高中数学--抽象函数专题

【包哥数学】抽象函数专题

抽象函数简介

抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。

抽象函数一些模型

根据抽象函数的一些性质，联想到所学的基本初等函数模型，将抽象具体化，有助于分析问题。

例1：f (x)在R +上是增函数，且f (x)=f (y x )+f (y),若f (3)=1,f (x)－f (5

1 x )≥2，求x 的范围 。

例2：设函数f(x)的定义域为R ，对于任意实数m 、n ，总有f(m+n)=f(m)·f(n)，且x>0时，0

（1）证明：f(0)=1；且x<0时，f(x)>1;

（2）证明：f(x)在R 上单调递减；

（3）设A=｛(x,y)│f (x 2)·f(y 2)>f(1),B=｛(x,y)│f (ax-y+2)=1,a ∈R ｝，若A∩B=∅，确定a 的范围。

抽象函数的对称性（中心对称、轴对称）和周期性

①先深刻理解奇函数，偶函数概念

②方法：用哪个数代替x

一、 抽象函数的对称性

定理1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (b －x)，则函数y=f (x) 的图

象关于直线x= 对称。

推论1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x)

（或f (2a －x)= f (x) ),则函数y=f (x) 的图像关于直线x= a 对称。

推论2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x)， 又若方程f (x)=0有n 个根，则此n 个根的和为na 。

定理2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (b －x)=c ，（a,b,c 为常数），则

函数y=f (x) 的图象关于点 对称。 推论1.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (a －x)=0，（a 为常数），则函数y=f (x) 的图象关于点（a ，0）对称。

了解

定理3.若函数y=f (x) 定义域为R ，则函数y=f (a+x) 与y=f (b －x)两函数的图象关于直线

x=对称。

对任意x0,令a+x0=b-x1,则x0+x1=b-a

此时令y=f(a+x0)=f(b-x1),则(x0,y)在第一个函数图像上,(x1,y)在第二个函数图像上

因为x0+x1=b-a,所以有x0-(b-a)/2=(b-a)/2-x1,(x0,y)和(x1,y)关于直线x=(b-a)/2对称

所以这两个函数的图像关于直线x=(b-a)/2是对称的

定理4.若函数y=f (x) 定义域为R ，则函数y=f (a+x) 与y=c －f (b －x)两函数的图象关于

点对称。

二、抽象函数的周期性

命题1：若a 是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x ，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.

函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a 是它的一个周期.

函数y=f(x)满足f(x+a)=1()

f x ，则f(x)是周期函数，且2a 是它的一个周期. 函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a 是它的一个周期.

2a b +(

,)

22a b c +2b a -(

,)

22b a c -

命题2：若a 、b(a b )是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x ，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.

(1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.

(2)函数图象关于两条直线x=a ，x=b 对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.

(3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.

(4)函数图象关于直线x=a ，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期.

命题3：若a 是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x ，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.

(1)若f(x)是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=a 对称，则f(x)是周期函数，且2a 是它的一个周期.

(2)若f(x)是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x=a 对称，则f(x)是周期函数，且4a 是它的一个周期.

我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似.

设条件A: 定义在R 上的函数f(x)是一个偶函数.

条件B: f(x)关于x=a 对称

条件C: f(x)是周期函数,且2a 是其一个周期.

结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个.

证明: ①已知A 、B → C （20XX 年全国高考第22题第二问）

∵f(x)是R 上的偶函数∴f(-x)=f(x)

又∵f(x)关于x=a 对称∴f(-x)=f(x+2a)

∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a 是它的一个周期

②已知A 、C →B

∵定义在R 上的函数f(x)是一个偶函数∴f(-x)=f(x)

又∵2a 是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)

∴f(-x)=f(x+2a) ∴ f(x)关于x=a 对称

③已知C 、B →A

∵f(x)关于x=a 对称∴f(-x)=f(x+2a)

又∵2a 是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)

∴f(-x)=f(x) ∴f(x)是R 上的偶函数

由命题3(2)，我们还可以得到结论:f(x)是周期为T 的奇函数，则f(2

T )=0 【f(x+T)=f(x)，令x=-T/2，f(T/2)=f(-T/2)，f(x)为奇函数,所以f(T/2)=f(-T/2)=-f(T/2)

则2f(T/2)=0,f(T/2)=0】

基于上述命题阐述，可以发现，抽象函数具有某些关系。根据上述命题，我们易得函数周期，从而解决问题。