2017全国硕士研究生入学考试数学二

2017全国硕士研究生入学考试数学二

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选

项是符合题目要求的.

（1

）若函数10(),0x f x ax

b x ⎧->⎪

=⎨⎪≤⎩

在x=0连续，则 (A)12ab =

(B)1

2

ab =- (C)0ab = (D)2ab =

（2）设二阶可到函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且 ()0f x ''>，则 (A)1

1()0f x dx ->⎰ (B)1

2()0f x dx -<⎰

(C)

1

1

0()()f x dx f x dx ->⎰

⎰

(D)

1

1

1

0()()f x dx f x dx -<⎰

⎰

（3）设数列{}n x 收敛，则

(A)当limsin 0n n x →∞

=时，lim 0n n x →∞

=

(B)

当lim (0n n n x x →∞

= 时，则

lim 0n n x →∞

=

(C)当2

lim()0n n n x x →∞

+=,lim 0n →∞

=

(D)当lim(sin )0n n n x x →∞

+=时，

lim 0n n x →∞

=

（4）微分方程248(1cos 2)x

y y y e x '''-+=+ 的特解可设为k

y =

(A)22(cos 2sin 2)x

x Ae e B x C x ++ (B)22(cos 2sin 2)x

x Axe e B x C x ++

(C)22(cos 2sin 2)x

x Ae

xe B x C x ++

(D)

22(cos 2sin 2)x x Axe xe B x C x ++

（5）设),(y x f 具有一阶偏导数，且在任意的(,)x y ，都有,0)

,(,0),(<∂∂>∂∂x

y x f x y x f 则 (A)(0,0)(1,1)f f > (B)(0,0)(1,1)f f < (C)(0,1)(1,0)f f >

(D)(0,1)(1,0)f f <

（6）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值

依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则 (A)010t =

(B)01520t << (C)025t = (D)025t >

（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得 1

000010002P AP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

，则

123(,,)A ααα=

(A)12αα+

(B)232αα+

(C)23αα+

(D)122αα+

（8）已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100020000C ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，则 (A) A 与C 相似，B 与C 相似

(B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似

二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分. （9）曲线⎪⎭

⎫

⎝⎛+=x x y 2arcsin

1的斜渐近线方程为 （10）设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t

⎧=+⎨=⎩确定，则

20

2t d y

dx =

（11）

()

2

ln(1)

1x dx x +∞

++⎰

=

（12）设函数()

,f x y 具有一阶连续偏导数，且

()()(),1,0,00y y df x y ye dx x y e dy f =++=，则(),f x y =

（13）

1

1

tan y

x

dy dx x

=⎰

⎰

（14）设矩阵41212311A a ⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的一个特征向量为112⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

，则a =

三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

求+

→0

lim x

t x dt

（16）（本题满分10分）

设函数(),f u v 具有2阶连续偏导数，(

)

y ,x

f e cosx =,求

dy

d x x

=,220

d y d x x =

（17）（本题满分10分）

求21

lim

ln 1n

n k k k n n →∞=⎛⎫

+ ⎪⎝⎭∑

（18）（本题满分10分）

已知函数)(x y 由方程02333

3

=-+-+y x y x 确定，求)(x y 的极值 （19）（本题满分10分）

设函数()f x 在[]0,1上具有2阶导数，0()

(1)0,lim 0x f x f x

+

→><，证明 （1）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根；

（2）方程2

)]([)()(x f x f x f '+'' 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根.

（20）（本题满分11分）

已知平面区域(){}

2

2

,2D x y x

y

y =

+≤，计算二重积分()2

1D

x dxdy +⎰⎰

（21）（本题满分11分）

设()y x 是区间3

(0,)2

内的可导函数，且(1)0y =，点P 是曲线:()L y y x =上的任意一点，L 在点P 处的切线与y 轴相交于点(0,)P Y ，法线与x 轴相交于点(,0)P X ，若p P X Y =，求L 上点的坐标(,)x y 满足的方程。