山东交通学院期末考试线性代数课程试卷答案和评分标准(d)卷

号学

1.按自然数从小到大为标准次序，排列

、填空题（每小题3分，共15 分）

4 1 3 2的逆序数等于

1 1 1

2.设A 为3阶矩阵，| A| ，则| 2A |

.

2 4 3. 万阵A 可逆的充分必要条件是

（D ）

（A ） Ax 0有非零解 （B ） Ax b 无解 （C ） Ax b 有解

（D ） A 0

名姓 级班 等^90

专路、级本升专、^90科工理 级班用适卷试

0 1 0

1 2 3

4 5 6 3.设1 0 0 A

4 5 6 则A 1 2 3

0 0 1

7 8 9

7 8 9

1 0 0

4•设 A 0 0

0 A *为A 的伴随矩阵，贝U R A * 0

0 0 0

3

1 3 5 6 x 的矩阵是 3 5 7

9

5 7 9

1 2 5.二次型 f(x) x T

4

5 7 8 2 0 1.三阶行列式1

4 3 4 单项选择题（每小题3分,

1

1 0 ,则x 等于 x

(A) 1

(B)

2•设A 为n 阶可逆矩阵

*

(A )

A (C ) 1

A *为A 的伴随矩阵，则

*

(B) A

共15分）

(D )

n *

(C ) ( 1) A

(D )

n 1

*

(D ) ( 1) A

定矩阵的是

(A )

(A) A B

(B)

A B

(C)

A * -

B *

(D)

* * AB

5.已知3阶矩阵A 的特征值为

1,2, 3, A *为A 的伴随矩阵，

则|A *

3A 2E

等于

(C )

(A ) 7

(B )

7

(C ) 25

(D )

25

4. 设A, B 均为n 阶正定矩阵， A *和B *分别为A 与B 的伴随矩阵，则在下列矩阵中是正

解将第一行乘

D n

三、（10分）

计算行列式（ D n 为n 阶行列式,

x

a a

D n

a

x

a

a a

x

n 2为整数）

1分别加到其余各

行

得

ax 0

再将各列都加到第一列上

得

x (n 1)a a a

0 x a 0 0

0 x a

(5分)

(5分)

号学名姓

级班等级专路、级9本升专、级科工理级

班用适卷试

密

-

-

-

-

-

-

-i ----

---

1

四、(10分)设A 0

1

0 且AB

解由AB

因为|A E |

A2 B 得A E B A2

所以A E可逆从而

E A2B,求B.

（4

分）

（6

分）

(1) 有唯一解

解

（

1

）

（10

分）

取何值时齐次线性方程组

(2)有无穷多个解？

X2

X2

X2

X3

X3

X3

要使方程组有唯一解

（6

分）

（

1

）

（

2

必须R(A) 3.因此当

要使方程组有有无穷多个解必须R(A) 3，故

因此当1或2时方程组有无穷多个解.

2时方程组有唯一解;

（4

分）

知

求该方程组的通

解。

解设该方程组为Ax

为1，从而Ax

又2 3

基础解

系。

又1为Ax

六、(10分)设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已

3是它的三个解向量，且

T

3 4 5, 2 3 12 3

b，因为R(A) 3，所以四元齐次线性方程组

0的一个非零解就是它的一个基础解系。------

2 3 4 T显然是Ax 0的一个非零解，所以1 2

b的一个解，故方程组Ax b的通解为

Ax 0的解集的秩

(4分)

3 4 T是它的一个

（3

分）

（3

分）

山东交通学院期末考试线性代数课程试卷答案和评分标准（B ）卷2010 - 2011 学年第一学期第3页共3页号

学

名

姓

级班等级

OD

专路、级本升专、^级o 科工理级班用适卷试

密

-

-

-

-

-

-

-

i

-

-

-

-

-

-

-

七、（10

分）

解令P P

1

P2

因为

征向量依次为

P

3

P 1AP

所以A

设3阶方阵A的特征值为

P1 0 1

diag 2,

2, 2 2, 1,对应的特

，

P2

T

1 , P3 T

0 ,求A.

,a n是一组n维向量，任一n维向量都可

由a「a2,川,a n线性表示证明@,a2,川,a n线性无关。

证明：已知任一n维向量都可由a1,a2^| ,a n线性表示故单位坐标向量组^,e2^| ,e n

九、（10 分）设a1, a2,

2,

1

（4

分）

（3

分）

（3

分）

八

、

解二次型的矩阵为

（10

分）

判定二次型3y29z22xy 4xz的正定性.

因为

所以f为正定

an

（3

分）

|A| 6

（7

分）

能由a「a2,川，a.线性表示于是有

n R e©川,e n R ^忌卅,a. n

即只耳屜卅,a. n所以印忌川，a.线性无关

（8

分）

（2

分）