高中物理一般圆周运动动力学及其应用

一般圆周运动动力学及其应用

一、一般圆周运动动力学

如图所示，做圆周运动的物体，所受合外力与速度成一般夹角时，可将合外力沿速度和垂直速度分解，则由牛顿第二定律，有：

ττF ma =，a τ改变速度v 的大小

n n F ma =，a n 改变速度v 的方向，2

n v a r

=

作一般曲线运动的物体，处理轨迹线上某一点的动力学时，可先以该点附近的一小段曲线为圆周的一部分作曲率圆，然后即可按一般圆周运动动力学处理。

ττF ma =，a τ改变速度v 的大小 n n F ma =，a n 改变速度v 的方向，2

n v a ρ

=

，ρ

二、竖直平面内圆周运动

（一）完整圆周运动

如图所示，给绳系小球一个初速度后，小球在竖直平面内做完整圆周运动。 1、最高点与最低点

小球在最高点、最低点所受重力、绳子拉力合力沿竖直方向——半径方向，因此切向加速度为零，速度大小达极小值或极大值，径向加速度由合力提供，所以有：

最高点：2

1T1v F mg m r +=

最低点：22

T2v F mg m r

-=

2、一般位置 A 点：

ττG ma =，改变速度大小，因τG v ↑↓，因此小球速度v 减小。

2T n

A

v

F G m r

-=，改变速度方向，随着小球上升，v 减小，n G 减小，

易知绳中张力T F 逐渐减小。

B 点：

ττG ma =，改变速度大小，因τG v ↑↓，因此小球速度v 减小。

2T n A

v F G m r

+=，改变速度方向，随着小球上升，v 减小，n G 增大，

易知绳中张力T F 逐渐减小。

综上可知，上升过程小球一直做减速运动，且绳中张力一直减小，到最高点时绳中张力最小。

C 点：

ττG ma =，改变速度大小，因τG v ↑↑，因此小球速度v 增大。

2T n A

v

F G m

r

+=，改变速度方向，随着小球下降，v 增大，n G 减小，易知绳中张力T F 逐渐增大。

C

D 点：

ττG ma =，改变速度大小，因τG v ↑↑，因此小球速度v 增大。

2T n D

v F G m r

-=，改变速度方向，随着小球下降，v 增大，n G 增大，易

知绳中张力T F 逐渐增大。

综上可知，下降过程小球一直做加速运动，且绳中张力一直增大，到最低点时绳中张力最大。

（二）不完整圆周运动 1、单摆运动 （1）最高点A ：

ττG ma =，改变速度大小，小球速度v 增大；

2T n A

v F G m r

-=，改变速度方向，v A =0，故T F =n G 。

（2）一般位置B ：

ττG ma =，改变速度大小，因τG v ↑↑，因此小球速度v 增大；

2T n B

v F G m r

-=，改变速度方向，随着小球下降，v 增大，n G 增大，

易知绳中张力T F 逐渐增大。

（3）最低点：

重力、绳子拉力合力沿竖直方向——半径方向，因此切向加速度为零，速度大小最大，径向加速度由合力提供：

2m

T v F mg m r

-=

2、脱离轨道

若绳系小球在最低点速度不够大，无法通过圆周最高点，则会在某个位置脱离圆周轨道，脱离之前到脱离瞬间，小球都是做圆周运动；脱离瞬间，绳中张力为零，有：

半径方向：2n cos A

v G mg m r

θ==

比如小球在最低点速度为0v =，假设能到最高点，有机械能守恒易算得最高点速度为0；但实际上到不了最高点。

小球在A 点脱离轨道，则由机械能守恒，有：

22

011(cos )22

A

mv mg R R mv θ=++ 两式联立，有：2

cos 3

θ=

【练习1】如图3所示，物块P 置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c 方向沿半径指向圆心，a 方向与c 方向垂直。当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是( )

A ．当转盘匀速转动时，P 受摩擦力方向为c

B ．当转盘匀速转动时，P 不受转盘的摩擦力

C ．当转盘加速转动时，P 受摩擦力方向可能为a

D ．当转盘减速转动时，P 受摩擦力方向可能为b

n

G τ

【练习2】如图7所示，小球在水平拉力作用下，以恒定速率v 沿竖直光

滑圆轨道由A 点运动到B 点，在此过程中拉力的瞬时功率变化情况是( )

A ．逐渐减小

B ．逐渐增大

C ．先减小，后增大

D ．先增大，后减小

【练习3】如图10所示，一半径为R 、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ 水平。一质量为m 的质点自P 点上方高度R 处由静止开始下落，恰好从P 点进入轨道。质点滑到轨道最低点N 时，对轨道的压力为4mg ，g 为重力加速度的大小。用W 表示质点从P 点运动到N 点的过程中克服摩擦力所做的功。则( )

A ．W ＝1

2mgR ，质点恰好可以到达Q 点

B ．W ＞1

2mgR ，质点不能到达Q 点

C ．W ＝1

2mgR ，质点到达Q 点后，继续上升一段距离

D ．W ＜1

2

mgR ，质点到达Q 点后，继续上升一段距离

【练习4】如图10所示，半圆槽光滑、绝缘、固定，圆心是O ，最低点是P ，直径MN 水平。a 、b 是两个完全相同的带正电小球(视为点电荷)，b 固定在M 点，a 从N 点静止释放，沿半圆槽运动经过P 点到达某点Q (图中未画出)时速度为零。则小球a ( )

A ．从N 到Q 的过程中，重力与库仑力的合力先增大后减小

B ．从N 到P 的过程中，速率先增大后减小

C ．从N 到Q 的过程中，电势能一直增加

D ．从P 到Q 的过程中，动能减少量小于电势能增加量

【练习5】长为L 的细线一端固定在O 点，另一端系一质量为m 的小球，

开始时细线被拉直，并处于水平位置，球处在与O 点等高的A 位置，如图所示。现将球由静止释放，若用v 表示其速率，E k 表示其动能．E p 表示其重力势能（以最低点为零势能面），则它由A 运动到最低点B 的过程中，关于三个量随时间t 或随下降高度h 变化的图像正确的是（空气阻力不计）：( )

【练习6】如图所示，空间的某一区域存在着相互垂直的匀强电场和匀强磁场，已知磁场方向垂直纸面．现有一个带电粒子（不计重力）以某一初速度从A 点进入这个区域恰沿直线运动，并从O 点离开场区；如果撤去磁场，则粒子从B 点离开场区；如果撤去电场，则粒子从C 点离开场区，设粒子在上述三种情况下在场区中运动的时间分别为t

AB 、t AO 、t AC ，则它们的大小关系是（ ）

A ．t A

B =t AO =t A

C B ．t AB =t AO ＜t AC C ．t AB =t AO ＞t AC

D ．t AB ＞t AO ＞t AC