高中数学-简单曲线的极坐标方程
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2
所以，等式(1)就是圆上任意一点的极坐标(, )
满足的条件，另一方面，可以验证，坐标适合 等式(1)的点都在这个圆上。
极坐标方程： 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意
一点的极坐标中至少有一个满足方程f (, ) 0 并且坐标适合方程f (, ) 0的点都在曲线C上， 那么方程f (, ) 0叫做曲线C的极坐标方程。
半径的圆的方程是 C
A.
2
cos
4
B.
2
sin
4
C. 2cos 1 D. 2sin 1
题组练习1 求下列圆的极坐标方程
(１)中心在极点，半径为2；
＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
＝2acos
(３)中心在(a,/2)，半径为a；
＝2asin
(４)中心在Ｃ(0,０)，半径为r。
2
2
圆＝sin的圆心坐标是(1 , ),所以圆心距是 2
22
2
3、极坐标方程 cos( )所表示的
4
曲线是 （ D ）
A、双曲线
B、椭圆
C、抛物线
D、圆
解：该方程可以化为＝cos( )
4
以(1 , )为圆心，1 为半径的圆。
24
2
解：＝cos cos sin sin
4
4
2 2 cos 2 sin即
4x2 4 y2 x2 8x 16 3x2 8x 4 y2 16
所以， 2a cos就是圆心在 C(a,0)(a 0), 半径
为a的圆的极坐标方程。
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐 标系，可以使圆的极坐标方程简单？
M
Or
x
解：如果以圆心O为极点，从O出发的一条射线 为极轴建立坐标系（如图），那么圆上各点的几 何特征就是它们的极径都等于半径r.
设M (, )为圆上任意一点，则OM r,即 ＝r
2
2
所以圆心为(5 3 , 5),半径是5 22
你可以用极坐标方程直接来求吗？
解：原式可化为
＝10(cos 3 sin 1) 10 cos( )
2
2
6
所以圆心为(5, ),半径为5
6
圆心为(a, )(a 0)半径为a
圆的极坐标方程为＝2a cos( )
此圆过极点O
练习
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为
你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标
(, )满足的条件吗？
M (,)
O
C(a,0) A
x
解：圆经过极点O。设圆与极轴的另一个交点
是A，那么OA＝2a,设M (, )为圆上除点O，A
以外的任意一点，那么OM AM。在RtAMO
中OM OA cosMOA即＝2a cos...........(1) 可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式(1)
2
2
x2 y2 2 x 2 y 0 22
(x 2 )2 (y 2 )2 1
4
44
4、圆＝10cos( )的圆心坐标是（ C ）
A、(5,0)
3
B、(5,
)
3
C、(5, )
3
D、(5, 2 )
3
5、写出圆心在点A(2, )处且过极点的圆的
2
极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。
解：＝4 cos( ) 4sin
2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
题组练习2
1、曲线的极坐标方程＝4 s in 化为直角坐标
方程是什么？ x2 ( y 2)2 4
2、极坐标方程分别是 ＝cos和＝sin的两个
圆的圆心距是多少？
解：圆＝cos圆心的坐标是(1 , 0)
2
圆 sin cos( ) cos( )
1.3简单曲线的极坐标方程
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(,)=0 ；
(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都 在曲线Ｃ上。
则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
探究
如图，半径为a的圆的圆心坐标为C(a, 0)(a 0)
显然，使极点与圆心重合时的极坐标方程在形式 上比(1)简单。
思考：已知一个圆的方程是＝5 3 cos 5sin
求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5sin两边同乘以得 2＝5 3 cos－5 sin即化为直角坐标为
x2 y2 5 3x 5y 即(x 5 3 )2 ( y 5)2 25
2
化为直角坐标系为 2＝4 sin
即x2 y2 4 y x2 ( y 2)2 4
6、已知圆C1 : 2cos,圆C2 : 2 2 3 sin 2 0,
试判断两圆的位置关系。
解：将两圆都化为直角坐标方程为 C1 : (x 1)2 y2 1,圆心O1(1,0)半径为1 C2 : x2 ( y 3)2 1，圆心O2 (0, 3)半径为1 O1O2 2所以两圆相外切。
7、从极点O作圆C：＝8 cos 的弦ON，
求ON的中点的轨迹方程。
N
Mwenku.baidu.com
解：如图，圆C的圆心(4, 0),O
C(4,0)
半径r OC 4,
连结CM，Q M是弦ON的中点
CM ON,
所以，动点M的轨迹方程是＝4 cos
练习
把极坐标方程
＝
4
2－cos
化为直角坐标方程。
解：方程可化为2－ cos 4 即2＝4＋x 两边平方得：4 2＝(x 4)2
所以，等式(1)就是圆上任意一点的极坐标(, )
满足的条件，另一方面，可以验证，坐标适合 等式(1)的点都在这个圆上。
极坐标方程： 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意
一点的极坐标中至少有一个满足方程f (, ) 0 并且坐标适合方程f (, ) 0的点都在曲线C上， 那么方程f (, ) 0叫做曲线C的极坐标方程。
半径的圆的方程是 C
A.
2
cos
4
B.
2
sin
4
C. 2cos 1 D. 2sin 1
题组练习1 求下列圆的极坐标方程
(１)中心在极点，半径为2；
＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
＝2acos
(３)中心在(a,/2)，半径为a；
＝2asin
(４)中心在Ｃ(0,０)，半径为r。
2
2
圆＝sin的圆心坐标是(1 , ),所以圆心距是 2
22
2
3、极坐标方程 cos( )所表示的
4
曲线是 （ D ）
A、双曲线
B、椭圆
C、抛物线
D、圆
解：该方程可以化为＝cos( )
4
以(1 , )为圆心，1 为半径的圆。
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解：＝cos cos sin sin
4
4
2 2 cos 2 sin即
4x2 4 y2 x2 8x 16 3x2 8x 4 y2 16
所以， 2a cos就是圆心在 C(a,0)(a 0), 半径
为a的圆的极坐标方程。
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐 标系，可以使圆的极坐标方程简单？
M
Or
x
解：如果以圆心O为极点，从O出发的一条射线 为极轴建立坐标系（如图），那么圆上各点的几 何特征就是它们的极径都等于半径r.
设M (, )为圆上任意一点，则OM r,即 ＝r
2
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所以圆心为(5 3 , 5),半径是5 22
你可以用极坐标方程直接来求吗？
解：原式可化为
＝10(cos 3 sin 1) 10 cos( )
2
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所以圆心为(5, ),半径为5
6
圆心为(a, )(a 0)半径为a
圆的极坐标方程为＝2a cos( )
此圆过极点O
练习
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为
你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标
(, )满足的条件吗？
M (,)
O
C(a,0) A
x
解：圆经过极点O。设圆与极轴的另一个交点
是A，那么OA＝2a,设M (, )为圆上除点O，A
以外的任意一点，那么OM AM。在RtAMO
中OM OA cosMOA即＝2a cos...........(1) 可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式(1)
2
2
x2 y2 2 x 2 y 0 22
(x 2 )2 (y 2 )2 1
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4、圆＝10cos( )的圆心坐标是（ C ）
A、(5,0)
3
B、(5,
)
3
C、(5, )
3
D、(5, 2 )
3
5、写出圆心在点A(2, )处且过极点的圆的
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极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。
解：＝4 cos( ) 4sin
2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
题组练习2
1、曲线的极坐标方程＝4 s in 化为直角坐标
方程是什么？ x2 ( y 2)2 4
2、极坐标方程分别是 ＝cos和＝sin的两个
圆的圆心距是多少？
解：圆＝cos圆心的坐标是(1 , 0)
2
圆 sin cos( ) cos( )
1.3简单曲线的极坐标方程
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(,)=0 ；
(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都 在曲线Ｃ上。
则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
探究
如图，半径为a的圆的圆心坐标为C(a, 0)(a 0)
显然，使极点与圆心重合时的极坐标方程在形式 上比(1)简单。
思考：已知一个圆的方程是＝5 3 cos 5sin
求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5sin两边同乘以得 2＝5 3 cos－5 sin即化为直角坐标为
x2 y2 5 3x 5y 即(x 5 3 )2 ( y 5)2 25
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化为直角坐标系为 2＝4 sin
即x2 y2 4 y x2 ( y 2)2 4
6、已知圆C1 : 2cos,圆C2 : 2 2 3 sin 2 0,
试判断两圆的位置关系。
解：将两圆都化为直角坐标方程为 C1 : (x 1)2 y2 1,圆心O1(1,0)半径为1 C2 : x2 ( y 3)2 1，圆心O2 (0, 3)半径为1 O1O2 2所以两圆相外切。
7、从极点O作圆C：＝8 cos 的弦ON，
求ON的中点的轨迹方程。
N
Mwenku.baidu.com
解：如图，圆C的圆心(4, 0),O
C(4,0)
半径r OC 4,
连结CM，Q M是弦ON的中点
CM ON,
所以，动点M的轨迹方程是＝4 cos
练习
把极坐标方程
＝
4
2－cos
化为直角坐标方程。
解：方程可化为2－ cos 4 即2＝4＋x 两边平方得：4 2＝(x 4)2