高中数学第六章数列第四节数列求和

第四节 数列求和 题型一 分组转化法求和

若数列的通项为分段函数或几个特殊数列通项的和或差的组合等形式，则求和时可用分组转化法，就是对原数列的通项进行分解，分别对每个新的数列进行求和后再相加减．

[典例] (2019·吉林调研)已知数列{a n }是等比数列，a 1＝1，a 4＝8，{b n }是等差数列，b 1＝3，b 4＝12. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；

(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和S n .

[解] (1)设数列{a n }的公比为q ，由a 4＝a 1q 3得8＝1×q 3，所以q ＝2，所以a n ＝2n －1. 设{b n }的公差为d ，由b 4＝b 1＋3d 得12＝3＋3d ，所以d ＝3，所以b n ＝3n .

(2)因为数列{a n }的前n 项和为a 1(1－q n )1－q ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1，数列{b n }的前n 项和为b 1n ＋n (n －1)2d ＝3n ＋

n (n －1)

2×3＝32n 2＋3

2

n ，

所以S n ＝2n －1＋32n 2＋32n .

[方法技巧]

分组转化法求和的常见类型

[提醒] 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．

[针对训练]

(2018·焦作四模)已知{a n }为等差数列，且a 2＝3，{a n }前4项的和为16，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝88，且数列{b n －a n }为等比数列．

(1)求数列{a n }和{b n －a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .

解：(1)设{a n }的公差为d ，因为a 2＝3，{a n }前4项的和为16，

所以⎩⎨⎧

a 1＋d ＝3，

4a 1＋4×3

2

d ＝16，解得⎩⎨⎧

a 1＝1，

d ＝2，

所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.

设{b n －a n }的公比为q ， 则b 4－a 4＝(b 1－a 1)q 3， 因为b 1＝4，b 4＝88，

所以q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝88－7

4－1＝27，解得q ＝3，

所以b n －a n ＝(4－1)×3n －1＝3n . (2)由(1)得b n ＝3n ＋2n －1，

所以S n ＝(3＋32＋33＋…＋3n )＋(1＋3＋5＋…＋2n －1) ＝

3(1－3n )1－3

＋n (1＋2n －1)2＝32(3n

－1)＋n 2

＝3n ＋12＋n 2－3

2

.

题型二 错位相减法求和

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用错位相减法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的.

[典例] (2019·南昌模拟)已知数列{a n }满足a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n

2n ＝n 2＋n .

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若b n ＝(－1)n a n

2，求数列{b n }的前n 项和S n .

[解] (1)∵a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n

2

n ＝n 2＋n ，

∴当n ≥2时，a 12＋a 222＋a 3

23＋…＋a n －12n －1＝(n －1)2＋n －1，

两式相减得a n

2n ＝2n (n ≥2)，∴a n ＝n ·2n ＋1(n ≥2)．

又∵当n ＝1时，a 1

2

＝1＋1，

∴a 1＝4，满足a n ＝n ·2n ＋1.∴a n ＝n ·2n ＋1. (2)∵b n ＝

(－1)n a n

2

＝n (－2)n ， ∴S n ＝1×(－2)1＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋n ×(－2)n .

－2S n ＝1×(－2)2＋2×(－2)3＋3×(－2)4＋…＋(n －1)×(－2)n ＋n (－2)n ＋1，

∴两式相减得3S n ＝(－2)＋(－2)2＋(－2)3＋(－2)4＋…＋(－2)n －n (－2)n ＋1＝－2[1－(－2)n ]

1－(－2)

－n (－2)n ＋1＝

－(－2)n ＋1－23－n (－2)n ＋1＝－(3n ＋1)(－2)n ＋1＋2

3

，

∴S n ＝－(3n ＋1)(－2)n ＋1＋29.

[方法技巧]

错位相减法求和的策略

(1)如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解．

(2)在写“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式． (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． [针对训练]

1．数列12，34，58，7

16，…的前10项之和为________．

解析：因为S 10＝12＋34＋58＋…＋19

210，①

所以12S 10＝14＋38＋…＋17210＋19

2

11. ②

①－②得12S 10＝1

2＋()

24＋28＋…＋2210

－19211＝12＋1

2[]

1－()12

9

1－1

2

－

19211

＝32－129－19211＝3×210－23

211， 所以S 10＝3×210－23210＝3 049

1 024

. 答案：

3 049

1 024

2．(2019·临川一中质检)已知等差数列{a n }满足a 3＝5，其前6项和为36，等比数列{b n }的前n 项和S n ＝2－1

2

n －1(n ∈

N *)．