大学物理第十八章碰撞ppt

2020年3月8日 20
理论力学CAI
完全塑性碰撞
2020年3月8日 21
理论力学CAI
对心碰撞：碰撞时两物体质心的连线与接触点公法线重合 否则称为偏心碰撞。
对心正碰撞：碰撞时两质心的速度也都沿两质心连线方向， 则称为对心正碰撞（正碰撞），否则称为对心斜碰撞（斜 碰撞）。
2020年3月8日 22
2020年3月8日 49
理论力学CAI
解：
vA 2LOA LAB
AB 2OA
系统对O点运用冲量矩定理：
J O OA JC AB mvC

O1
y
0， h JO
md
撞击中心位于刚体质心与转轴 轴心的连线或连线的延长线上； 撞击中心到转轴的垂直距离为
h JO md
2020年3月8日 理论力学CAI
主动力的碰撞冲量通过撞击中 心、并且垂直于刚体质心与转轴 轴心的连线或连线的延长线，则 在转轴轴承处不会引起碰撞约束 力。
37
(1
e2
)(v1

v2
)2
2020年3月8日 26
理论力学CAI
碰撞前后动能变化：T

m1m2 2(m1 m2 )
(1 e2 )(v1
v2 )2
塑性碰撞 e = 0
T＝
2

m1m2 m1 m2

(v1

v2
)2
若有 v2= 0
T＝
2

m1m2 m1 m2

v12＝ 1
T1 m1
2020年3月8日 29
理论力学CAI
18.2 研究碰撞的矢量力学方法
1. 碰撞时的动量定理
p2 p1
Ie
m vc m vc0
n
Ii
i 1
在一定的时间间隔内，质点系动量的改变等于 同一时间间隔内，作用在质点系上所有外力冲量 的主矢。
2020年3月8日 30
理论力学CAI
2. 碰撞时的冲量矩定理
e＝ I2 ＝ u2n u1n I1 v1n v2n
对于确定的材料，恢复因数为常量。
这一结果表明：对于特定的材料，不论碰撞前后物 体的运动速度如何，两个碰撞物体碰撞前后的相对速 度大小的比值是不变的。
恢复因数既描述了碰撞后物体速度的恢复程度，也 描述了物体变形的恢复程度。
2020年3月8日 15
形式
mxC 2
mxC1

I
e x
myC 2

myC1

I
e y
定轴转动微分方程的积分形式
J O2 J O1 M O (I e )
得到
mvC 0 Icos IOx
0 Isin I Oy
J O 0 Ihcos
2020年3月8日 34
(2)由于碰撞时间极短，而速度又是有限量，所以物体在 碰撞过程的位移很小，可以忽略不计，即认为物体在碰撞 开始时和碰撞结束时的位置相同。
2020年3月8日 12
理论力学CAI
2. 研究碰撞的基本假设：
（3） 局部变形的刚体碰撞过程分为两个阶段
I1
tm F dt
u1
t1 变形阶段的碰撞冲量；V1
18.1 碰撞的特征和基本假定
碰撞的特征：物体的运动速度或动量在极短的时间内发 生有限的改变。碰撞时间之短往往以千分之一秒甚至万分 之一秒来度量。因此加速度非常大，作用力的数值也非常 大。
碰撞力（瞬时力）：在碰撞过程中出现的数值很大的力 称为碰撞力；由于其作用时间非常短促，所以也称为瞬 时力。
2020年3月8日 1
例 均质杆质量m，长2a，可绕O轴转动， 杆由水平无初速落下，撞到一固定物块。 设恢复系数为e，求碰撞后杆的角速度， 碰撞时轴承的碰撞冲量及撞击中心的位置。
2020年3月8日 38
理论力学CAI
解：碰撞开始时，由动能定理：
m ga

1 2
J O 12

0

1 2

1 3
m(
2a
)2

12
求得：
碰撞时刚体平面运动微分方程的积分形式
mxC 2

mxC1

I
e x
myC 2

myC1

I
e y
JC 2 JC 1 MC (I e )
2020年3月8日 32
理论力学CAI
Iy
Ix
x
I C O vC h

O1
y
具有质量对称平面的刚体可绕 垂直于对称平面的固定轴转 动，初始静止。
害的一面：机械、仪器及其它物品由于碰撞损坏等。 利的一面：利用碰撞进行工作，如锻打金属，用锤打桩等。
研究碰撞现象，就是为了掌握其规律，以利用其有利 的一面，而避免其危害。
2020年3月8日 3
理论力学CAI
2020年3月8日 4
理论力学CAI
2020年3月8日 5
理论力学CAI
2020年3月8日 6
42
v

A 2L/3
碰撞前
v 2gH
碰撞后

碰撞前后对固定轴A动量矩守恒
mv
1 6
L

J
A
2020年3月8日 43
理论力学CAI
质量均m 、长为L的匀质直杆AB 、BD铰接， 置于光滑水平面上，如图所示，两杆相互垂直 时，一冲量I作用在D处，求（1）此时两杆的角 速度，（2）此时系统的动能。
g
碰撞力的变化大致情况如图所示。
平均打击力 F* I / 7650N ，是榔头重的765倍。
2020年3月8日 2
理论力学CAI
可见，即使是很小的物体，当运动速度很高时，瞬时 力可以达到惊人的程度。有关资料介绍，一只重17.8N 的飞鸟与飞机相撞，如果飞机速度是800km/h，碰撞力 可高达3.56105N，即为鸟重的2万倍！
理论力学CAI
2020年3月8日 7
理论力学CAI
2020年3月8日 8
理论力学CAI
2020年3月8日 9
理论力学CAI
2020年3月8日 10
理论力学CAI
2020年3月8日 11
理论力学CAI
2. 研究碰撞的基本假设：
(1)在碰撞过程中，重力、弹性力等普通力与碰撞力相比 小得多，其冲量可以忽略不计。但必须注意，在碰撞前和 碰撞后，普通力对物体运动状态的改变作用不可忽略。
塑性碰撞中损失的动能与物体的质量比m有2 关。
2020年3月8日 27
理论力学CAI
例 汽锤锻压金属。汽锤m1=1000kg， 锤件与砧块总质量m2=15000kg， 恢复因数e =0.6，求汽锤的效率。
2020年3月8日 28
理论力学CAI
解：汽锤效率定义为
v2 0
,
T1

1 2
m1v12
3g 1 2a
碰撞结束时： 3g
2 e1 e 2a
2020年3月8日 39
理论力学CAI
对O取冲量矩 J 0 2 J 0 ( 1 ) I l
I

JO l
( 1

2
)
4ma 2 (1 3l
e
)
3g 2a
2020年3月8日 40
理论力学CAI
水平方向取冲量定理：
当刚体受到位于对称平面内的 碰撞冲量作用时，刚体的转动 角速度将发生变化，同时在转 动轴的轴承支承处将产生相应 的碰撞约束力。
2020年3月8日 理论力学CAI
刚体上，能够使碰撞约束力等于零 的主动力的碰撞冲量作用点，称为 撞击中心，或打击中心。
33
Iy
Ix
x
I C O vC h

O1
y
应用平面运动微分方程的积分
,
T T1
T

m2 m1 m2
(1
e2
)T1
m2 (1 e2 ) 15000 (1 0.62 ) 0.6 60%
m1 m2
1000 15000
若将锻件加热，可使e减小。当达到一定温度时，可使锤 不回跳，此时可近似认为e =0，于是汽锤效率
m2 0.94 94% m1 m2

2I
AB

3 2I 8mL
46
系统的动能：
T

1 2
J A AB2

1 12
J
2
C BD

1 2
m
vB2 vCB2

1 6
mL2 AB 2

1 24
mL2 BD 2

1 2
mL2 AB 2

1 2
m
L2 4
BD 2
15 I 2 16 m
2020年3月8日 47
AB

1 3
mL
BD

2I
2020年3月8日
45
理论力学CAI
2020年3月8日 理论力学CAI
BD杆对B点运用冲量矩定理：
J C BD
m
L 2
vCB

2 LI 2
1 12
m
L2
BD

1 4
mL2
BD

2 LI 2
1 3
mL
BD

2I 2
BD

3 2I 2mL
4 3
mL
AB
1 mL 3 2I 3 2mL
理论力学CAI
碰撞的动能定理
T T0
1 2
vi

vi0

Ii
2020年3月8日 48
理论力学CAI
匀质直杆OA长2L，质量为m，绕O转 动，匀质直杆AB长为2 L，质量为m， 与OA杆和滑块铰接，不计滑块质量， 光滑接触。系统置于光滑水平面上， 图示位置OA杆与滑块平行，今有一与 OA杆平的冲量I作用在AB杆的中点。 求撞击瞬时两杆的角速度。
理论力学CAI
2020年3月8日 23
理论力学CAI
2020年3月8日 24
理论力学CAI
2020年3月8日 25
理论力学CAI
碰撞前后动能变化：
T

T1
T2


1 2
m1v12

1 2
m2v22



1 2
m1v1'2

1 2
m2v2'2

撞前
撞后

m1m2 2(m1 m2 )
n
LO2 LO1
MO
(
I
e i
)
i 1
在一定的时间间隔内，质点系 动量 的改变等于 同一时间间隔内，作用在质点系上所矩有外力冲量的 主矩 。
对定点、定轴、质心、过质心轴
2020年3月8日 31
理论力学CAI
碰撞时刚体定轴转动运动微分方程的积分形式
JO2 JO1 MO (I e )
理论力学CAI
Iy
Ix O
x
d
I
vC h C

O1
y
2020年3月8日 理论力学CAI
mvC 0 Icos IOx
0 Isin I Oy
J O 0 Ihcos
I Ox＝mvC Icos I Oy Isin Ihcos
JO
理论力学CAI
以榔头打铁为例说明碰撞力的特征：
设榔头重10N，以v1=6m/s的速度撞击铁块，碰撞时间
=1/1000s , 碰撞后榔头以v2=1.5m/s的速度回跳。求榔头打击铁 块的力的平均值。
以榔头为研究对象，根据动量定理
mv2 mv1 I 的投影形式得
10
塑料
(1.5 6 ) I ; I 7.65 N s
35
Iy
Ix O
x
d
I
vC h C

O1
y
2020年3月8日 理论力学CAI
I Ox＝mvC Icos
I Oy Isin
Ihcos
JO
vC d
为使轴承的碰撞约束力等于零， 必须使IOx和IOy同时等于零。
0
h JO md
36
Iy
Ix O
x
d
I
vC h C
2020年3月8日 44
理论力学CAI
解： vB L AB
vCB

L 2
BD
系统对A点运用冲量矩定理：
JAAB

JCAB

m

LvB

Байду номын сангаас1 2
LvCB

I
2L
1
3
mL2 AB

1 12
mL2 BD

mL2 AB

1 4
mL2 BD

I
2L
4 3
mL
F
u2 n
V2
I 2
t2 F dt
tm
恢复阶段的碰撞冲量。
t1
2020年3月8日 理论力学CAI
I1 I2 tm t2
t
13
（4） 恢复因数－碰撞的恢复阶段的冲量 与变形阶段的冲量之比，用 e 表示：
e I2 I
I1
I
2020年3月8日 14
理论力学CAI
恢复因数与碰撞前和碰撞后的速度之间的关系
e＝ h1 h2
17
恢复因数的取值范围
0 < e <1 部分弹性碰撞： 变形不能完全恢复；
e 1
e 0
2020年3月8日 理论力学CAI
完全弹性碰撞：无能量损耗， 碰撞后变形完全恢复；
完全塑性碰撞： 能量完全损耗， 变形完全不能恢复。
18
完全弹性碰撞
2020年3月8日 19
理论力学CAI
部分弹性碰撞
理论力学CAI
2020年3月8日 16
理论力学CAI
例 对于球A与固定平面的正碰撞情形
h2h2 h1
AA
vA v'A
B
2020年3月8日 理论力学CAI
e＝ I2 ＝vB vA I1 v A vB
vB＝vB＝0
， e＝ I2 ＝－ vA
I1
vA
vA 2gh2 , vA 2gh1
m( a2 a1 ) IOx I IOy 0
4a 2 IOx m( 1 a2 )( 3l a )
IOy 0
撞击中心位置：
( 令 IOx 0 , 得到)
l 4a 3
2020年3月8日 41
理论力学CAI
2020年3月8日 理论力学CAI
例 匀质杆质量 m 长 L， 由H高度静止下落，e=0。 求碰撞后的角速度。