第七章_频响函数的估计

7. 频响函数的估计（相干分析）

7.1. SISO 系统的频响函数及其估计

对于SISO 系统，其频响函数的估计有很多计算方法，主要的有三种估计式。

在没有噪声污染的情况下，它们的估计是等价的。但是实际上，由于不可避免的存在噪声，三种估计有所差异。

本节讨论在主要的三种噪声污染下，三种传统估计式与真值之间的误差。

7.1.1. 随机激励下的频响函数

考虑一个SISO 时不变线性系统，其频率响应函数为()ωH 。设随机输入和响

应信号分别为)(t x 和)(t y ，其傅立叶变换分别为)(ωX 和)(ωY ，则有

()()()ωωωX H Y =

上式两端乘以()ω*X ，取时间平均及集合平均，并注意()ωH 与平均无关，则

()()[]()()()[]

ωωωωω**1

lim 1lim

X X T H X Y T T T ∞→∞→= 即

()()()ωωωx xy S H S =

如果()ωx S 不为零，则可得系统的频响函数的第一种计算式

()()()

ωωωx xy S S H =

1

同样，如果在系统输入/出频谱式两端乘以()ω*Y ，取时间平均和集合平均，得

()()()ωωωyx y S H S =

如果()ωyx S 不为零，则可得系统的频响函数的第二种计算式

()()()

ωωωyx y S S H =

2

将系统输入/出频谱式两端取共轭，得

()()()ωωω***X H Y =

乘以原输入/出频谱式，并去时间平均和集合平均，得

()()()ωωωx y S H S 2

=

可得系统的频响函数的幅值计算式

()()()

ωωωx y a S S H =

2

7.1.2. 频响函数的估计方法

考虑一个SISO 时不变线性系统，其频率响应函数为()ωH 。设系统的实际

输入和响应信号分别为)(t u 和)(t v ，其傅立叶变换分别为)(ωU 和)(ωV ，它们的测量信号分别为)(t x 和)(t y ，其傅立叶变换分别为)(ωX 和)(ωY 。

(1)

输出端噪声的影响

若只有输出端受到噪声信号)(t n 的污染，并设它与系统的)(t u 和)(t v 无关。则有

()()t u t x = ()()ωωU X =

()()()t n t v t y += ()()()ωωωN V Y +=

A 、

第一估计式

根据第一估计式的定义，有

()()()()()[]()

()()[

]()()[

]

()

()()()()()

()

ωωωωωωωωωωωωωωωωωu un uv u xn xv u T x T x xy S S S S S S S X N T X V T S X Y T

S S H +=

+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧+=

=

=∞→∞→***1

11lim 1

lim

ˆ

由于噪声)(t n 与激励)(t u ，亦即)(t x 无关，故根据大数定律，平均次数足够多时()ωun S 为零，则

()()()

()ωωωω1

1ˆH S S H u uv == 结果表明：只有输出端响应受到噪声污染时，通过平均，根据第一估计式得到的频响函数估计是实际频响函数的无偏估计。 B 、

第二估计式

根据第二估计式的定义，有

()()()()()[]()()[]

()()[]()()[]()()[]()()[]

()()[]()()[]

()()()()()()()()()()()()

ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωnu vu n nv vn v nx vx n nv vn v T T T T yx y S S S S S S S S S S S S N X T V X T N N T N V T V N T V V T Y X T

Y Y T

S S H ++++=

++++=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧+++=

=

=∞→∞→∞→∞→********2

11lim 1111lim 1lim 1

lim

ˆ

由于噪声)(t n 与响应)(t v ，以及激励)(t u 亦即)(t x 无关，故根据大数定律，平均次数足够多时()ωvn S 、()ωnv S 和()ωun S 都为零，则

()()()()()()()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=+=ωωωωωωωv n vu n v S S H S S S H 1ˆ22 式中，

()()()

ωωωvu v S S H =

2 可见，只有输出端响应受到噪声污染时，通过平均，根据第二估计式得到的频响函数估计是实际频响函数的有偏估计，是过估计。

C 、 第三估计式

根据第二估计式的定义，有

()()()

()()[]

()()[]

()()[]()()[]()()[]()()[]

()()[]

()()()()()()()()()()

ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωu n nv vn v u n nv vn v T T T T x y a

S S S S S S S S S S U U T N N T N V T V N T V V T X X T

Y Y T

S S H +++=

+++=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫

⎩⎨⎧+++=

=

=

∞→∞→∞→∞→*******2

1lim 1111lim 1

lim 1

lim

ˆ 由于噪声)(t n 与响应)(t v 无关，故根据大数定律，平均次数足够多时()ωvn S 和

()ωnv S 都为零，则

()()()()

()

()()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=+=

ωωωωωωωv n a u n v a

S S H S S S H 1ˆ2

2

式中，

()

()

()

ωωωu v a S S H =

2

可见，只有输出端响应受到噪声污染时，通过平均，根据第三估计式得到的频响函数幅值的估计是实际频响函数幅值的有偏估计，也是过估计。

因此，只有输出响应受到噪声污染时，频响函数的三种估计式有如下关系：

()()()()ωωωω21H H H H a <<=

(2)

输入端噪声的影响

若只有输入端受到噪声信号)(t m 的污染，并设它与系统的)(t u 和)(t v 无关。