相平面分析

e 1 e&2 2e CI
( II ) e Te 0
e 1 e&2 2e CII
相轨迹图
开关线
Te

0 0
Te02.5e
§7.2
相平面法（15）
例5 系统如右，在 ( c ~ c) 平面上分析系统的自由响应运动。
解
线性部分
C(s) U(s)
开关线方程 e 1 e T
在 I 区：
e dede ede 1
de dt de
同理在 II 区：

e&2 2e CI e&2 2e CII
当T

00.5
时，开关线为：ee
0 2e
抛物线方程
§7.2
系统方程
相平面法（12）
( I ) e Te 0
§7.2 相平面法
7.2.1 相平面的基本概念 7.2.2 相轨迹的性质
（相平面、相轨迹和相平面图） （斜率，奇点，运动方向，垂直过横轴）
7.2.3 相轨迹的绘制
（解析法 ，图解法）
7.2.4 由相轨迹求时间解
（增量法）
7.2.5 二阶系统的相轨迹 （极点分布，奇点性质，相轨迹）
7.2.6 非线性系统相平面分析 （非本质/本质非线性，控制系统）
§7.2 II -1 (1 ) 2相平3 面2 法1（161） 2 0 1 2
3 2 2 2
1 2 1 3 0 1 3 2
3 2
( I ) &c& c& dc& c& 1 c& 等倾斜线 c 1
s1, 2

s1,
2


j1 j1
中心点 中心点
开关线
—— 划分不同线性区域的边界线
平衡线（奇线） —— 不同区域的相轨迹相互影响而产生
§7.2
相平面法（9）
(3) 非线性控制系统的相平面分析
例3
系统如右，已知 cr ((0t ))

0 4
1(t
),确定开关线方程,奇点位置和
稳定的 焦点
稳定的 节点
不稳定 的焦点
不稳定 的节点
§7.2
相平面法（9）
例5 设系统方程为 x sin x 0，求系统的平衡点xe，
并判定平衡点附近相轨迹的性质。
解 令 x x 0 sin x 0 xe k
当
xe

2k

(2k

1)
sin x sin(2k x) sinx x sin x sinx x
类型,绘制相轨迹 (e, e&) 图。
解
线性部分
C(s) 1 U(s) s2
c(t) u(t)
0 e 2 (I)
非线性部分 u e 2 e 2 (II)
e 2 e 2 (III)
开关线方程
ee

2 2
综合点
e rc 4c
cc
4e e
角
相平面法 45 26.6 14 0 14 26.6 45 （21）
90
1
1
2
4
4 2 1
0
系统方程 &x& sin x 0
等倾斜线 x& 1 sin x

课程小结
§7.1概述
7.1.1 非线性现象的普遍性 7.1.2 典型非线性特性 7.1.3 非线性系统运动的特殊性 7.1.4 非线性控制系统的分析方法
dc
1
(II) &c& c& dc& c& 1 c& 等倾斜线 c 1
dc
1
3 2
2 3

1 0 1 3 1 2
§7.2
相平面法（17）
极限环 —— 对应二阶非线性系统的周期运动
各
类
极
稳定的极限环
限
环
不稳定的极限环
半稳定的极限环
例4 系统如右，r(t) 1(t) ，T 0, 0.5 ，分别讨论系统运动。
解 线性部分 c(t) u(t)
非线性部分 u 1 e Te 0 ( I )
1 e Te 0 (II)
比较点 e r c 1 c
整理
e
1 e Te 0 ( I ) 1 e Te 0 (II)

1 s2
s
c c u
非线性部分 u
1
ee

h h,
e 0
1
ee

h h,
e
0
比较点 e r c
整理
c c u
1
cc

h h,
c
0
1
cc

h h,
c 0

1 21 3 0 1 3
I 1 (1 ) 2 3 2 1 1 2 0 1 2
型 III e e 2 0 e3 -2 s2 1 0 s j 中心点
( I ) e 0 e C 水平线
相轨迹 (II) 以 e2 2 为中心的圆
(III) 以e3 2 为中心的圆
c(t )响应
e r c
c re 4e
§7.2
相平面法（11）

x
x
x

0
x0 I x 0 II
奇点
I II
xe1 0 xe2 0
特征 I
方程
II
s2 s 1 0 s2 s 1 0
极点

s1,
2

s1,
2

0.5 j0.866

0.62 1.62
稳定焦点 鞍点
开关线
§7.2
7.2.3 相轨迹的绘制
（解析法 ，图解法）
7.2.4 由相轨迹求时间解
（增量法）
7.2.5 二阶系统的相轨迹 （极点分布，奇点性质，相轨迹）
7.2.6 非线性系统相平面分析 （非本质/本质非线性，控制系统）
课程回顾（2）
(3) 二阶系统的相轨迹
极点分布 奇点 相迹图
极点分布 奇点
相迹图
中心点
鞍点
线化
x x
x x

0 0
特征 s2 1 0 s j1
方程

s
2
1

0

s

1
中心点 鞍点
§7.2
相平面法（10）
(2) 本质非线性系统的相平面分析
例1 系统方程为 x x x 0 ，分析系统的自由响应。
解
x x x 0
§7.2
相平面法（18）
例6 系统如右，在 ( c ~ c) 平面上分析系统的自由响应运动。
解
线性部分
C(s) U(s)

1 s2
s
c c u
1 eh (I) 非线性部分 u e e h ( II )
1 e h (III)
比较点 e r c c
1 c h ( I )
整理
c c u c c h ( II)
1 c h (III)
§7.2
相平面法（19）
§7.2
相平面法（20）
例7 系统方程为 x sin x 0，绘制相轨迹图；
分析系统的自由响应运动。
解 x d x d x d x x d x sin x
dt dx dt
dx
令 d x x 1 sin x
dx

值

1
1 2
1 4
0
1 4
1 2
1
角 45 26.6 14 0 14 26.6 45 90
1 1 2 4 4 2 1 0

值
1
1 2
1 4
0
1 4
1 2
1
§7.2
相平面法（11）
例2 系统方程为 x x signx 0，分析系统的自由响应。
解
x x 1 0

x
x

1

0
x 0 I x 0 II
奇点
I II
xe1 1 xe2 1
特征 I
方程
II
s2 1 0 s2 1 0
极点
c e
0 e 2 (I)
e c u 2 e e 2 (II)
2 e e 2 (III)
§7.2
相平面法（10）
Hale Waihona Puke Baidu
区域 运动方程 奇点 特征方程 极点 奇点性质
奇 点 类
I e 0
e1
s2 0
s0
II e e - 2 0 e2 2 s2 1 0 s j 中心点
自动控制原理
本次课程作业(37)
7 — 5, 6, 7, 8
(全部选做)
§7.2 相平面法
课程回顾（1）
§7.1概述
7.1.1 非线性现象的普遍性 7.1.2 典型非线性特性 7.1.3 非线性系统运动的特殊性 7.1.4 非线性控制系统的分析方法
§7.2 相平面法
7.2.1 相平面的基本概念 7.2.2 相轨迹的性质
（相平面、相轨迹和相平面图） （斜率，奇点，运动方向，垂直过横轴）
自动控制原理
自动控制原理
本次课程作业(37)
7 — 5, 6, 7, 8
(全部选做)
自动控制原理
（第 37 讲）
§7 非线性控制系统分析
§7.1 非线性控制系统概述 §7.2 相平面法 §7.3 描述函数法 §7.4 改善非线性系统性能的措施
自动控制原理
（第 37 讲）
§7 非线性控制系统分析