－P（B）[B]P（A│B)＝0[C]P（A│B)＝1 [D]P（AB)＝02、设A,B是两个事件，P（A）>0，P（B）>0，当下面条件（）成立时，A 与B一定相互独立。

[A]P( AB)＝P（A）P（B）[B]P（AB）＝P（A）P（B）[C]P（A│B）＝P（B）[D]P（A│B）＝P(A)3、若A、B相互独立，则下列式子成立的为（）。

[A] P(AB) P(A)P(B) [B] P(AB)0[C] P(AB) P(BA) [D]P(AB) P(B)4、下面的函数中，（）可以是离散型随机变量的概率函数。

[A] P 1 k e1(k 0,1,2 ) k![B] P 2 k e1(k 1,2 )k![C]P 3 k 1(k0,1,2 ) 2k[D] P 4 k1(k 1, 2, 3) k25、设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数，为了使F(x) aF1(x)bF2(x)是某一随机变量的分布函数，则下列个组中应取（）。

[A] a 1 3 [B] a2 2 ,b2,b3 2 3[C a 3,b 2[D a 1,b 3] ]5 5 2 2二、【判断题】(本大题共5小题，每小题3分，共15分)正确的填T，错误的填F，填在答题卷相应题号处。

概率论与数理统计期末考试模拟试题2及答案

概率论与数理统计模拟题二一、单项选择题（每小题3分，共30分）1、设,,A B C 是随机事件，则（）。

(A)()A B B A B -=-(B)()A B B A-=(C)()()AB C A B C -=-(D)AB AB AB=-2、设甲、乙两人进行象棋比赛，A 表示事件“甲胜乙负”，则A 表示事件（）。

(A)“甲负乙胜”(B)“甲乙平局”(C)“甲负”(D)“甲负或平局”3、设一盒子中有5件产品，其中3件正品，2件次品，从盒子中任取两件，则取出的两件产品中至少有1件次品的概率为（）。

（A ）310（B ）510（C ）710（D ）154、设()F x 是随机变量X 的分布函数，则（）。

(A)()F x 一定连续(B)()F x 一定右连续(C)()F x 是单调不增的(D)()F x 一定左连续5、设随机变量X 的概率密度为2(),x f x cex -=-∞<<+∞，则c =（）。

(A)(B)(C)1π(D)12π6、设~(3,1)N ξ，则=≤≤-)11(ξP （）。

(A)1)1(2-Φ(B))2()4(ΦΦ-(C))2()4(---ΦΦ(D))4()2(ΦΦ-7、设离散型随机变量(1,2)i X i =的分布律为i X 1-01P141214且满足12(0)1P X X ==，则12()P X X ==（）。

(A)0(B)14(C)12(D)18、设随机变量X 服从参数为2,μσ的正态分布，即2(,)XN μσ，则DX =（）。

(A)μ(B)σ(C)2μ(D)2σ9、设,X Y 是方差均大于零的随机变量，则下列命题中不正确的事（）。

（A ）,X Y 不相关的充要条件是cov(,)1X Y =（B ）,X Y 不相关的充要条件是()E XY EX EY =⋅（C ）,X Y 不相关的充要条件是()D X Y DX DY ±=+（D ）,X Y 不相关的充要条件是()()D X Y D X Y +=-10、设~(1,4)X N ，12,,,n X X X 为X 的一个样本，则（）。

概率论与数理统计习题二答案

k
P[X=k}=a—,k!
其中k=0,1,2,…，入＞0为常数，试确定常数
(2)设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a/N,
k=1,
2,…，N,
试确定常数a.
【解】(1)由分布律的性质知
(2)由分布律的性质知
N
k)—a
k 1N
即
5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为
(1)两人投中次数相等的概率；
(2)甲比乙投中次数多的概率.
（1）X的分布律；
（2）X的分布函数并作图；
（3）
故X的分布律为
X
0
1
2
P
22
12丄35 Nhomakorabea3535
(2)当x<0时，F(x)=P(XWx)=0
22F(x)=P(Xwx) =P(X=0)=——
35
34 F(x) =P(Xwx) =P(X=0)+P(X=1)=—
35
当x>2时，F故X的分布函数
(X)=P(XWx) =1
《概率论与数理统计》习题及答案
习题
2，3，4,5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只X的分布律.
X 3,4,5
1
P(X
3)
c；
3
0.1
P(X
4)
J
0.3
C5
P(X
5)
c2
^3
0.6
5
故所求分布律为
X
3
4
5
P
2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样, 以X表示取出的次品个数，求：
.341C
1 ——一0.
3535
求3次射击中击中目标的次数的分布

概率论与数理统计阶段练习2_参考答案

《概率论与数理统计》阶段练习2参考答案真-报童卖报，每份元，英成本为元.报馆每天给报童1000份报，并规泄他不得把卖不出的报纸退回.设X 为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示・2、设随机变量X 的概率分布为：¥P {X = K} = a —. A=a 1. 2,…，久 >0.R!试确定常数解依据概率分布的性质: [P[X=k}>G 工 P{X=k} = l ・w欲使上述函数为概率分布应有心。

j 忒宀，从中解得"•3、X 具有离散均匀分布，即P(X =A ；) = !/n,/ = 12—?,求X 的分布函数.解将X 所取的”个值按从小到大的顺序排列为切<“2> <・・•<*（和贝Ijxvx ⑴时，F(x) = P{X<x} = 0. ・*1)<X< 斗2)时，F(x) = P{X < A } =l/zh •¥(2)< X < 兀⑶ H4 ♦ F(x) = P{X <x} = 2/八,•V (灯 <尤<兀(*祕)时，F(x) = P{X <x} = k/n. 入•>兀如时，F(x) = P{X<x} = \0,^x<min （召，…‘丿k/n,当力> min （M 斗）且大,（y =1,2,…屮恰好有k 个不头于;V U当X vmax （X],…，兀 J求X 的的分布函数，并求* 3*注：这里用到了常见的暮级数展开式宀Y 务Jt-O故 Fg ・4.设随机变量X 的概率分布为X Pi-1241/4 1/2 1/4’P{X<l/2}, P {3/2vX<5/2}, P{2<X<3}・5、设随机变量X 的密度函数为0.求苴分布函数F(x)・解 F(x) = X<x} = ［：/ ⑴由当 xv-h F(x) = 0;当-l<x<l, F(x)= fo-Jz+ f' —Jl-rt/f =—y/l-x- +—arcsinx+-J-x J ・i 〃只 n 26.设随机变量X 具有概率密度kx ・V/U)= 2-|, 3<X<4, 0, 苴它(2)求X 的分布函数F(x): ⑶求PU<X<7/2}・丫 2--b=i, 八2/(2) X 的分布函数为「7/2 朴 1 「7/2/ X(3) P{l<X<7/2}・“U)d2| 評讨 12-- 或 P {l<X<7/2} = F(7/2)-F(l)=41/4&7、设某项竞赛成绩X 〜N (65,100),若按参赛人数的10%发奖，问获奖分数线应定为多少解设获奖分数线为则求使P{X>x^} = OA 成立的心・其它当 X>1・ F(x) = 1,故 F(x)n0, A f --- 7 1 1—Vl-f +—arcsinx + — XV-12’A->1⑴确泄常姒；解⑴由 J f(x)dx = l* 得解得k = \©于是X 的概率密度为/Cv) =X6*2 ■丄20<x<33<x<4・尖它F(x)=<0,Jo 6x<0 0<x<33<x<4 x>4a X-/12. —3 + 2x ■x<00<x<33<x<4 x>4P{X >x^} = \-P{X <x^} = i-F(x^) =1-0筈竺) = 09査表得斗浮= 1.29,解得丸= 77.9,故分数线可宦为78分.I IU / 1U8、在电源电压不超过200伏，在200-240伏和超过240伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为，和.假设电源电压X 服从正态分布N(22O, 25 2).试求：(1) 该电子元件损坏的概率a ；(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200-240伏的概率0. 解引入事件州=｛电压不超过200伏｝"2=｛电压不超过200-240伏｝/3=｛电斥超过240伏｝;B = ｛电子元件损坏｝• 由条件知X ~N(22O ・252),因此 < 笃严} = 54 8)= 1-0(0.8) = 0.212;Y _ Rf)]P“2)= P(2{)O<X<24O}=件-0・8<^^^^^^<0・8} =250.8)-1=0.576. P(州)=P{X >240| = 1-P(X<240} = 1-0(0,8) = 0.212・ (1)由题设条件,P(BIA)= 0丄 P(BIA2)= O ・OO1・ P(BI/V)= °・2于是由全概率公式，有3a = P(B) = ZP(A)P(BI A)= 0・0642・j-i⑵由贝叶斯公式，有0 = P(A,\B) = P"2)P"IA2)丸0.009. 卩 - P(B)9、已知某台机器生产的螺栓长度X(单位:厘米)服从参数// = 10.05, <7 = 0.06的正态分布.规定螺栓长度在10・05±0」2内为合格品，试求螺栓为合格品的概率.解根据假设X ~ N(IO ・050062)・P{«<X<”}=©(匕勺一❻= e(2)-[l-e(2)] =252)-1 =2 x 0.9772-1 =0.9544. 即螺栓为合格品的概率等于.10•已知 X~N(&O ・52),求 {1) F(9),F(7); (2) P{7.5<X<10}; {3) P{IX-8K1};(4) P{IX-9lv0・5)・10P(A)= P{X<200} = P记“ =10・05-0・12 b = lQ05 + 0」2则{a<X<h}表示螺栓为合格品.于是q<)=(I>(2)-◎(-2)11•某种型号电池的寿命X 近似服从正态分布N(2).已知其寿命在250小时以上的槪率和寿命不超过350小时的概率均为％,为使其寿命在“-兀和“+K 之间的概率不小于, X 至少为多少12.设X ~N(0,l),求y = X-的密度函数.解记r 的分布函数为 F Y (X ).则 Fy(x) = P{Y<x} = P{X-<x}. 显然，当丄yO 时，Ey(x) = P{X-<x} = 0;当x>o 时，Fy(x)= p{x- <x} = P {-5/7<X <5/7}・2e(頁)一1・注：以上述函数为密度函数的随机变量称为服从z'(l)分布，它是一类更广泛的分布 r ⑺)在"I 时的特例.关于Z-00分布的细将在第五章中给出.13、设随机变量X 服从参数为几的指数分布，求r = min{X.2|的分布函数•解根据已知结果，X 的分布函数I-严 x>0 0,x<0y 的分布函数Fy(y) = P{Y<y} = P{mn{X.2}<y}=l-P{min{X.2}>y} =1-P{X >”2>卅・当)Y 2 时，Fy(y) = \-P{X>y} = P{X<y} = Fx(yl 当 y>2 时，Fy(y) = \.注：在本例中，虽然X 是连续型随机变量，但Y 不是连续型随机变量，也不是离散型随机变量「的分布在y = 2处间断.从而y = X^的分布函数为Fy(x)h2<1>( 77)-1, %>0%<0于是其密度函数为fy(X)=F}(X)= -石倾仮)' 0,x>0.<o=r丄严，*>0JDC 0, x<0代入X 的分布函数中可得F 心)=1-宀0.y<Q"刘,0<yv2・h y>214s 设随机变量X 在（04） h 服从均匀分布"求r=-2In X 的概率密度. 9解在区间（0,1） ±,函数InxvO,故y = -21nx>0・ / = --<0X 于是y 在区间（0・+8）上单调下降，有反函数x ・h （y ）*F2已知X 在在（61）上服从均匀分布即门股从参数为仇的指数分布. 15.设X 的分布列为X -1 0 I 2 5/2Pi 1/5 1/10 1/10 1/10 3/10试求：（1） 2X 的分布律；（2） X2的分布律.16•设随机变量X 的概率密度为lxl7l~, Q<x< 仏0. 其它.求y = sinX 的概率密度•从而/r （y ）=严2<1其它代入/V （y ）的表达式中，得Zv （y ）h 2^・ 0. 1, 0<x<l 0.苴它-v/2 y>Q 其它f(x) = <。

概率论与数理统计模拟试题集(6套,含详细答案)

《概率论与数理统计》试题（1）一、判断题（本题共15分，每小题3分。

正确打“√”，错误打“×”）⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理（）⑸ 样本方差2n S=n121)(X Xni i-∑=是母体方差DX 的无偏估计（）二、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来（1）仅A 发生，B 、C 都不发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生；（3）,,A B C 中不多于两个发生；（4）,,A B C 中恰有两个发生；（5）,,A B C 中至多有一个发生。

三、（15分）把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分）已知离散型随机变量X 的分布列为210131111115651530XP-- 求2Y X =的分布列.五、（10分）设随机变量X 具有密度函数||1()2x f x e -=，∞＜ x ＜∞，求X 的数学期望和方差.六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.《概率论与数理统计》试题（1）评分标准一 ⑴ ×；⑵ ×；⑶ √；⑷ √；⑸ ×。

《概率论与数理统计》模拟题(二)参考答案

《概率论与数理统计》模拟题（二）及参考答案一、填空题1. 已知()()()14P A P B P C ===，()0P AB =，()()19P AC P BC ==，则事件,,A B C 全不发生的概率为 .2.（1842）设事件123,,A A A 是样本空间的一个划分，且1()0.5P A =，2()0.3P A =，则3()P A = .3.（1842）设,A B 是随机事件，()0.8P A =，()0.6P AB =，则(|)P B A = .4.（1741）已知()0.5P A =，()0.6P B =，(|)0.8P B A =，则()P A B = .5. 设在三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于1927，则事件A 在一次试验中出现的概率为 .6. 电路由元件A 与两个并联的元件,B C 串联而成，若,,A B C 损坏与否是相互独立的，且它们损坏的概率依次为0.3,0.2,0.1，则电路断路的概率为 .7.（1841）设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，1{0}P X e -==，则λ= . 8.（1841）设()F x 是随机变量X 的分布函数，且{1}0.15P X >=，则(1)F = .9.（1842）设随机变量X 的概率密度为,04,()0,,a x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它其中常数a 未知，则{11}P X -<<= . 10. 设2~(,)X N μσ，已知标准正态分布函数值(1)0.8413Φ=，则{}P X μσμσ-<<+= .11. 设2~(1,4)X N -，(0.125)0.5498Φ=，则{ 1.5}P X >-= .12.（1841）设随机变量,X Y 独立，且X 服从区间[0,1]上的均匀分布，Y 服从参数为1的指数分布，则当01,0x y ≤≤>时，二维随机变量(,)X Y 的概率密度(,)f x y = .13.（1841）设随机变量(,)X Y 的分布律为则{1,2}P X Y =≤= .14. 设(,)X Y 的概率密度为1,01,02,(,)20,x y x y ϕ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它, 则X 与Y 中至少有一个小于12的概率为 . 15.（1842）设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则(2)D X -= .16.（1842）设随机变量,X Y 独立，且分别服从参数为2,3的指数分布，则()D X Y -= .17.设随机变量X 的数学期望()E X μ=，方差2()D X σ=，则由切比雪夫（Chebyshev ）不等式，有{3}P X μσ-≥≤ . 18. 已知总体2~(2)X χ，2~(3)Y χ，且X 与Y 相互独立，则X Y +服从分布.19.（1841）设总体X 在区间[1,3]上服从均匀分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的一个样本，且11ni i X X n ==∑，则()E X = . 20.（1842）设总体2~(,4)X N μ，n X X X ,,,21 为来自总体X 的一个样本，则211[()]ni i E X n μ=-=∑ .21.（1841）设总体X 的分布律为其中p 为未知参数，01p <<，设12,,,n X X X 为来自该总体的一个样本，X 为样本均值，则p 的矩估计ˆp = . 22.（1841）设总体~(,1)X N μ，1216,,,X X X 为来自该总体的一个样本，X 为样本均值，对假设检验问题01:0,:H H μ=0μ≠，应采用检验统计量的表达式为 . 二、单项选择题:1.（1841）设随机事件,A B 满足()0.2P A =，()0.4P B =，()0.6P B A =，则()P B A -=()A 0.16. ()B 0.2. ()C 0.28. ()D 0.32. 答【】2. 设,A B 为两个互斥事件，且()0P A >，()0P B >，则下列结论中正确的是()A (|)0P B A >. ()B (|)()P A B P A =. ()C (|)0P A B =. ()D ()()()P AB P A P B =. 答【】 3. 设,A B 为两个事件，且B A ⊂，则下列结论中正确的是()A ()()P A B P A =. ()B ()()P AB P A =. ()C ()()P B A P B =. ()D ()()()P B A P B P A -=-. 答【】 4. 袋中有5个球（3个新球2个旧球），每次取一个，无放回地取三次，则第三次取到新球的概率为 ()A 310. ()B 34. ()C 12. ()D 35. 答【】5. 已知随机变量2~(,)X N a σ，记(){}g P X a σσ=-<，则随着σ的增大，()g σ之值()A 保持不变. ()B 单调增大. ()C 单调减小. ()D 增减性不确定. 答【】 6. 已知随机变量X 的分布律为X 的分布函数为()F x ，则(0.5)F =()A 0. ()B 0.2. ()C 0.25. ()D 0.3. 答【】 7.（1010）设随机变量~(1,4)X N ，()F x 为X 的分布函数，()x Φ为标准正态分布函数，则(3)F =()A (0.5)Φ. ()B (0.75)Φ. ()C (1)Φ. ()D (3)Φ. 答【】 8. 随机变量,X Y 都服从二项分布，且~(2,)X B p ，~(4,)Y B p ，已知{1}5P X ≥=，则{1}P Y ≥=()A 65. ()B 5681. ()C 8081. ()D 1. 答【】9.（1010）设下列函数的定义域均为(,)-∞+∞，则其中可以作为概率密度的是()A ()x f x e -=-. ()B ()x f x e -=. ()C ||1()2x f x e -=. ()D ||()x f x e -=. 答【】10. 设(,)X Y 的分布函数1,0,0,(,)0,,x y x y e e e x y F x y ----⎧--+>>=⎨⎩其它则下列结论中错误的是 ()A X 与Y 一定相互独立. ()B X 与Y 一定都服从指数分布.()C 1()2E X Y +=. ()D ()2D X Y -=. 答【】 11.（1841）设随机变量X 和Y 独立同分布，且X 的分布律为则{}P X Y ==()A 0.16. ()B 0.36. ()C 0.48. ()D 0.52. 答【】12.（1841）设随机变量X 满足2()20E X =，()4D X =，则(2)E X =()A 4. ()B 8. ()C 16. ()D 32. 答【】 13. 设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量32X Y -的方差是()A 8. ()B 16. ()C 28. ()D 44. 答【】14. 设随机变量~(0,1)X N ，2~(5)Y χ，且X 与Y~ ()A (5)t . ()B (4)t . ()C (1,5)F . ()D (5,1)F . 答【】15.设12,,,n X X X 及12,,,m Y Y Y 分别是来自两个独立的正态总体21(,)N μσ及22(,)N μσ的两个样本，其样本方差分别为21S 及22S ，则统计量2212F S S =服从F 分布的自由度为()A (1,1)n m --. ()B (,)n m . ()C (1,1)n m ++. ()D (1,1)m n --. 答【】注样本方差比的抽样分布：2211122222~(1,1)S F n n S σσ--.16.（1741）设总体X 的概率密度为1,2,()0,,x f x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它（0θ>）12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，___X 为样本均值，则参数θ的无偏估计为()A 12X . ()B 23X . ()C X . ()D 1X. 答【】 17.（1841）某假设检验的拒绝域为W ，当原假设0H 成立时，样本值12(,,,)n x x x 落入W 的概率为0.05，则犯第一类错误的概率为()A 0.05. ()B 0.1. ()C 0.9. ()D 0.95. 答【】三、计算题：1.（1842）设商店有某商品10件，其中一等品8件，二等品2件，售出2件后，从剩余的8件中任取一件，求取得一等品的概率.2. 设连续型随机变量X的概率密度为||1,()0,||1,x f x x <=≥⎩求：(1) 常数k . (2) 1{}2P X <. (3) X 的分布函数. 3.（1842）设随机变量X 服从参数为1的指数分布，31Y X =+，求Y 的概率密度.4. 设随机变量(,)X Y 的分布律为求：(1) (,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘分布律. (2) 2X Y +的分布律.5.（1841）设随机变量(,)X Y 的分布律为且{0}0.4P Y ==，求：(1) 常数,a b . (2) (),()E X D X . (3) ()E XY .6. 设(,)X Y 的概率密度为(5)2,01,5,(,)0,y xe x y f x y --⎧≤≤>=⎨⎩其它. (1) 求(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘概率密度. (2) 问X 与Y 是否相互独立？为什么？ (3) 求()E X .7.（1841）设随机变量X 的分布律为令3Y X =，求：(1) ()E X ，()D X . (2) ()E Y ，()D Y . (3) X 与Y 的相关系数XY ρ.8.（1741）设某批零件的长度~(,0.09)X N μ（单位：cm ），现从这批零件中抽取9个，测其长度作为样本，并算得样本均值为43x =，μ的置信度为0.95的置信区间.（0.025 1.96u =）9. 设总体X 的概率密度为(1),1,()0,x x f x ββ-+⎧>=⎨⎩其它,其中(0)ββ>为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个容量为n的简单随机样本，12,,,n x x x 是一相应的样本值，求参数β的最大似然估计量和最大似然估计值.10.（1842）某水泥厂用自动包装机包装水泥，每袋水泥重量服从正态分布，当包装机正常工作时，每袋水泥的平均重量为50kg .某日开工后，随机抽取9袋，测得样本平均值49.9x kg =，样本标准差0.3s kg =.问当日水泥包装机工作是否正常？（显著性水平0.05α=，0.025(8) 2.306t =）《概率论与数理统计》模拟题（二）参考答案一、填空题1.1736.2.0.2.3.0.25.4.0.7.5.13.6.0.314.7.1.8.0.85.9.14. 10.0.6826.11.0.5498. 12.y e -. 13.0.3. 14.58. 15.12. 16.1336. 17.1. 18.2(5)χ. 19.2. 20.16. 21.1X -. 22.4X .二、单项选择题1.C .2.C .3.A .4.D .5.A .6.D .7.C .8.A .9.C . 10.C . 11.D . 12.B . 13.D . 14.A . 15.A . 16.B . 17.A . 二、计算题：1.解设{B =任取一件为一等品}，{i A =售出的2件商品中有i 件一等品}，0,1,2i =，则2202101()45C P A C ==，08(|)18P B A == 1128121016()45C C P A C ==，17(|)8P B A =，28221028()45C P A C ==，263(|)84P B A ==，由全概率公式得2()()()0.8i i iP B P A P B A ===∑. 2.解 (1) 由()1f x dx +∞-∞=⎰，得111(arcsin )[()]122k x k k πππ--==--==⎰，故1k π=.(2)0.50.50.51111{}{0.50.5}(arcsin )[()]2663P X P X x ππππ--<=-<<===--=⎰. (3) 设X 的分布函数为()F x ，则当1x <-时，()()0x F x f t dt -∞==⎰.当11x -≤<时，()()x xF x f t dt -∞-===⎰⎰11111(arcsin )(arcsin )arcsin 22xt x x ππππ-=+=+.当1x ≥时，1()()1x F x f t dt -∞-===⎰⎰.综上X 的分布函数为 0,1,11()arcsin ,11,21,1.x F x x x x π<-⎧⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎩3.解 X 的概率密度,0,()0,0,xX e x f x x -⎧>=⎨≤⎩当0x >时，311y x =+>，得1(1)3x y =-，3y '=，此时131()13()|3|3y X Y y f f y e ---==，故Y 的概率密度131,1,()30,y Y ey f y --⎧>⎪=⎨⎪⎩其它.4.解 (1) (,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘分布律分别为(2) 由题设有故2X Y +的分布律为5.解 (1) 由{0}{0,0}{1,0}0.10.4P Y P X Y P X Y b ====+===+=，得0.3b =.再由分布律的定义知0.10.20.1a ++++0.21b +=，得0.1a =.综上0.1a =，0.3b =.(2) (,)X Y 关于X 的边缘分布律为则()0.6E X =，()0.6(10.6)0.24D X =-=.(3) ()1(1)0.1110.20.1E XY =⨯-⨯+⨯⨯=.6.解 (1) (5)52,01,2,01,()(,)0,0,y X xe dy x x x f x f x y dy +∞--+∞-∞⎧≤≤≤≤⎧⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其它.其它1(5)(5)02,5,,5,()(,)0,0,y y Y xe dx y e y f y f x y dx ----+∞-∞⎧>⎧>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其它.其它(2) 由于对,x y R ∀∈，均有(,)()()X Y f x y f x f y =⋅，故X 和Y 相互独立.(3) 102()()23X E X xf x dx x xdx +∞-∞==⋅=⎰⎰. 7.解 (1) 111()(1)010333E X =-⨯+⨯+⨯=，22221112()(1)013333E X =-⨯+⨯+⨯=，222()()[()]3D XE X E X =-=.(2) 由题设得随机变量Y 与X 具有相同的分布，则()0E Y =，2()3D Y =.(3) 4X 的分布律为则42()3E X =，故4()()231()()2XY E XY E X D X D X ρ=====.8.解 43x =，20.09σ=，9n =，10.95α-=，0.05α=，20.025 1.96u u α==，所求置信区间为()(43 1.96)x α±=±，即(42.804,43.196).9.解样本的似然函数(1)(1)111,1,(),1,()()0,,0,,n n n nii i i i i i i x x x x L f x βββββ-+-+===⎧⎧>>⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩∏∏∏其它其它当1(1,2,,)i x i n >=时，()0L β>，且11ln ()ln (1)ln()ln (1)ln nni i i i L n x n x θββββ===-+=-+∑∏，令ln ()0dL d ββ=，即1ln 0n i i n x β=-=∑，解得θ的最大似然估计值为1ˆln nii nxθ==∑.θ的最大似然估计量为1ˆln nii nXθ==∑.10.解依题意，需检验假设0010:50,:H H μμμμ==≠.统计量~(1)X t t n =-，0.05α=时，拒绝域为||(1)t t n α≥-= 0.025(8) 2.306t =.由于||1 2.306x t ===<，所以应接受0H ，即认为当日水泥包装机工作正常.。

概率论与数理统计（二）模拟试题4带答案

1．设随机变量X~χ2（2），Y~χ2（3），且X ，Y 相互独立，则YX23所服从的分布为（ B ） A ．F （2，2） B ．F （2，3） C ．F （3，2）D ．F （3，3）2.记F 1-α(m,n)为自由度m 与n 的F 分布的1-α分位数，则有（ A ）A.)n ,m (F 1)m ,n (F 1α-α=B.)n ,m (F 1)m ,n (F 11α-α-=C.)n ,m (F 1)m ,n (F αα=D.)m ,n (F 1)m ,n (F 1α-α=3．设随机变量),(~21n n F F ，则~1F( A ). A. 21(,)F n n B. 12(,)F n n C. 22(,)F n n D. 11(,)F n n4.设n 1X ,,X 为正态总体N(2,σμ)的样本,记∑=--=ni i x x n S 122)(11,则下列选项中正确的是（ A ） A.)1(~)1(222--n S n χσB.)(~)1(222n S n χσ-C.)1(~)1(22--n S n χD.)1(~222-n S χσ5．设总体X~N （μ,σ2）,x 1,x 2,x 3,x 4为来自总体X 的样本，且241241)(,41σ∑∑==-=i ii i x xx x 则服从自由度为( C )的2χ分布.A.1B.2C. 3D.4 6.设总体X~N ),(2σμ,X 1,…,X 20为来自总体X 的样本，则∑=σμ-201i 22i )X (服从参数为( A )的2χ分布。

A.19B.20C. 21D.227．设总体X 服从正态分布N （μ，σ2），X 1，X 2，…，X n 为来自该总体的一个样本，令U=σμ)(-X n ，则D （U ）=( A ).A.1B.2C. 3D.48．设x 1, x 2, …, x 100为来自总体X ~ N(0，42)的一个样本，以x 表示样本均值，则x ~( B ) A ．N(0，16) B ．N(0，0.16) C ．N(0，0.04)D ．N(0，1.6)9．设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<=.,0;1||,23)(2其他x x x f x 1 , x 2 , … , x n 为来自总体X 的一个样本，x 为样本均值，则E(x )=( D ).A.1B.2C. 3D.010．设x 1,x 2，…，1n x 与y 1,y 2，…，2n y 分别是来自总体),(21σμN 与),(22σμN 的两个样本，它们相互独立，且x ，y 分别为两个样本的样本均值，则y x -所服从的分布为（A ） A ．))11(,(22121σμμn n N +- B ．))11(,(22121σμμn n N -- C ．))11(,(2222121σμμn n N +- D ．))11(,(2222121σμμn n N --11．设总体X 的分布律为{}p X P ==1，{}p X P -==10，其中10<<p .设nX X X ,,,21 为来自总体的样本，则样本均值X 的标准差为（A ）A ．n p p )1(- B ．np p )1(- C ．)1(p np - D ．)1(p np - 12．设随机变量)1,0(~,)1,0(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则~22Y X +（ B ） A ．)2,0(N B ．)2(2χ C ．)2(t D ．)1,1(F13．设总体X 服从[0，2θ]上的均匀分布（θ>0），x 1, x 2, …, x n 是来自该总体的样本，x 为样本均值，则θ的矩估计θˆ=（ B ） A ．x 2 B ．x C ．2x D ．x2114．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，其中λ为未知参数.X 1，X 2，…，X n 为来自该总体的一个样本，则参数λ的矩估计量为( C )A.nii 1x2=∑ B.nii 1nx=∑ C.nii 1xn=∑ D.nii 1x=∑15．设总体X 服从参数为)0(>λλ的指数分布，其概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,),(x x e x f x λλλ由来自总体X 的一个样本n x x x ,,,21 算得样本平均值9=x ，则参数λ的矩估计λˆ=( D ). A. 9 B.29 C. 13 D. 1916．设总体X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，x 1 , x 2 , … , x n 为X 的一个样本，其样本均值2=x ，则λ的矩估计值λˆ=( B ). A.1 B.2 C. 3 D.0 17.设总体X ~ N (1,μ),(321,,x x x )为其样本,若估计量3213121ˆkx x x ++=μ为μ的无偏估计量,则k = ( A )。

概率论与数理统计期末考试模拟检测题02(含答案)

概率论与数理统计期末考试模拟检测题02（含答案）一、单项选择题1. 对于事件A 和B ，下述命题正确的是 ( B )(A) 如果A 与B 互不相容，则A 与B 相互对立(B) 如果A 与B 相互对立，则A 与B 互不相容(C) 如果A 与B 相互独立，则A 与B 互不相容(D) 如果A 与B 互不相容，则A 与B 相互独立2. 一个寝室住有4个同学，那么他们中至少有两人的生日在一个星期内的同一天的概率是 ( D )(A) 0.25 (B) 0.35 (C) 0.55 (D) 0.653. 若P （B|A ）=0，则下列命题中正确的是 ( B )(A) B ⊂A (B) AB=φ (C) A ⊂B (D) A-B=φ4. ,ξη相互独立且都服从正态分布2(1,3)N ，则(2)D ξη-= ( C )(A) -8 (B) 9 (C) 45 (D)605. 若函数sin x 为随机变量X 的概率密度，则X 的可能取值区间 ( D )(A) [0,2]π (B) 3[0,]2π (C) [0,]π (D) [0,]2π 6. 3人独立编写同一计算机程序，他们各自能成功的概率分别是0.3, 0.6, 0.5，则能将此程序编写成功的概率是（ B ）(A) 0.09 (B) 0.86 (C) 0.14 (D) 0.917.设,A B 是两个事件，则以下关系中正确的是( B )(A) ()A B B A ⋃-= (B) ()A B B B ⋃⋂=(C) ()A B B A ⋂⋃= (D) ()A B B AB -⋂=8.10个产品中有8个正品2个次品,从中无放回地任取3个, 则恰有1个次品的概率是（ A ） (A)715 (B) 815 (C)160 (D)7459.若P （B|A ）=1，则下列命题中正确的是（ C ）(A) B ⊂A (B) P （A-B ）=O (C) A ⊂B (D)A-B=φ10.,ξη相互独立且都服从正态分布2(3,2)N ，则(2)D ξη-=( B )(A) 8 (B) 20 (C) －16 (D) 1211.设1X ，2X ，3X 是来自（0,ϑ）上的均匀分布的样本，ϑ>0未知，则下列样本数中（ C ）不是统计量。

概率论与数理统计第二章随机变量及其概率分布练习题答案详解

第二章随机变量及其概率分布（概率论与数理统计）练习题答案与提示（答案在最后）1．一盒零件中有9个合格品和3个废品，现从中任取一个零件，如果是废品不再放回，而从其余剩下的零件中另取一个，如此继续下去，直到取得合格品为止，求取出的废品个数ξ的分布律．2．在汽车行进路上有四个十字路口设有红绿灯，假定在第一．第三个路口汽车遇绿灯通行的概率为6.0，在第二．第四个路口通行的概率为5.0，并且各十字路口红绿灯信号是相互独立的．求该汽车在停下时，已通过的十字路口数的概率分布．3．把4个球任意放到3个盒中，每个球都以同样的概率31落到任一个盒中，用ξ表示落到第一个盒中的球的个数，求ξ的分布律．4．设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是01.0，且一台设备的故障能由一个人处理，考虑两种配备维修工人的方案：其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台．试比较两种方案在设备发生故障时不能及时维修的概率大小．5．设在保险公司里有2500个同一年龄的人参加了人寿保险，在一年里每个人死亡的概率为002.0，每个参加保险的人在每年一月一日付12元保险费，而在死亡时其家属可到保险公司领取赔付费2000元．试问：(1) 一年内保险公司亏本的概率是多少？(2) 一年内保险公司获利不少于10000元的概率是多少？ 6．某盒产品中有8件正品，2件次品，每次从中任取一件进行检查，直到取得正品为止．分别按不放回抽样和有放回抽样，求所需抽取次数的分布律．7．从一批有90个正品和10个次品的产品中任取5个，求抽得的次品数ξ的概率分布．8．通过某路口的每辆汽车发生事故的概率为0001.0=p ，假设在某段时间内有1000辆汽车通过此路口，求在此时间内发生两次以上事故的概率．9．设某种晶体管的寿命ξ（单位：小时）的概率密度函数为=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤>,100,0,100,1002x x x (1) 若一个晶体管在使用150小时后仍完好，那么该晶体管使用时间少于200小时的概率是多少？(2) 若一个电子仪器中装有三个独立工作的这种晶体管，在使用150小时之后恰有一个管子损坏的概率是多少？10．设随机变量ξ在)6,0(上服从均匀分布，求方程04522=-++ξξx x有实根的概率．11．以下哪个可以是随机变量的分布函数：(1) =)(x F 211x+， (2) =)(x F arctgx π2143+ (3) =)(x F x －e ， (4) =)(x F ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<．，，，，，1 1112121 03x x xx12．设随机变量ξ的概率分布为==)(k P ξk a2， ,3,2,1=k ，求：(1) 常数a ； (2) )(为偶数ξP ； (3) )5(≥ξP ．13．已知ξ的分布律为==)(k P ξkck 6.0， ,3,2,1=k ，求常数c ．14．设随机变量ξ的分布律为ξ 0 1 2 P31 61 21 求ξ的分布函数，并求：(1) )21(≤ξP ；(2) )231(≤<ξP ；(3) )231(≤≤ξP .15．设随机变量ξ的分布律为ξ 2- 0 2 3P71 73 72 71求ξ的分布函数．16．一个靶子是一个半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆的概率与该圆的面积成正比，并假设每次射击都能中靶，以ξ表示弹着点与圆心的距离，求随机变量ξ的分布函数．17．已知一本书中每页上的印刷错误ξ服从参数为2.0的泊松分布，试求(1) ξ的概率分布；(2) 求每页上印刷错误不多于一个的概率．18．设随机变量ξ的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=，，，，，，，　，41415.0112.010)(x x x x x F求ξ的分布律．19．下列哪一个函数可能成为随机变量ξ的密度函数： (1) =)(x f x-e， +∞<<∞-x ；(2) =)(x f )1(12x +π， +∞<<∞-x ；(3) =)(x f ⎩⎨⎧≤其它；，，，011x(4) =)(x f ⎩⎨⎧<<其它．，，，00sin πx x20．若)(x f ，)(x g 均在同一区间],[b a 上是概率密度函数，证明： (1) )(x f +)(x g 不是这区间上的概率密度函数；(2) 对任一数k (10<<k )，)()1()(x g k x kf -+是这个区间上的概率密度函数．21．已知连续型随机变量ξ的分布函数为⎩⎨⎧<≥+=-000e )(x x B A x F x ，，，λ (0>λ为常数)，求：(1) 常数A ，B ；(2) 密度函数)(x f ．22．设连续型随机变量ξ的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=-，，，，000e )(22x x B A x F x 求:(1) 常数A ，B ；(2) )21(<<ξP ；(3) ξ的密度函数)(x f ．23．设随机变量ξ的密度函数为)(x f xc λλ-=e(0>λ为常数)，求：(1) 常数c ；(2) ξ的分布函数；(3) )21(<ξP ．24．某加油站每周补充油料一次，如果它的周出售量ξ（单位：千加仑）是一个随机变量，密度函数为=)(x f ⎩⎨⎧<<-其它，，，，010)1(54x x 要使在给定的一周内油库被吸光的概率是01.0，这个油库的容量应该是多少千加仑？25．设随机变量ξ的概率密度为=)(x f ，其它，，，，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<<0211102x x x ax 求:(1) 常数a ；(2) 分布函数)(x F ；(3) )35.0(<<ξP ．26．某商店出售某种商品，据历史记录分析，每月销售量服从参数为5的泊松分布，问该商店月初应库存多少件此种商品，才能以999.0的概率满足顾客的需要？27．已知某自动车床生产的零件，其长度ξ（单位：厘米）服从正态分布)75.0,50(~2N ξ，如果规定零件长度在5.150±厘米之间的为合格品，求：(1) 零件的合格率；(2) 生产三只零件，至少有一只是不合格的概率． 28．某数学竞赛中的数学成绩)10,65(~2N ξ，若85分以上者为优秀，试问数学成绩优秀的学生占总人数的百分之几？29．某地抽样调查考生的英语成绩近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数%3.2，求考生的英语成绩在60分到84分之间的概率．30．设随机变量ξ服从参数为2，p 的二项分布，即),2(~p B ξ，随机变量η),3(~p B ，若95)1(=≥ξP ，求)1(≥ηP ． 31．已知ξ服从参数为λ的Poisson 分布，且==)1(ξP )2(=ξP ，求)4(=ξP ．32．已知离散型随机变量ξ的分布律为ξ 1 2 3 4 5P 51 51 51 51 51 求：(1) 12+=ξη；(2) 2)2(-=ξη的分布律．33．设随机变量ξ的分布律为ξ 2π-2ππP 2.0 3.0 4.0 1.0求：(1) 2ξη=；(2) ξηcos =的分布律．34．设某球直径的测量值为随机变量ξ，若已知ξ在],[b a 上服从均匀分布，求该球体积36ξπη=的概率密度．35．设)1,0(~N ξ，求ξη=的概率分布密度． 36．设随机变量ξ服从]2,2[ππ-上的均匀分布，求随机变量ξηsin =的分布密度)(x f ．答案详解1． ξ 0 1 2 3P 43 4492209 22012． ξ 0 1 2 3 4P 4.0 3.0 12.0 09.0 09.0 3．把一个球放入盒中看作一次试验，每个球落到第一个盒中的概率都为31，4个球放入（3个）盒中可以看作4重贝努里试验，所以落入第一个盒中的球数)31,4(~B ξ，即ξ的分布律为:)(k P =ξ=kk k C -44)32()31(，4,3,2,1,0=k4．按第一种方案，每人负责20台，设每个工人需维修的设备数为ξ，则)01.020(~，B ξ．这里设备发生故障时不能及时维修的事件，也就是一个工人负责的20台设备中至少有两台发生了故障，其概率为)2(≥ξP -=-=)0(1ξP )1(=ξP20002099.001.01⋅⋅-=C 1912099.001.0⋅⋅-C 2.00!02.01--≈e 2.01!12.0--e =-=-2.02.11e 0175231.0．上述近似计算是用了泊松定理，其中参数2.0==np λ.按第二种方案，3名维修工人共同维护80台设备，设需要维修的设备数为η，则)01.080(~，B η，这里设备发生故障时不能及时维修的事件，就是80台中至少有4台发生故障，其概率为)4(≥ηP =∑=--30808099.001.0C 1k k k k∑=--≈308.0!8.01k k e k 00908.0≈，比较计算结果，可见第二种方案发挥团队精神，既能节省人力，又能把设备管理得更好．5．(1) 000069.0， (2) 986305.06．不放回抽样，所需抽取次数的分布律为:ξ 1 2 3P 54 458 451放回抽样，所需抽取次数的分布律为:==P )(k ξ54)51(1⋅-k ， ,3,2,1=k7．==)(k P ξ510059010C C C k k -⋅， 5 ,4 ,3 ,2 ,1 ,0=k 8．0045.09．(1) 41， (2) 9410．5.011．(4)12．(1) 1=a ， (2) 31， (3) 16113．由分布律的性质可知:∑∞====1)(1k k P ξ∑∞=16.0k kk c ，为了求级数∑∞=16.0k kk 的和，令)(x f =∑∞=1k k k x ，逐项求导，得)(x f '=∑∞=-11k k x =x -11，从而 ⎰'xx x f 0d )(=⎰-x x 0d x 11，即)(x f －)0(f =)1ln(x --，又因)0(f =0，从而)(x f =)1ln(x --，令6.0=x ，得=)6.0(f 25ln 4.0ln =-，从而1)2ln 5(ln --=c14．=)(x F ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<212121103100x x x x ，，，，，，， (1) 31； (2) 0； (3) 6115．=)(x F ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤--<3 ,1,32,76,20,74,02,71,2,0x x x x x 16．=)(x F ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<2,1,20,4,0,02x x xx 17．(1) ==)(k P ξ2.0e !2.0-k k ， ,2,1,0=k ， (2) 983.0)1(=≤ξP 18． ξ 1- 1 4P 2.0 3.0 0.5 19．(2) 20．略21．(1) 1=A ，1-=B (2) =)(x f ⎩⎨⎧<≥-0,0,0 ,e x x x λλ22．(1) 1=A ，1-=B ， (2) 4712.0， (3) =)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-0 ,0,0,e 22x x x x23．(1) 21， (2) =)(x F ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<-,0,e 211,0 ,e 21x x x xλλ (3) 2e 1λ--24．设油库的容量为x 千加仑，据题意，01.0)(=>x P ξ，即99.0)(=≤x P ξ，=≤)(x P ξ⎰-xdx 04x )(15=--=5)1(1x 99.0，从而01.0)1(5=-x ，3981.01=-x ，解得6019.0=x （千加仑）25．(1) 1， (2) =)(x F ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-<≤<,2,1,21,123,10,2,0,02x x x x x x (3) 875.026．1327．(1) 9545.0， (2) 1304.0 28．%3.229．设考生的英语成绩为ξ，则ξ),72(~2σN ，由题意知，=≥)96(ξP 023.0)729672(=-≥-σσξP ，故977.0)24()2472(=Φ=<-P σσσξ，查表得，224=σ，所以12=σ，因此，)12,72(~2N ξ，从而所求概率为=≤≤)8460(ξP )1272841272127260(-≤-≤-ξP )1()1(-Φ-Φ=6824.0= 30．=<)1(ξP 94951=-，即94)1(C )0(2002=-==p p P ξ，解得31=p ，从而=≥)1(ηP )1(1<-ηP )0(1=-=ηP =--=3003)1(1p p C 271931．2e 32-32．(1) η 3 5 7 9 11 (2) η 0 1 4 9P 51 51 51 51 51 P 51 52 51 5133．(1) η 0 42π 2πP 3.0 0.6 0.1(2) η 1- 0 1P 1.0 6.0 3.034．=)(y f η⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-其它－,0,66,92133323b y a y a b πππ 35．=)(y f η⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,0,0,e 222y2y y －π36．ξ的密度函数为=)(x f ξ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-,,0,22,1其它πππx由于x y sin =在]2,2[ππ-内严格单调增加，因此存在反函数y x arcsin =，其导数为:211y x y -='，x y sin =在]2,2[ππ-上的最大值为1，最小值为1-，利用随机变量的单调函数的分布密度的公式，得η的密度函数为:=)(y f η⎪⎩⎪⎨⎧<<-',,0,11)(arcsin )(arcsin 其它，y y y f ξ⎪⎩⎪⎨⎧<<--=其它,0,11,112y yπ。

概率论与数理统计模拟试题及解答

模拟试题（一）参考答案一.单项选择题（每小题2分,共16分）1、设B A ,为两个随机事件,若0)(=AB P ,则下列命题中正确的是（） (A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 独立(C) 0)(0)(==B P A P 或(D) AB 未必是不可能事件解若AB 为零概率事件,其未必为不可能事件.本题应选D.2、设每次试验失败的概率为p ,则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（）(A) )1(3p - (B) 3)1(p - (C) 31p - (D) 213)1(p p C -解所求事件的对立事件为“3次都不成功”,其概率为3p ,故所求概率为31p -.若直接从正面去求较为麻烦.本题应选C.3、若函数)(x f y =是一随机变量ξ的概率密度,则下面说法中一定成立的是（） (A) )(x f 非负 (B) )(x f 的值域为]1,0[ (C) )(x f 单调非降 (D) )(x f 在),(+∞-∞内连续解由连续型随机变量概率密度的定义可知,)(x f 是定义在),(+∞-∞上的非负函数,且满足⎰∞+∞-=1d )(x x f ,所以A 一定成立.而其它选项不一定成立.例如服从]21,31[上的均匀分布的随机变量的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,0,2131,6)(x x f在31=x 与21=x 处不连续,且在这两点的函数值大于1.因而本题应选A. 4、若随机变量X 的概率密度为)( e21)(4)3(2+∞<<-∞=+-x x f x π,则=Y （）)1,0(~N(A)23+X (B)23+X (C)23-X (D)23-X 解 X 的数学期望3-=EX ,方差2=DX ,令23+=X Y ,则其服从标准正态分布.故本题应选A.5、若随机变量Y X ,不相关,则下列等式中不成立的是（） (A) 0),cov(=Y X (B) DY DX Y X D +=+)((C) DY DX DXY ⋅=(D) EY EX EXY ⋅=解因为0=ρ,故0),cov(=⋅=DY DX Y X ρ,DY DX Y X DY DX Y X D +=++=+),cov(2)(, 但无论如何,都不成立DY DX DXY ⋅=.故本题应选C.6、设样本n X X X ,,,21⋅⋅⋅取自标准正态分布总体X ,又S X ,分别为样本均值及样本标准差,则（） (A) )1,0(~N X(B) )1,0(~N Xn(C))(~212n X ni i χ∑=(D))1(~-n t SX解 )1,0(~nN X ,),0(~n N X n ,)1(~-⋅n t S X n ,只有C 选项成立.本题应选C. 7、样本n X X X ,,,21 )3(≥n 取自总体X ,则下列估计量中,（）不是总体期望μ的无偏估计量(A)∑=ni iX1(B) X(C) )46(1.01n X X +(D) 321X X X -+解由无偏估计量的定义计算可知,∑=ni iX1不是无偏估计量,本题应选A.8、在假设检验中,记0H 为待检假设,则犯第一类错误指的是（） (A) 0H 成立,经检验接受0H (B) 0H 成立,经检验拒绝0H (C) 0H 不成立,经检验接受0H (D) 0H 不成立,经检验拒绝0H解弃真错误为第一类错误,本题应选B.二.填空题（每空2分,共14分）1、同时掷三个均匀的硬币,出现三个正面的概率是________,恰好出现一个正面的概率是________. 解81;83. 2、设随机变量X 服从一区间上的均匀分布,且31,3==DX EX ,则X 的概率密度为________. 解设],[~b a X ,则,3112)( ,322=-==+=a b DX b a EX 解得2=a , 4=b , 所以X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.0,42,21)(其他x x f3、设随机变量X 服从参数为2的指数分布, Y 服从参数为4的指数分布,则=+)32(2Y X E ________. 解 473])([232)32(222=++=+=+EY EX DX EY EX Y X E . 4、设随机变量X 和Y 的数学期望分别为－2和2,方差分别为1和4,而相关系数为－0.5,则根据切比雪夫不等式,有≤≥+}6||{Y X P ________.解根据切比雪夫不等式,12136),cov(26)(}6||{2=++=+≤≥+Y X DY DX Y X D Y X P . 5、假设随机变量X 服从分布)(n t ,则21X 服从分布________（并写出其参数）.解设)(~n t nZY X =,其中)1,0(~N Y ,)(~2n Z χ,且)1(~22χY ,从而)1,(~122n F Y n ZX =. 6、设n X X X ,,,21 )1(>n 为来自总体X 的一个样本,对总体方差DX 进行估计时,常用的无偏估计量是________.解 ∑=--=ni i X X n S 122)(11. 三.(本题６分)设1.0)(=A P ,9.0)|(=A B P ,2.0)|(=A B P ,求)|(B A P . 解由全概率公式可得27.02.09.09.01.0)|()()|()()(=⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P .31)()|()()()()|(===B P A B P A P B P AB P B A P .四.(本题8分)两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现废品的概率为0.02.加工出来的零件放在一起.又知第一台加工的零件数是第二台加工的零件数的2倍.求:(1) 任取一个零件是合格品的概率,(2) 若任取一个零件是废品,它为第二台车床加工的概率.解设21,A A 分别表示第一台,第二台车床加工的零件的事件.B 表示产品是合格品的事件. (1) 由全概率公式可得973.098.03197.032)|()()|()()(2211≈⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P . (2) 247.0973.0102.031)()|()()()()|(2222≈-⋅===B P A B P A P B P B A P B A P . 五.(本题14分)袋中有4个球分别标有数字1,2,2,3,从袋中任取一球后,不放回再取一球,分别以Y X ,记第一次,第二次取得球上标有的数字,求:(1) ) ,(Y X 的联合分布； (2) Y X ,的边缘分布； (3) Y X ,是否独立；(4) )(XY E .解（1） YX 1 2 3 1 061 121 2 61 61 613 121 61（2）41)1(==X P ,21)2(==X P ,41)3(==X P .41)1(==Y P ,21)2(==Y P ,41)3(==Y P .（3）因为)1()1(1610)1,1(===≠===Y P X P Y X P ,故Y X ,不独立. （4）613261226112121316121)(⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=XY E 612312113⋅⋅+⋅⋅+623=.六.(本题12分)设随机变量X 的密度函数为)( e )(||2+∞<<-∞=-x Ax x f x ,试求:(1) A 的值； (2) )21(≤<-X P ； (3) 2X Y =的密度函数. 解 (1) 因⎰∞+∞-x x f d )(⎰∞+-===0214d e 2A x x A x ,从而41=A ; (2) ⎰⎰⎰---+==≤<-20201221d e 41d e 41d )(}21{x x x x x x f X P xx 12e 45e 251----=;(3) 当0≤y 时,0)(=y F Y ;当0>y 时,)()()()(2y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤=)()(y F y F X X --=,所以,两边关于y 求导可得,.e 4121e 4121e 41)(yyyY y yy yy y f ---⋅=-⋅⋅-⋅⋅=故Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>⋅≤=-.0,e 41,0,0)(y y y y f yY七.(本题6分)某商店负责供应某地区1000人商品,某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6.假定在这段时间,各人购买与否彼此无关,问商店应预备多少件这种商品,才能以%7.99的概率保证不会脱销？（假定该商品在某一段时间内每人最多买一件）.解设⎩⎨⎧=人购买该种商品第人不购买该种商品第i i X i ,1,,0(1000,,2,1 =i ),X 表示购买该种商品的人数,则)6.0,1000(~B X .又设商品预备n 件该种商品,依题意,由中心极限定理可得)240600240600()()(-≤-=-≤-=≤n X P DXEX n DX EX X P n X P997.0)240600(=-Φ≈n .查正态分布表得75.2240600=-n ,解得6436.642≈=n 件.八.(本题10分)一个罐内装有黑球和白球,黑球数与白球数之比为R .(1) 从罐内任取一球,取得黑球的个数X 为总体,即⎩⎨⎧=白球，，黑球，，01X 求总体X 的分布；(2) 从罐内有放回的抽取一个容量为n 的样本n X X X ,,,21 ,其中有m 个白球,求比数R 的最大似然估计值.解（1） X 1 0 PR R +1 R+11即R R R R R x X P xxx+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+==-1111)(1 )1,0(=x ; （2）nx ni i iR R x XP R L i)1()()(1+∑===∏=,两边取对数,)1ln()(ln R n x R R L i +-∑=,两边再关于R 求导,并令其为0,得011=+-∑R nx i , 从而∑∑-=ii x n xR ˆ,又由样本值知,m n x i-=∑,故估计值为1ˆ-=m n R . 九.(本题14分)对两批同类电子元件的电阻进行测试,各抽6件,测得结果如下（单位:Ω）:A 批:0.140,0.138,0.143,0.141,0.144,0.137；B 批:0.135,0.140,0.142,0.136,0.138,0.141. 已知元件电阻服从正态分布,设05.0=α,问:(1) 两批电子元件的电阻的方差是否相等? (2) 两批电子元件的平均电阻是否有显著差异? （2281.2)10(025.0=t ,15.7)5,5(025.0=F ）解 (1) 2221122210 σσσσ≠=：，：H H .检验统计量为2221S S F =)5 ,5(~F （在0H 成立时）,由05.0=α,查得临界值15.7)5 ,5(025.02/==F F α,15.712/1=-αF . 由样本值算得962.00000078.00000075.0==F ,由于2/2/1ααF F F <<-,故不能拒绝10H ,即认为两批电子元件的电阻的方差相等.(2) 211210 μμμμ==：，：H H . 统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n sn s n n n YX T )10(~t （在0H 成立时）,查表得临界值228.2)10(025.02/==t t α.再由样本值算得005.2120000078.00000075.0139.01405.0=+-=T ,因为2/||αt T <,故接收0H .即认为两批电子元件的平均电阻无显著差异.模拟试题（二）参考答案一.单项选择题（每小题2分,共16分）1.设C , ,B A 表示3个事件,则C B A 表示（）. (A) C , ,B A 中有一个发生(B) C , ,B A 中不多于一个发生(C) C , ,B A 都不发生 (D) C , ,B A 中恰有两个发生解本题应选C. 2.已知)(,61)|(,31)()(B A P B A P B P A P 则====（）. (A) 187 (B) 1811 (C) 31 (D) 41解 181)|()()(==A B P A P AB P ,187)()()(1)(1)()(=+--=-==AB P B P A P B A P B A P B A P . 故本题应选A.3.设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从正态分布)1,0(N 和)1,1(N ,则（）(A) 21}0{=≤+Y X P (B) 21}1{=≤+Y X P (C) 21}0{=≤-Y X P (D) 21}1{=≤-Y X P解 )2,1(~N Y X +,)2,1(~--N Y X ,故本题应选B.4.设X 与Y 为两随机变量,且6.0,1,4===XY DY DX ρ,则=-)23(Y X D （） (A) 40 (B) 34 (C) 25.6 (D) 17.6解 2.1),cov(=⋅=DY DX Y X XY ρ,6.25),cov(1249)23(=-+=-Y X DY DX Y X D .故本题应选C.5.若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则2X 的数学期望是（）(A) λ(B)λ1 (C) 2λ (D) λλ+2 解 222)(λλ+=+=EX DX EX ,本题应选D.6.设n X X X ,,,21 是来自于正态总体),(2σμN 的简单随机样本,X 为样本方差,记∑=--=n i i X X n S 122)(111 ∑=-=n i i X X n S 1222)(1 ∑=--=n i i X n S 1223)(11μ ∑=-=n i i X n S 1224)(1μ 则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是（）(A) 1/1--=n S X t μ(B) 1/2--=n S X t μ(C) 1/3--=n S X t μ(D) 1/4--=n S X t μ解 ),(~2nN X σμ,)1(~)(1122--∑=n t X Xni iσ,再由t 分布的定义知,本题应选B.7.设总体X 均值μ与方差2σ都存在,且均为未知参数,而,,,21 X X n X 是该总体的一个样本,X 为样本方差,则总体方差2σ的矩估计量是（）(A) X (B) ∑=-n i i X n 12)(1μ(C) ∑=--n i i X X n 12)(11 (D) ∑=-n i i X X n 12)(1 解本题应选D.8.在假设检验时,若增大样本容量,则犯两类错误的概率（） (A) 都增大 (B) 都减小(C) 都不变 (D) 一个增大一个减小解本题应选B.二.填空题（每空2分,共14分）1.设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件,已知所取2件中有1件是不合格品,则另外1件也是不合格品的概率为________.解设A 表示两件中有一件不合格品,B 表示两件都是不合格品.则所求的极限为51)()()()()|(===A PB P A P AB P A B P2.设随机变量X 服从)8.0 ,1(B 分布,则X 的分布函数为________.解 X 服从0-1分布,其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.11,10,2.0,0,0)(x x x x f3.若随机变量X 服从均值为2,方差为2σ的正态分布,且6.0}40{=<<X P ,则}0{<X P =________.解 2=μ,即其密度函数关于2=x 对称.由对称性知2.026.01}0{=-=<X P . 4.设总体X 服从参数为p 的0－1分布,其中)10(<<p p 未知.现得一样本容量为8的样本值:0,1,0,1,1,0,1,1,则样本均值是________,样本方差是________.解由定义计算知85=X ;56152=S . 5.设总体X 服从参数为λ的指数分布,现从X 中随机抽取10个样本,根据测得的结果计算知27101=∑=i ix,那么λ的矩估计值为________.解 27101ˆ==X λ.6.设总体) ,(~2σμN X ,且2σ未知,用样本检验假设00μμ=：H 时,采用的统计量是________. 解 )1(~0--=n t nSX T μ (0H 为真时).三.（本题8分）设有三只外形完全相同的盒子,Ⅰ号盒中装有14个黑球,6个白球；Ⅱ号盒中装有5个黑球,25个白球；Ⅲ号盒中装有8个黑球,42个白球.现在从三个盒子中任取一盒,再从中任取一球,求:（1）取到的球是黑球的概率；（2）若取到的是黑球,它是取自Ⅰ号盒中的概率.解设321,,A A A 分别表示从第Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ号盒中取球,B 表示取到黑球. (1) 由全概公式可得≈⋅+⋅+⋅==∑=5083130531201431)|()()(31i i i A B P A P B P 0.342; (2) 由贝叶斯公式得≈=)()|()()|(111B P A B P A P B A P 0.682.四.（本题6分）设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他，，，，002cos 21)(πx x x f , 对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3π地次数,求2Y 的数学期望. 解 21d 2c o s 21)3(3==>⎰πππx x X P ,)21,4(~B Y ,从而 5)(22=+=EY DY EY .五.（本题12分）设),(Y X 的联合分布律为YX 0 1 2 1 0.1 0.05 0.35 2 0.3 0.1 0.1 问:(1) Y X ,是否独立；(2) 计算)(Y X P =的值；(3) 在2=Y 的条件下X 的条件分布律. 解 (1) 因为)0()1(4.05.02.01.0)0,1(===⋅=≠===Y P X P Y X P , 所以Y X ，不独立; (2) 15.01.005.0)2,2()1,1()(=+===+====Y X P Y X P Y X P ;(3) 9745.035.0)2()2,1()2|1(========Y P Y X P Y X P ,92971)2|2(=-===Y X P .六.（本题12分）设二维随机变量) ,(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=,,0,10,12),(2其他x y y y x f 求:(1) X 的边缘密度函数)(x f X ；(2) )(XY E ； (3) )1(>+Y X P . 解 (1)⎩⎨⎧≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤==⎰⎰∞+∞-.,0,104,0,10,d 12d ),()(302其他其他x xx y y y y x f x f x X(2) 21d 12d )(0310==⎰⎰y xy x XY E x ;(3) ==>+⎰⎰-y y x Y X P x x d 12d )1(1212187.七.（本题6分）一部件包括10部分,每部分的长度是一个随机变量,它们相互独立,且服从同一均匀分布,其数学期望为2mm,均方差为0.05,规定总长度为)1.020(±mm 时产品合格,试求产品合格的概率.解设i X 表示第i 部分的长度,10,,2,1 =i ,X 表示部件的长度.由题意知2=i EX ,0025.0=i DX ,且∑==101i i X X ,20=EX ,025.0=DX .由独立同分布的中心极限定理知,产品为合格品的概率为)025.01.0|025.020(|)1.0|20(|≤-=≤-X P X P4714.01)025.01.0(2=-Φ=. 八.（本题7分）设总体X 具有概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>-=--,,0,0,e )!1()(1其他x x k x f x k k θθ 其中k 为已知正整数,求θ的极大似然估计.解设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本,当0,,,21>n x x x 时,似然函数∑-===-=-=∑∏ni ix ni k innkni i xk x f L 1e])!1[()()(111θθθ,两边取对数,∑-+--===-∑ni i ni k ix x k n nk L 111ln )!1ln(ln )(ln θθθ,关于θ求导,并令其为0,得0)(ln 1=∑-==ni i x nkL θθ,从而解得θ的极大似然估计为XkX nkni i=∑==1ˆθ. 九.（本题14分）从某锌矿的东、西两支矿脉中,各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测试,得样本含锌平均数及样本方差如下:东支:230.01=x ,1337.021=n s , )9(1=n 西支:269.02=x ,1736.022=n s , )8(2=n 若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布,问东、西两支矿脉含锌量的平均值是否可以看作一样？)05.0(=α53.4)7 ,8( (025.0=F ,90.4)8 ,7(025.0=F ,) 1315.2)15(0025.0=t解本题是在未知方差,又没有说明方差是否相等的情况下,要求检验两总体均值是否相等的问题,故首先必须检验方差是否相等,在相等的条件下,检验总体均值是否相等.第一步假设0H :21σ=22σ,统计量2221s s F =~)1,1(21--n n F ,经检验,接受0H :21σ=22σ；第二步假设0H :21μμ=, 统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n s n s n n n YX T )2(~21-+n n t经检验,接受0H ,即可认为东、西两支矿脉含锌量的平均值相等.(请参见模拟试题(一)第九大题)十.（本题5分）设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=,,0,0,3)(23其它θθx x x f其中θ为未知参数,n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本,证明:X 34是θ的无偏估计量.证明 ⎰∞+∞-===x x xf EX X E X E d )(343434)34(θθθ==⎰033d 334x x , 故X 34是θ的无偏估计量.模拟试题（三）参考答案一.填空题（每小题2分,共14分）1.一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为8180,则该射手的命中率为 .解设A 表示一次射击中击中目标,依题意,四次都没击中的概率为81801)(4-=A P ,解得31)(=A P ,从而射手的命中率为32)(=A P . 2.若事件A ,B 独立,且p A P =)(,q B P =)(则=+)(B A P . 解 pq p B P A P B P A P B A P +-=-+=1)()()()()( .3.设离散型随机变量X 服从参数为λ（0>λ）的泊松分布,已知==)1(X P )2(=X P ,则λ= .解 )2(e 2e)1(2=====--X P X P λλλλ,从而解得2=λ.4.设相互独立的两个随机变量X ,Y 具有同一分布律,且X 的分布律为:X 0 1P 21 21则随机变量},max{Y X Z =的分布律为 . 解 Z 的可能取值为0,1.412121)0()0()0,0()0(=⋅========Y P X P Y X P Z P .43411)1(=-==Z P .5.设随机变量X ,Y 的方差分别为25=DX ,36=DY ,相关系数4.0=XY ρ,则),(Y X Cov = .解 12),cov(=⋅=DY DX Y X XYρ.6.设总体X 的期望值μ和方差2σ都存在,总体方差2σ的无偏估计量是21)(∑=-n i i X X n k ,则=k .解 1-=n n k . 7.设总体),(~2σμN X ,μ未知,检验2020σσ=H ：,应选用的统计量是 .解)1(~)(2212--∑=n X Xni iχσ (0H 为真时)二 .单项选择题（每小题2分,共16分）1.6本中文书和4本外文书任意往书架上摆放,则4本外文书放在一起的概率为（）(A)!10!6!4 (B)107 (C)!10!7!4 (D)104 解本题应选C.2.若事件B A ,相互独立,则下列正确的是（） (A) =)|(A B P )|(B A P (B) =)|(A B P )(A P (C) )|(B A P )(B P =(D) =)|(B A P )(1A P -解由独立性的定义知,==)()|(A P B A P )(1A P -,故本题应选D.3.设随机变量X 服从参数为n ,p 的二项分布,且6.1=EX ,28.1=DX ,则n ,p 的值为（） (A) n =8,p =2.0 (B) n =4,p =4.0 (C) n =5,p =32.0(D) n =6,p =3.0解由6.1=np ,28.1)1(=-p np ,解得n =8,p =2.0,本题应选A.4.设随机变量X 服从正态分布)1,2(N ,其概率密度函数为)(x f ,分布函数为)(x F ,则有（） (A) =≥)0(X P =≤)0(X P5.0 (B) =≥)2(X P =≤)2(X P 5.0 (C) )(x f =)(x f -,),(∞+-∞∈x (D) =-)(x F -1)(x F , ),(∞+-∞∈x解 2=EX ,故其密度函数关于2=x 对称,故本题应选B.5.如果随机变量X 与Y 满足:)(Y X D +)(Y X D -=,则下列式子正确的是（） (A) X 与Y 相互独立 (B) X 与Y 不相关 (C) 0=DY(D) 0=⋅DY DX解由)(Y X D +)(Y X D -=,可得0),cov(=Y X ,从而可知X 与Y 不相关,故本题应选B.6.设n X X X ,,,21 是来自总体),(~2σμN X 的样本,X 为样本均值,令=Y 212)(σ∑=-ni iX X,则~Y （）(A) )1(2-n χ (B) )(2n χ (C) ),(2σμN (D)),(2nN σμ解本题应选A.7.设n X X X ,,,21 是取自总体),0(2σN 的样本,可以作为2σ的无偏估计量的统计量是（）(A) ∑=n i i X n 121 (B) ∑=-n i i X n 1211 (C) ∑=n i i X n 11 (D)∑=-ni i X n 111 解由无偏估计的定义及期望的性质知,2221212)(1)1(σ==+===∑∑==DX EX DX EX EX n X n E ni i n i i ,故A 选择正确,同理验算其他选项,B,C,D 均不正确.故本题应选A.8.样本n X X X ,,,21 来自正态总体),(2σμN ,若进行假设检验,当（）时,一般采用统计量nS X t /0μ-=(A) μ未知,检验2σ=20σ(B) μ已知,检验2σ=20σ(C) 2σ未知,检验 μ=0μ(D) 2σ已知,检验μ=0μ解本题应选C. 三.（本题8分）有两台车床生产同一型号螺杆,甲车床的产量是乙车床的5.1倍,甲车床的废品率为%2,乙车床的废品率为%1,现随机抽取一根螺杆检查,发现是废品,问该废品是由甲车床生产的概率是多少？解设21,A A 分别表示螺杆由甲,乙车床生产的事件.B 表示螺杆是废品的事件.由贝叶斯公式可得)|()()|()()|()()|(2211111A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=75.001.05202.05302.053=⋅+⋅⋅=. 四.（本题8分）假设一部机器在一天内发生故障的概率为2.0,机器发生故障时全天停止工作.若一周五个工作日里无故障,可获利润10万元,发生一次故障获利润5万元,发生两次故障获利润0万元,发生三次或三次以上故障就要亏损2万元,问一周内期望利润是多少？解设X 表示一周中所获的利润,其分布律为:X 0 5 10 P 548.08.02.051-⋅⋅- 48.02.05⋅⋅ 58.0从而由期望的定义计算可得216.5=EX .五.（本题12分）1.设随机向量X ,Y 的联合分布为:X Y 1 2 31 0 61 1212 61 61 613 121 61(1) 求X ,Y 的边际分布；(2) 判断X ,Y 是否独立. 解 (1) X 的边际分布为： Y 的边际分布为：X 1 2 3 Y 1 2 3P 41 21 41 P 41 21 41(2) X 与Y 不相互独立.2.设随机变量),(Y X 的联合密度函数为:),(y x f =⎩⎨⎧<<-其他，，，，00e y x y求概率)1(≤+Y X P .解 ==≤+⎰⎰--y x Y X P x xy d e d )1(1210211e2e 1---+.六.（本题8分）设连续型随机变量X 的分布函数为:=)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+-，，，，000e 22x x B A x 求: (1) 系数A 及B ；(2) 随机变量X 的概率密度； (3) )9ln 4ln (≤≤X P .解 (1) 由分布函数的性质知1)e(lim )(22==+=+∞-+∞→A B A F x x ,)0(0)e(lim )(lim 202F B A B A x F x x x ==+=+=-→→++,从而1-=B ;(2) 分布函数的导数即为其概率密度,即)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤>-000e 22x x x x ，，，(3) 61)4ln ()9ln ()9ln 4ln (=-=≤≤F F X P . 七.（本题8分）设n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本,X 的概率密度为:)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-其他，，，，0101x x θθ其中0>θ,求未知参数θ的矩估计量与极大似然估计量.解令X x x EX =+==⎰1d 10θθθθ,从而解得θ的矩估计量为2)1(XX -=θ. 极大似然估计为:∑∑==+=ni ini iXX n 11ln ln θ.(具体做法类似与模拟试卷二第八题)八.（本题１０分）设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为5.66分,标准差为15分,问在显著水平05.0下,是否可认为全体考生的平均成绩为70分？解假设0H :70=μ,选取统计量ns X T /μ-=)1(~-n t , (0H 为真时)在05.0=α下,查t 分布的双侧临界值表知0301.2025.0=t . 另一方面,计算统计量的值0301.24.136/15705.66||<=-=T ,从而接受原假设,即可认为全体考生的平均成绩为70分.九.（本题１２分）两家银行分别对21个储户和16个储户的年存款余额进行抽样调查,测得其平均年存款余额分别为x =2600元和y =2700元,样本标准差相应地为811=S 元和1052=S 元,假设年存款余额服从正态分布,试比较两家银行的储户的平均年存款余额有无显著差异？（10.0=α）解此题要求检验21μμ=,由于t 检验必须在方差相等的条件下进行,因此必须先检验21σ与22σ是否相等.第一步假设0H :21σ=22σ,统计量2221s s F =~)1,1(21--n n F ,经检验,接受0H :21σ=22σ；第二步假设0H :21μμ=, 统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n s n s n n n YX T )2(~21-+n n t经检验,拒绝0H ,即两家银行的储户的平均年存款余额有显著差异.(请参见模拟试题(一)第九大题)十.（本题４分）设总体X 服从参数为λ的泊松分布,λ为未知参数,⎩⎨⎧-=为偶数，，为奇数，，X X X T 11)(证明:)(X T 是λ2-e的一个无偏估计量.证明 ∑∞===)()()]([x x X P x T X T E∑∞=-=0!)(x xex x T λλ=-=∑∞=-0!)1(n nne n λλλ2-e ,所以)(X T 是λ2-e的一个无偏估计量.模拟试题（四）参考答案一.填空题(每小题2分,共20分)1.设)(A P =0.4,)(B P =0.5.若,7.0)(=B A P 则=+)(B A P . 解 55.0)|()()()()(=-+=+B A P B P B P A P B A P2.若随机变量X 服从二项分布,即)1.0,5(~B X ,则=-)21(X D .解 8.19.01.0544)21(=⋅⋅⋅==-DX X D . 3.三次独立重复射击中,若至少有一次击中的概率为6437,则每次击中的概率为 . 解43. 4.设随机变量X 的概率密度是:⎩⎨⎧<<=,,0,10,3)(2其他x x x f 且，784.0)(=≥a X P 则=a .解由784.0)(=≥a X P 知,10<<α.故，784.01d 3)(132⎰=-==≥ααx x a X P 从而6.0=α. 5.利用正态分布的结论,有:=+-⎰∞+∞---x x x x d e )44(212)2(22π .解令t x =-2,则原式1)(d e212222=+==⎰∞+∞--EX DX t t t π,这里)1,0(~N X .6.设总体X 的密度函数为:⎩⎨⎧<<=-,,0,10,)(1其他x x x f αα)0(>αα为参数其中,n x x x ,,,21 是来自总体X 的样本观测值,则样本的似然函数=);,,,(21αn x x x L .解 ∏=-ni i nx 11αα.7.设X ,Y 是二维随机向量,DX ,DY 都不为零,若有常数0>a 与b 使1)(=+-=b aX Y P ,这时X 与Y 是关系.解完全相关.8.若),(~2σμN X ,n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本,2,S X 分别为样本均值和方差,则SnX )(μ-服从分布.解 )1(-n t .9.设),(~211σμN X ,),(~222σμN Y ,X 与Y 相互独立.从X ,Y 中分别抽取容量为21,n n 的样本,样本均值分别为Y X ,,则Y X -服从分布 .解 ),(22212121n n N σσμμ+-.10.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9,若4.0-=X Z ,则Y 与Z 的相关系数为____________. 解 9.0),cov()4.0,cov(),cov(==-=X Y X Y Z Y . 二.单项选择题(每小题2分,共12分)1. 设随机变量X 的数学期望EX 与2σ=DX 均存在,由切比雪夫不等式估计概率}4{σ<-EX X P 为( )(A) 161≥(B) 161≤(C) 1615≥(D) 1615≤解本题应选C.2.B A ,为随机随机事件,且A B ⊂,则下列式子正确的是( ). (A) )()(A P B A P =(B) )()()(A P B P A B P -=-(C) )()(A P AB P = (D) )()(B P A B P =解本题应选A.3. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=其他，，，，010)(x B Ax x f 且127=EX ,则( ).(A) 5.0,1-==B A(B) 1,5.0=-=B A(C) 1,5.0==B A (D) 5.0,1==B A 解令1d )(10=+⎰x B Ax ,127d )(1=+⎰x x B Ax ,解得5.0,1==B A ,故本题应选D. 4.若随机变量X 与Y 不相关,则有( ). (A) )(9)()3(Y D X D Y X D -=- (B) )()()(Y D X D XY D ⨯= (C) 0)]}()][({[=--Y E Y X E X E(D) 1)(=+=b aX Y P 解本题应选C.5.已知随机变量),(~21n n F F ,且αα=>)},({21n n F F P ,则=-),(211n n F α( ).(A) ),(121n n F α(B)),(1121n n F α-(C)),(112n n F α(D) ),(1211n n F α-解6.将一枚硬币独立地掷两次,记事件:=1A {掷第一次出现正面},=2A {掷第二次出现正面},=3A {正、反面各出现一次},=4A {正面出现两次},则事件( ).(A) 321,,A A A 相互独立 (B) 432,,A A A 相互独立 (C) 321,,A A A 两两独立(D) 432,,A A A 两两独立解 21)(1=A P ,21)(2=A P ,21)(3=A P ,41)(4=A P ,再由事件独立的充分必要条件可知321,,A A A 两两独立,本题应选C.三.计算题(每小题８分,共48分)1.某厂由甲,乙,丙三个车间生产同一种产品,它们的产量之比为3:2:1,各车间产品的不合格率依次为8%,9%,12%.现从该厂产品中任意抽取一件,求:(1) 取到不合格产品的概率；(2) 若取到的是不合格品,求它是由甲厂生产的概率. 解 (1) 运用全概率公式, 0.09;(2) 运用贝叶斯公式, 0.44.(具体做法参见模拟试卷(一)第四题)2.一实习生用一台机器接连独立地制造三个同样的零件,第i 个零件是不合格品的概率为)3,2,1(11=+=i ip i ,以X 表示三个零件中合格品的个数,求:(1) X 的概率分布； (2) X 的方差DX .解 (1)12234132411241=⋅+⋅+=EX , (2)2741924114412=⋅+⋅+=EX ,故521.0)(22=-=EX EX DX . 3.设总体X ),0(~2σN ,2σ为未知参数,n x x x ,,,21 是来自总体X 的一组样本值,求2σ的最大似然估计.解似然函数21221222222e )21(e)21()(σσσπσπσ∑=∑===--ni i ni i x nx nL ,两边取对数212222ln 22ln 4)(ln σσπσ∑---==ni ix nn L ,关于2σ求导,并令其为零,得0)(21222122=∑+⋅-=σσni ix n , 从而解得极大似然估计量为∑==n i i x n 1221ˆσ. 4.二维随机变量(X ,Y )的联合概率密度:⎩⎨⎧>>=+-其它，，，，00,0e 2),()2(y x y x f y x求: (1) X 与Y 之间是否相互独立,判断X 与Y 是否线性相关；(2) )1(≤+X Y P . 解 (1) ⎪⎩⎪⎨⎧≤>==⎰⎰∞++-∞+∞-0,0,0,d e 2d ),()(0)2(x x y y y x f x f y x X341⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e x x x 同理⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(2y y yf y Y 从而)()(),(y f x f y x f Y X =,故X 与Y 相互独立,因而X 与Y 一定不相关.(2) =≤+)1(X Y P =⎰⎰-+-y x x y x d 2e d 10)2(1021)e 1(--.5.某人乘车或步行上班,他等车的时间X (单位:分钟)服从参数为51的指数分布,如果等车时间超过10分钟他就步行上班.若此人一周上班5次,以Y 表示他一周步行上班的次数.求Y 的概率分布；并求他一周内至少有一次步行上班的概率.解此人每天等车时间超过10分钟也即步行上班的概率为210e d e 51)10(--∞+==>⎰x X P sx. 故)e ,5(~2-B Y .52)e 1(1)1(---=≥Y P .6.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈⋅=其他，，，，0]8,1[31)(32x x x f )(x F 是X 的分布函数.求随机变量)(X F Y =的概率分布.解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-≤=.8,1,81,1,1,0)(31x x x x x F(3) 当0<y 时,0)()(=≤=y Y P y F Y ;当10<≤y 时,))1(()1()()(331+≤=≤-=≤=y X P y X P y Y P y F Yy y F X =+=))1((3;当1≥y 时,1)()(=≤=y Y P y F Y . 故对)(y F Y 求导可得Y 的概率密度,⎩⎨⎧<<=其它，，，，0101)(y y f Y 即]10[~，U Y 四.应用题(第1题7分、第2题8分,共15分)21 1.假设对目标独立地发射400发炮弹,已知每一发炮弹的命中率等于0.2,用中心极限定理计算命中60发到100发之间的概率.解设⎩⎨⎧=发炮弹命中第发炮弹没有命中第i i X i ,1,,0 (400,,2,1 =i ),则 ∑==4001i i X X )2.0,400(~B表示400发炮弹命中的发数,且80=EX ,64=DX ,故由中心极限定理知,)6420|6480(|)20|80(|)10060(<-=<-=<<X P X P X P9876.01)820(2=-Φ=. 2.某厂生产铜丝,生产一向稳定.现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力,测后经计算:5.160)(,5.28712=-=∑=n i i x x x .假定铜丝折断力服从正态分布,问是否可以相信该厂生产的铜丝的折断力方差为16?(1.0=α)解 16162120≠=σσ：，：H H .采用统计量 2221S n σχ-=,在0H 成立时,)9(~22χχ.由1.0=α,查得临界值 325.3)9(295.022/1==-χχα, 919.16)9(205.022/==χχα, 由样本值算得03.10165.1602≈=χ,由于22/222/1ααχχχ<<-,所以不拒绝0H ,即该厂生产的铜丝的折断力方差为16. 五.证明题(5分)若随机变量X 的密度函数)(x f ,对任意的R x ∈,满足:)()(x f x f -=,)(x F 是其分布函数.证明:对任意实数a ,有⎰-=-a x x f a F 0d )(21)(. 证明 ⎰⎰⎰-∞--∞-+==-a ax x f x x f x x f a F 00d )(d )(d )()(⎰-+=a x x f 0d )(21 (令x t -=) ⎰⎰⎰-=-=--=a a a x x f t t f t t f 000d )(21d )(21d )(21.。

《概率论与数理统计》习题二答案解析

《概率论与数理统计》习题及答案习题2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只 X 的分布律.2.设在15只同类型零件中有 2只为次品，在其中取 3次，每次任取1只，作不放回抽样, 以X 表示取出的次品个数，求：（1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图；（3）13 3P{X <—}, P{1 c X <—}, P{1 <X <—}2 22【解】X =0,1,2.1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，球中的最大号码，写出随机变量【解】X =3,4,5 1 P(X =3) C ；P(X =4)=|3C5c 2P(X =5)卡C5= 0.1 = 0.3 = 0.6P{1 cX C2}.P(XP(X P(X0) C 133C151) C 2C 23T 一 C 135=2)=企=丄 ^22 35 _ 12 "35C 15 35x>3P(X >2) = P(X =2) +P(X =3) =0.896(2)当 x<0 时,F (x ) =P (X w x ) =0当 0 w x<1 时, F (x )22当 1 w x<2 时, F (x ) =P (X w x ) =P(X=0)=3534 =P (X w x ) =P(X=0)+ P(X=1)= = 35当x >2时，F 故X 的分布函数(X )=P (X w x ) =10, 22X v 0135 ' F(x) =*353435,1,1<xc2 x>2兰 2)=F (1)=2|,2 2 353 3 34 34P (1cX <：) = F(：)-F(1) =晶一；；^=02 2 35 353 3 12P(1 < X < —) = P(X =1) + P(1 c X < —)= —2 2 35341P(1 c X <2) =F(2) -F(1)-P(X =2) =1-—一一 =0.P(X 3.射手向目标独立地进行了 3次射击，每次击中率为 0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求 3次射击中至少击中 2次的概率.【解】设X 表示击中目标的次数.则X=0, 1, 2, 3.P( X =0) =(0.2)3=0.0081 2 P (X =1) = C 3O.8(O.2) =0.096 P (X =2)=C 3(0.8)20.2 = 0.384 P( X =3) =(0.8)3=0.512故X 的分布律为 X P分布函数0 0.0081 0.0962 0.3843 0.5120,0.008, F(x) =<0.104,0.488, X <0 0<x<1 1<x v2 2<x<3 L 1,(2)由分布律的性质知N1=2 P(X=k)=送—=a k=3 k=1 N即a=1.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6,0.7,今各投3次，求：(1) 两人投中次数相等的概率； (2)甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，贝y X~b (3，0.6) Y~b(3,0.7)(1) P(X =Y) =P( X =0, Y =0) + P(X =1,Y =1) + P(X =2 ,Y = 2) +P(X =3, Y =3)331212= (0.4) (0.3) + C 30.6(0.4) C 30.7(0.3) +2 2 2 23 3C 3(0.6) 0.4C 3(0.7) 0.3+(0.6) (0.7)= 0.32076(2) P(X A Y) =P(X =1,Y =0) + P(X =2,Y =0) + P(X =3,Y = 0) +P(X =2,Y =1) + P(X =3, Y=1) + P( X =3 ,Y=2) 1 2 3 2 2 3= C 30.6(0.4) (0.3) + C 3(0.6) 0.4(0.3) +(0.6)3(0.3)3+C 2(0.6)20.4C ；0.7(0.3)2 +(0.6)3C 10.7(0.3)^(0.6)3C 2(0.7)20.3=0.2434. (1)设随机变量X 的分布律为kAP {X=k}= a ——,k!其中k=0, 1, 2,…，入＞0为常数，试确定常数 a.(2)设随机变量X 的分布律为P{ X=k}= a/N ,k=1, 2,…，N ,试确定常数a.【解】(1)由分布律的性质知□c =Z P(Xkz0□c - k=k 2a S?k r a L'6.设某机场每天有 200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为 0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于 0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落 )? 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则 X~b(200,0.02)，设机场需配备 N 条跑道，则有 P(X A N) cO.01 200 Z c k 00(0.02)k (0.98)200上 c0.01 k =N H 1 利用泊松近似 A = np = 200 X 0.02 =4.比e 仃 p (x >N )L S -------------- <0.01k 少*H k ! 查表得N > 9.故机场至少应配备 9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有 1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2的概率是多少(利用泊松定理)？【解】设X 表示出事故的次数，则 X~b (1000, 0.0001) P(X >2) =1 - P(X =0) -P(X =1) … _0.1 C /I VZ -0.1 = 1-e -0.1xe 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数 X 满足P{X=1}= P{X=2}，求概率P{X=4}.【解】设在每次试验中成功的概率为 P ,则 c 5p (1 - P )4 =c5 p 2(1- p)3 所以 1 P(^4^C 5(1)4- = 3 3 243 10 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为 0.3,当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号, (1) (2) 【解】进行了 5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；进行了 7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率 . (1)设X 表示5次独立试验中 A 发生的次数，则 X~6( 5，0.3) 5P(X >3)=S c 5(0.3)k(0.7)i =0.16308kz3⑵ 令丫表示7次独立试验中 A 发生的次数，则 Y~b (7, 0.3)7P(Y >3)=送 C k (0.3)k(0.7) 3 =0.35293k=310.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2) t的泊松分布，而与时间间隔起点无关(时间以小时计) .(1)求某一天中午12时至下午(2)求某一天中午12时至下午3【解】(1) P(X =0)=訐3时没收到呼救的概率；5时至少收到1次呼救的概率.5 ⑵ P(X >1)=1- P(X =0)k k 2 _k11.设P{X=k}= C2P (1 - p) , k=0,1,2E、z 1 m m.. \4_mP{ Y=m}= C4 p (1 一p)m=0,1,2,3,45分别为随机变量X, Y的概率分布，如果已知P{X> 1}=-，试求P{Y> 1}.95 4【解】因为P(X>1)=故P(Xc1)=—.9 9P(X c1) = P(X =0)=(1 -p)2故得(1-P)24 "9,"3.从而P (Y>1)=1-p(Y=0) =1-(1-P)465止0.80247810.001,试求在这2000册书中12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算，A = np = 2000 X 0.001 =2P(X=5“虫=0.00185!3 113.进行某种试验，成功的概率为一，失败的概率为一.以X表示试验首次成功所需试验的次4 4数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.【解】X =1,2J||,k,|||P(X =2)+P(X =4)+)H+P (X =2k )+111+4)3 3 +…+ (丄)22 3+…4 4 4 4 4 414.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002 ,每个参加保险的人在 1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： (1) (2) 【解】以 (1) 设1年中死亡人数为 X ,则X~b(2500,0.002)，则所求概率为P(2000 X >30000) = P(X >15) =1 - P(X <14)由于n 很大，p 很小，^=np=5,故用泊松近似，有14 e-55kP( X A 15) " -S ------------ 止 0.000069k 竺k!⑵P(保险公司获利不少于 10000)=P(30000 -2000X >10000) = P(X <10)10e ^5k止送巳上-止0.986305 krn k!141—(4)2_1=5即保险公司获利不少于 10000元的概率在98%以上P (保险公司获利不少于 20000) = P(30000 - 2000 X > 20000) = P( X < 5) 5 e 55k 上 S ----- 止 0.615961kzs k! 即保险公司获利不少于 15.已知随机变量 X 的密度函数为 lx|f(x)=Ae , 亠 <x<+ g , 求：(1) A 值；(2) P{0< X<1}; (3) F(x). 由 J f (x)dx =1 得 20000元的概率约为62% 【解】(1) 处 _L X 处 jAe 叫x=2.0 Ae 和x=2A A 」.21 1 1 1 , p(0<X <1)=2 J 0rdx 二(1-ejx 1 1当 x<0 时，F (X )= f - e xd^ =- e x*2 2保险公司亏本的概率；保险公司获利分别不少于 10000元、20000元的概率.“年”为单位来考虑.在1月1日，保险公司总收入为 2500 X 12=30000元.x<017. 在区间［0, a ］上任意投掷一个质点，以中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求【解】由题意知X~ U ［0,a ］，密度函数为故当x<0时F (X )=0当 0< x w a 时 F(x)=X11 X 1当 X >0 时，F(x)=f-e Xdx+f-e 」dx'远2 ■^-oc 2』0 2=1—b 2 F (X ^!I1 Xc-e , X c0 2 1 」-丄e 」x>0 2 16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命［100 f(x)= {= L 0,求：(1)(2)(3) 【解】2 , X>100,X X c100. 在开始150小时内没有电子管损坏的概率;在这段时间内有一只电子管损坏的概率； F ( X ).150100132 3 8 P 1=[ P( X A 150)]3=(2)3=27(2)P 2 乂33(1)2= 9⑶当 x<100 时 F (X )=0X当 x > 100 时 F(x)=[ f(t)dtJ-O C100 X¥dt 十100 t 2•100X 的密度函数为X 表示这质点的坐标，设这质点落在［X 的分布函数.0, a :f (X )= < a'10,其他当 x>a 时，F (X )=1 即分布函数「0,XF(x)才—, l ai 1,18. 设随机变量X 在［2 , 5］上服从均匀分布.现对值大于3的概率. 【解】X~U ［2,5］，即故所求概率为p 七(l4+c 3(|4|719.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分钟计)服从指数分布E(-).某顾客在窗口55次，以丫表示一个月内他未等 P {Y > 1}.该顾客未等到服务而离开的概率为Y ~b(5,e')，即其分布律为P (Y =k) =c 5(ed k(1-er 5二k =0,123,4,5P(Y >1)=1 -P(Y = 0) =1 -(l-e ，)5=0.516720. 某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走从N (40, 102);第二条路程较长，但阻塞少，所需时间(1) 若动身时离火车开车只有 (2)又若离火车开车时间只有【解】(1)若走第一条路，X~N (40, 102),则f(X^H ,10,2<x<5其他x>aX 进行三次独立观测，求至少有两次的观测等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行到服务而离开窗口的次数，试写出丫的分布律，并求【解】依题意知X ~ E(1)，即其密度函数为1 f(x)=<E e【0,X -5X >0 x<0X5dx =e-2.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从 N (50，42).1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ 45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？<x -4° 60 -40]=①⑵=0.97727 10丿若走第二条路，X~N ( 50，42)，则< 60-50 L ①(2.5) = 0.9938 ++4丿故走第二条路乘上火车的把握大些 (2)若 X~N (40, 102),则P(X <45) =P「X-50W 45~50L Q (_1.25)I 4 4丿 = 1—0(1.25)=0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些221•设 X~N (3，22),(1) 求 P{2<X <5}, P{*<X <10}, (2)确定 c 使 P{X >c}= P{X < c}.P(|X |A 2) = P(X >2) + P(X <—2)V 2 q 卩】+1—①但〕 l 2丿l 2丿= 0.6915 +1 -0.9938 =0.6977P(X<60) = P (帀P(X c60) = p (X-50I 4'X -40 ,10若 X~N ( 50 , 42),贝UP(X <45)= P<〒U (0.5)=0.6915 P{ I X I > 2}, P{X > 3};了2 -3 I 解】(1)P(2<x^= P bX -3 < ------- 2(1〕 = 0.8413-1 +0.6915 =0.5328 = Q (1)_1 +①(1〕 f _4_3 P(—4 <X <10) =I 2 X —3< -------2=0亿L ① 12丿 0.9996I 2丿=P g — V 2 2 h —① f-1 1V 2丿+ P 3 二丿I 2 2a I 2丿P(X >3)= P(弓)=1-①(0)=0.5⑵c=322.由某机器生产的螺栓长度(cm ) X~N (10.05,0.062),规定长度在10.05± 0.12内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率.=1 -①(2) + ①(-2) = 2[1 -①(2)] = 0.045623.一工厂生产的电子管寿命 X (小时)服从正态分布 N (160, I),若要求P{120 < X W 200 => 0.8，允许I 最大不超过多少？【解】P(120cX <200) = p f 20"16024.设随机变量X 分布函数为(2) P(X <2) =F (2) =1 —e "P(X >3) =1-F(3) =1-([-©少)=e ；人「- —)x ⑶ f (x)=F '(x)=f 0, x <025.设随机变量X 的概率密度为|x,f (x )=<2 —X,I I 0,求X 的分布函数F (X ),并画出f ( X )及 F ( X ).【解】p (|X -10.05^0.12) = Pd x -10.050.12)0.06> -----0.06丿X -160 200-160 < ----------- <c1.29= 31.25F (x )屮十Be ,I 0,x" x<0.仏 >0),求常数A , B ;求 P{X W 2} , P{X > 3}; 求分布密度f (x ).i xi mF (x H 1(1) (2) (3)【解】(1)由 < 片得严1x>00 <x <1, 1<x C 2,其他.【解】当x<0时F (X )=0X 0 X f f(t)dt = J f(t)dt+.0 f(t)dt._oC・ _oC7XX珥 tdt=—当 x < 0 时 F (X )= J f (x)dx = J-当 1 <x<2 时 F(x)=Xu f(t)dt0 1;_^f(t)d^ J 0f(t)dt + L f(t)dt1X珂tdt + [ (2-t)dt 1 X 23 =-+2x-— 一一 2 2 22X+2X-1 2X当 x >2 时 F(x M.c f(t)d ^10, X 2X c0F(x) ={2 22x-1,I 2I 1,1<xc2 x>226.设随机变量X 的密度函数为(1) f(x)=ae —凶，入 >0； bx, 12，X .0,a,b ,并求其分布函数 F (X ).J f(x)dx=1 知 1 ⑵ f(x)= f —试确定常数【解】(1)由即密度函数为0 v x €1, 1 <x <2, 其他. □c 5 叫X = 2a f>dxf (X )才2 l 2e2ax<0当 0<x<1 时 F(x)=X 0 i r x X i r x当 x>0 时 F (X )= (x)dx = ‘尹冰 + J o 专Eclx故其分布函数27.求标准正态分布的上 a 分位点,(1) a =0.01，求 Z j ； (2) a =0.003，求 Z x ，Z 陀. 【解】(1) P(X A z J =0.01F(x)2 1 >X -e , .2X A O X <01(2)由 1 = f^f(x)d^ bxdx + f — dx oC得即X 的密度函数为山 2 勺Xb=1b=一 +2 2当 X < 0 时 F (X )=0|x, II 1 f(x)十,X 0,1 <x c2 其他当 0<x<1 时 F(x) = J f(x)dx= J f(x)dx + J f (x)dx*■ -CC*■ -CC *"0X=4xdx当 1 < X<2 时 F (X )= J f (x)dx 斗 0dx3 1=———2 X当 X > 2 时 F (X )=1 故其分布函数为F(x)P0, 2Xx<0 2 3 21,0 <x c 1 1 <xc2 x>22i q (z 』=0.01①（Za ）=0.09Z —33(2)由 P(X >Z a )=0.003得1-①(Za )= 0.003①(去)=0.997% =2.75由 P(X A Za /2)=0.0015 得1-①(Z^/2)=0.0015①(Za /2)=0.9985Zo /2 = 2.9628.设随机变量X 的分布律为求Y=X 2的分布律.【解】丫可取的值为0, 1 , 4, 9P(Y =0) =P(X =0) J5P(Y = 1) = P (X = -1) + P( X =1)」+丄6 15 301P (Y =4) =P (X = —2)=-5 11P(Y =9) =P( X =3)=30故丫的分布律为0 1 4 1/57/301/51 k29•设 P{X=k}=( —) , k=1,2,…，令I 1,当X 取偶数时 Y = 5[-1,当X 取奇数时.X P k-21/5 一1 0 1/6 1/51 1/153 11/30查表得查表得Y P k9 11/30⑶ p (Y >0)=1当 y w 0 时 FY (y) = P(Y <y) =0求随机变量X 的函数丫的分布律.【解】P(Y =1) = P( X =2) +P(X =4) +)||+P (X =2k)+H|= G )2+([)4 +川+ (1)2k+川 2 2 2 1 1 14 4 3P (丫 =_1) = 1- P (丫 =1) = 230•设 X~N (0, 1).(1) 求Y=e X 的概率密度；(2) 求Y=2X 2+1的概率密度； (3)求丫= I X I 的概率密度•【解】(1)当 y w 0 时，F Y (y) = P(Y <y)=0x当 y>0 时，FY (y) =P(Y <y)= P(e <y) =P(X <ln y)In y=Lc f x (x )dxdF Y (y)1 1 1 Jn2y/2f Y (y^^=7f x (Iny ^7；72n e ，y >0(2) P(Y = 2X 2 +1 >1) = 1当 y w 1 时 F Y (y) =P(Y <y) =0Q当 y>1 时 F Y (y) =P(Y <y)= P(2X +1<y)=P W 詈卜P卜呼卡:Ji (y 4)/2「L E f X (x )dx故 f Y (y )=；^F Y (y)二1』一2dy4 V4"f = + 、ff x4y 4)/4—e , y A 1当 y>0 时 F Y (y) = P(|X Uy) = P(-y <X <y)y=J 」f x(x)dx故 TR —n2』2/2K ,y >031. 设随机变量X~U (0,1),试求：(1) Y=e X 的分布函数及密度函数； (2)Z=/lnX 的分布函数及密度函数.【解】(1) P(0 cX <1)=1y W1 时 F Y (y) = P(Y <y) =01<y<e 时 F Y (y) = P(e X < y) = p(x <ln y)rj^ X当 y 》e 时 F Y (y)= P(e < y) =1 即分布函数,p-0,F Y (y) = <ln II 1,y, y <11 c y cey 工e 故丫的密度函数为1f Y (y) i y ，0, 其他(2)由 P ( 0<X<1) =1知P(Z A0) =1当 Z W 0 时，F Z (z) = P(Z <z)=0当 z>0 时，F Z (z) = P(Z <z) = P(-2ln X <z)=P(lnX <-彳)=P(X Ke"/2)1当y w 0时, F Y (y)= P(Y <y)=0 当0<y<1时,F Y (y) = P(Y <y) = P(sinx <y)=P(0 <X <arcsin y) + P( n — arcs in y 兰 X < narcsin y2x n-y dx + 7C=1( arcs iny) n 2 .=—arcsiny n2x^, —dx‘ n_arcsin y丘+1- 4( n - arcsiny )2nF Y (y) 9故Y 的密度函数为10,其他33.设随机变量X 的分布函数如下:F(x)F1+x 2'i (2),< (1)试求Y=sinX 的密度函数. 【解】P(0 c Y <1)=1试填上(1),(2),(3)项.即分布函数故Z 的密度函数为32. 设随机变量X 的密度函数为Udx-1-/2F z (Z 」0, .z/2U -eI 1 j/2f z (z 」尹L 0,f(x)=l 学L 0,0< Xz<0 z 》0Z A O z<0其他.【解】由lim F （x ） =1知②填1。

概率论与数理统计模拟试卷2及答案

<北京语言大学网络教育学院概率论与数理统计模拟试卷2第I 卷（客观卷）一、单项选择题（每题3分，共45分）1、设A,B 是两个对立事件，P （A ）>0 ，P （B ）>0，则（）一定不成立。

（A ）P （A)＝1－P （B ） ' （B ）P （A│B)＝0 （C ）P （A│B )＝1（D ）P （A B )＝12、已知随机变量X 的概率密度为f X (x )，令X Y 2-=,则Y 的概率密度f Y (y)为（）。

（A ）2f X (-2y)（B ）f X ()-y2（C ）--122f y X () -（D ）122f y X ()-3、设A,B,C 是三个相互独立的事件，且0<P （C ）<1,则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（）。

（A ）AB C 与（B ）AC C 与（C ）A B C -与（D ）AB C 与4、如果()F x 是（），则()F x 一定不可以是连续型随机变量的分布函数。

（A ）非负函数…（B ）连续函数（C ）有界函数（D ）单调减少函数5、下列二元函数中，（）可以作为连续型随机变量的联合概率密度。

（A ）cos 01(,)220x x y f x y ππ⎧-≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它（B ）1cos 0(,)2220x x y g x y ππ⎧-≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它（C ） cos 001(,)0x x y x y πϕ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它~（D ）1cos 00(,)20x x y h x y π⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它6、设F(x)是离散型随机变量的分布函数，若()P b ξ==（），则()()()P a b F b F a ξ<<=- 成立。

（A ）()()F a F b - （B ）()()F b F a - （C ）()()F a F b +（D ）17、已知随机变量ξ，η的方差D ξ，D η均存在，则下列等式中，（）一定不成立。

概率论与数理统计第二章自测题答案与提示

方向
为了更好地备考，我将关注以下几个方向：深入理解概率论的基本概念和性质；掌握条件概率的计算方法；熟悉常用随机变量的期望和方差的计算公式；提高解决实际问题的能力。同时，我也会注重培养自己的逻辑思维和分析能力，以便更好地应对各种考试挑战。
THANKS
感谢观看
通过具体例题，解析如何运用概率的基本性质和计算方法，解决复杂的概率计算问题。
随机变量分布题
通过具体例题，解析如何运用随机变量的性质和分布函数，解决随机变量分布的问题。
随机变量变换题
通过具体例题，解析如何运用随机变量的变换方法，解决随机变量变换的问题。
04
自测题答案总结与反思
答案总结
要点一
填空题答案及解析
填空题1答案：0.6
01
输标02入题
解析：此题考查概率的计算，根据概率的基本性质，互斥事件的概率和为1，因此$P(A) + P(B) = 1$，解得$P(A) = 0.6$。
03
解析：此题考查随机变量的期望和方差的计算，根据期望和方差的定义，随机变量X的期望$E(X) = sum x_i p_i$，方差$D(X) = sum (x_i - E(X))^2 p_i$。
概率论与数理统计第二章自测题答案与提示
• 自测题答案 • 题目解析与提示 • 重点与难点解析 • 自测题答案总结与反思
01
自测题答案
选择题答案及解析
选择题1答案：B 选择题2答案：C 选择题3答案：D
解析：此题考查概率的基本性质，事件A和B的并集概率等于它们概率之和减去它们的交集概率，即$P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)$。
建议
为了提高自己的理解和应用能力，我建议在未来的学习中更加注重基础知识的掌握，多做一些练习题来加深对概念的理解。同时，我也应该学会如何将理论知识应用于实际问题中，提高自己的分析和解决问题的能力。

概率论与数理统计试题与答案

概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1)概率统计模拟题一一、填空题(本题满分 18分，每题3分)1、设P(A) 0.7,P(A B) 0.3,则P(AB)= ___________________________ 。

52、设随机变量X 〜B(2, p),Y 〜B(3, p)，若p(X 1) ，则p(Y 1) _____93、设X 与Y 相互独立，DX 2, DY 1，贝U D(3X 4Y 5) _________________________ 。

4、设随机变量X的方差为2,则根据契比雪夫不等式有P{X -EX 2} _______________n5、设(X「X2, ,X n)为来自总体2(10)的样本，则统计量Y X i服从i 1_______________ 分布。

6、设正态总体N( , 2) , 2未知，贝U 的置信度为1 的置信区间的长度L __________________ 。

(按下侧分位数)二、选择题(本题满分 15分，每题3分)1、若A与自身独立，则( )(A) P(A) 0 ; (B) P(A) 1 ; (C) 0 P(A) 1 ; (D) P(A) 0或P(A) 12、下列数列中，是概率分布的是( )X 5 x2(A) p(x) ,x 0,1,2,3,4 ；(B) p(x) ,x 0,1,2,315 61 x 14 253、设X ~ B( n, p)，则有( )(A) E(2X 1) 2np (B) D(2X 1) 4np (1 p)(C) E(2X 1) 4np 1 (D) D(2X 1) 4n p(1 p) 1本方差，则下列结果错误的是( )。

4、设随机变量X ~ N( , 2)，则随着的增大，概率P X ()。

(A)单调增大 (B) 单调减小(C)保持不变(D) 增减不定5、设(X1,X2, ,X n)是来自总体X ~ N( , 2)的一个样本，X与S2分别为样本均值与样三、(本题满分12分) 试卷中有一道选择题，共有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的。

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《概率论与数理统计》模拟试卷2参考答案
一、填空题（每题3分，共计18分）
1. 1/8，
2. 0.24，
3. 2/3，
4. N(0,1),
5. 0，
6. 53/56 二、选择题（每题2分，共14分）
1.A ,
2.C,
3.D,
4.D,
5.B,
6. C ,
7.A
三、解答题（第2,3小题每题12分，其余每小题10分，共64分）
1. 解：设1A =“肥胖者”，2A =“中等者” ，3A =“瘦者” B=“患高血压病”，则有： (1)()()()()()()()
112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =++ 即 P （B ）=0.25x 0.2+0.6x0.08+0.15*0.02=0.101 (2) ()
()11()0.250.2
0.4950.101
P A B P A B P B ⋅===
2解：
12
21
2
1
2
==
-
=⎰
k
x k
dx x k ，k=2, }3454{<<x P =2
1
22341
34
12=
-
=⎰x dx x
)(X E =2
2
211
22ln 2ln 2x
dx x x
==⎰。

3 解:
P(X=0)=0.5; P(X=1)=0.5; P(Y=1)=0.4,P(Y=2)=0.4,P(Y=3)=0.2; 不独立，P(X=0) P(Y=1)=0.2≠P （X=0,Y=1）=0.1 E(X)=0.5，E(Y)=1.8，E(XY)=0.3+0.4=0.7 Cov(X,Y)=-0.2, X,Y 为相关的。

4解: 设X 为100粒种子的发芽个数，则)9.0,100(~B X
{88}1{88}1
P X P X P >=-≤=-≤
1(23)(20.7486≈-Φ-=Φ=
5解：矩估计法：
()1
1()11E X x x dx θθθ=+=
+⎰，令 1ˆ1X θ
=+，得 1ˆX X θ-= 。

极大似然估计法：
()1
()1()(01,1,
,)n
n
i i i L x x i n θθθ==+<<=∏，令
ln ()
0d L d θθ
= ，则有 1
ln 01n
i i n x θ=+=+∑，于是 1
1
ln ˆln n
i
i L n
i
i n X X
θ==+=-∑∑。

6解：由题意建立假设： H 0：μ≤62.0，H 1：μ>62.0；
选取统计量X T =
对于给定的显著性水平α=0.05 ，查t 分布表得 0.05(1)(8) 1.8595t n t α-== 由题意，62.5x =，2
0.09s =计算统计量观察值
2x t =
== 由于2(1) 1.8595t t n α=>-=，所以拒绝原假设H 0，而接受H 1，即认为这批罐头细菌含量大于62.0，质量不符合标准。

四、证明题（本题4分）
证明：2~(,)X N μσ，则2
~(,)X N n
σμ，()222
1~(1)n S n χσ
-- 又因为2X S 和相互独立。

由t 分布定义可知
~(1)X t n -。