参数方程的概念和圆的参数方程
1.参数方程的概念及圆的参数方程
x = x 0 + rcosθ { (θ为参数)对应的普通方程为 y = y 0 + rsinθ (x − x 0 ) +(y − y0 ) = r
2 2 2
注意：由于选取的参数不同， 注意：由于选取的参数不同，圆有不同的 参数方程，一般地，同一条曲线， 参数方程，一般地，同一条曲线，可以选 取不同的变数为参数， 取不同的变数为参数，因此得到的参数方 程也可以有不同的形式， 程也可以有不同的形式，形式不同的参数 方程， 的曲线可以是相同的， 方程，它们表示 的曲线可以是相同的，另 在建立曲线的参数参数时， 外，在建立曲线的参数参数时，要注明参 数及参数的取值范围。 数及参数的取值范围。
思考： 思考： 这里定点Q在圆 外 这里定点 在圆O外，你能判断这个 在圆 轨迹表示什么曲线吗？如果定点Q在 轨迹表示什么曲线吗？如果定点 在 圆O上，轨迹是什么？如果定点 在 上 轨迹是什么？如果定点Q在 圆O内，轨迹是什么？ 内 轨迹是什么？
小节： 小节： 1、参数方程的概念 、 2、能够解决一些简单的参数方程 、 3、圆的参数方程的表达式 、
如图， 的半径为2， 是圆上 例2 如图，圆O的半径为 ，P是圆上 的半径为 的动点， 轴上的定点， 是 的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是 是 轴上的定点 PQ的中点，当点 绕O作匀速圆周运动 的中点， 的中点 当点P绕 作匀速圆周运动 时，求点M的轨迹的参数方程。 求点 的轨迹的参数方程。 的轨迹的参数方程
解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t = 0 所以M1在曲线C上。 5 = 3t 把点M 2(5,4)代入方程组，得到{ 4 = 2t2 + 1
圆的参数方程及其应用
在计算机图形学中的应用
渲染效果
圆的参数方程在计算机图形学中 常用于制作各种渲染效果，如光 照、阴影、反射等。通过参数的 调整，可以创建出逼真的视觉效
果。
动画制作
在动画制作中，圆的参数方程可 以用来描述物体的运动轨迹，例 如旋转、缩放等。通过参数的变 化，可以轻松地实现各种动态效
果。
游戏开发
在游戏开发中，圆的参数方程常 用于物理引擎和碰撞检测。例如， 物体在碰撞时会产生圆形冲击波， 通过参数方程可以精确地描述这
同样地，也可以将参数方程转换为直角坐标方程。通过消去参数$theta$，可以得到 $x^2 + y^2 = r^2$。
参数方程的几何意义
参数方程中，$r$表示圆上点到圆心的 距离，即半径。$theta$表示圆心角， 即从圆心出发沿逆时针方向旋转的角 度。
通过参数方程，可以方便地描述圆上 任意一点的坐标和位置关系。例如， 当$theta = frac{pi}{2}$时，点位于 圆的最高点；当$theta = pi$时，点 位于圆的最低点。
05
结论
参数方程在圆的应用中的重要性
参数方程在描述圆的位置和形状时具有直观性和简洁性，能够清晰地表达圆的参数关系，方便数学和 物理问题的解决。
参数方程在解决与圆相关的实际问题时具有广泛的应用，例如在几何学、物理学、工程学等领域中， 参数方程可以帮助我们更好地理解和分析问题。
对未来研究的展望
随着数学和物理学的发展，参数方程 在圆的应用中将会得到更深入的研究 和应用，例如在解决更复杂的几何和 物理问题时，参数方程可能会发挥更 大的作用。
种效果。
在机器人路径规划中的应用
1 2 3
导航系统
机器人在移动时需要精确地计算路径，圆的参数 方程可以用来描述机器人周围的环境，帮助机器 人规划出最优路径。
参数方程的概念及圆的参数方程
x a r cos 所以 y b r sin
-5
（3）参数方程与普通方程的互化
x2+y2=r2
x r cos y r sin
(x a)2 ( y b)2 r 2
x a r cos
y
b
r
sin
注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的 横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵 坐标与参数之间的关系。
小 结:
1、圆的参数方程 2、参数方程与普通方程的概念 3、圆的参数方程与普通方程的互化 4、求轨迹方程的三种方法：⑴相关点点问 题（代入法）； ⑵参数法；⑶定义法 5、求最值
x 100 t 1、{y h 1 gt2 (t为参数，表示时间 )
2
2、设经过时间t，动点的位置是M (x, y),则
圆心为O1 (a, b)、半径为r的圆可以
看作由圆心为原点O、半径为r的圆 5
平移得到,设圆O1上任意一点P(x, y)
(a,b)
O1
P(x,y)
是圆O上的点P1 (x1, y1)平移得到的, 由平移公式, 有
v(a,b)
r P1(x1, y1)
x x1又
xy11
r r
cos sin
2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难 或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。
已知曲线C的参数方程是
x
y
3t 2t
2
1
(1)判断点（0，1）,(5,4)是否在Ｃ上.
(2)已知点（６，a）在曲线Ｃ上，求a.
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
参数方程的概念、圆的参数方程
之间的间接联系.
特别提醒:普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同 表达形式,参数方程可以与普通方程进行互化.
类型一
参数方程的表示与应用
x 1 2t， 【典例】已知曲线C的参数方程是 (t为参 2 y at ，
数,a∈R)点M(-3,4)在曲线C上. (1)求常数a的值. (2)判断点P(1,0),Q(3,-1)是否在曲线C上.
【解题探究】典例中如何求常数的值?如何判断点与曲
线的位置关系?
提示:为了求常数的值,只需将点M的横坐标和纵坐标分 别代入参数方程中的x,y,消去参数t,求a即可.要判断
点与曲线的位置关系,只要将点的坐标代入曲线的参数
方程检验即可,若点的坐标是方程的解,则点在曲线上,
否则,点不在曲线上.
【解析】(1)将点M(-3,4)的坐标代入曲线C的参数方程
如图所示,设其圆心为C,CM0∥x轴,则参数θ的几何意 义是CM0绕点C逆时针旋转到CM(M(x,y)是圆上的任意一 点)位置时转过的角度.
【归纳总结】 1.曲线的参数方程的理解与认识 (1)参数方程的形式:曲线上点的横、纵坐标x,y都是变 量t的函数,给出一个t能唯一地求出对应的x,y的值,因 而得出唯一的对应点;但是横、纵坐标x,y之间的关系 并不一定是函数关系.
(2)参数的取值范围:在表示曲线的参数方程时,必须指 明参数的取值范围.因为取值范围不同,所表示的曲线 也会有所不同.
2.参数方程与普通方程的统一性
(1)参数的作用:参数是间接地建立横、纵坐标x,y之间
的关系的中间变量,起到了桥梁的作用. (2)参数方程与普通方程的转化:曲线的普通方程是相
对参数方程而言的,普通方程反映了坐标变量x与y之间
参数方程的概念与圆的参数方程课件
题型二 圆的参数方程及其应用
【例2】 圆的直径AB上有两点C、D，且|AB|＝10，|AC|＝ |BD|＝4，P为圆上一点，求|PC|＋|PD|的最大值． [思维启迪] 本题应考虑数形结合的方法，因此需要先建立 平面直角坐标系．将P点坐标用圆的参数方程的形式表示 出来，θ为参数，那么|PC|＋|PD|就可以用只含有θ的式子 来表示，再利用三角函数等相关知识计算出最大值． 解 以AB所在直线为x轴，以线段 AB的中点为原点建立平面直角坐标 系．
解 (1)由题意可知有1a＋ t2＝2t4＝5，故ta＝＝21.∴a＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为xy＝＝t12＋2t. 由第一个方程得 t＝x－2 1代入第二个方程，得 y＝x－2 12，即(x－1)2＝4y 为所求．
【反思感悟】 将曲线的参数方程化为普通方程主要是消 去参数，简称为“消参”．消参的常用方法是代入消元法和 利用三角恒等式消参法两种．
为参数)
1．曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、 纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标 变量x、y间的间接联系．在具体问题中的参数可能有 相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意 义．曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定 一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点， 反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的 相应的允许取值．
3．圆的参数方程中参数的理解
在圆的参数方程中，设点 M 绕点 O 转动的角速度为ω(ω
为常数)转动的某一时刻为 t，因此取时刻 t 为参数可
得圆的参数方程为：yx＝＝rrscions
ωt， ωt (t
为参数)，此时参数
t 表示时间．
若以 OM 转过的角度 θ(∠M0OM＝θ)为参数，可得圆的参
圆的参数方程全面版
(2)把圆x 方 2y程 22x4y10化为参数方程为
x 12cos y 22sin
例
解1 法 (参数 ):设 法点 M的坐标 (x,y)为 因 , 为 x2圆 y216
的参数方 xy 程 4 4csio为 n s
所以可P的 设坐 点标 (4co 为 s,4sin)
圆的参数方程
x arcos y brsin
课件制作：湘潭县一中 李小清
1．参数方程的概念
（1）圆心在原点
2．圆的参数方程 的圆参数方程 （2）圆心不在原 点的圆的参数方程
3．例题讲解
4．练习及小结
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的 坐标x 、y都是某个变数t的函数，即
练习3
小结: 1、参数方程的概念 2、圆的参数方程 3、圆的参数方程与普通方程的互化 4、求轨迹方程的三种方法：⑴参数法⑵ 动点转移法（代入法）⑶定义法
作业：教材82页9、10、11题
再见
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
参数方程的概念及圆的参数方程
参数方程的概念及圆的参数方程
参数方程是用一个或多个参数来表示一个几何图形的方程。
通过参数
方程，可以对曲线、曲面以及其他复杂的图形进行描述和分析。
圆的参数方程是用参数t来表示圆上的点的方程。
对于一个圆心为
(x0,y0)，半径为r的圆，参数方程可以表示为：
x = x0 + r * cos(t)
y = y0 + r * sin(t)
其中t的范围是[0,2π)，也可以是其他范围。
这个参数方程描述了
t对应的点在圆上的位置。
在圆的参数方程中，参数t表示从圆心到圆上点的位置，可以是弧度、角度或其他度量方式。
通过不同的参数取值，可以得到圆上的所有点。
圆的参数方程可以用来计算圆的弧长，并且可以通过调整参数的范围
来改变绘制圆的起点和终点位置。
此外，参数方程还可以用来描述其他不
同形状的圆，比如椭圆或抛物线。
除了圆的参数方程，还有许多其他图形的参数方程，比如直线、椭圆、抛物线等。
每个图形的参数方程具有不同的形式和性质，但它们都共同使
用参数来表示图形的位置和形状。
总结来说，参数方程是一种用参数表示几何图形的方程。
圆的参数方
程是一种常见的参数方程形式，可以用参数t描述圆上的点的位置。
参数
方程具有描述复杂图形、计算几何属性和进行进一步分析的优势，广泛应
用于各个学科领域。
圆的方程参数方程
xyP0P rθx1O(,)P x y 111(,)P x yy圆的参数方程1．圆的参数方程的推导设圆O 的圆心在原点，半径是r ，圆O 与x 轴的正半轴的交点 是0P ，设点在圆O 上从0P 开始按逆时针方向运动到达点P ，0P OP θ∠=，则点P 的位置与旋转角θ有密切的关系：当θ确定时，点P 在圆上的位置也随着确定； 当θ变化时，点P 在圆上的位置也随着变化． 这说明，点P 的坐标随着θ的变化而变化． 设点P 的坐标是(,)x y ，你能否将x 、y 分别 表示成以θ为自变量的函数？ 根据三角函数的定义，c o ss i nx r y r θθ=⎧⎨=⎩， ① 显然，对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点(,)P x y 都在圆O 上。
我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为r 的圆的参数 方程，θ是参数．圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的 参数方程是怎样的？ 圆1O 可以看成由圆O 按向量(,)v a b =平移得到的（如图），由11O P OP = 可以得到圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程是cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）②2．参数方程的概念在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩ ③ 并且对于t 的每一个允许值，方程组③所确定的点(,)M x y 都 在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． 说明：参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数， 也可以是没有明显意义的变数．3．参数方程和普通方程的互化相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标 x 、y 关系的方程，叫做曲线的普通方程．将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。
参数方程和普通方程可以互化．如：将圆的参数方程②的参数θ消去，就得到圆的普通方程222()()x a y b r -+-=．（三）例题分析：例1．把下列参数方程化为普通方程：（1）23cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩ （θ为参数） （2）222121x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ （t 为参数）解：（1）2cos (1)33sin (2)2x y θθ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，，，由22(1)(2)+得22(2)(3)194x y --+=，这就是所求的普通方程． （2）由原方程组得y t x =，把yt x=代入221x t =+得y xθP221()x y x=+，化简得：2220x y x +-=（0x ≠）， 这就是所求的普通方程．说明：将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围 与x 、y 的取值范围之间的制约关系，保持等价性． 例2．如图，已知点P 是圆2216x y +=上的一个动点，定点A (12,0)，当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹是什么？解：设点M (,)x y ，∵圆2216x y +=的参 数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，∴设点P (4cos ,4sin )θθ，由线段中点坐标公式得4cos 1224sin 2x y θθ+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点M 轨迹的参数方程为2cos 62sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，∴点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆． 【思考】：这个问题不用参数方程怎么解？ 又解：设(,)M x y ，00(,)P x y ，∵点M 是线段PA 的中点，∴001222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴002122x x y y =-⎧⎨=⎩，∵点00(,)P x y 在圆上，∴220016x y +=，∴22(212)(2)16x y -+=， 即点M 的轨迹方程为22(6)4x y -+=，∴点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆． 例3．已知实数x 、y满足2220x y x ++-=， （1）求22x y +的最大值；（2）求x y +的最小值．解：原方程配方得：22(1)(4x y ++=，它表示以(-为圆心，2为半径的圆，用参数方程可表示为12cos 2sin x y θθ=-+⎧⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数，02θπ≤<）， （1）22x y+22(12cos )2sin )cos )8θθθθ=-++=-+8sin()86πθ=-+，∴当62ππθ-=，即23πθ=时，22max ()16x y +=． （2）2(sin cos )1)14x y πθθθ+=++=+，∴当342ππθ+=，即54πθ=时，m a x ()21x y +=．说明：本题也可数形结合解．五．小结：1．圆心为原点、半径为r 的圆的参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）；2．圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）；3．参数方程和普通方程的互化，要注意等价性．补充：已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数），(,)P x y 是曲线C 上任意一点，yt x=，求t 的取值范围．。
2.1.1《参数方程的概念、圆的参数方程》 课件(人教A版选修4-4)
限内，其余方程的曲线都过第二象限.
4.已知O为原点，当θ = 时，参数方程 6
x=3cos (θ 为参数) y=9sin
上的点为A,则直线OA的倾斜角为( (A)
6
) (D) 5
6
(B)
3
(C) 2
3
【解析】
5.在方程 标是( )
x=sin2 (θ 为参数)所表示的曲线上的一点的坐 y=sin+cos
12.（14分）已知圆系方程为x2+y2-2axcosφ -2aysinφ =0
(a＞0).
(1)求圆心的轨迹方程; (2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值.
【解析】
)
【解析】选D. 当x=t-1=0时，t=1,y=t+2=3;当y=t+2=0时， t=-2,x=t-1=-3.曲线与坐标轴的交点坐标为（0，3），
（-3，0）.
x=sin 2.下列各点在方程 (θ 为参数)所表示的曲线上的是 y=cos2
(
（B） ( 1 , 2 )
3 3
)
（A）(2,-7) （C） ( 1 , 1 )
【解析】设飞机在点H将物资投出机 舱，记此时刻为0 s，设在时刻t s 时的坐标为M（x,y）,如图,建立平 面直角坐标系，由于物资做平抛运 动，依题意，得
x=100t x=100t 1 2 ,即 y=h- gt y=h-5t 2 2
令x=100t=1 000,得t=10(s), 由y=h-5t2=h-500=0,得h=500 m. 答案:500 m
∴x=sin 2θ= - 3 .
4
1 4
x=3+cos 6.曲线 (θ 为参数)上的点到坐标轴的最近距离为 y=4+sin
2.1.1 参数方程的概念及圆的参数方程
2.1.1 参数方程的概念及圆的参数方程 学习目标1．理解参数方程的概念，能识别参数方程给出的曲线或曲线上点的坐标；2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
学习过程课前自主学习（先认真阅读教材P 21—P 24完成教材助读设置的问题和预习自测题。
将预习中不能解决的问题标出来并写到后面“我的疑惑”处。
）一）．教材助读（学着在教材上勾画重点知识）1.什么是参数方程？2. 圆的参数方程二）．预习自测（自测题体现一定的基础性，请大家结合课本知识与例题，自己独立完成）1．下列哪个点在曲线)(2cos sin 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 上（ ） A ．(2,7) B ．)32,31( C ．)21,21( D ．(1,0) 2.已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y t x (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(3,4)与曲线C 的位置关系；（2）已知点M 3(3,a )在曲线C 上，求a 的值。
三）．我的疑惑:二、探究·合作·展示※ 学习探究【探究一】已知参数方程⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ∈θ[0,2π)判断点A(1,3)和B(2,1)是否在方 程的曲线上.【探究二】分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
变式：求圆x 2+y 2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离最小值。
三．我的收获：学习评价※ 当堂检测1、曲线⎩⎨⎧-=+=3412t y t x （t 为参数）与x 轴交点的坐标是（ ）A （1，4）B （1625，0）C （1，－3）D （±1625，0） 2.已知P （x,y ）圆C ：x 2+y 2－6x －4y+12=0上的点。
（1）求 x y的最小值与最大值；（2）求x －y 的最大值与最小值3．动点M 从起点M 0(1,2)出发作等速直线运动，它在x 轴与y 轴方向上的分速度分别为6和8，求点M 的轨迹的参数方程。
21曲线参数方程的概念及圆的参数方程
x 100t, 1 2 2 （ g=9.8m/s ) y 5 0 0 g t . 2 令 y 0, 得 t 1 0 .1 0. s
o
所 以 ， 飞 行 员 在 离 救 援 点 的 水 平 距 离 约 为 1 0 1 0 m 时 投 放 物 资 ， 可 以 使 其 准 确 落 在 指 定 位 置 .
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁, 1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明 显意义。 2. 2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3. 3.在实际问题中要确定参数的取值范围
变式:
t x 3, 例1: 已知曲线C的参数方程是 (t为 参 数 ) 2 t 1 . y 2
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
投放点
？
救援点
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成： （1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。
x
代 入 x 1 0 0 t , 得 x 1 0 1 0 m .
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 坐标x, y都是某个变数t的函数 x f ( t ) , （2） y g ( t ) . 并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数. 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。
参数方程参数方程的概念与圆的参数方程
参数方程参数方程的概念与圆的参数方程参数方程概念：圆的参数方程：圆是一个平面上距离中心点相等的一组点的集合，通常用半径来定义。
圆的参数方程是一种描述圆上各点位置的方程。
通常，圆的参数方程是根据圆心的坐标和半径的大小来确定的。
以坐标系的原点为圆心，半径为r的圆的参数方程可表示为：x = r * cosθy = r * sinθ其中，θ是参数，表示从x轴正半轴逆时针旋转的角度。
圆的参数方程的主要优点是，以参数形式给出圆上各点的坐标，可以方便地对圆进行求导和积分操作，从而进行更复杂的几何分析。
圆的参数方程可用于描述其他几何图形，如椭圆、双曲线等，通过调整参数可以得到不同形状的图形。
例如，调整θ的取值范围可以得到一个圆弧，调整半径r的大小可以得到不同大小的圆。
参数方程的应用：参数方程广泛应用于物理学、计算机图形学、计算机辅助设计等领域。
在物理学中，参数方程经常用于描述物体的运动轨迹，如自由落体、圆周运动等。
在计算机图形学中，参数方程可以用于绘制各种曲线、曲面和图形，如贝塞尔曲线、球面、立方体等。
在计算机辅助设计中，参数方程可以用于描述复杂曲线或曲面的形状，方便进行设计和分析。
总结：参数方程是描述一个曲线、曲面或空间中其中一点在不同参数取值下的坐标的方程。
圆的参数方程是根据圆心的坐标和半径的大小来确定的。
参数方程的优点是可以方便地进行几何分析和操作。
参数方程在物理学、计算机图形学、计算机辅助设计等领域有广泛的应用。
参数方程是一种重要的数学工具，对于深入理解和研究曲线、曲面等几何对象非常有帮助。
圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化
圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化圆是平面几何学中最基本的几何形状之一、在直角坐标系下，圆可以使用普通方程或者参数方程来表示。
参数方程是一种使用参数来表示平面上每个点的方程形式，它与普通方程之间存在一种互化关系，可以通过互相转换来描述同一个圆。
下面我们将详细介绍圆的参数方程以及参数方程与普通方程的互化关系。
一、圆的参数方程1.确定圆心和半径设圆心为(a,b)，半径为r。
2.使用参数表示圆上每个点设参数t为圆上任意一点与圆心的连线之间的夹角，以及圆心到该点的线段的长度与半径r的比值。
3.圆的参数方程x = a + r * cos(t)y = b + r * sin(t)这个参数方程描述了圆上每个点的坐标。
参数方程和普通方程是用不同的数学表达形式来描述同一个几何对象的方式。
通过互相转换，我们可以在这两种方程之间进行转换。
1.从参数方程转换为普通方程在参数方程中，我们可以通过消去参数t来得到普通方程。
具体步骤如下：- 在参数方程中，将 x 和 y 分别表示为 x = a + r * cos(t) 和 y = b + r * sin(t)。
-将上述两个方程平方，并对它们求和，得到(x-a)^2+(y-b)^2=r^2-整理上述方程，可以得到普通方程形式(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，它描述了圆的方程。
2.从普通方程转换为参数方程在普通方程中，我们可以通过引入参数t来得到参数方程。
具体步骤如下：-在普通方程中，将(x-a)^2+(y-b)^2=r^2表示为(x-a)^2+(y-b)^2-r^2=0。
-使用参数t来表示(x-a)^2+(y-b)^2-r^2=0的参数方程。
- 令 x = a + r * cos(t) 和 y = b + r * sin(t)，则 (x - a)^2 + (y - b)^2 - r^2 = 0 成立。
- 这样我们就得到了参数方程 x = a + r * cos(t) 和 y = b + r * sin(t)，描述了圆的方程。
2.1.1参数方程的概念圆的参数方程
1、了解曲线的参数方程的意义（重点）2、常与方程、平面几何和三角函数结合命题3、掌握圆的参数方程并用于解决最值问题（难点）1.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都都是某个变数t 的函数 ①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M （x,y ）都在这条曲线上，那么①就叫做这条曲线的 ，联系变数x,y 的 叫做参变数，简称 ，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做 。
2、圆的参数方程（1）如图所示，设圆O 的半径是r ，点M 从初始位置M 0出发，按逆时针方向在圆OM （x.y ），则 y 这就是圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是OM 0绕点O 旋转到OM 的位置时， OM 0转过的角度。
（2）圆心为C （a,b ），半径为r 数方程题型一 参数方程的概念【例1】已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x （θ为参数，0≤θ<2π） 判断点A （2，0），B （233，－）是否在曲线上？若在曲线上，求出点对应的参数的值。
【练习1】已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=412t y t x （t为参数），判断点A （3，0），B （－2，2）是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值。
题型二 求曲线的参数方程【例2】已知边长为a 的等边三角形ABC 的顶点A 在y 轴的非负半轴上移动，顶点B 在x 轴的非负半轴上移动，求顶点C 在第一象限内的轨迹的参数方程。
【练习2】已知线段AB 的位置和长度都一定，点P 在AB 上移动，在AB 的同侧分别以AP 、PB 为边作等边三角形APM 和BPN ，求线段MN 的中点Q 的轨迹的参数方程。
题型三 圆的参数方程的应用【例3】 已知矩形ABCD 的顶点C （4，4），点A 在圆O ：)0,0(922≥≥=+y x yx上移动，且AB ，AD两边始终分别平行于x 轴、y 轴，求矩形ABCD 面积的最小值与最大值，以及相应的点【练习3】1、已知圆O 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x （θ为参数，0≤θ<2π） （1）求圆心和半径；（2）若圆O 上点M 对应的参数35πθ＝，求点M 的坐标；（3）求圆O 上点N （－1，3）对应的参数θ。
圆的参数方程
y
P
M
O
A x
x =3+cosθ 由中点公式得:点M的轨迹方程为 y =sinθ ∴点M的轨迹是以(3,0)为圆心、1为半径的圆。
3.参数方程和普通方程的互化：
（1）普通方程化为参数方程需要引入参数 如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参 数方程
x t, （t为参数） y 2t 2 .
x= t 1 (1) ( t为 参 数 ) y 1 2 t
x= sin cos (2) ( 为 参 数 ). y 1 sin 2
解： 因为x (1)
t 11
所 以 普 通 方 程 是 y 2 x （ x 1) 3
这 是 以 （1， 为 端 点 的 一 条 射 线 （ 包 括 端 点 ） 1）
x 1 2 cos y 2 2 sin
观察3
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=4上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(6,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
解:设M的坐标为(x,y), 圆x2+y2=4 的参数方程为 x =2cosθ y =2sinθ ∴可设点P坐标为(2cosθ,2sinθ)
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 坐标x, y都是某个变数t的函数 x f ( t ),
（2） y g ( t ).
并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数. 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。
圆的参数方程
圆的参数方程一、圆的参数方程1、圆的参数方程的定义：说明：注意：即为给出了某个具体的点，我们把这个点和其他所有已知点集合起来组成一个新的一个未知点的坐标系，那么，此点的坐标就是用这个未知点与圆心的距离（两个条件缺一不可），我们把这个距离称之为点到圆的参数。
2、圆的参数方程的求法：步骤： p：设圆心位于原点O上，x轴从O向左引垂线与圆相交，从左向右引垂线与圆相交，使得这些垂线相交于一点C，连接C、 O和C，这样，我们就可以得到圆的方程。
n：如果将a=n， b=0，那么，即为给出了点M的坐标为p，我们可以得到这一点到原点的距离，也就是说，当x=y=0时，这一点到原点的距离等于半径r=1。
3、实例：求圆上的点到原点的距离。
4、圆的参数方程的应用： 1）、计算参数：设A为参数。
2。
计算单位圆上任一点P的坐标P= (x-1)/2，代入圆的参数方程即得。
3、应用：解决有关圆中的动点问题。
4、圆周角的计算公式：说明：在同圆或等圆中，它的两条切线的夹角的正弦值相等；它的两条切线的夹角的余弦值相等。
5、圆周角定理：说明：两个圆周角所对的弧的度数之和等于180度。
6、扇形的概念：说明：当角的顶点与边的端点重合时，它的大小叫做角的弧度，简称为弧度，记作∠A=∠B。
圆的角平分线：说明：它过圆心且垂直于切线。
弧与圆的位置关系：说明：设直线x、 y、z依次经过点A、 B、 C，其中A， B， C三点共线，则ACx=3xy。
7、圆的参数方程：对于非等距性的椭圆，当长半轴长度远大于短半轴长度时，其参数方程为： 8、椭圆的参数方程的几种特殊情况：注意： a、椭圆无参数方程。
b、参数方程两参数取同号，第三参数取异号。
c、参数方程两参数取反号，第三参数取正号。
9、比较两个椭圆的方程的异同：特别要注意：（ 1）、是否含有参数-1。
（ 2）、参数在前还是参数在后。
（ 3）、参数的符号。
10、确定参数方程的根的方法：确定参数方程的根的一般步骤是： a、分别寻找椭圆上三个点与长轴交点的横坐标（关键）。
参数方程概念及圆的参数方程
参数方程的概念、圆的参数方程 课件
联系变数 x，y 之间关系的变数 t 叫做参变数，简称参数．相
对于参数方程而言，直接给出的点的坐标间的关系的方程叫
做
普通方程 ．
2．圆的参数方程 (1)如图 2－1－1 所示，设圆 O 的半径为 r，点 M 从初始 位置 M0 开始出发，按逆时针方向在圆上运动，设 M(x，y)， 点 M 转过的角度是 θ，
又 3－d<71010，故满足题意的点有 2 个． 【答案】 B
1．本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合， 判定直线与圆的位置关系．
2．参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普 通方程来判断．特别要注意变量的取值范围．
如图 2－1－2，已知点 P 是圆 x2＋y2＝16 上的 一个动点，定点 A(12,0)，当点 P 在圆上运动时，求线段 PA 的中点 M 的轨迹．
【思路探究】 (1)将点 M 的横坐标和纵坐标分别代入参 数方程中的 x，y，消去参数 t，求 a 即可；
(2)要判断点是否在曲线上，只要将点的坐标代入曲线的 普通方程检验即可，若点的坐标是方程的解，则点在曲线上， 否则，点不在曲线上．
【自主解答】 (1)将 M(－3,4)的坐标代入曲线 C 的参数
【自主解答】 如图，设 C 点坐标为(x，y)，∠ABO＝θ， 过点 C 作 x 轴的垂线段 CM，垂足为 M.
则∠CBM＝23π－θ， ∴xy＝ ＝aacsions23θπ＋－aθco，s23π－θ， 即xy＝ ＝aassiinnθθ＋ ＋ππ63， . (θ 为参数，0≤θ≤π2)为所求．
求曲线的参数方程的方法步骤 (1)建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点 M 的坐标； (2)写出适合条件的点 M 的集合； (3)用坐标表示集合，列出方程； (4)化简方程为最简形式； (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 (此步骤可以省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是 否都表示曲线上的点，要注意那些特殊的点)．
参数方程的概念圆的参数方程
参数方程的概念圆的参数方程参数方程是一种用参数表示自变量和因变量关系的方程。
在参数方程中，自变量和因变量都用参数表示，而不直接用变量表示。
通过改变参数的取值，可以获得方程所代表的曲线或图形上的每个点的坐标。
圆的参数方程可以通过使用正弦和余弦函数来表示。
在平面直角坐标系中，圆的参数方程为：x = r * cos(t)y = r * sin(t)其中，x和y分别代表圆上任一点的坐标，r代表圆的半径，t是参数。
当我们改变参数t的取值范围时，可以得到圆的不同部分，从而形成完整的圆。
通常，t的取值范围是0到2π，即一个完整的圆周。
例如，当t=0时，x=r，y=0，即圆上的点位于圆的最右侧的点。
当t=π/2时，x=0，y=r，即圆上的点位于圆的最上方的点。
当t=π时，x=-r，y=0，即圆上的点位于圆的最左侧的点。
当t=3π/2时，x=0，y=-r，即圆上的点位于圆的最下方的点。
从这些例子可以看出，改变参数t的取值范围可以得到圆的不同部分。
使用参数方程表示圆的好处是可以更灵活地描述和绘制圆。
参数方程不仅可以表示平凡的圆形，还可以表示椭圆、抛物线、双曲线等多种曲线。
通过调整参数的取值范围和改变参数方程中的函数，可以绘制出各种几何图形。
此外，参数方程可以方便地处理极坐标下的曲线。
在极坐标系中，圆的参数方程可以表示为：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中，θ代表极坐标的角度，r代表极坐标的半径。
通过改变参数θ的取值范围，可以得到极坐标系中的圆的不同部分。
总之，参数方程是一种灵活和方便的方式来描述和绘制曲线。
圆的参数方程是其中的一个重要应用，通过改变参数的取值范围和调整函数，可以得到圆的不同部分。
参数方程还可以应用于其他几何图形的描述和绘制中。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
把 所点 以 21(在 M5,M曲 4)代 线入 C,方 上 得程 到 。 45组 {23t2t1,即tt5236
这个
方程组 ,所无 以解 a点 2不M在曲线
C上
。 6
(2)因为点3(M6,a)在曲线C上，所以
{ a
6
2t32t1解得t
2,a
9,所以，a
9
技法归纳
x f (t),
判断点 x0, y0在不在参数方程
由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，
同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参
数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们
表示的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数
时，要注明参数及参数的取值范围。
a
12
圆的参数方程的一般形式
以上是圆心在原点的圆的参数方程，它对应的
所 以 ， 飞 行 员 在 离 救 援 点 的 水 平 距 离 约 为 1 0 1 0 m 时 投 放 物 资 ，
可 以 使 其 准 确 落 在 指 定 位 置 . a
4
概念讲解
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标x, y都是某个变数t的函数 x f ( t ) ,
y
g (t).
点O转动的角速度为w.
显然，点M的位置由时
y
刻 t 惟一确定，因此
可以取 t 为参数。
M(x,y)
如果在时刻t，点M转 过的角度是θ，坐标 是M(x,y)，那么 θ=ωt，设 OM r
r
o
M0x
a
10
y
M(x,y)
r
o
M0 x
由三角函数定义，有
cost x , sin t y
r
r
即
x
y
r cos r sin
t,(t为参数) t.
这就是圆心在原点O，半径为 r 的圆的参数方程。
其中参数 t 有明确的物理意义（质点作匀速圆周
运动的时刻）
a
11
考虑到 t ，也可以取θ为参数，于是有
x r cos
y
r
sin
(为参数) 0,2
这也是圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方程。
(其中参数θ 的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM 的位置时， OM0转过的角度。)
参数方程的概念及 圆的参数方程
高二数学组 敖香
a
1
问题探究（一）
一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速 度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区 指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时 机呢？
a
2
分析：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。
2
2
所以，点 M的轨迹的参数方程是
x {
cos
3(为参数)y来自 sina16
技法归纳
参数方程求法: （1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标 （2）选取适当的参数 （3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义,
2002年5月1日，中国第一座身高108 米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运 营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列， 居亚洲第一。
已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针 匀速旋转一周需时20分钟。如图所示，某 游客现在点（其中点和转轴的连线与水平 面平行）。问：经过t秒，该游客的位置 在何处?
a
9
如图，设圆O的半径是r，点M从初始位置M0（t=0时的位 置）出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动.点M绕
设Mx, y, Px0, y0
由中点坐标公式 , 有x
y
x0
2 y0
6 ,
则x0y0
2x 2y
6
2
因为 P在 点圆上x0， 2y0所 24以
所以 2x622y24即 x32y21
a
14
例题讲解
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是 x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周 运动时，求点M的轨迹的参数方程。
普通方程是x2 y2 r 2 ,那么，圆心在点O(x , y )
0
0
半径为r的圆的参数方程又是怎么样的呢？
x y
x0 y0
r cos r sin
(为参数)
其对应的普通方程为(x x0 )2 ( y y0 )2 r 2
a
13
例题讲解
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是 x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周 运动时，求点M的轨迹的参数方程。
分析：取 xOP
为参数，则圆O的参数 方程是
x
y
22csoins（为参数）
y P
o
M Qx
a
15
yP
M
o
Qx
解：设点 M的坐标是 (x, y)，xOP ,则点
P的坐标是 (2 cos ,2 sin ),由中点坐标公式得：
x 2 cos 6 cos 3, y 2 sin sin
显意义。
2.同一曲线选取参数不同, 曲线参a 数方程形式也不一样
5
3.在实际问题中要确定参数的取值范围
例题讲解
例1:
已知曲线C的参数方程是
x3t, y 2t2
(t为参数) 1.
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系； （2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。
解：(11的 )把 坐点 标M(方 0,程 1)组 代， 入 0 解
（1）
并且对于t的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(1) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数.
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁,
1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明
y
g (t).
表示的曲线
上，只需把点的坐标带入方程组，
方程组有解，说明点在曲线上；否则点不在曲线上。
a
7
变式练习
曲线
x
1t2
,(t为参数）
，与x轴的交点坐标是
y 4t 3
(B )
A、（1，4） C、 (1, 3)
B、(
2 1
5 6
,
0
)
D、( 2 5 , 0 )
16
a
8
问题探究（二）
上海摩天轮
解：从飞机投弹所在的位置向地面作垂线，垂足为O, 以垂线为y轴，以O为原点，建立平面直角坐标系。
y
物资出舱后，设在时刻t，水平位
移为x，垂直高度为y
500
a
3
o
x
y 500
y
x h
vt 1
2
gt
2
（g=9.8m/s2)
o
x
即y
x 100t 500 1
2
gt2
救 援 物 资 落 地 时 ， 有 y 0 ,得t 10.10s. 代 入 x 1 0 0 t,得 x 1 0 1 0 m .