(完整版)同济大学工程数学线性代数第六版答案(全)

第一章 行列式
1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411
02---;
解 3
811411
02---
=2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c
b a ;
解 b
a c a c
b c
b a
=acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3.
(3)2221
11c b a c b a ;
解 2
221
11c b a c b a
=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y
x y x +++.
解 y
x y x x y x y y
x y x +++
=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3).
2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:
(1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2;
解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;
解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;
解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n );
解 逆序数为2)
1(-n n :
3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2) (n-1个)
(6)1 3 ⋅⋅⋅(2n-1) (2n) (2n-2) ⋅⋅⋅ 2.
解逆序数为n(n-1) :
3 2(1个)
5 2, 5 4 (2个)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2) (n-1个)
4 2(1个)
6 2, 6 4(2个)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
(2n)2, (2n)4, (2n)6,⋅⋅⋅, (2n)(2n-2) (n-1个)
3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.
解含因子a11a23的项的一般形式为
(-1)t a11a23a3r a4s,
其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因子a11a23的项分别是
(-1)t a11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,
(-1)t a11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42.
4.计算下列各行列式:
(1)7
1100251020214
214; 解 711002510202142140
100142310
20211021
473234-----======c c c c 34)1(1431022110
14+-⨯---= 143102211014--=014
171720010
99323211=-++======c c c c .
(2)2605232112131412-; 解 26
05232112131412
-2
6
050
321
2213041224--=====c c 0
41203212213
041224--=====r r 00
00032122130
41
2
14=--=====r r . (3)ef
cf bf de cd bd ae
ac ab ---;
解 ef
cf bf de cd bd ae ac ab ---e c b e c b e
c b adf ---=
abcdef adfbce 41
111111
11=---=.
(4)d
c b a 100110011001---. 解
d c b a 1
00110011001---d
c b a
ab ar r 10
011001101021---++===== d
c a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====c
d c ad
a a
b d
c c
cd
ad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 5. 证明:
(1)111222
2b b a a b ab a +=(a -b )3;
证明
1112222b b a a b ab a +001
2222
2221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====
a
b a b a b a ab 22)1(2
221
3-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3 . (2)y x z x z y z
y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;
证明
bz
ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx
az bz ay by ax +++++++++
bz ay by ax x by ax bx az z bx
az bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=
bz ay y x by ax x z bx
az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22
z y x y x z x
z y b y x z x z y z y x a 33+=
y x z x z y z
y x b y x z x z y z y x a 33+=
y x z x z y z
y x b a )(33+=.
(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2
2
2
2
2222
2
222
2222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; 证明 2
2
2
2
2222
2
222
2222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2, c 2-c 1得) 5
232125232125232125
232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2得)
02
212221222122
2122222=++++=d d c c b b a a . (4)4
4
4
4
22221111d c b a d c b a d c b a =(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ); 证明 4
4
4
4
22221111d c b a d c b a d c b a )
()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b a
d a c a b ---------=
)
()()(1
11))()((2
22a d d a c c a b b d c b a d a c a b +++---=
))(())((001
11))()((a b d b d d a b c b c c b d b c a d a c a b ++-++------=
)()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----=
=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ).
(5)1
22
1 1 000 0
0 10
00 01a x a a a a x x x
n n n +⋅
⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--- =x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n .
证明 用数学归纳法证明.
当n =2时, 2121
221a x a x a x a x D ++=+-=, 命题成立. 假设对于(n -1)阶行列式命题成立, 即 D n -1=x n -1+a 1 x n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -2x +a n -1, 则D n 按第一列展开, 有
1
11
00 100 01
)1(11-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--+=+-x x a xD D n n n n =xD n -1+a n =x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n . 因此, 对于n 阶行列式命题成立.
6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转, 依次得
n nn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=, 11112 n nn n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= , 11
113 a a a a D n n
nn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,
证明D D D n n 2
)
1(21)
1(--==, D 3=D .
证明 因为D =det(a ij ), 所以 n
nn n n n n
nn
n a a a a a a a a a a D 221
1
111
111111 )1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-
⋅⋅⋅=⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=-- )1()1(331
1
221
11121n
nn n n
n n n a a a a a a a a D D n n n n 2
)1()1()2( 21)1()1(--+-+⋅⋅⋅++-=-=.
同理可证 nn
n n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=- )1(11112
)1(2D D n n T n n 2)
1(2)1()1()1(---=-=. D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2
)1(2
)1(22
)1(3)1()
1()
1()1(.
7. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式): (1)a
a D n 1
1⋅
⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素
都是0; 解 a
a a a a D n 0
1
0 000 00 00
0 00
10 00⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开) )
1()1(1
0 000 0
0 00
0 001
0 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n a
a a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a a a
n n n n
n a a a
+⋅
⋅⋅-⋅-=--+)
2)(2(1
)1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1).
(2)x
a a a x a a a x
D n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得 a
x x a a
x x a a x x a a a a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=00
0 0 00 0
, 再将各列都加到第一列上, 得
a
x a
x a x a
a
a a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000
0 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1. (3)1
1
1 1 )( )1()( )1(1
1
11⋅⋅⋅-⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅
⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n n
n n ; 解 根据第6题结果, 有
n
n n n n n n n n n a a a n a a a n a a a
D )( )1()( )1( 11 11)1(1
112)1(1-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅
⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=---++
此行列式为范德蒙德行列式.
∏≥>≥++++--+--=1
12
)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D
∏≥>≥++---=112
)1()]([)1(j i n n n j i
∏≥>≥++⋅⋅⋅+-++-⋅
-⋅-=1
12
1
)1(2
)1()()1()1(j i n n n n n j i
∏≥>≥+-=1
1)(j i n j i .
(4)n n
n
n
n d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
1
1112; 解
n
n
n
n
n d c d c b a b a D ⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
1
1112(按第1行展开) n
n n n n n
d d c d c b a b a a 000
11111111
----⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
0)
1(111
1111
1
1
2c d c d c b a b a b n
n n n n n
n ----+⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+. 再按最后一行展开得递推公式
D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2, 即D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n -2. 于是 ∏=-=n
i i i i i n D c b d a D 222)(.
而 1
111111
12c b d a d c b a D -==
, 所以 ∏=-=n
i i i i i n c b d a D 1
2)(.
(5) D =det(a ij ), 其中a ij =|i -j |; 解 a ij =|i -j |, 0
4
321
4 0123
3 10122 2101
1 3210)det(⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n 0
4321 1 11111 11111 1111
1 1111 2132⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=====n n n n r r r r
1
5242321 0 22210 02210 0021
0 0001 1213-⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =(-1)n -1(n -1)2n -2. (6)n
n a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 1
1 1 111
1
12
1, 其中a 1a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n
≠0.
解
n
n a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 1
1 1 111
1
12
1 n
n n n a a a a a a a a a c c c c +-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=====--10 0001 000 100 0
100 0100 00
113322
1
2132 1
1
1
1
3
1
2
1
121110
11 000 00 110
00 011
00 001 ------+-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n
n n a a a a a a a a
∑=------+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i n n a a a a a a a a 1
1
11
131******** 0001
0 000 00 100
00 01000 001
)11)((121∑=+=n
i i n a a a a .
8. 用克莱姆法则解下列方程组:
(1)⎪⎩⎪
⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;
解 因为
14211
2135132
41211
111
-=----=D , 142112105132412211151-=------=D , 28411
2035122
4121
1
15
12-=-----=D , 426110135
232
42211511
3-=----=D , 1420
21321322121
5
11
14=-----=D , 所以 11
1==
D
D x , 222==D D x , 333==D D x , 144-==D D x .
(2)⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+15065065065165545434323
212
1x x x x x x x x x x x x x .
解 因为 6655
1
000
6510006510
0651
00065==D , 1507510016510006510
00650
000611==D , 11455101065100065000
0601000152-==D , 703511006500006010
00051
001653==D , 3955
1
060100005100
0651010654-==D , 2121
1
0510006510
0651
100655==D , 所以
66515071=x , 66511452-=x , 6657033=x , 665
3954-=x , 6652124=x .
9. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200
321321321x x x x x x x x x μμλ有非
零解？
解 系数行列式为
μλμμμλ-==1
21111
1D .
令D =0, 得 μ=0或λ=1.
于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.
10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0
)3(20
42)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？
解 系数行列式为
λ
λλλλλλ--+--=----=1011124
31111132421D
=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. 令D =0, 得
λ=0, λ=2或λ=3.
于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.
第二章 矩阵及其运算
1. 已知线性变换:
⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3
21332123
2113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知:
⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,
故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211
221323513122x x x y y y ⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ,
⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123
211423736947x x x y x x x y x x x y .
2. 已知两个线性变换
⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=321332123
11542322y y y x y y y x y y x ,
⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=3
233122
11323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.
解 由已知
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32131
010
201
3514232102z z z
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,
所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3
21332123
2111610941236z z z x z z z x z z z x .
3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B .
解 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T
.
4. 计算下列乘积:
(1)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;
解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=49635.
(2)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛123)321(;
解 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).
(3))21(312-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛;
解 )21(312-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---=6321
42. (4)⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20
4
131210131
43110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20
4
131210131
43110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.
(5)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;
解
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x
=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛321x x x
3223311321122
33322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.
5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2101
B , 问: (1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .
因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=64
43AB , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .
(2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2.
因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52
22B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛=+52
22
52
22)(2B A ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2914148,
但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2. (3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.
因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52
22B A , ⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=-1020
B A ,
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+9060
102052
22))((B A B A ,
而 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-71
8243011148322B A ,
故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.
6. 举反列说明下列命题是错误的:
(1)若A 2=0, 则A =0;
解 取⎪⎭⎫ ⎝
⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ; 解 取⎪⎭⎫ ⎝
⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .
解 取 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .
7. 设⎪⎭
⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k . 解 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=101λk A k . 8. 设⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=λλλ001001A , 求A k . 解 首先观察
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ,
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,
⎝
⎛=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(1
21----⎪⎪⎪⎭
⎫ . 用数学归纳法证明:
当k =2时, 显然成立.
假设k 时成立，则k +1时， ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.
证明 因为A T =A , 所以
(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB ,
从而B T AB 是对称矩阵.
10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .
证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以 (AB )T =(BA )T =A T B T =AB ,
即AB 是对称矩阵.
必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T =AB , 所以
AB =(AB )T =B T A T =BA .
11. 求下列矩阵的逆矩阵:
(1)⎪⎭
⎫ ⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝
⎛=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A ,
故 *||11A A A =-⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭
⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A |=1≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-----=1716213213012. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .
解 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:
(1)⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝
⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1
111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3253
8122. (3)⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;
解 1
1110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 1
1010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:
(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3
532522132321321321x x x x x x x x x ; 解 方程组可表示为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211
321x x x ,
从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===0
01321x x x . (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0
5231322321321321x x x x x x x x x . 解 方程组可表示为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111
321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===3
05321x x x . 14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为
E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1),
所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E ,
由定理2推论知(E -A )可逆, 且
(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.
证明 一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ).
另一方面, 由A k =O , 有
E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k )
=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ),
故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ),
两端同时右乘(E -A )-1, 就有
(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.
15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1.
证明 由A 2-A -2E =O 得
A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E ,
或 E E A A =-⋅)(2
1, 由定理2推论知A 可逆, 且)(2
11E A A -=-. 由A 2-A -2E =O 得
A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E ,
或 E A E E A =-⋅+)3(4
1)2( 由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(4
1)2(1A E E A -=+-.
证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A |=2,
即 |A ||A -E |=2,
故 |A |≠0,
所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E
⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(2
11E A A -=-, 又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E
⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,
所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1,
)3(4
1)2(1A E E A -=+-. 16. 设A 为3阶矩阵, 2
1||=A , 求|(2A )-1-5A *|. 解 因为*|
|11A A A =-, 所以 |||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2
521|11---=A A =|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*.
证明 由*|
|11A A A =-, 得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时, 有 |A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0,
从而A *也可逆.
因为A *=|A |A -1, 所以
(A *)-1=|A |-1A . 又*)(||)*(|
|1111---==A A A A A , 所以
(A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*.
18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明:
(1)若|A |=0, 则|A *|=0;
(2)|A *|=|A |n -1.
证明
(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)-1=E , 由此得 A =A A *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,
所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0.
(2)由于*|
|11A A A =-, 则AA *=|A |E , 取行列式得到 |A ||A *|=|A |n .
若|A |≠0, 则|A *|=|A |n -1;
若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立.
因此|A *|=|A |n -1.
19. 设⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B . 解 由AB =A +2E 可得(A -2E )B =A , 故
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(1
1A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330. 20. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .
解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E )B =A 2-E , 即 (A -E )B =(A -E )(A +E ).
因为010010101
00||≠-==-E A , 所以(A -E )可逆, 从而
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=+=201030102E A B .
21. 设A =diag(1, -2, 1), A *BA =2BA -8E , 求B . 解 由A *BA =2BA -8E 得 (A *-2E )BA =-8E , B =-8(A *-2E )-1A -1 =-8[A (A *-2E )]-1 =-8(AA *-2A )-1 =-8(|A |E -2A )-1 =-8(-2E -2A )-1 =4(E +A )-1
=4[diag(2, -1, 2)]-1
)21 ,1 ,21(diag 4-=
=2diag(1, -2, 1).
22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=80
3001010010
0001
*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B .
解 由|A *|=|A |3=8, 得|A |=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,
B =3(A -E )-1A =3[A (E -A -1)]-1A 11*)2(6*)21(3---=-=A E A E
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--=-10
30060
6006000
0660
3001010010
000161
. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1.
|P |=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11
41*P , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,
而 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=Λ1111
1120 012001,
故 ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=Λ511,
求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)
=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]
=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1
*)(|
|1P P P Λ=ϕ
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=1111111114.
25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为
A -1(A +
B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,
而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.
(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A .
26. 计算⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛300032001210130130
0012001010
0121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10
211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=30322B ,
则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭
⎫
⎝⎛+=222111B A O B B A A ,
而 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+42253032121310
21211B B A ,
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A , 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=9000
340042102521
, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛300032001210130130
0012001010
0121
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=90003400
42102521. 27. 取⎪⎭
⎫ ⎝⎛==-==10
01D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.
解 4100120021
010*********
00210100101
1010
0101
==--=--=D C B A , 而 0111
1|||||||| ==D C B A ,
故 |
||||
||| D C B A D C B A ≠.
28. 设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=220
23443O O A , 求|A 8|及A 4. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=22022A ,
则 ⎪⎭
⎫
⎝⎛=21A O O A A ,
故 8
21
8⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,
16
82
818281810||||||||||===A A A A A . ⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464
444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求 (1)1
-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛O B A O ; 解 设⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211
C C C C O B A O , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪
⎨⎧====s n E
BC O
BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--12
141
3B C O C O C A C ,
所以 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 11
1
. (2)1
-⎪⎭
⎫ ⎝⎛B C O A . 解 设⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211
D D D D B C O A , 则 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 423121
4321.
由此得 ⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+==s n
E
BD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14
1
13211B D CA B D O D A D ,
所以 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1111
1
B CA B O A B
C O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:
(1)⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛25
0038000012
0025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=12
25A , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2538B , 则
⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝
⎛=--522112251
1A , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝
⎛=--85322538
1
1B .
于是 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛----850032000052002125
0038000012
0025
111
1
B A B A .
(2)⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛41
2103120021
0001
. 解 设⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103
B , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2112
C , 则
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛------11111
1
41
2103120021
0001B CA B O A B C O A
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----=41121245
8103161
21002
1210001
.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:
(1)⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--340313021201;
解 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. )
~⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). )
~⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. )
~⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. )
~⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )
~⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. )
~⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛100001000001.
(2)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----174034301320;
解 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----174034301320(下一步: r 2⨯2+(-3)r 1, r 3+(-2)r 1. )
~⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2. )
~⎪⎪⎭⎫
⎝⎛0000310010020(下一步: r 1÷2. )
~⎪⎪⎭⎫
⎝⎛000031005010.
(3)⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311;
解 ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---------12
43
30232214533
34311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1
. )
~⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--------10105006630088400
34311
(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4
÷(-5). )
~⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----22
1002210022100
34311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2
. )
~⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---000000000022100
32011.
(4)⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛------34732038234202173132.
解 ⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132(下一步: r 1-2r 2, r 3-3r 2, r 4-2r 2. )
~⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-----11877012988042021
11110(下一步: r 2+2r 1, r 3-8r 1, r 4-7r 1
. )
~⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--410
004100020201
11110(下一步: r 1↔r 2, r 2⨯(-1), r 4-r 3
. )
~⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----000004100011110
202
01(下一步: r 2+r 3
. )
~⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--00
0410*******
20201. 2. 设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A .
解 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是
E (1, 2(-1)) ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=100010101.
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101987654321100001010A
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=287221254100010101987321654.
3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:
(1)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛323513123;
解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---101011001200410123
~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003
~⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001
故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----21021211233267.
(2)⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.
解 ⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-----10000100001000011210232112201023
~⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛----00100301100001001220594012102321
~⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛--------20104301100001001200110012102321
~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321 ~⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----------10612
631110`102211100001000
0100021 ~⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-------1061263111010421110
0001000010
0001
故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-------1061263111010
4211. 4. (1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=113122214A , ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=132231B , 求X 使AX =B ;
解 因为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231 113122214) ,(B A ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--412315210 100010001 ~r ,
所以 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--==-4123152101
B A X .
(2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B . 解 考虑A T X T =B T . 因为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(T T B A ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---411007101042001 ~r ,
所以 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X ,
从而 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛---==-4741121BA X . 5. 设⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---=101110011A , AX =2X +A , 求X .
解 原方程化为(A -2E )X =A . 因为
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---------=-101101110110011011) ,2(A E A
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---011100101010110001~,
所以 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---=-=-011101110)2(1A E A X .
6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?
解 在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式.
例如, ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=010*********A , R (A )=3.
0000是等于0的2阶子式, 0100010
00是等于0的3阶子式. 7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样?
解 R (A )≥R (B ).
这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.
8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是
(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).
解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-00
00001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.
9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:
(1)⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---443112112013;
解 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---443112112013(下一步: r 1↔r 2. )
~⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---443120131211(下一步: r 2-3r 1, r 3-r 1. )
~⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----564056401211(下一步: r 3-r 2. )
~⎪⎭⎫ ⎝⎛---000056401211, 矩阵的2秩为, 41
113-=-是一个最高阶非零子式.
(2)⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-------815073*********;
解 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-------815073*********(下一步: r 1-r 2, r 2-2r 1, r 3-7r 1. )
~⎪⎭⎫ ⎝⎛------15273321059117014431(下一步: r 3
-3r 2
. ) ~⎪⎭
⎫ ⎝⎛----0000059117014431, 矩阵的秩是2, 71
22
3-=-是一个最高阶非零子式.
(3)⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---0230108523570
3273812. 解 ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---0230108523570
32738
12(下一步: r 1-2r 4, r 2-2r 4, r 3-3r 4
. )
~⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛------023*********
63071210(下一步: r 2+3r 1, r 3+2r 1
. )
~⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-023
01140000160000
71210(下一步: r 2÷16r 4, r 3-16r 2
. )
~⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-02
3010000010000
71210 ~⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-00
0001000071210
02301
, 矩阵的秩为3, 0700230855
70≠=-是一个最高阶非零子式.
10. 设A 、B 都是m ⨯n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ).
证明 根据定理3, 必要性是成立的.
充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有
A ~D , D ~
B .
由等价关系的传递性, 有A ~B .
11. 设⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使
(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3.
解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+-----)2)(1(001
1011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2;
(3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3.
12. 求解下列齐次线性方程组: (1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++0
222020
2432143214321x x x x x x x x x x x x ;
解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有
A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/4100131001
01,
于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==44434
24134334x x x x x x x x ,
故方程组的解为
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (k 为任意常数).
(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++0
510503630
2432143214321x x x x x x x x x x x x ;
解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有
A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-000001001021,
于是 ⎪⎩⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x
x x x x ,
故方程组的解为
⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10
010********
1k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).
(3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+074206340
7230
5324
321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;
解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有
A =⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-----74216314721
3513
2~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛10
000100
00100001,
于是 ⎪⎩⎪⎨⎧====000
4321x x x x ,
故方程组的解为 ⎪⎩⎪⎨⎧====000
04
321x x x x .
(4)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+0327016131140
2332075434
321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .
解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有
A =⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-----3127161311423
3275
43~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--00
00
000017201719101713173
01
,
于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=44334324311720
17191713173x x x x x x x x
x x ,
故方程组的解为
⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101720171301171917321432
1k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).
13. 求解下列非齐次线性方程组: (1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8
311102132
2421321321x x x x x x x x ;
解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有。