常用的收缩徐变预测模型

1.1 国内外常用的收缩徐变预测模型
1.1.1 ACI 模型
1982年，美国混凝土协会在ACI-209R-82规范中推荐的收缩徐变模型采用了双曲线函数，考虑了混凝土的各种因素，且不区分弹性变形和塑性变形错误!未找到
引用源。

徐变系数为：
()()()
()0.6
0.6
,10t t t τϕτϕτ-=∞
+- (0.1)
()1
234562.35K K K K K K ϕ∞=
(0.2)
式中：
τ——加载龄期，要求7≥天，否则该公式不适用；
t ——计算龄期；
1K ——混凝土的加载龄期影响系数，10.118
01.25K t -=；
2K ——为环境相对湿度H 的影响系数，2 1.270.0067K H =-（当H ＞
40%）；
3K ——为混凝土构件平均厚度的影响系数；
4K ——为混凝土稠度的影响系数，40.820.00264K S =+，S 为新鲜混
凝土的坍塌度，以mm 计；
5K ——为细骨料含量影响系数，50.880.0024K f =+，f 为细骨料
()4.8mm <占总骨料分率；
6K ——为空气含量影响系数，60.460.091c K A =+≥ c A ——为新鲜混凝土中空气含量的体积，以%计算。

收缩系数表达式为：
()max (
)()35sh sh t t
t
εε=+ (0.3)
1.1.2 CEB-FIP （1978）模型
(1)徐变错误!未找到引用源。

对于单轴受力的混凝土构件，在时刻τ受到大小为0σ的常应力的作用，在t
时刻的徐变应变(),c t ετ表达式为：
()()
()0
,,28c c t t E σετφτ=
(0.4) ()()()(),,d d f f t t t αφτφβτβββτ⎡⎤=+-⎣⎦
(0.5)
式中，(,)d d t φβτ为可恢复的滞后弹性变形，[()()]f f t αβββτ-是不可恢复的流变变形，()f t αββ瞬时流变，()f αββτ是后继流变。

各项取值如下：
0.4d φ=，()()()0.81/c c f f αβττ=-∞⎡⎤⎣⎦，()()0.01,0.7310.27t d t e τβτ--⎡⎤=-+⎣⎦
()()0.73
0.73/ 5.27c c f f τττ∞=+，12f f f φφφ=+
f1φ取决于相对湿度(%)λ：
()3210.1110.00020.043 2.57 2.2f φλλλ=-+-
(0.6)
2f φ取决于名义厚度0()h mm ：
0.580
0.0442 1.12[1]h f e φ-=+，02c
A h u
γ
= (0.7)
式中：c A 为构件横截面面积（mm 2）；u 为构件截面暴露在空气中的周长（mm ）。

0.11.00.00049e 98
30 98
λλγλ⎧+≤=⎨≤⎩
(0.8)
γ为湿度系数，当050mm 1600mm h ≤≤时 ()13
f t t t α
α
ββ⎛⎫=
⎪+⎝⎭
，0
0.003h 0.80.55e α-=+，00.0043h 770210e β=+ (0.9)
(2)收缩错误!未找到引用源。

在时间间隔内发生的混凝土平均收缩应变为：
()()()000,sh sh sh sh t t t t εεββ=-⎡⎤⎣⎦，sh0sh1sh2εεε=
(0.10)
式中：
2-6sh16
0.333(0.4137.1372)10 98
10010 100
λλλελ-⎧--⨯≤=⎨⨯=⎩ (0.11)
()0
0.45sh20.71.42exp 0.18h ε=+-
(0.12)
2-6sh16
0.333(0.4137.1372)10 98
10010 100
λλλελ-⎧--⨯≤=⎨⨯=⎩ (0.13)
()0.8
00.80
1.25
01.250 50mm h 6000.25 600mm h 16008sh t t h t t t h β⎧≤≤⎪+⎪=⎨⎪≤≤⎪+⎩
(0.14)
式中，当环境温度不是标准温度（20度）时，计算龄期t 用下面调整过的有效龄期代替：
(){}0
1030
m
t e m
m
t T t t α
=
+∆⎡⎤⎣⎦∑
(0.15)
式中：
T ——混凝土的平均温度；
m t ∆——平均温度为T 的天数；
α——与水泥种类有关，对普通和慢硬水泥取1.0；对快硬水泥取2.0；
对快硬高强水泥取3.0。

1.1.3 CEB-FIP （1990）模型
(1)徐变错误!未找到引用源。

规范CEB-FIP （1990）模型建议的混凝土徐变系数的计算公式适用范围为：应力水平()0/0.4c c f t σ<，暴露在平均温度5～30℃和平均相对湿度RH=40%～100%的环境中。

混凝土徐变系数为：
()()()000,,c t t t t t φφβ=∞-
(0.16) ()()()00,c RH t f t φββφ∞=，(
)c f β=()()0.2
001/0.1t t β=+
(0.17)
()
1/3
c 1/10010.12/RH RH A u φ-=+
(0.18)
式中：
()c f β——取决于混凝土抗压强度c f 的参数； ()0t β——取决于加载龄期0t 的参数；
RH φ——为取决于环境相对湿度的参数。

徐变随时间发展的系数()c 0t t β-为：
()()()0.3
0c 00H t t t t t t ββ⎡⎤
--=⎢⎥+-⎣⎦
(0.19)
式中H β取决于相对湿度和构件尺寸，表达式为：
18c
21.511.22501500100H A RH u β⎡⎤⎛⎫=++≤⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
(0.20)
(2)收缩错误!未找到引用源。

规范CEB-FIP （1990）模型建议的混凝土收缩的计算公式适用范围为：：普通混凝土在正常温度下，湿养护不超过14天，暴露在平均温度5~30度和平均相对湿度RH =40%~50%的环境中。

素混凝土构件在未加载情况下的平均收缩（或膨胀）应变的计算式为：
()()cs s cso s s ,t t t t εεβ=-
(0.21) ()6
cso sc 1609010RH c f εββ-=+-⨯⎡⎤⎣⎦
(0.22)
式中：sc β取决于水泥品种：慢硬水泥取4，普通水泥和快硬水泥取5，快硬高强水泥取8；RH β取决于环境的相对湿度RH 。

31.551 40%99%100RH
RH RH β⎡⎤
⎛⎫=--≤≤⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
(0.23) 1.25 99%RH RH β=>
(0.24)
收缩应变随时间变化的系数取为：
()
s s t t β-=
(0.25)
式中：
t ——计算考虑时刻的混凝土的龄期，单位为天；
s t ——开始收缩时的混凝土的龄期，单位为天；
c f ——为混凝土的圆柱体抗压强度，单位为2N /mm ； c A ——为构件的横截面面积，单位为2mm ； u ——与大气接触的截面周界长度，单位为mm 。

1.1.4 B3模型
1995年，Bazant 提出了RILEM B3模型。

B3模型是根据混凝土的固化理论建立的，该理论将弹性理论、粘弹性理论和流变理论结合起来，模拟混凝土宏观物理力学性质因水泥水化、固相物增多而随时间不断变化的新理论。

固化理论认为：混凝土材料的粘性相与粘弹性相体积不断增多而力学性质不变、弹性相体积不变、非承力相体积(如孔隙、胶体、水等)不断变化，这就是混凝土宏观材料参数对时间依存性行为错误!未找到引用源。

RILEMB3(1995)模型详细考虑了混凝土水泥含量、水灰比、骨料与水泥重量之比等混凝土配比情况，对收缩和徐变预测较合理错误!未找到引用源。

B3模型用徐变函数()0,,J t t τ表示单位应力下的总应变，将徐变分为基本徐变和干燥徐变。

计算的数学表达式为：
0100(,,)(,)(,,)d J t t q C t C t t τττ=++
(0.26)
式中：
1q ——单位应力产生的瞬时应变； 0(,)C t τ——基本徐变度；
0(,,)d C t t τ——干燥徐变度，其中0t 为干燥时的龄期。

B3模式将徐变分为基本徐变和干燥徐变两大类，相应地通过固化理论及湿度扩散理论推导出基本徐变和干燥徐变的计算表达式，但表达式中的各项材料参数是建立试验基础之上。

因此，从整体上来讲，B3模式仍属于半经验半理论公式。

Bazant 指出，为了提高模式的理论性和预测精度，模式中各项材料参数的计算公式也应建立在一定的理论基础之上。

1.1.5 GL2000模型
(1)徐变
混凝土徐变度按下式计算：
28
cm28
E φ=
徐变度 (0.27)
式中：
cm28E ——混凝土28天的弹性模量，单位为MPa ；
28φ——徐变系数。

徐变函数：
()cmto
1,o J t t E =
+徐变度
(0.28)
式中：
cmto E ——混凝土加载时的弹性模量，单位为MPa 。

徐变系数28φ表达式为：
()()()()()0.50.5
00
2830000.5
2
20727142.51 1.0860.5/c t t t t t t t t t t t t h t t v s φφ⎡⎛⎫-⎛⎫⎛⎫-⎢=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎢⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎤
⎛⎫-⎥+- ⎪
⎪
⎥-+⎝⎭
⎦
(0.29)
()()00.50.502
1 10.15/c c o c c o c
t t t t t t t t t v s φ=⎧
⎪⎪⎡
⎤⎛⎫=⎨-⎢⎥>- ⎪⎪ ⎪⎢⎥-+⎪⎝⎭⎣⎦⎩ (0.30)
式中：
t ——混凝土计算龄期；
o t ——棍凝土加载龄期；
c t ——混凝土开始干燥时的龄期，或者混凝土潮湿养护结束时的龄期；
/v s ——混凝土构件体表比； h ——环境相对湿度。

(2)收缩
凝土收缩应变可由下式计算
()()sh shu h t εεββ=
(0.31)
()41 1.18h h β=-
(0.32)
0.5
6
shu
cm2830100010K f ε-⎛⎫= ⎪⎝⎭
(0.33)
()()0.5
20.15/c
c t t t t t v s β⎛⎫-= ⎪ ⎪
-+⎝⎭
(0.34)
式中：
h ——环境相对湿度；
t ——混凝土计算龄期，单位为天；
c t ——混凝土开始干燥时的龄期，或者混凝土潮湿养护结束时的龄期，
单位天；
K ——与水泥类型有关的系数，对I 类水泥取1.0，对Ⅱ类水泥取0.70，
对Ⅲ类水泥取1.15；
/v s ——混凝土构件体表比，单位mm ；
28cm f ——混凝土龄期为28d 时的圆柱体抗压强度平均值，单位MPa 。

1.1.6 JTG D62-2004模型
(1)混凝土的收缩应变错误!未找到引用源。

《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》(JTGD62-2004)中，混凝土的收缩应变可按下式进行计算：
()()cs s cso s s t,t t -t εεβ= (0.35)
()cso s cm RH f εεβ=⋅ (0.36)
6()[16010(9/)]10s cm sc cm cmo f f f εβ-=+-⋅ (0.37)
301.55[1-(/)]RH RH RH β= (0.38)
()()()10.5
s 2
1
/[
]350()/s s 0s t t t t t h/h t t t β--=+- (0.39)
式中：
t ——计算考虑时刻的混凝土的龄期(d)；
s t ——开始收缩时的混凝土的龄期(d)，可假定为3～7d ；
()cs s t,t ε——收缩开始时的龄期为s t ，计算考虑的龄期为t 时的收缩应
变；
cso ε——名义收缩系数； s β——收缩随时间发展的系数；
cm f ——强度等级C20～C50混凝土在28d 龄期时的平均立方体抗压强
度(MPa)，,0.88MPa cm cu k f f =+；
,cu k f ——龄期为28d ，具有95%保证率的混凝土立方体抗压强度标准值
(MPa)；
RH β——与年平均相对湿度相关的系数，40%90%RH ≤<； RH ——环境年平均相对湿度(%)；
sc β——依水泥种类而定的系数，对一般的硅酸盐水泥或快硬水泥，
5.0sc β=；
h ——构件理论厚度(mm), 2/h A u =,A 构件截面面积，
u 为构件与大气接触的周长；
0100%RH =；
0100h mm =； 11d t =； 10MPa cmo f =。

(2)混凝土的徐变系数错误!未找到引用源。

《桥规》(JTG D62-2004)中，混凝土的徐变系数可按下式进行计算：
000(,)()c t t t t φφβ=⋅- (0.40)
()()00RH cm f t φφββ=⋅⋅ (0.41)
()
01/3
01/10.46/RH RH RH h h φ-=+
(0.42)
()()
0.5
05.3
/cm cm cm f f f β= (0.43)
()()
00.2
011
0.1/t t t β=
+ (0.44)
()()()0.3
01001//c H
t t t t t t t t ββ--=+-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ (0.45)
18
00
1501 1.22501500H RH h
RH h β=++≤⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ (0.46)
式中：
0t ——混凝土的加载龄期(d)；
t ——凝土的计算龄期(d)；
0(,)t t φ——加载龄期为0t ，计算考虑的龄期为t 时的徐变系数； 0φ——名义徐变系数；
0()c t t β-——加载后徐变随时间发展的系数；
cm f ——混凝土28天抗压强度；
h ——构件理论厚度(mm)，2/h A u =，A 为构件截面面积，u 为与大
气接触的周边长度。

1.1.7 Model Code 2010模型
(1)定义
对于单轴受力的混凝土构件，在时刻0t 受到大小为0()c t σ的常应力的作用，在t 时刻的总应变()c t ε表达式为错误!未找到引用源。

：
0()()()()()()()c ci cc cs cT c cn t t t t t t t σεεεεεεε=+++=+
(0.47)
式中：
0()ci t ε——加载时初始应变； ()cc t ε——在时刻0t t >时的徐变应变； ()cs t ε——收缩应变；
()cT t ε——温度应变；
()c t σε——由应力产生的应变，0()()()c ci cc t t t σεεε=+ ()cn t ε——与应力无关的应变，()()()cn cs cT t t t εεε=+ (2)适用范围
下面给出的收缩徐变模型适用于预测在正常温度下，湿养护不超过14天的普通混凝土的时间依存性平均截面行为，混凝土强度15Mpa 130Mpa cm f <<，受到压应力||0.4c cm f σ≤，年平均相对湿度40%100%RH <<，平均温度
5C T 30C <<。

加载龄期不应小于1天。

模型适用范围可扩展至受拉混凝土。

模型没有考虑由于内部应力、湿度状态、局部裂缝效的变化在混凝土单元横截面内引起的局部流变特性，预测模型不适用于承受极端温度的混凝土，例如核反应堆这样的高温，或者液化天然气储藏罐这样的低温。

不适用于非常干燥的气
候环境（年平均相对湿度40%RH <）
(3)徐变
a 假定和相关基本方程
假定当应力0||0.4()c cm f t σ≤时，徐变与应力成线性关系。

在时刻0t 受到大小为0()c t σ的常应力的作用，在t 时刻的徐变应变0(,)cc t t ε表达式为：
000()
(,)(,)c cc ci
t t t t t E εεϕ=
(0.48)
式中：
0(,)t t ϕ——徐变系数；
ci E ——28天龄期混凝土弹性模量，单位为MPa 。

在t 时刻由应力产生的应变()c t σε表达式为：
00000(,)1()()[
]()(,)()c c c ci ci
t t t t t J t t E t E σϕεσσ=+= (0.49)
式中：
0(,)J t t ——徐变度，即单位应力产生的总的应变；
0()ci E t ——开始加载0t 时的混凝土弹性模量。

在实际应用中，假设混凝土为粘弹性材料。

基于这个假设以及上述定义，混凝土本构方程可表示为：
00()
()()(,)(,)
()t
c c c cn t t t J t t J t
d t στεσττετ
∂=++∂⎰ (0.50)
b 徐变系数
000(,)(,)t t t t ϕϕβ=
(0.51)
式中：
0ϕ——名义徐变系数；
0(,)t t β——徐变随时间发展的系数；
t ——计算考虑时刻的混凝土的龄期，单位为天；
0t ——混凝土的加载龄期，单位为天。

名义徐变系数为：
00()()RH cm f t ϕϕββ=⋅⋅
(0.52) 12[1]RH ϕαα=⋅ (0.53)
()cm f β=(0.54) 00.2
01
()0.1()t t β=
+
(0.55)
式中：
cm f ——28天立方体混凝土的平均抗压强度，单位为MPa ；
RH ——环境相对湿度（%）
； h ——构件理论厚度(mm),2/h A u =,A 构件截面面积，u 为构件与大气
接触的周长；
0.7135[
]cm f α=，0.2235
[]cm
f α= 徐变随着时间的发展系数0(,)t t β表达式为：
0.3
000()(,)[
]()
H t t t t t t ββ-=+-
(0.56) 1831.5[1(1.2/100)]250H h RH βα=⋅⋅+⋅+
(0.57)
式中：
RH ——环境相对湿度（%）
； h ——构件理论厚度(mm),2/h A u =,A 构件截面面积，u 为构件与大气接触的周长；
0.5335
[]cm
f α=；
cm f ——28天立方体混凝土的平均抗压强度，单位为MPa 。

对于轻骨料混凝土，相关徐变系数l ϕ可以表示为：
00(,)l E c t t ϕηϕβ=⋅⋅
(0.58)
式中：
E η——2(/2200)ρ=,ρ为干密度，密度单位为3kg/m ；
0ϕ——名义徐变系数，按照式(0.52)计算；
0(,)c t t β——徐变随时间发展的系数，按照式(0.56)计算。

对于混凝土等级LC12/13和LC16/18的混凝土，徐变系数l ϕ应该额外乘以1.3的系数。

c 水泥种类以及养护温度的影响
水泥种类对徐变系数的影响可以通过修正加载时龄期0t 按照下式来考虑：
00, 1.2
0,9[
1]0.52T T
t t t α
=⋅+≥+天 (0.59)
式中：
α——取决于水泥种类的系数；强度等级为32.5N 时，1α=-；强度等
级为32.5R, 42.5N 时，0α=；强度等级为42.5R, 52.5N, 52.5R 时，1α=；
0,T t ——按照式(2.73)调整的混凝土加载龄期；
4000
[13.65]273()
n T i i
i t t exp T t =∆-
+∆∑
(0.60)
式中：
T t ——按温度调整的混凝土龄期；
i t ∆——温度为T 的天数； ()i T t ∆——在时间段i t ∆内的温度。

d 高应力的影响
对于应力000.4()||0.6()cm c cm f t f t σ<≤时，非线性徐变表达式为：
0,0[1.5(0.4)]k exp k σϕϕ=- 当0.40.6k σ<≤时
(0.61) 0,0k ϕϕ= 当0.4k σ≤时
(0.62)
式中：
0,k ϕ——非线性名义徐变系数；
k σ——应力与强度的比值，0||/()c cm k f t σσ=。

(4)收缩
总的收缩或膨胀应变(,)cs s t t ε表达式为：
(,)()(,)cs s cas cds s t t t t t εεε=+
(0.63)
收缩被细分为自收缩()cas t ε和干燥收缩(,)cds s t t ε：
0()()()cas cas cm as t f t εεβ=⋅
(0.64) 0(,)()()()cds s cds cm RH ds s t t f RH t t εεββ=⋅⋅-
(0.65)
式中：
t ——计算考虑时刻的混凝土的龄期(天)；
s t ——开始收缩时的混凝土的龄期(天)； s t t -——收缩持续时间（天）。

自收缩部分()cas t ε可以通过名义自收缩系数0()cas cm f ε和时间函数()as t β来估计：
2.5
60/10()(
)106/10
cm cas cm as cm f f f εα-=-⋅+
(0.66) ()1(0.2as t exp β=--
(0.67)
式中：
cm f ——28天立方体混凝土的平均抗压强度，单位为MPa ；
as α——与水泥种类相关的系数，见表 错误!文档中没有指定样式的文
字。

-1。

干燥收缩变形(,)cds s t t ε可以通过名义干燥收缩系数0()cds cm f ε，考虑环境相对湿度效应的系数()RH RH β和时间发展函数()ds s t t β-来估计：
6012()[(220110)()]10cds cm ds ds cm f exp f εαα-=+⋅⋅-⋅⋅
(0.68) 3
1
11.55[1(/100)]40%90%()0.2599%s RH s RH RH RH RH βββ⎧-⋅-≤<⋅⎪=⎨≥⋅⎪⎩
(0.69)
0.5
2
()()0.035()s ds s s t t t t h t t β⎛⎫--= ⎪⋅+-⎝
⎭ (0.70)
0.1
135 1.0s cm f β⎛⎫=≤ ⎪
⎝⎭
(0.71)
式中：
1ds α，2ds α——与水泥种类相关的系数，见表 错误!文档中没有指定样式
的文字。

-1；
RH ——环境相对湿度（%）
； h ——构件理论厚度(mm),2/h A u =,A 构件截面面积，u 为构件与大气
接触的周长；
t ——计算考虑时刻的混凝土的龄期(天)；
s t ——开始收缩时的混凝土的龄期(天)； s t t -——收缩持续时间（天）。

表 错误!文档中没有指定样式的文字。

-1 系数i α
Table2-1 Coefficient i α
水泥强度等级
as α
1ds α
2ds α
32.5N 800 3 0.013 32.5R,42.5N 700 4 0.012 42.5R,52.5N,52.5R
600
6
0.012
轻质混凝土的收缩(,)cls s t t ε可近似地表达为：
(,)(,)cls s cs s t t t t εηε=⋅
(0.72)
式中：
(,)cs s t t ε——按照(0.63)计算；
η——对于LC8，LC12，LC16混凝土为1.5；对于LC20或者更高等级混
凝土为1.2。

1.1.8 混凝土弹性模量随时间的发展
混凝土徐变的分析中，尤其在较精确的徐变分析计算中，混凝土弹性模量随时间的发展规律是一个重要的因素。

根据美国ACI209委员会1982年的报告，混凝土的弹性模量的时间函数表达式为
错误!未找到引用源。

：
()E t =
(0.73)
式中：
28E ——龄期为28天的混凝土的弹性模量；
()E t ——龄期为t 天的混凝土弹性模量；
1c 、2c ——常数，根据养护条件和水泥品种而定。

1990年版的CEP-FIP 标准规范给出的混凝土的割线模量的时间函数为
28()()E E t t E β=
(0.74) 0.6()[()]E c t t ββ= (0.75) ()()sa t c t e β=
(0.76)
式中：
s ——与水泥种类系数有关的函数；
()a t ——与龄期t 有关的函数。

Model Code 2010 给出的弹性模量随时间发展的公式为：
()()ci E ci E t t E β=
(0.77) 0.5()[()]E cc t t ββ=
(0.78)
0.528()1cc t exp s t β⎧⎫⎡⎤⎪⎪
⎛⎫=⋅-⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎭⎩
(0.79)
式中：
ci E ——龄期为28天的混凝土的弹性模量； ()ci E t ——龄期为t 天的混凝土弹性模量；
()cc t β——随时间发展的函数；
t——混凝土龄期，考虑温度作用时，按照(0.60)计算；。