2019-2020年高中数学 第十五课时 第二章平面向量小结与复习课(二)教案 北师大版必修4

2019-2020年高中数学第十五课时第二章平面向量小结与复习课（二）

教案北师大版必修4

一、教学目标

1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。

2. 了解平面向量基本定理.

3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。

4. 了解向量形式的三角形不等式：|||-||≤|±|≤||+||(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(||+||)=|－|+|+|.

5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：

6. 向量的坐标概念和坐标表示法

7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）

8. 数量积（点乘或内积）的概念，·=||||cos=xx+yy注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”

二、知识与方法

向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；

③判垂直

三、典型例题

例1.对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜

证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜

(3)两个非零向量与共线时，①与同向，则+的方向与.相同且｜+｜=｜｜＋｜｜.②与异向时，则+的方向与模较大的向量方向相同，设||＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。

例2 已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设=，=，=，

且||=2，||=1，| |=3，用与表示

解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中, 是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，0），

设A （x ，y ），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A （1，-），也就是= －, =， =-3所以-3=3+|即=3－3

例3.下面5个命题：①|·|=||·||②(·)=·③⊥(－)，则·=· ④·=0，则|+|=|－|⑤·=0，则=或=，其中真命题是（ ）

A ①②⑤

B ③④

C ①③

D ②④⑤

例4.设=(a +5b )，=-2a + 8b ，=3(a -b )，求证：A,B,D 三点共线。

证：=++=(a +5b ) + ( -2a + 8b ) + 3(a -b )

= (1+)a + (5 + 5)b = (1+)(a + 5b )

而=(a +5b ) ∴= (+ 1)

又∵, 有公共点 ∴A,B,D 三点共线

例5.已知：A(1,-2)，B(2,1)，C(3,2)，D(-2,3)，①求证：A ，B ，C 三点不共线

②以、为一组基底来表示++

解：①∵=(1,3), =(2,4) ∵1×4-3×2≠0 ∴

∴A ，B ，C 三点不共线

②++=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1) = (-12,8)

设：++= m+ n

即：(-12,8) = (m + 2n, 3m + 4n)

∴⎩

⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧+=+=-2232438212n m n m n m ∴++= 32-22 例6.求证：|a + b |≤|a | + |b |

证：|a + b |2 = (a + b )2 = |a |2 + |b |2 + 2a •b = |a |2 + |b |2

+ 2|a ||b |cos θ

≤ |a |2 + |b |2 + 2|a ||b | = ( |a | + |b | )2

即：|a + b |≤|a | + |b |

四、巩固训练

1.下面5个命题中正确的有（ ）D

①=·=·； ②·=·=；③·（+）=·+·； ④·（·）=（·）·； ⑤.

A..①②⑤

B.①③⑤

C. ②③④

D. ①③

2.下列命题中，正确命题的个数为（ A ）

①若与是非零向量 ，且与共线时，则与必与或中之一方向相同；②若为单位向量，且∥则=|| ③··=|| ④若与共线，与共线，则与共线；⑤若平面内四点A.B.C.D ，必有+=+

A 1

B 2

C 3

D 4

3、已知：|a| =，|b| = 3，a与b夹角为45︒，求使a+b与a+b夹角为锐角的的取值范围。解：由题设：a•b = |a||b|cosα = 3××= 3，(a+b)⋅(a+b) =|a|2 +|b|2 + (2 + 1)a•b = 32 + 11 + 3 ∵夹角为锐角∴必得32 + 11 + 3 > 0

∴或

4、已知四边形ABCD的顶点分别为A(2,1)，B(5,4)，C(2,7)，D(-1,4),求证：四边形ABCD 为正方形。

5、a、b为非零向量，当a + t b(t∈R)的模取最小值时，①求t的值；②求证：b与a + t b

垂直

解：① |a + t b|2 = |a|2 + t2|b|2 + 2t| ∴当t =时, |a + t b|最小

五、作业布置：完成教材P126---127中A组习题第11---15题.

（选做）复习题2的C组试题.

六、教后反思：