导数在不等式中的应用专题

导数在不等式中的应用考点一构造函数证明不等式

【例1】已知函数f(x)＝1－x－1

e x

，g(x)＝x－ln x.

(1)证明：g(x)≥1；

(2)证明：(x－ln x)f(x)>1－1

e2 .

【训练1】已知函数f(x)＝ax＋b

x2＋1

在点(－1，f(－1))处的切线方程为x＋y＋3＝0.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)设g(x)＝ln x，求证：g(x)≥f(x)在[1，＋∞)上恒成立.

【例2】已知函数f(x)＝x ln x－ax.

(1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最值；

(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＋1>

1

e x＋1

－

2

e2x

成立.

【训练2】已知三次函数f(x)的导函数f′(x)＝－3x2＋3且f(0)＝－1，g(x)＝x ln x＋a

x

(a≥1).

(1)求f(x)的极值；

(2)求证：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有f(x1)≤g(x2).

角度1 不等式恒成立求参数

【例3－1】 已知函数f (x )＝sin x x (x ≠0).

(1)判断函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，π2上的单调性； (2)若f (x )

⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立，求实数a 的最小值.

【训练3】 (2019·潍坊模拟)已知函数f (x )＝1＋ln x x

. (1)若函数f (x )在区间⎝

⎛⎭⎪⎫a ，a ＋12上存在极值，求正实数a 的取值范围； (2)如果当x ≥1时，不等式f (x )≥

k x ＋1恒成立，求实数k 的取值范围.

【例3－2】 已知函数f (x )＝x 2－(2a ＋1)x ＋a ln x (a ∈R).

(1)若f(x)在区间[1，2]上是单调函数，求实数a 的取值范围；

(2)函数g(x)＝(1－a)x ，若∃x0∈[1，e]使得f(x 0)≥g(x 0)成立，求实数a 的取值范围.

【训练4】 已知函数f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x (m ∈R)，g (x )＝－m x

，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f (x 0)

【例1】 (1)已知函数f (x )＝1

ln （x ＋1）－x ，则y ＝f (x )的图象大致为( )

(2)已知函数f (x )＝e x ，x ∈R.证明：曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12x 2

＋x ＋1有唯一公共点.

【例2】 (2017·全国Ⅲ卷改编)已知函数f (x )＝x －1－a ln x .

(1)若f (x )≥0，求a 的值；

(2)证明：对于任意正整数n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1

2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1

22…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1

2n

【例3】 设函数f (x )＝ln x －x ＋1.

(1)讨论f (x )的单调性；

(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，1

ln x

【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)

一、选择题

1.(2019·海南一模)函数f (x )＝ln x ＋a 的导数为f ′(x )，若方程f ′(x )＝f (x )的根x 0小于1，则实数a 的取值范围为( )

A.(1，＋∞)

B.(0，1)

C.(1，2)

D.(1，3)

2.(2019·济南调研)已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1

A.f (x 1)>0，f (x 2)>－12

B.f (x 1)<0，f (x 2)<－12

C.f (x 1)>0，f (x 2)<－12

D.f (x 1)<0，f (x 2)>－12

3.若对任意a ，b 满足0

4.函数f (x )＝x －2sin x ，对任意的x 1，x 2∈[0，π]，恒有|f (x 1)－f (x 2)|≤M ，则M 的最小值为________.

三、解答题

5.已知f (x )＝(1－x )e x －1.

(1)求函数f (x )的最大值；

(2)设g (x )＝

f （x ）x

，x >－1且x ≠0，证明：g (x )<1.

6.已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋10.

(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；

(2)在区间[1，2]内至少存在一个实数x ，使得f (x )<0成立，求实数a 的取值范围.

【能力提升题组】(建议用时：25分钟)

7.(2019·北京延庆区调研)已知函数f (x )＝x ln x (x >0).

(1)求f (x )的单调区间和极值；

(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，f (x )≥－x 2＋mx －32

恒成立，求实数m 的最大值.

8.已知函数f(x)＝e x－1－x－ax2.

(1)当a＝0时，求证：f(x)≥0；

(2)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；

(3)若x>0，证明(e x－1)ln(x＋1)>x2.