参数方程的概念和圆的参数方程

分析：取 xOP
为参数，则圆O的参数 方程是
x
y
22csoins（为参数）
y P
o
M Qx
a
15
yP
M
o
Qx
解：设点 M的坐标是 (x, y)，xOP ,则点
P的坐标是 (2 cos ,2 sin ),由中点坐标公式得：
x 2 cos 6 cos 3, y 2 sin sin
所 以 ， 飞 行 员 在 离 救 援 点 的 水 平 距 离 约 为 1 0 1 0 m 时 投 放 物 资 ，
可 以 使 其 准 确 落 在 指 定 位 置 . a
4
概念讲解
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标x, y都是某个变数t的函数 x f ( t ) ,
y
g (t).
y
g (t).
表示的曲线
上，只需把点的坐标带入方程组，
方程组有解，说明点在曲线上；否则点不在曲线上。
a
7
变式练习
曲线
x
1t2
,(t为参数）
，与x轴的交点坐标是
y 4t 3
(B )
A、（1，4） C、 (1, 3)
B、(
2 1
5 6
,
0
)
D、( 2 5 , 0 )
16
a
8
问题探究（二）
上海摩天轮
解：从飞机投弹所在的位置向地面作垂线，垂足为O, 以垂线为y轴，以O为原点，建立平面直角坐标系。
y
物资出舱后，设在时刻t，水平位
移为x，垂直高度为y
500
a
3
o
x
y 500
y
x h
vt 1
2
gt
2
（g=9.8m/s2)
o
x
即y
x 100t 500 1
2
gt2
救 援 物 资 落 地 时 ， 有 y 0 ,得t 10.10s. 代 入 x 1 0 0 t,得 x 1 0 1 0 m .
显意义。
2.同一曲线选取参数不同, 曲线参a 数方程形式也不一样
5
3.在实际问题中要确定参数的取值范围
例题讲解
例1:
已知曲线C的参数方程是
x3t, y 2t2
(t为参数) 1.
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系； （2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。
解：(11的 )把 坐点 标M(方 0,程 1)组 代， 入 0 解
点O转动的角速度为w.
显然，点M的位置由时
y
刻 t 惟一确定，因此
可以取 t 为参数。
M(x,y)
如果在时刻t，点M转 过的角度是θ，坐标 是M(x,y)，那么 θ=ωt，设 OM r
r
o
M0x
a
10
y
M(x,y)
r
o
M0 x
由三角函数定义，有
cost x , sin t y
r
r
即
x
y
r cos r sin
由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，
同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参
数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们
表示的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数
时，要注明参数及参数的取值范围。
a
12
圆的参数方程的一般形式
以上是圆心在原点的圆的参数方程，它对应的
2002年5月1日，中国第一座身高108 米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运 营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列， 居亚洲第一。
已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针 匀速旋转一周需时20分钟。如图所示，某 游客现在点（其中点和转轴的连线与水平 面平行）。问：经过t秒，该游客的位置 在何处?
a
9
如图，设圆O的半径是r，点M从初始位置M0（t=0时的位 置）出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动.点M绕
2
2
所以，点 M的轨迹的参数方程是
x {
cos
3
(为参数
)
y sin
a
16
技法归纳
参数方程求法: （1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标 （2）选取适当的参数 （3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义,
参数方程的概念及 圆的参数方程
高二数学组 敖香
a
1
问题探究（一）
一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速 度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区 指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时 机呢？
a
2
分析：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。
把 所点 以 21(在 M5,M曲 4)代 线入 C,方 上 得程 到 。 45组 {23t2t1,即tt5236
这个
方程组 ,所无 以解 a点 2不M在曲线
C上
。 6
(2)因为点3(M6,a)在曲线C上，所以
{ a
6
2t32t1解得t
2,a
9,所以，a
9
技法归纳
x f (t),
判断点 x0, y0在不在参数方程
设Mx, y, Px0, y0
由中点坐标公式 , 有x
y
x0
2 y0
6 ,பைடு நூலகம்
则x0y0
2x 2y
6
2
因为 P在 点圆上x0， 2y0所 24以
所以 2x622y24即 x32y21
a
14
例题讲解
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是 x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周 运动时，求点M的轨迹的参数方程。
（1）
并且对于t的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(1) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数.
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁,
1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明
普通方程是x2 y2 r 2 ,那么，圆心在点O(x , y )
0
0
半径为r的圆的参数方程又是怎么样的呢？
x y
x0 y0
r cos r sin
(为参数)
其对应的普通方程为(x x0 )2 ( y y0 )2 r 2
a
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例题讲解
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是 x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周 运动时，求点M的轨迹的参数方程。
t,(t为参数) t.
这就是圆心在原点O，半径为 r 的圆的参数方程。
其中参数 t 有明确的物理意义（质点作匀速圆周
运动的时刻）
a
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考虑到 t ，也可以取θ为参数，于是有
x r cos
y
r
sin
(为参数) 0,2
这也是圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方程。
(其中参数θ 的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM 的位置时， OM0转过的角度。)