圆与方程知识点总结

圆梦教育中心 圆与方程知识点总结

特例：圆心在坐标原点，半径为

r 的圆的方程是：x 2 y 2 r 2.

2•点与圆的位置关系: (1) .设点到圆心的距离为 d ，圆半径为r :

⑵. 给定点 M(x 0,y 0)及圆 C : (x a)2 (y b)2 r 2 .

① M 在圆 C 内(x 0 a)2 (y 0 b)2 r 2

② M 在圆 C 上(x 0 a)2 (y 0 b)2 r 2

③ M 在圆 C 外(x 0

a)2 (y 0 b)2 r 2

(3)涉及最值：

P ，讨论PA 的最值

PA min AN r AC |PA max |AM | r I AC

思考：过此 A 点作最短的弦？(此弦垂直 AC )

3.圆的一般方程：x 2 y 2 Dx Ey F 0 .

⑶ 当D 2 E 2 4F 0时，方程不表示任何图形

1.圆的标准方程:

以点C(a, b)为圆心, r 为半径的圆的标准方程是

(x a)2 (y b)2 r 2.

/ 2 2

D E • D E 4F

C -,

，半径r

2

2

2

0时，方程表示一个圆，其中圆心

a.

点在圆内 一d v r ； b. 点在圆上 —d=r ；

c.

点在圆外 一“ d > r

P ，讨论 PB 的最值

l

PB

min

BN| BC r

|

PB max

BM

BC r

(1)当 D 2 E 2 4F

⑵当D 2 E 2 4F

0时，方程表示一个点

D _

E 2 ,

2

②圆内一点A ，圆上一动点

注：方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是:

4.直线与圆的位置关系:

直线Ax By C 0与圆(x a)2(y b)2r2

圆心到直线的距离d

Aa Bb C

.A2B2

1) d r直线与圆相离无交点；

2) d r直线与圆相切只有一个交点；

3) d r直线与圆相交有两个交点；弦长|AB| =2 r2d2

(1) 当0时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交;

(2) 当0时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切;

(3) 当0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5.两圆的位置关系

2 2 2 2 2 2

(1)设两圆C i: (x aj (y b l)几与圆C2： (x a?) (y b?) q ,

圆心距d ⑻a2)2(b] b2)2

①d r1「2外离4条公切线；

②d r「2外切3条公切线；

③r1r2d「1 「2相交2条公切线；

④d r1r2内切1条公切线；

⑤0d r1内含无公切线；

(2) 两圆公共弦所在直线方程

还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组

Ax By C 0

2 2

x2y2Dx Ey F

求解，通过解的个数来判断:

B 0且A

C 0且D2E24AF 0.

外离外切相交内切

(3) 圆系问题

过圆外一点的切线： ①k 不存在，验证是否成立 ②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离 =半径,

y i y ° k(x i X 0)

b y i k(a X i ) R

求解k ，得到切线方程【一定两解】 例i.经过点P(i ，— 2)点作圆(x+i)2+(y —2)2=4的切线，则切线方程为

. . . . 2 2 2 . .

(2)过圆上一点的切线 方程：圆(X —a ) +(y —b ) =r ，圆上一点为(x 。，y °)， 则过此点的切线方程为 (X 0—a )( X —a ) +(y 0— b )( y —b ) = r 2 特别地，过圆x 2 y 2 r 2上一点P(x 0,y 0)的切线方程为x °x y °y r 2 .

.. 2 2

例2.经过点P( — 4，— 8)点作圆(X+7) +(y+8) =9的切线，则切线方程为

圆C i : D 1 x E 1 y F i

0，

圆C 2 :

D 2X

E 2y

F 2 0，

则D 1 D 2 E i E 2 F i F 2 0为两相交圆公共弦方程

补充说明: ①若C i 与C 2相切,

则表示其中一条公切线方程; ②若C i 与C 2相离,

则表示连心线的中垂线方程

过两圆C i :

D 1x

E i y

F 1 0 和 C 2 D 2X E ?y F 2 0交点的圆系方程为

补充:

X 2 6. D-|X E i y F i

X 2 y 2 D 2X E 2y F 2

上述圆系不包括 2)当

C 2

；

i 时，表示过两圆交点的直线方程(公共弦)

过直线 A X By C 0 与圆 X 2

D X Ey F A X By C 0

过一点作圆的切线的方程:

D X Ey F 0 交点的圆系方程为

7. 切点弦

2 2 2

⑴ 过O C：(X a) (y b) r外一点P(X o,y。)作O C的两条切线，切点分别为A、B，则切点弦AB所在直线方程为：(x0

a)(x a) (y0b)( y b) r2

8. 切线长：

若圆的方程为(x a)2(y b) 2=r2，则过圆外一点P(x o, y o)的切线长为d= (x o a)2+ (y o b)2r2.

9. 圆心的三个重要几何性质：

①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

②圆心在某一条弦的中垂线上；

③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。

10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法

例.已知圆C：x2+ y2—2x =0和圆C2：x2+ y2+4 y =0,试判断圆和位置关系，

若相交，则设其交点为A、B,试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。